У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

13 14 EIVo В11 4

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 28.4.2025

178

PAGE 179

Сосредоточенные массы стержня могут быть учтены по формуле (3.15). Решение уравнения (4.36) после нормирования фундаментальных функций удобно представить в матричной форме

EIV(x)	=	A11	A12	-A13	-A14	EIV(o)	+	В11	, (4.38)
EI(x)		A21	A22	-A23	-A24	EI(o)		В21
M (x)		-A31	-A32	A33	A34	M (o)		-В31
Q (x)		-A41	-A42	A43	A44	Q (o)		-В41

где знак «» соответствует направлению оси оу «вниз». Вид фундаментальных ортонормированных функций зависит от корней характеристического уравнения. Представим 4 основных случая фундаментальных функций.

1 случай. (r4 − S4) < 0. Корни по формуле (4.23) комплексные

(4.39)

2 случай. (r4 − S4) > 0; S4 < 0. Корни (4.23) действительные и мнимые

(4.40)

3 случай. (r4 − S4) > 0; S4 > 0; r2 < 0. Случай растягивающей силы (-Fx). Корни (4.23) действительные

(4.41)

4 случай. (r4 − S4) > 0; S4 > 0; r2 > 0 Корни (4.23) мнимые

(4.42)

Слагаемые, зависящие от внешней нагрузки и граничных параметров стержня, примут вид

(4.43)

Интегрирование выражений (4.43) для любой поперечной нагрузки не вызывает трудностей. Другие случаи фундаментальных функций (r2 = 0; S4 = 0; r4 = S4 и т.д.) имеют второстепенное значение и здесь не приводятся. Тестирование решения задачи Коши (4.38) выполним на задачах о собственных колебаниях. В этом случае Fx = 0; qy(x) = 0. Частотные уравнения отдельных стержней можно получить при формировании краевой задачи. Например, при жестком защемлении граничных точек, будем иметь

	1	2	3	4		= 0
1			-А13	-А14
2			-А23	-А24
3	-1		А33	А34
4		-1	А43	А44

Аналогично можно получить частотные уравнения для любых условий опирания. Наиболее просто частоты определяются методом последовательного перебора, когда задаются начальное значение и шаг для ω. Результаты вычисления определителя выводятся в отдельный файл. Его просмотр позволяет выявить изменение знака определителя и грубое значение собственной частоты. Далее она может быть уточнена при последующих прогонах программы с измененными начальным значением и шагом ω. Пример такой программы на языке Fortran представлен в приложении №1. В таблице 15 дано сравнение частот по приближенному решению акад. А.Н. Крылова и решению уравнения С.П. Тимошенко. Частоты определялись при следующих исходных данных: коэффициент Пуассона  = 0,3; E = 2,110¹¹ Па; G = E/2(1+) = 0,807710¹¹ Па;  = 7800 кг/м³; = 1,0 м; A = в  h = 0,10,1 = 0,01 м²; I = hв3/12 = 8,333310-6 м4;

Таблица 15

Безразмерные частоты собственных колебаний отдельных стержней,
Номер тона колебаний	D1=A13 ·A24 –A14 ·A23 = 0	D2=A13 ·A34 –A14 ·A33 = 0
	приближенные	уточненные	погрешность %	приближенные	уточненные	погрешность %
1	22,3736	21,9260	2,04	15,4184	15,1260	1,93
2	61,6714	57,4781	7,30	49,9652	46,7429	6,89
3	120,9030	105,3970	14,71	104,2480	91,2600	14,23
4	199,8596	161,4254	23,81	178,2700	144,5587	23,32
5	298,5557	222,6361	34,10	272,0311	203,5004	33,68
6	416,9909	287,0476	45,27	385,5317	265,9581	44,96
7	555,1652	353,4163	57,09	518,7714	330,5740	56,93
8	713,0787	420,9801	69,39	671,7503	396,4820	69,43
9	890,7286	489,3061	82,04	844,4094	463,1590	82,32
10	1088,1239	558,2521	94,92	1036,8888	530,3037	95,53
Номер тона колебаний	D3=A33 ·A44 –A34 ·A43 = 0	D4=A12 ·A34 –A14 ·A32 = 0
	приближенные	уточненные	погрешность %	приближенные	уточненные	погрешность %
1	3,5161	3,5143	0,34	9,8699	9,7081	1,67
2	22,0348	21,3926	3,00	39,4786	37,0953	6,42
3	61,8633	56,8754	8,77	88,8265	78,1553	13,65
4	120,9023	103,9317	16,33	157,9138	128,6654	22,73
5	199,8596	158,8897	25,79	246,7403	185,3173	33,14
6	298,5557	218,8186	36,44	355,3060	245,8317	44,53
7	416,9909	281,7821	47,98	483,6108	308,7225	56,65
8	555,1656	346,5089	60,22	631,6547	373,0370	69,33
9	713,0787	412,1571	73,01	799,4384	438,1725	82,45
10	890,7310	478,1448	86,29	986,9472	503,7375	95,92

m = A = 78,0 кг/м; к = 5/6. Абсолютные значения частот приводились к безразмерной форме .

Из таблицы 15 следует, что погрешность приближенного решения быстро нарастает и у 10-й частоты при отношении достигает почти 100%. О точности частот уравнения (4.38) можно судить по тому факту, что первые 5 частот таблицы 15 при шарнирном опирании совпадают с 5-ю частотами работы [99].

4.5.5. Устойчивость систем от следящих

консервативных сил

Рассмотрим особенности алгоритма решения задач устойчивости упругих систем при действии следящих консервативных сил. К таким задачам может быть применен статический метод, что упрощает методику их решения.

Пример 24 . Пусть в раме (рис. 4.11) стержень 0-1 испытывает воздействие следящей силы с линией действия, проходящей через фиксированную точку, стержень 2-3 нагружен «мертвой» силой, а стержень 1-2 будет испытывать изгиб после потери устойчивости.

При бифуркации стержневой системы возникает горизонтальная проекция следящей силы и уравнение равновесия узла 1 будет включать эту проекцию (рис. 4.11) Q0-1(ℓ) = N0-1(ℓ) ± ± F V0-1(ℓ) / r, где знак минус, когда проекция уменьшает устойчивость системы (направлена в сторону смещения рамы), и знак плюс, когда она направлена в противоположную сторону. Формируем матрицы Х*, Y

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
Х* = 8	; Y = 8	.
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16

Для стержней 0-1 и 2-3 использованы блоки продольно-поперечного изгиба (4.4), для стержня 1-2 – изгиба и растяжения. Матрица А* рамы примет вид

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1			-A13	-A14						-1/2							3
2			-A12	-A13			-1										7
3			A21	A12				-1									8
4				1						А	-1						4
5					1				1								5
6							1	-1/2	-1/6								9
7							1	-1	-1/2				-1				13
A* = 8								1	1					-1			14 .
9									1							-1	16
10										1	1	-12					10
11											1				1		11
12												1	A12	-A13	-A14		12
13													A21	-A12	-A13		15
14	-1												-A31	A21	A12		1
15		-1													1		2
16						-1										1	6

Учет следящей силы осуществляется компенсирующим элементом А (4,10) = А = F / / 12EIr. При вычислении определителя принято . Фиксируя изменение его знака, получаем значения критических сил. Первые 4 значения их следующие:

а) следящая сила уменьшает устойчивость системы

в) следящая сила увеличивает устойчивость системы

с) кососимметричная потеря устойчивости (две силы F «мертвые»)

Из этих результатов следует, что сжимающая сила с линией действия, проходящей через фиксированную точку, весьма опасна. Она может существенно уменьшить первую критическую силу конструкции. Данный вывод относится и к различным грузоподъемным машинам и устройствам, где используется схема силы по рис. 4.7, с. Добавим, что, в отличие от всех рассмотренных выше задач устойчивости, учет следящей силы F приводит к формированию матрицы А* с переменной топологией (элемент А).

4.5.6. Устойчивость систем от

неконсервативных сил

Рассмотрим динамические модели устойчивости упругих систем. Решение задачи Коши поперечных колебаний прямолинейного стержня с учетом продольной силы Fx представлено уравнением (4.12).

Классическим примером является консольный стержень с равномерно распределенной массой m и следящей силой на конце (рис. 4.7, а) – задача М. Бекка [69]. Частотное уравнение МГЭ этой задачи примет вид

	1	2	3	4	‾‾
1	-1		-A13	-A14		= 0
2		-1	-A23	-A13
3			A33	A23
4			A43	A33

. (4.44)

Уравнение (4.44) после небольших преобразований совпадает с частотным уравнением М. Бекка [69, c. 122]. Это свидетельствует о том, что М. Бекк при решении своей задачи непроизвольно использовал общий алгоритм МГЭ для отдельного стержня. Очевидно, что корни уравнения (4.44) и частотного уравнения М. Бекка одинаковы и 2 соседние частоты сольются в одной и той же точке. М. Бекк определил только первую критическую силу , которая позже подтверждена экспериментально [47]. Если рассмотреть с помощью уравнения (4.44) изменение большего числа частот собственных колебаний консольного стержня, то получается весьма интересная картина. Графики для первых 6 частот показаны на рис. 4.12.

Первая форма равновесия (прямолинейная) устойчива до . При F1 прямолинейная форма теряет устойчивость, и малые возмущения приводят к флаттеру. Если ничего не предпринимать, то стержень быстро разрушится. При дальнейшем увеличении сжимающей силы первая форма равновесия переходит во вторую форму (криволинейную), которая устойчива до . Затем равновесие стержня переходит в третью форму, устойчивую до и т.д., как это имеет место при бифуркации с «мертвыми» силами. Такое поведение консольного стержня позволяет рекомендовать метод борьбы с флаттером. Флаттер прекратится, если перевести стержень во вторую (криволинейную) форму равновесия.

Рис. 4.12

Графики изменения частот ω от сжимающих сил Fx позволяют наглядно проследить поведение конструкции. Если частоты стремятся слиться в одной точке, то система теряет устойчивость в форме флаттера или дивергенции, а сама задача устойчивости будет относиться к неконсервативным задачам. Если частоты монотонно стремятся к нулю, то система будет терять устойчивость по Эйлеру (появятся изгибные формы), а значения F при которых ω = 0 будут критическими.

Представим решения более сложных неконсервативных задач устойчивости различных упругих систем.

Пример 25. Определить критические силы консольного стержня с кусочно-постоянной жесткостью, нагруженного следящей силой (рис. 4.13).

Данная схема может служить моделью буровой вышки, когда произошла авария и поток жидкости или газа вырвался из-под контроля. Матрицы Х*, Y, A* показаны ниже. С помощью компьютера установлено, что поведение частот стержня аналогично поведению частот по рис. 4.12. При этом

при

при .

При «мертвой» силе ; , т.е. неконсервативные критические силы примерно в 6 раз больше эйлеровых критических сил.

Рис. 4.13

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
Х* = 6	; Y = 6	;
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1			-A13	-A14	-2								5
2			-A23	-A13		-2							6
3			A33	A23			-1						3
4			A43	A33				-1					4
5					A11	A12	-A13	-A14	-2				9
А* = 6					A21	A11	-A23	-A13		-2			10 .
7					-A31	-A21	A33	A23			-1		7
8					-A41	-A31	A43	A33				-1	8
9	-1								A11	A12	-A13	-A14	1
10		-1							A21	A11	-A23	-A13	2
11									-A31	-A21	A33	A23	11
12									-A41	-A31	A43	A33	12

Пример 26. Определить неконсервативные критические силы неразрезного стержня (рис. 4.14) при действии следящей силы F.

Рис. 4.14

Топологическую матрицу С формируем по матрицам Х*, Y, а динамическая матрица устойчивости имеет 8-й порядок. Учет следящей силы, как и у консольного стержня, производится с помощью граничных условий .

1	1
2	2
3	3
Х* = 4	; Y = 4	;
5	5
6	6
7	7
8	8

	1	2	3	4	5	6	7	8
1			-A13	-A14					3
2			-A23	-A13		-1			4
3			A33	A23			-1		7
А* = 4	-1		A43	A33					1 .
5		-1				A12	-A13	-A14	2
6					-1	A11	-A23	-A13	5
7						-A21	A33	A23	6
8						-A31	A43	A33	8

Изменения первых 7 частот неразрезного стержня показаны на рис. 4.15.

Видно, что поведение частот уже простейшей системы качественно отлично от поведения частот консольного стержня. Первая частота стремится к нулю при , где FЭ1 – эйлерова критическая сила участка стержня 0-1. Это означает, что неразрезной стержень при росте следящей силы вначале теряет устойчивость с появлением изгибных форм. К комплексному значению собственных частот стремятся и (у отдельных комплексных частот действительные части одинаковы). Первая критическая неконсервативная сила приводит систему к флаттеру. Четвертая и пятая частоты стремятся к нулю (эйлеров тип потери устойчивости), а ко второй комплексной частоте стремятся и . Здесь . Данное исследование поведения системы показывает, что действие неконсервативных следящих сил приводит к взаимному наложению спектров эйлеровых и неконсервативных критических сил, т.е. поведение упругой системы существенно сложнее случаев, когда действуют консервативные силы. Более того, действие неконсервативных сил может приводить к потере устойчивости при значительно меньших критических силах, равных или меньших эйлеровым критическим силам.

Отметим еще одну особенность поведения неразрезного стержня. В данной расчетной схеме стержень 1-2 является моделью консольного стержня с нежесткой заделкой . У такого стержня флаттер наступает при большей критической силе, чем у консольного стержня с жесткой заделкой ( и . В условиях неучета сдвига и инерции вращения эти силы несколько меньше действительных критических сил). При «мертвой» силе картина противоположная ( и ).

Пример 27. Исследовать поведение частот собственных колебаний свободной рамы (рис. 4.16), нагруженной следящей силой в узле 1.

Разбиваем раму на 4 стержня, нумеруем узлы и указываем стрелками начало и конец каждого стержня.
Формируем динамическую матрицу устойчивости А* рамы. Матрицы Х*, Y с уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов 1, 2 представлены ниже. Используем блоки уравнений (4.12), (3.10) с добавлением нормальных сил. В данной раме имеются линейно подвижные стержни 0-1 и 1-2. При колебаниях рамы массы этих стержней вызывают силы инерции. Учет таких сил инерции выполняем по формуле (3.15). К началу стержня 1-3 прикладываем сосредоточенную массу 1,5 m, а к концу стержня 4-2 – 0,5 m. Тогда по формуле (3.15) при будем иметь и . Уравнения, учитывающие эф-

Рис. 4.16

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
Х* = 10	; Y = 10	.
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

фект слежения сжимающей силы, представлены в 3 и 5 строках матрицы Y (в узле 1 будет отсутствовать горизонтальная проекция следящей силы F).

	2	4	18	20	5	9	7	1	3	10	16	14	8	13	15	19	17	6	11	12
20				-1																1
19					1											-А14	-А13	А23	А33
18			-1													-А13	-А23	А33	А43
17		-1					-1									А12	А11	-А21	-А31
16											1					А11	А21	-А31	-А41
15															1
14											-А14	-А13	А23	А33
13											-А13	-А12	А11	λ4А14
12																				-1
11																			-1
10										1				1
9						-А14	-А13	А12	А11						-1
8						-А13	-А12	А11	λ4А14				-1
7						А12	А11	-λ4А14	-λ4А13			-1
6																		-1
5					-1					-1
4	-А14	-А13	А12	А11
3				-1					-1
2	А12	А11	-λ4А14	-λ4А13
1			1					-1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А* = 10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Эти уравнения порождают компенсирующие элементы, , которыми и обеспечивается учет следящей силы. Координаты таких элементов не являются строго определенными. При другом ориентированном графе расчетной схемы и другом порядке начальных блоков матрицы Х* положение компенсирующих элементов в матрице А* изменится. В целом все компенсирующие элементы обеспечивают связь кинематических и статических граничных параметров стержней рамы при действии следующей силы. В расчетах изменения частот принято , так что аргументы фундаментальных функций запишутся так

стержень 1-3

стержни 0-1, 2-1, 4-2

Поведение частот рамы изображено на рис. 4.17. Критическая сила в 8 раз больше критической силы при «мертвой» силе (, см. § 4.4; ).

Рис. 4.17

В данной раме стержень 1-3 отличается от консольного стержня присоединенными массами и упругими связями других стержней. Поэтому отношение у рамы и консольного стержня должно быть одинаковым. Для консольного стержня с распределенной массой , что практически совпадает с аналогичным отношением для рамы. Это свидетельствует как о достоверности результатов МГЭ, так и о точности определения эквивалентных масс по формуле (3.15).

Из рис. 4.17 видно, что при возникает скрытая потеря устойчивости. Стоит только системе при данной силе каким-то образом проскочить 3-ью форму колебаний, как она сорвется во флаттер (в этом интервале имеются точки слияния ω4 и ω5), т.е. в упругой системе существуют условия внезапного возникновения флаттера.

В заключение данного параграфа представим решения неконсервативных задач М. Бекка, В.И. Реута для консольного стержня на упругом основании. Применяя граничные условия (4.18), (4.19) к уравнению (4.24), получим частотные уравнения задачи М. Бекка

Поиск критических сил приводит к следующим результатам:

граничные условия (4.18)

граничные условия (4.19)

Граничные условия задачи В.И. Реута для стержня на упругом основании

приводят к следующему уравнению для критических сил

При единичных исходных данных

коэффициенты r2, S4, t примут значения

. Критическая сила задачи В.И. Реута . В этих результатах незначительное влияние упругого основания объясняется малым значением коэффициента t при единичных исходных данных.

4.5.7. Неконсервативные комбинированные

задачи устойчивости

Под комбинированными будем понимать задачи устойчивости, когда в одной конструкции имеется сочетание разных вариантов поведения сжимающих сил. В качестве примера рассмотрим определение критических сил свободной рамы при сочетании следящей силы с разными вариантами поведения сжимающих сил.

Пример 28. Пусть в узле 1 рамы (рис. 4.18) приложена следящая сила, а в узле 2 – сила с фиксированной линией действия. В данном случае это будет комбинация неконсервативных задач М. Бекка и В.И. Реута. По сравнению с примером 27 изменятся уравнения равновесия узла 2. Они примут вид

Как результат, в динамической матрице устойчивости А* примера 27 добавляется 2 компенсирующих элемента и , т.е. возникает переменная топология, как и в примере 24, но за счет 2-х элементов. Изменяя пропорционально параметр

Рис. 4.18

F стержней 1-3 и 4-2 (в матрице А* для стержня 4-2 необходимо использовать блок фундаментальных функций уравнения (4.12)), фиксируем изменения частот рамы. Графики представлены на рис. 4.19.

В данном случае рама вначале попадает во флаттер и при , затем имеет место эйлеров тип потери устойчивости, далее второй раз наступает флаттер при и т.д. Видно, что две неконсервативные силы существенно понижают первую критическую силу (), примера 27, а всего в 2,5 раза больше первой критической силы при мертвых силах ).

Рис. 4.19

Если в узле 2 рамы приложить силу с линией действия, проходящей через фиксированную точку, то его уравнения равновесия предстанут так

Тогда компенсирующие элементы . Остальные ненулевые элементы матрицы А* не изменятся. Исследование поведения частот показало, что все они стремятся к нулю, каждая отдельно, т.е. имеет место только эйлеров тип потери устойчивости.

Прикладывая в узле 2 «мертвую» силу F, получим уравнения его равновесия

По сравнению с предыдущим случаем . В данном случае частоты собственных колебаний рамы (каждая в отдельности) стремятся к нулю. Следовательно, сочетание в упругой системе неконсервативных и консервативных сил, когда параметр F растет пропорционально, не приводит к флаттеру или дивергенции.

МГЭ могут решаться и более сложные задачи неконсервативной устойчивости, описываемые дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Такие задачи встречаются в авиа- и ракетостроении, когда переменными являются жесткость, масса стержня или продольная сжимающая сила. В этом случае стержень дискретизируется на отдельные части, в пределах которых считается верным дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.е. система с распределенными параметрами заменяется множеством систем с постоянными параметрами. Далее проводится анализ поведения частот соб-

ственных колебаний дискретизированной системы.

4.5.7.1. Применение модели С.П. Тимошенко

Более точные решения дифференциальных уравнений открывают новые возможности при решении различных задач, в том числе и задач устойчивости. Применительно к неконсервативным задачам устойчивости прямолинейного стержня можно отметить, что задачи М. Бекка и В.И. Реута достаточно хорошо исследованы только на основе приближенных решений (4.12). Стремление уточнить существующие результаты привело к появлению работ [101 – 103], где применялась модель С.П. Тимошенко. В этих работах исследовалась только задача М. Бекка, причем в неполной мере. В этой связи вызывает научный и практический интерес более полное и подробное решение неконсервативных задач, которые рассмотрим в комбинированной форме (рис. 4.10).

Одновременное действие сил F1, F2. Линеаризованные граничные условия этой задачи весьма просты

При и данных граничных условиях уравнение (4.38) приводится по схеме (1.38) к виду (В =0)

	1	2	3	4	= 0 . (4.45)
1			-А13	-А14
2			-А23	-А24
3			А33	А34
4			А43	А44

При F2 = 0 уравнение представляет задачу М. Бекка, при - задачу В.И. Реута на основе модели С.П. Тимошенко, т.е. дополнительно учитываются сдвиг, инерция вращения и деформированное состояние стержня. Определяя методом последовательного перебора корни уравнения (3.2) и координаты точек слияния двух первых частот, можно найти критические силы различных неконсервативных задач устойчивости. Полученные результаты сведены в таблицу 16. Если в коэффициентах выражений (4.37) не учитывать продольные силы , то уравнение (4.38) будет описывать модель жесткого стержня, когда максимальные прогибы лежат в пределах . При бóльших прогибах продольные силы оказывают влияние на изгибающий момент и поперечную силу. В этой связи в таблице 16 приведены критические силы по двум моделям стержня – жесткой и условно гибкой , а также при разных отношениях высоты и ширины сечения. Площадь сечения при этом не изменялась. Данные таблицы 16 позволяют сделать ряд интересных выводов.

Задача М. Бекка. Учет сдвига, инерции вращения и деформированного состояния стержня незначительно увеличивают критическую силу. По жесткой модели при уточнение составляет 4,69%, по гибкой – 2,59%. Изменение отношения мало влияет на величину критической силы.

Задача В.И. Реута. Гибкая модель приводит к существенному снижению критической силы (в 2,12 раза) по сравнению с жесткой моделью. Таким образом, сила с фиксированной линией действия более опасна, чем следящая за углом поворота сила.

Таблица 16

Задачи устойчивости	Координаты точек слияния первых двух частот	Отношение высоты к ширине сечения h/в ; А = вh = 0,01 м²
		1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
М. Бекка F1 = F ; F2 = 0

В.И. Реута F1 = 0 ; F2 = F

Комбинированная F1 = F; F2 = F; Fg = 2F

Комбинированная задача. Совместное действие сил F1 и F2 приводит к большей критической силе, чем случай действия одной силы F2, что невозможно при консервативных сжимающих силах. В жесткой модели все частоты в отдельности стремятся к нулю, т.е. определенная комбинация неконсервативных сил может приводить к консервативным задачам.

Свободный стержень нагружен в граничных точках силами F1 и F2 (рис. 4.20). Краевые условия этой задачи

в преобразованиях (1.38) приводят к матрице устойчивости вида

А* =		1	2	3	4
	1					3	. (4.46)
	2					4
	3					1
	4					2

Рис. 4.20

Для исключения нулевых ведущих элементов матрицы (в жесткой модели), ее строки необходимо переставить в новом порядке, как показано цифрами справа. Критические силы данной задачи при квадратном сечении и принимают значения

(4.47)

т.е. для свободного стержня отношение критических сил жесткой и гибкой моделей резко увеличивается по сравнению с консольным стержнем,

. (4.48)

Остальные случаи действия сжимающих сил по рис. 4.20 проводят к консервативным задачам.

Консольный стержень с дискретным расположением сил F1 и F2. Для определенности положим, что одна сила приложена в середине пролета, другая на свободном конце. Стержень дискретизируется на две части, где стрелками показаны их начало и конец, а цифрами отмечены граничные точки (рис. 4.21).

Рис. 4.21

1	1
2	2
3	3
4	4
Х* = 5	; Y = 5	;
6	6
7	7
8	8

После переноса параметров из матрицы Y в матрицу Х*, частотное уравнение задачи по рис. 4.21 примет вид, где компенсирующие элементы определяются выражениями

	1	2	3	4	5	6	7	8		стержень 0-1 = 0 . (4.49) стержень 1-2
1			-A13	-A14	A*15	A*16			5
2			-A23	-A24	A*25	A*26			6
3			A33	A34	A*35	A*36	A*37		3
│А*│ = 4			A43	A44	A*45	A*46		A*48	4
5	A*51	A*52			A11	A12	-A13	-A14	1
6	A*61	A*62			A21	A22	-A23	-A24	2
7	A*71	A*72			-A31	-A32	A33	A34	7
8	A*81	A*82			-A41	-A42	A43	A44	8

стержень 0-1

(4.50)

стержень 1-2

(4.51)

3.1. Стержень сжат двумя силами F1 (рис. 4.21). Для квадратного сечения и из уравнения (4.49) следует, что

(4.52)

3.2. Стержень сжат двумя силами F2. В этом случае изменятся компенсирующие элементы матрицы (4.49):

стержень 0-1

(4.53)

стержень 1-2

(4.54)

Критические силы этой задачи будут равны

(4.55)

3.3. Стержень сжат в точке 1 силой F1, в точке 2 силой F2. Компенсирующие элементы матрицы (4.49) будут равны выражениям (4.50) для стержня 0-1 и выражениям (4.54) для стержня 1-2. Критическую силу удается определить только для гибкой модели

. (4.56)

3.4. Стержень сжат в точке 1 силой F2, в точке 2 силой F1. Компенсирующие элементы стержня 0-1 будут равны выражениям (4.53), а стержня 1-2 – (4.51). Критическая сила определяется только для гибкой модели

. (4.57)

Для сравнения приведем критическую силу при двух мертвых силах

Из представленных результатов следует, что в комбинированных задачах наблюдается снижение критических сил в различной степени по сравнению с задачами М. Бекка и В.И. Реута.

1. У пацієнта спостерігаються точкові крововиливи на слизовій ротової порожнини та шкіри
2. Вступ до спеціальності корекційна освіта та педагогічна деонтологія
3. Зарплата при спецрежимах
4. статьям калькуляции их состав и экономическая значимость
5. Горизонтальный и вертикальные углы Он определяется углом между проекциями сторон ОА и ОВ на горизонта
6. Об охране окружающей природной среды
7. Однако то что делается сегодня в сфере инвестиционной политики исполнительными и законодательными стр
8. Хазини АбуальФатх Абдаль Рахман альМансур XII в
9. Прогресс 1995 ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ Большинство принципов и рассуждений содержащихся в этом томе
10. Курсовая работа- Учет основных средств и нематериальных активов

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе