Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

рынок как две последовательности цен- безрисковый актив как детерминированную или даже предсказуемую по

Работа добавлена на сайт samzan.net:


  1.  Фундаментальные теоремы арбитража и полноты.  Схемы расчетов платежных обязательств на полных и неполных рынках.

Пусть – стохастический (дискретный) базис, .  Определим на этом базисе -рынок как две последовательности цен:

безрисковый актив  как детерминированную (или даже предсказуемую) последовательность .

рисковый актив  как стохастическую последовательность , согласованную с фильтрацией  (это значит, при каждом  случайная величина  полностью определяется событиями из .

Образуем теперь отношение  и назовем вероятность  мартингальной, если  становится мартингалом относительно .  Множество таких вероятностей  обозначим .

В этой общей постановке сохраняются все понятия, ранее введенные для биномиального рынка: самофинансируемая стратегия, портфель, капитал портфеля и т. д.

Напомним, что арбитраж на этом рынке означает существование  такой, что  (п.н.),  (п.н.) и .

Первая фундаментальная теорема финансовой математики состоит в следующем:

Данный -рынок не допускает арбитража.

Доказательство в целях упрощения изложения осуществляется при .  В случае импликации  возьмем некоторую  и заметим, что для произвольной самофинансируемой стратегии  ее (дисконтированный) капитал

является мартингалом относительно .  Этот факт в "биномиальном" случае именовался мартингальной, или дуальной, характеризацией класса .

Значит, если  – арбитражная стратегия, то с одной стороны, по ее определению, , а с другой, с учетом мартингального свойства последовательности :

.

Одновременно это не может выполняться, и мы приходим к противоречию с существованием арбитражной стратегии .  Доказательство обратной импликации технически много сложнее и может быть найдено в более специальных источниках и книгах по финансовой математике1.

Рассматриваемый -рынок называется полным, если произвольное платежное обязательство  может быть реплицировано капиталом некоторой самофинансируемой стратегии: существует  и  такие, что (п.н.)

  и   

Данный рынок содержит базисную стохастическую последовательность дисконтированных цен , которая является мартингалом относительно любой вероятности .  Оказывается, любой другой мартингал (относительно  может быть представлен (ср. с представлением мартингалов для биномиального рынка) в виде дискретного стохастического интеграла, построенного по .  Это свойство рынка будем именовать его репрезентативностью.  Следующие рассмотрения показывают, что репрезентативность эквивалентна полноте рынка.

Пусть -рынок полный ( для  простоты).  Возьмем произвольный мартингал  и определим по нему следующее платежное обязательство .  Ввиду полноты рынка существуют  и  такие, что (п.н.)

  и   

Последнее равенство, как следствие самофинансируемости стратегии , показывает, что  – мартингал относительно любой вероятности .  Значит, получено два мартингала с одним и тем же терминальным значением .  Поэтому для

что и приводит к представлению мартингала  через базовый мартингал .

Обратно, если  – данное платежное обязательство на рынке со свойством репрезентативности, то рассмотрим стохастическую последовательность  для  любой фиксированной вероятности .  Его можно представить в виде

где  – предсказуемая последовательность.

Далее, положим

и с учетом вышеприведенного представления заметим, что

полностью определяется по информации, доставляемой , т. е.  – предсказуемая последовательность.  Это означает, что пара  является самофинансируемой стратегией со свойством (п.н.)

В частности,  и мы получаем свойство реплицируемости обязательства , а вместе с этим и полноту рынка.

Основная характеризация полных рынков дается

Второй фундаментальной теоремой финансовой математики:

Данный -рынок является полным  множество  состоит только из одной вероятности .

Доказательство.  Импликация  доказывается с помощью следующих соображений.  Возьмем произвольное событие  и положим  в качестве платежного обязательства.  Это платежное обязательство можно реплицировать: существует  и  такие, что

,

при этом

Если теперь  и , то относительно обеих вероятностей  – мартингалы и, следовательно,

Отсюда мы можем заключить, что .

Обратная импликация  технически существенно сложнее.  Приведем схему доказательства.  Пусть  – единственная мартингальная вероятность.  Установим по индукции, что .  Для этого предположим, что .  Возьмем  и сконструируем случайную величину

для которой  и .  По  определим новую вероятность  и заметим, что

Это означает мартингальность вероятности , и в силу единственности мартингальной вероятности  заключаем, что:  (п.н.).  В результате получаем, что  и потому .

Следующий шаг состоит в рассмотрении условных распределений доходностей:

  где   

Оказывается, эти распределения имеют такую структуру: существуют две предсказуемые последовательности: неположительная  и неотрицательная , удовлетворяющие равенству

Приведенное равенство является следствием уже общего вероятностного факта о структуре функций распределений  на числовой прямой со свойствами

и

Множество распределений  состоит из единственного распределения  существуют  и .

Имея ввиду сказанное о структуре распределений доходностей , положим

Заметим, что

, или

Следовательно,

Далее, если  – мартингал относительно , то существуют функции  такие, что

Повторяя те же самые аргументы, которые использовались в случае биномиального рынка, приходим к следующему мартингальному представлению

где  – предсказуемая последовательность.

Принимая во внимание эквивалентность полноты и репрезентативности, мы приходим к завершению доказательства.

Приведем теперь общие схемы расчета платежных обязательств на полных и неполных рынках.

Сначала рассмотрим полный -рынок с единственной мартингальной вероятностью .  Пусть  – платежное обязательство на этом рынке2.  Определим мартингал, естественно определяемый этим обязательством:

с "граничными" условиями:

В соответствии со второй фундаментальной теоремой запишем мартингальное представление для :

где  – предсказуемая последовательность.

Определим стратегию , где  и, пользуясь, вышеприведенным представлением, найдем, что последовательность

является предсказуемой.

Следовательно, построенная стратегия  и для ее капитала имеют место соотношения: (п.н.)

и, в частности,  (п.н.).

Как результат, получаем следующую теорему.

Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на полном рынке).

Предположим, что заданный выше -рынок является полным и  – платежное обязательство.  Тогда существует самофинансируемая стратегия , которая является минимальным хеджем с капиталом

и компонентами , определяемыми из разложений

В частности, цена  платежного обязательства  равна

Заметим, что минимальность  вытекает из следующего соотношения: если  и является хеджем для , то (п.н.)

для .

Рассмотрим теперь схему соответствующих расчетов для неполного рынка.

Вначала напишем чисто формально преобразование капитала стратегии , не являющейся, вообще говоря, самофинансируемой.  Нам это нужно, поскольку с помощью класса  мы здесь уже не можем  реплицировать  ввиду неполноты рынка.

Мы имеем, что

где

Назовем класс стратегий  с неубывающей стохастической последовательностью  стратегиями с потреблением, которые и будем рассматривать ниже.

В соответствии со сказанным имеем, что

где  – уже не является предсказуемой, поскольку "потребление"  определяется по всей информации , а не только по .

Эволюция дисконтированного капитала стратегии с потреблением удовлетворяет соотношению

Идея расчета платежного обязательства  состоит в следующем: постараться найти стратегию с потреблением , которая реплицирует .  Если это удастся сделать, то капитал такой стратегии будет вполне естественным кандидатом для цены обязательства .

Определим для реализации заявленной идеи следующую последовательность прогнозов для 3:

Оказывается, стохастическая последовательность  является положительным супермартингалом относительно любой .  Следовательно, для каждой фиксированной  можно написать соответствующее разложение Дуба:

,

где  – мартингал относительно , а  – предсказуемая неубывающая последовательность.

Приведенное разложение зависит от вероятности , а хотелось бы иметь что-то подобное, но инвариантное для класса мартингальных вероятностей .  Эту роль выполняет опциональное разложение, называемое также равномерным разложением Дуба, согласно которому

 

где  – мартингал для любой вероятности из ,  – неубывающая (но не предсказуемая, вообще говоря) стохастическая последовательность.

Более того,  допускает дальнейшее структурирование

где  – предсказуемая последовательность.

Определим в соответствии с изложенным такую стратегию с потреблением:

   

По ее построению находим, что

Следовательно, (п.н.)

что означает реплицируемость с помощью построенной стратегии с потреблением .

Сформулируем соответствующую теорему.

Теорема (Схема расчетов платежных обязательств на неполном рынке)

Пусть  – заданное платежное обязательство на неполном -рынке.  Тогда существует стратегия с потреблением  с минимальным капиталом

и компонентами , определяемыми из опционального разложения положительного супермартингала :

В частности, в качестве начальной (верхней) цены для  может быть взята

Для завершения доказательства этой теоремы остается убедиться только в минимальности предложенного хеджа .

Для этого возьмем произвольную стратегию с потреблением , являющуюся хеджем для .  Тогда имеем для любой , что для любого

Следовательно, для всех  (п.н.)

откуда вытекает требуемая минимальность .

1 См., например, А. Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, М. Фазис, 1998

2 Если  не является конечным, то надо потребовать интегрируемость обязательства относительно :

3 Отметим, что в случае недискретных рынков, надо потребовать техническое условие .

9




1. конспект лекций ОГЛАВЛЕНИЕ СКАЧАТЬ книгу Якушев
2. В класс классный руководитель Витальева Марина Сергеевна На данном этапе педагогической практики я позн
3. Порядок совершения валютных операций в РФ
4. Учебное пособие- Основы гражданского права
5. тема Великобританії після другої світової війни одержала подальший розвиток у напрямку більш активного втру
6. Україна в першій половині 1950-х рокі
7. На тему- Экономика современной Росии Выполнила- студентка Группы ЗБ3ЭФ310 Личное дело- 124612 Вед.html
8. Очищение организма и здоровье
9.  Специфика земельных отношений и рынка земли
10. Сущность и содержание национальнопсихологических явлений
11. речь для себя эгоцентрическя речь и только потом под давлением взрослых социализированная речь для.html
12. Виды банкротства Теоретические основы квалификации преступлений в сфере банкротства
13. представляет собой повторяющуюся или итеративную операцию
14. Статья 1. Лица к которым применяется Соглашение Настоящее Соглашение применяется к лицам которые являются
15. за тенденции общества требовать больше ресурсов и товаров чем доступно
16. Вологда
17. Будущему России - достойного Президента
18. наДону ул Социалистическая 112 ОБРАЩЕНИЕ ЖИТЕЛЕЙ РОСТОВАНАДОНУ ПРОТИВ ПЕРЕНОСА ПАМЯТНИКА КАРЛУ МАР
19. Задание можно усложнить
20. Возможно вы уже решили что в маркетинге есть все что интересует вас в карьере постоянный вызов будоража.