Размещениями из элементов по называются соединения которые можно образовать из элементов собирая в.html
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1
Размещения.
Размещениями из элементов по называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение по элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:
ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Число всех возможных размещений, которые можно образовать из элементов по , обозначается символом и вычисляется по формуле:
,
(всего k множителей).
Пример:
Перестановки.
Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.
Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:
abc, bac, cab, acb, bca, cba.
Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом
(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)
Пример:
Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:
ab, ac, bc.
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :
(В числителе и знаменателе по k множителей).
Пример:
Полезные формулы:
Например:
2
Классическое определение вероятности.
Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A, т.е. .
Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).
Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.
Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.
Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).
События E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них.
Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий — появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу.
Событие B называется благоприятствующим событию A, если наступление события B влечет за собой наступление события A.
Так, если A — появление четного числа очков при бросании игральной кости, то появление цифры 4 представляет собой событие, благоприятствующее событию A.
Пусть события E1,E2, ..., EN в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию Aблагоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению.
Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:
Пример 1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Решение: Число стандартных подшипников равно 1000—30=970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит изN=1000 равновероятных исходов, из которых событию A благоприятствуют М=970 исходов. Поэтому P(A)=M/N=970/1000=0.97
В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?
Решение: Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть два, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 2:
Число благоприятствующих исходов:
Следовательно, искомая вероятность
Пример 3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?
Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров:
Р(зел.)=2/24; Р(кр.)=7/24; Р(кор.)=5/24. Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:
4.
4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения событий А и В, если известны вероятности событий А и В.
Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:
|
|
1-я монета |
2-я монета |
|
1-й исход |
герб |
герб |
|
2-й исход |
герб |
надпись |
|
3-й исход |
надпись |
герб |
|
4-й исход |
надпись |
надпись |
Таким образом, P(герб,герб)=1/4.
Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных несовместных исходов:
|
|
1-я монета |
2-я монета |
|
1-й исход |
герб |
герб |
|
2-й исход |
герб |
надпись |
При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных предположениях Р(герб,герб)=1/2. Обозначим через А появление двух гербов, а через В — появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события А изменилась, когда стало известно, что событие B произошло.
Новую вероятность события А, в предположении, что произошло событие B, будем обозначать PB(А).
Таким образом, Р(A)=1/4; PB(А)=1/2
Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.
|
P(AB)=P(A)PA(B) |
(4) |
Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2, ..., ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает
; ;
Таким образом,
Поменяв местами A и B, аналогично получим
|
(5) |
Из формул (4) и (5) имеем
|
(6) |
Теорема умножения легко обобщается на любое , конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A1, A2, A3 имеем *
В общем случае
|
(7) |
Введем теперь следующее определение.
Два события A и B называются независимыми, если предположение о том, что произошло одно из них, не изменяет вероятность другого, т. е. если
|
и |
(8) |
Из соотношения (6) вытекает, что из двух равенств (8) одно является следствием другого.
Пусть, например, событие A — появление герба при однократном брссании монеты, а событие B — появление карты бубновой масти при вынимании карты из колоды. Очевидно, что события A и Bнезависимы.
В случае независимости событий A к B формула (4) примет более простой вид:
|
(9) |
т. е. вероятность совмещения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
События А1, А2, ..., Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не меняет своего значения после того, как одно или несколько из остальных событий осуществились.
Исходя из этого определения, в случае независимости событий А1, А2, ..., Аn между собой в совокупности на основании формулы (7) имеем
|
(10) |
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Пример 1. Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз ?
Решение: Пусть событие Ai — появление герба при i-м бросании. Искомая вероятность есть вероятность совмещения всех событий Ai (i=1,2,3,...,10), а так как они, очевидно, независимы в совокупности, то применяя формулу (10), имеем
Но P(Ai)=1/2 для любого i; поэтому
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Пример 2. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7. Найти: 1) вероятность р того, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего.
Решение:
1) Искомую вероятность р находим по формуле (10):
2) Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для первого станка равна 1—0,9=0,1, для второго и для третьего станков она соответственно равна 1—0,8=0,2 и 1—0,7=0,3. Тогда вероятность того, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, на основании формулы (10) составляет
Событие A, заключающееся в том, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего, противоположно событию , состоящему в том, что по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего. Поэтому по формуле (3) получаем
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Пример 3. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?
Решение: Эта задача уже была решена в п. 3 с помощью классического определения вероятности. Решим ее, применяя формулу (5). Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В. По формуле (5) имеем
Но Р(А)=3/10; РA(В)=2/9, поскольку после того, как был вынут первый белый шар, в урне осталось 9 шаров, из которых 2 белых. Следовательно,
6.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.
В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.
Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Доказательство
Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,
Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (A1 + A2 + ... + An) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (An).
Доказательство
Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, A + В и С, поэтому в силу указанной теоремы
Р ( А + В + С) = Р [(А + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С).
Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.
Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Р е ш е н и е. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А)
Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3.
Вероятность появления синего шара (событие В)
Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.
Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
Р е ш е н и е. События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.
7.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.
Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдетm раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.
Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.
Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:
Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет
Так как в любой другой благоприятной комбинации Вi событие A встречается также m раз, а событие происходит n-m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак
Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)
Следовательно,
|
(13) |
|
или, так как |
, то |
|
(13') |
Формула (13) называется формулой Бернулли *.
Пример 1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?
Решение: Здесь
n=8;
m=5;
p=0,6;
q=1-0,6=0,4.
Используя формулу (13'), имеем
Пример 2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 1.
Решение: Здесь
n=8;
p=0,6;
q=0,4;
np-q=8*0,6-0,4=4,4;
np+p=8*0,6+0,6=5,4.
Согласно формуле (14) наивероятнейшее значение лежит на сегменте [4.4;5.4] и, следовательно равно 5.
8.
Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра-Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра-Лапласа ~ Теорема Бернулли
Теорема Пуассона. При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простымиасимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.
Если число испытаний n и p 0 так, что np , > 0, то
при любых k = 0, 1, 2, … .
Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле
можно воспользоваться приближенной формулой
.
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.
ПРИМЕР 1. Точность формулы Пуассона.
В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p=0.003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп. Выполним вычисления используя формулу Бернулли и по теореме Пуассона.
Для вычисления вероятности по формуле Бернулли используем формулу
P( > 3) = 1- P( 3) = 1- F (3),
где F (x) - функция распределения для биномиального распределения.
Для вычисления вероятности по теореме Пуассона используем формулу
P( > 3) = 1- P( 3) = 1- F (3),
где F (x) - функция распределения Пуассона с параметром = np = 3.
Выполним те же вычисления для p = 0.3 и n = 10 ( = np =3).
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа
,
где 0 < p < 1 , величина ограничена при n .
Требование ограниченности величины xk означает, что при n величина
k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы
растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.
Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.
ПРИМЕР 2. Точность формулы Муавра-Лапласа.
Вычислим вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное n/2 . Выполним вычисления для n = 10, 20, 50. Сравним результаты вычислений по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. При n для схемы Бернулли при любых a и bсправедлива формула
.
Отсюда следует, что вероятность того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно вычислить по формуле
,
где , , - функция Лапласа.
Точность этой приближенной формулы растет с ростом n. Если значение npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула
,
и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
,
где , .
ПРИМЕР 3. Точность интегральных формул Муавра-Лапласа.
Вероятность рождения мальчика p = 0.51, а девочки - q = 1 - p = 0.49. Найдем вероятность того, что среди 10 000новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5000. Вычисления проведем по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра-Лапласа.
Теорема Бернулли. Если - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого > 0 справедливо
.
Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов /nприближается к вероятности p успеха в одном испытании.
Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, больше или равной, отклонение относительной частоты успехов /n от вероятности p было меньше . Т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство
.
Доказано, что для числа n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, справедливо
,
где x - решение уравнения .
Следует обратить особое внимание на замечательный факт - искомое значение n не зависит от p!
ПРИМЕР 4. Производитель утверждает, что вероятность отрицательного отношения покупателя к новому товару невелика. Сколько нужно опросить человек, чтобы с вероятностью не менее 0.9 можно было утверждать, что относительная частота отрицательного отношения к новому товару отличается от заявленной производителем не более, чем на 0.01.
14.
Определение независимых величин
По известному совместному распределению двумерной случайной величины нетрудно найти распределения его компонент. Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение ( , ) по известным распределениям величин и , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины и н е з а в и с и м ы.
Случайные величины называются независимыми, если для любых x1, x2 R2
.
Независимые непрерывные величины
Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно такому:
случайные величины называются независимыми, если
во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.
ПРИМЕР 1. Найдем распределение компонент непрерывного двумерного случайного вектора и проверим их независимость.
Независимые дискретные величины
Для дискретных случайных величин и с матрицей совместного распределения {pij} условие независимости и имеет вид:
,
для всех i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m.
В частности, случайные величины и , заданные совместным распределением
|
|
0 |
8 |
|
1 |
0.1 |
0.1 |
|
2 |
0.1 |
0.2 |
|
3 |
0.2 |
0.3 |
зависимы, поскольку p11 = 0.1, а p 1p 1 = (0.1+0.1)*(0.1+0.1+0.2) = 0.20.4 = 0.08.
В то же время в совместном распределении и
|
|
0 |
8 |
|
1 |
0.08 |
0.12 |
|
2 |
0.12 |
0.18 |
|
3 |
0.20 |
0.30 |
величины и н е з а в и с и м ы.
Корреляция
Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.
Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции .
Этот коэффициент обладает следующими свойствами:
он безразмерен;
его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
если и независимы, то (обратное, вообще говоря неверно!);
если , то случайные величины и связаны функциональной зависимостью вида , где и — некоторые числовые коэффициенты;
;
Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица
.
Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора связаны соотношением
,
где .
Распределение двумерной случайной величины
Распределение случайной величины
Математическое ожидание
Распределение случайной величины
Математическое ожидание
Распределение и математическое ожидание
Ковариация
|
Дисперсия |
Дисперсия |
Дисперсия +
Распределение +
2. Введение8
3. Блеск и нищета тайваньского воинства
4. Лабораторная работа- Определении уровня развития наглядных форм мышления у детей 6-7 лет и готовности их к школьному обучению
5. Хронический одонтогенный остеомиелит нижней челюсти слева
6. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук9
7. Оценка инженерно-геологических условий Алтае-Саянского региона.html
8. Организация и проведение тендерных процедур
9. Прогнозирование развития экстремального туризма в Крыму
10. Учебное пособие- Чрезвычайные ситуации природного характера, их последствия и правила безопасного поведения
11. IO предусмотрено четыре класса которые предназначены для работы с файловой системой компьютера т
12. О государственном регулировании внешнеторговой деятельности определял основы государственного регулиро
13. Глаз и телескоп
14. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора філологічних наук Київ
15. ИллиадаОдиссея ваза депилонская керамика Депилонский кратер ГРЕЦИЯ
16. Електронний уряд Іспанії Виконала- студентка ІІІ групи ІІ МП Морозова Анастасія Ви
17. Дождик Цель- познакомить детей с нетрадиционной техникой рисования пальчиком
18. ШКОЛА АКТИВА 2324 ноября 2013 Представительство ЯНАО в СПб Каменноостровский пр
19. ru Все книги автора Эта же книга в других форматах Приятного чтения Даниэл Киз Цветы для Эл
20. Реферат на тему- Реформа освіти у м