Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
178
PAGE 179
Сосредоточенные массы стержня могут быть учтены по формуле (3.15). Решение уравнения (4.36) после нормирования фундаментальных функций удобно представить в матричной форме
EIV(x) |
= |
A11 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
EIV(o) |
+ |
В11 |
, (4.38) |
|
EI(x) |
A21 |
A22 |
-A23 |
-A24 |
EI(o) |
В21 |
||||
M (x) |
-A31 |
-A32 |
A33 |
A34 |
M (o) |
-В31 |
||||
Q (x) |
-A41 |
-A42 |
A43 |
A44 |
Q (o) |
-В41 |
где знак «» соответствует направлению оси оу «вниз». Вид фундаментальных ортонормированных функций зависит от корней характеристического уравнения. Представим 4 основных случая фундаментальных функций.
1 случай. (r4 − S4) < 0. Корни по формуле (4.23) комплексные
(4.39)
2 случай. (r4 − S4) > 0; S4 < 0. Корни (4.23) действительные и мнимые
(4.40)
3 случай. (r4 − S4) > 0; S4 > 0; r2 < 0. Случай растягивающей силы (-Fx). Корни (4.23) действительные
(4.41)
4 случай. (r4 − S4) > 0; S4 > 0; r2 > 0 Корни (4.23) мнимые
(4.42)
Слагаемые, зависящие от внешней нагрузки и граничных параметров стержня, примут вид
(4.43)
Интегрирование выражений (4.43) для любой поперечной нагрузки не вызывает трудностей. Другие случаи фундаментальных функций (r2 = 0; S4 = 0; r4 = S4 и т.д.) имеют второстепенное значение и здесь не приводятся. Тестирование решения задачи Коши (4.38) выполним на задачах о собственных колебаниях. В этом случае Fx = 0; qy(x) = 0. Частотные уравнения отдельных стержней можно получить при формировании краевой задачи. Например, при жестком защемлении граничных точек, будем иметь
1 |
2 |
3 |
4 |
|
= 0 |
||||
1 |
-А13 |
-А14 |
|||||||
2 |
-А23 |
-А24 |
|||||||
3 |
-1 |
А33 |
А34 |
||||||
4 |
-1 |
А43 |
А44 |
.
Аналогично можно получить частотные уравнения для любых условий опирания. Наиболее просто частоты определяются методом последовательного перебора, когда задаются начальное значение и шаг для ω. Результаты вычисления определителя выводятся в отдельный файл. Его просмотр позволяет выявить изменение знака определителя и грубое значение собственной частоты. Далее она может быть уточнена при последующих прогонах программы с измененными начальным значением и шагом ω. Пример такой программы на языке Fortran представлен в приложении №1. В таблице 15 дано сравнение частот по приближенному решению акад. А.Н. Крылова и решению уравнения С.П. Тимошенко. Частоты определялись при следующих исходных данных: коэффициент Пуассона = 0,3; E = 2,110¹¹ Па; G = E/2(1+) = 0,807710¹¹ Па; = 7800 кг/м³; = 1,0 м; A = в h = 0,10,1 = 0,01 м²; I = hв3/12 = 8,333310-6 м4;
Таблица 15
Безразмерные частоты собственных колебаний отдельных стержней, |
||||||
Номер тона колебаний |
D1=A13 ·A24 A14 ·A23 = 0
|
D2=A13 ·A34 A14 ·A33 = 0
|
||||
приближенные |
уточненные |
погрешность % |
приближенные |
уточненные |
погрешность % |
|
1 |
22,3736 |
21,9260 |
2,04 |
15,4184 |
15,1260 |
1,93 |
2 |
61,6714 |
57,4781 |
7,30 |
49,9652 |
46,7429 |
6,89 |
3 |
120,9030 |
105,3970 |
14,71 |
104,2480 |
91,2600 |
14,23 |
4 |
199,8596 |
161,4254 |
23,81 |
178,2700 |
144,5587 |
23,32 |
5 |
298,5557 |
222,6361 |
34,10 |
272,0311 |
203,5004 |
33,68 |
6 |
416,9909 |
287,0476 |
45,27 |
385,5317 |
265,9581 |
44,96 |
7 |
555,1652 |
353,4163 |
57,09 |
518,7714 |
330,5740 |
56,93 |
8 |
713,0787 |
420,9801 |
69,39 |
671,7503 |
396,4820 |
69,43 |
9 |
890,7286 |
489,3061 |
82,04 |
844,4094 |
463,1590 |
82,32 |
10 |
1088,1239 |
558,2521 |
94,92 |
1036,8888 |
530,3037 |
95,53 |
Номер тона колебаний |
D3=A33 ·A44 A34 ·A43 = 0 |
D4=A12 ·A34 A14 ·A32 = 0 |
||||
приближенные |
уточненные |
погрешность % |
приближенные |
уточненные |
погрешность % |
|
1 |
3,5161 |
3,5143 |
0,34 |
9,8699 |
9,7081 |
1,67 |
2 |
22,0348 |
21,3926 |
3,00 |
39,4786 |
37,0953 |
6,42 |
3 |
61,8633 |
56,8754 |
8,77 |
88,8265 |
78,1553 |
13,65 |
4 |
120,9023 |
103,9317 |
16,33 |
157,9138 |
128,6654 |
22,73 |
5 |
199,8596 |
158,8897 |
25,79 |
246,7403 |
185,3173 |
33,14 |
6 |
298,5557 |
218,8186 |
36,44 |
355,3060 |
245,8317 |
44,53 |
7 |
416,9909 |
281,7821 |
47,98 |
483,6108 |
308,7225 |
56,65 |
8 |
555,1656 |
346,5089 |
60,22 |
631,6547 |
373,0370 |
69,33 |
9 |
713,0787 |
412,1571 |
73,01 |
799,4384 |
438,1725 |
82,45 |
10 |
890,7310 |
478,1448 |
86,29 |
986,9472 |
503,7375 |
95,92 |
m = A = 78,0 кг/м; к = 5/6. Абсолютные значения частот приводились к безразмерной форме .
Из таблицы 15 следует, что погрешность приближенного решения быстро нарастает и у 10-й частоты при отношении достигает почти 100%. О точности частот уравнения (4.38) можно судить по тому факту, что первые 5 частот таблицы 15 при шарнирном опирании совпадают с 5-ю частотами работы [99].
4.5.5. Устойчивость систем от следящих
консервативных сил
Рассмотрим особенности алгоритма решения задач устойчивости упругих систем при действии следящих консервативных сил. К таким задачам может быть применен статический метод, что упрощает методику их решения.
Пример 24 . Пусть в раме (рис. 4.11) стержень 0-1 испытывает воздействие следящей силы с линией действия, проходящей через фиксированную точку, стержень 2-3 нагружен «мертвой» силой, а стержень 1-2 будет испытывать изгиб после потери устойчивости.
При бифуркации стержневой системы возникает горизонтальная проекция следящей силы и уравнение равновесия узла 1 будет включать эту проекцию (рис. 4.11) Q0-1(ℓ) = N0-1(ℓ) ± ± F V0-1(ℓ) / r, где знак минус, когда проекция уменьшает устойчивость системы (направлена в сторону смещения рамы), и знак плюс, когда она направлена в противоположную сторону. Формируем матрицы Х*, Y
1 |
1 |
|||
2 |
2 |
|||
3 |
3 |
|||
4 |
4 |
|||
5 |
5 |
|||
6 |
6 |
|||
7 |
7 |
|
||
Х* = 8 |
; Y = 8 |
. |
||
9 |
9 |
|||
10 |
10 |
|||
11 |
11 |
|||
12 |
12 |
|||
13 |
13 |
|||
14 |
14 |
|||
15 |
15 |
|||
16 |
16 |
Для стержней 0-1 и 2-3 использованы блоки продольно-поперечного изгиба (4.4), для стержня 1-2 изгиба и растяжения. Матрица А* рамы примет вид
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
||
1 |
-A13 |
-A14 |
-1/2 |
3 |
|||||||||||||
2 |
-A12 |
-A13 |
-1 |
7 |
|||||||||||||
3 |
A21 |
A12 |
-1 |
8 |
|||||||||||||
4 |
1 |
А |
-1 |
4 |
|||||||||||||
5 |
1 |
1 |
5 |
||||||||||||||
6 |
1 |
-1/2 |
-1/6 |
9 |
|||||||||||||
7 |
1 |
-1 |
-1/2 |
-1 |
13 |
||||||||||||
A* = 8 |
1 |
1 |
-1 |
14 . |
|||||||||||||
9 |
1 |
-1 |
16 |
||||||||||||||
10 |
1 |
1 |
-12 |
10 |
|||||||||||||
11 |
1 |
1 |
11 |
||||||||||||||
12 |
1 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
12 |
||||||||||||
13 |
A21 |
-A12 |
-A13 |
15 |
|||||||||||||
14 |
-1 |
-A31 |
A21 |
A12 |
1 |
||||||||||||
15 |
-1 |
1 |
2 |
||||||||||||||
16 |
-1 |
1 |
6 |
Учет следящей силы осуществляется компенсирующим элементом А (4,10) = А = F / / 12EIr. При вычислении определителя принято . Фиксируя изменение его знака, получаем значения критических сил. Первые 4 значения их следующие:
а) следящая сила уменьшает устойчивость системы
в) следящая сила увеличивает устойчивость системы
с) кососимметричная потеря устойчивости (две силы F «мертвые»)
.
Из этих результатов следует, что сжимающая сила с линией действия, проходящей через фиксированную точку, весьма опасна. Она может существенно уменьшить первую критическую силу конструкции. Данный вывод относится и к различным грузоподъемным машинам и устройствам, где используется схема силы по рис. 4.7, с. Добавим, что, в отличие от всех рассмотренных выше задач устойчивости, учет следящей силы F приводит к формированию матрицы А* с переменной топологией (элемент А).
4.5.6. Устойчивость систем от
неконсервативных сил
Рассмотрим динамические модели устойчивости упругих систем. Решение задачи Коши поперечных колебаний прямолинейного стержня с учетом продольной силы Fx представлено уравнением (4.12).
Классическим примером является консольный стержень с равномерно распределенной массой m и следящей силой на конце (рис. 4.7, а) задача М. Бекка [69]. Частотное уравнение МГЭ этой задачи примет вид
1 |
2 |
3 |
4 |
‾‾ |
|||||
1 |
-1 |
-A13 |
-A14 |
= 0 |
|||||
2 |
-1 |
-A23 |
-A13 |
||||||
3 |
A33 |
A23 |
|||||||
4 |
A43 |
A33 |
. (4.44)
Уравнение (4.44) после небольших преобразований совпадает с частотным уравнением М. Бекка [69, c. 122]. Это свидетельствует о том, что М. Бекк при решении своей задачи непроизвольно использовал общий алгоритм МГЭ для отдельного стержня. Очевидно, что корни уравнения (4.44) и частотного уравнения М. Бекка одинаковы и 2 соседние частоты сольются в одной и той же точке. М. Бекк определил только первую критическую силу , которая позже подтверждена экспериментально [47]. Если рассмотреть с помощью уравнения (4.44) изменение большего числа частот собственных колебаний консольного стержня, то получается весьма интересная картина. Графики для первых 6 частот показаны на рис. 4.12.
Первая форма равновесия (прямолинейная) устойчива до . При F1 прямолинейная форма теряет устойчивость, и малые возмущения приводят к флаттеру. Если ничего не предпринимать, то стержень быстро разрушится. При дальнейшем увеличении сжимающей силы первая форма равновесия переходит во вторую форму (криволинейную), которая устойчива до . Затем равновесие стержня переходит в третью форму, устойчивую до и т.д., как это имеет место при бифуркации с «мертвыми» силами. Такое поведение консольного стержня позволяет рекомендовать метод борьбы с флаттером. Флаттер прекратится, если перевести стержень во вторую (криволинейную) форму равновесия.
Рис. 4.12
Графики изменения частот ω от сжимающих сил Fx позволяют наглядно проследить поведение конструкции. Если частоты стремятся слиться в одной точке, то система теряет устойчивость в форме флаттера или дивергенции, а сама задача устойчивости будет относиться к неконсервативным задачам. Если частоты монотонно стремятся к нулю, то система будет терять устойчивость по Эйлеру (появятся изгибные формы), а значения F при которых ω = 0 будут критическими.
Представим решения более сложных неконсервативных задач устойчивости различных упругих систем.
Пример 25. Определить критические силы консольного стержня с кусочно-постоянной жесткостью, нагруженного следящей силой (рис. 4.13).
Данная схема может служить моделью буровой вышки, когда произошла авария и поток жидкости или газа вырвался из-под контроля. Матрицы Х*, Y, A* показаны ниже. С помощью компьютера установлено, что поведение частот стержня аналогично поведению частот по рис. 4.12. При этом
при
при .
При «мертвой» силе ; , т.е. неконсервативные критические силы примерно в 6 раз больше эйлеровых критических сил.
Рис. 4.13
1 |
1 |
|||
2 |
2 |
|||
3 |
3 |
|||
4 |
4 |
|||
5 |
5 |
|||
Х* = 6 |
; Y = 6 |
; |
||
7 |
7 |
|||
8 |
8 |
|||
9 |
9 |
|||
10 |
10 |
|||
11 |
11 |
|||
12 |
12 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
||
1 |
-A13 |
-A14 |
-2 |
5 |
|||||||||
2 |
-A23 |
-A13 |
-2 |
6 |
|||||||||
3 |
A33 |
A23 |
-1 |
3 |
|||||||||
4 |
A43 |
A33 |
-1 |
4 |
|||||||||
5 |
A11 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
-2 |
9 |
|||||||
А* = 6 |
A21 |
A11 |
-A23 |
-A13 |
-2 |
10 . |
|||||||
7 |
-A31 |
-A21 |
A33 |
A23 |
-1 |
7 |
|||||||
8 |
-A41 |
-A31 |
A43 |
A33 |
-1 |
8 |
|||||||
9 |
-1 |
A11 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
1 |
|||||||
10 |
-1 |
A21 |
A11 |
-A23 |
-A13 |
2 |
|||||||
11 |
-A31 |
-A21 |
A33 |
A23 |
11 |
||||||||
12 |
-A41 |
-A31 |
A43 |
A33 |
12 |
Пример 26. Определить неконсервативные критические силы неразрезного стержня (рис. 4.14) при действии следящей силы F.
Рис. 4.14
Топологическую матрицу С формируем по матрицам Х*, Y, а динамическая матрица устойчивости имеет 8-й порядок. Учет следящей силы, как и у консольного стержня, производится с помощью граничных условий .
1 |
1 |
|||
2 |
2 |
|||
3 |
3 |
|||
Х* = 4 |
; Y = 4 |
; |
||
5 |
5 |
|||
6 |
6 |
|
||
7 |
7 |
|||
8 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
1 |
-A13 |
-A14 |
3 |
||||||
2 |
-A23 |
-A13 |
-1 |
4 |
|||||
3 |
A33 |
A23 |
-1 |
7 |
|||||
А* = 4 |
-1 |
A43 |
A33 |
1 . |
|||||
5 |
-1 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
2 |
||||
6 |
-1 |
A11 |
-A23 |
-A13 |
5 |
||||
7 |
-A21 |
A33 |
A23 |
6 |
|||||
8 |
-A31 |
A43 |
A33 |
8 |
Изменения первых 7 частот неразрезного стержня показаны на рис. 4.15.
Видно, что поведение частот уже простейшей системы качественно отлично от поведения частот консольного стержня. Первая частота стремится к нулю при , где FЭ1 эйлерова критическая сила участка стержня 0-1. Это означает, что неразрезной стержень при росте следящей силы вначале теряет устойчивость с появлением изгибных форм. К комплексному значению собственных частот стремятся и (у отдельных комплексных частот действительные части одинаковы). Первая критическая неконсервативная сила приводит систему к флаттеру. Четвертая и пятая частоты стремятся к нулю (эйлеров тип потери устойчивости), а ко второй комплексной частоте стремятся и . Здесь . Данное исследование поведения системы показывает, что действие неконсервативных следящих сил приводит к взаимному наложению спектров эйлеровых и неконсервативных критических сил, т.е. поведение упругой системы существенно сложнее случаев, когда действуют консервативные силы. Более того, действие неконсервативных сил может приводить к потере устойчивости при значительно меньших критических силах, равных или меньших эйлеровым критическим силам.
Отметим еще одну особенность поведения неразрезного стержня. В данной расчетной схеме стержень 1-2 является моделью консольного стержня с нежесткой заделкой . У такого стержня флаттер наступает при большей критической силе, чем у консольного стержня с жесткой заделкой ( и . В условиях неучета сдвига и инерции вращения эти силы несколько меньше действительных критических сил). При «мертвой» силе картина противоположная ( и ).
Пример 27. Исследовать поведение частот собственных колебаний свободной рамы (рис. 4.16), нагруженной следящей силой в узле 1.
Рис. 4.16
1 |
1 |
|||
2 |
2 |
|||
3 |
3 |
|||
4 |
4 |
|||
5 |
5 |
|||
6 |
6 |
|||
7 |
7 |
|||
8 |
8 |
|||
9 |
9 |
|||
Х* = 10 |
; Y = 10 |
. |
||
11 |
11 |
|||
12 |
12 |
|||
13 |
13 |
|||
14 |
14 |
|||
15 |
15 |
|||
16 |
16 |
|||
17 |
17 |
|||
18 |
18 |
|||
19 |
19 |
|||
20 |
20 |
фект слежения сжимающей силы, представлены в 3 и 5 строках матрицы Y (в узле 1 будет отсутствовать горизонтальная проекция следящей силы F).
2 |
4 |
18 |
20 |
5 |
9 |
7 |
1 |
3 |
10 |
16 |
14 |
8 |
13 |
15 |
19 |
17 |
6 |
11 |
12 |
|
20 |
-1 |
1 |
||||||||||||||||||
19 |
1 |
-А14 |
-А13 |
А23 |
А33 |
|||||||||||||||
18 |
-1 |
-А13 |
-А23 |
А33 |
А43 |
|||||||||||||||
17 |
-1 |
-1 |
А12 |
А11 |
-А21 |
-А31 |
||||||||||||||
16 |
1 |
А11 |
А21 |
-А31 |
-А41 |
|||||||||||||||
15 |
1 |
|||||||||||||||||||
14 |
-А14 |
-А13 |
А23 |
А33 |
||||||||||||||||
13 |
-А13 |
-А12 |
А11 |
λ4А14 |
||||||||||||||||
12 |
-1 |
|||||||||||||||||||
11 |
-1 |
|||||||||||||||||||
10 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||
9 |
-А14 |
-А13 |
А12 |
А11 |
-1 |
|||||||||||||||
8 |
-А13 |
-А12 |
А11 |
λ4А14 |
-1 |
|||||||||||||||
7 |
А12 |
А11 |
-λ4А14 |
-λ4А13 |
-1 |
|||||||||||||||
6 |
-1 |
|||||||||||||||||||
5 |
-1 |
-1 |
||||||||||||||||||
4 |
-А14 |
-А13 |
А12 |
А11 |
||||||||||||||||
3 |
-1 |
-1 |
||||||||||||||||||
2 |
А12 |
А11 |
-λ4А14 |
-λ4А13 |
||||||||||||||||
1 |
1 |
-1 |
||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А* = 10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Эти уравнения порождают компенсирующие элементы, , которыми и обеспечивается учет следящей силы. Координаты таких элементов не являются строго определенными. При другом ориентированном графе расчетной схемы и другом порядке начальных блоков матрицы Х* положение компенсирующих элементов в матрице А* изменится. В целом все компенсирующие элементы обеспечивают связь кинематических и статических граничных параметров стержней рамы при действии следующей силы. В расчетах изменения частот принято , так что аргументы фундаментальных функций запишутся так
стержень 1-3
стержни 0-1, 2-1, 4-2
.
Поведение частот рамы изображено на рис. 4.17. Критическая сила в 8 раз больше критической силы при «мертвой» силе (, см. § 4.4; ).
Рис. 4.17
В данной раме стержень 1-3 отличается от консольного стержня присоединенными массами и упругими связями других стержней. Поэтому отношение у рамы и консольного стержня должно быть одинаковым. Для консольного стержня с распределенной массой , что практически совпадает с аналогичным отношением для рамы. Это свидетельствует как о достоверности результатов МГЭ, так и о точности определения эквивалентных масс по формуле (3.15).
Из рис. 4.17 видно, что при возникает скрытая потеря устойчивости. Стоит только системе при данной силе каким-то образом проскочить 3-ью форму колебаний, как она сорвется во флаттер (в этом интервале имеются точки слияния ω4 и ω5), т.е. в упругой системе существуют условия внезапного возникновения флаттера.
В заключение данного параграфа представим решения неконсервативных задач М. Бекка, В.И. Реута для консольного стержня на упругом основании. Применяя граничные условия (4.18), (4.19) к уравнению (4.24), получим частотные уравнения задачи М. Бекка
Поиск критических сил приводит к следующим результатам:
граничные условия (4.18)
граничные условия (4.19)
.
Граничные условия задачи В.И. Реута для стержня на упругом основании
приводят к следующему уравнению для критических сил
При единичных исходных данных
коэффициенты r2, S4, t примут значения
. Критическая сила задачи В.И. Реута . В этих результатах незначительное влияние упругого основания объясняется малым значением коэффициента t при единичных исходных данных.
4.5.7. Неконсервативные комбинированные
задачи устойчивости
Под комбинированными будем понимать задачи устойчивости, когда в одной конструкции имеется сочетание разных вариантов поведения сжимающих сил. В качестве примера рассмотрим определение критических сил свободной рамы при сочетании следящей силы с разными вариантами поведения сжимающих сил.
Пример 28. Пусть в узле 1 рамы (рис. 4.18) приложена следящая сила, а в узле 2 сила с фиксированной линией действия. В данном случае это будет комбинация неконсервативных задач М. Бекка и В.И. Реута. По сравнению с примером 27 изменятся уравнения равновесия узла 2. Они примут вид
Как результат, в динамической матрице устойчивости А* примера 27 добавляется 2 компенсирующих элемента и , т.е. возникает переменная топология, как и в примере 24, но за счет 2-х элементов. Изменяя пропорционально параметр
Рис. 4.18
F стержней 1-3 и 4-2 (в матрице А* для стержня 4-2 необходимо использовать блок фундаментальных функций уравнения (4.12)), фиксируем изменения частот рамы. Графики представлены на рис. 4.19.
В данном случае рама вначале попадает во флаттер и при , затем имеет место эйлеров тип потери устойчивости, далее второй раз наступает флаттер при и т.д. Видно, что две неконсервативные силы существенно понижают первую критическую силу (), примера 27, а всего в 2,5 раза больше первой критической силы при мертвых силах ).
Рис. 4.19
Если в узле 2 рамы приложить силу с линией действия, проходящей через фиксированную точку, то его уравнения равновесия предстанут так
Тогда компенсирующие элементы . Остальные ненулевые элементы матрицы А* не изменятся. Исследование поведения частот показало, что все они стремятся к нулю, каждая отдельно, т.е. имеет место только эйлеров тип потери устойчивости.
Прикладывая в узле 2 «мертвую» силу F, получим уравнения его равновесия
.
По сравнению с предыдущим случаем . В данном случае частоты собственных колебаний рамы (каждая в отдельности) стремятся к нулю. Следовательно, сочетание в упругой системе неконсервативных и консервативных сил, когда параметр F растет пропорционально, не приводит к флаттеру или дивергенции.
МГЭ могут решаться и более сложные задачи неконсервативной устойчивости, описываемые дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Такие задачи встречаются в авиа- и ракетостроении, когда переменными являются жесткость, масса стержня или продольная сжимающая сила. В этом случае стержень дискретизируется на отдельные части, в пределах которых считается верным дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.е. система с распределенными параметрами заменяется множеством систем с постоянными параметрами. Далее проводится анализ поведения частот соб-
ственных колебаний дискретизированной системы.
4.5.7.1. Применение модели С.П. Тимошенко
Более точные решения дифференциальных уравнений открывают новые возможности при решении различных задач, в том числе и задач устойчивости. Применительно к неконсервативным задачам устойчивости прямолинейного стержня можно отметить, что задачи М. Бекка и В.И. Реута достаточно хорошо исследованы только на основе приближенных решений (4.12). Стремление уточнить существующие результаты привело к появлению работ [101 103], где применялась модель С.П. Тимошенко. В этих работах исследовалась только задача М. Бекка, причем в неполной мере. В этой связи вызывает научный и практический интерес более полное и подробное решение неконсервативных задач, которые рассмотрим в комбинированной форме (рис. 4.10).
.
При и данных граничных условиях уравнение (4.38) приводится по схеме (1.38) к виду (В =0)
1 |
2 |
3 |
4 |
= 0 . (4.45) |
|||
1 |
-А13 |
-А14 |
|||||
2 |
-А23 |
-А24 |
|||||
3 |
А33 |
А34 |
|||||
4 |
А43 |
А44 |
При F2 = 0 уравнение представляет задачу М. Бекка, при - задачу В.И. Реута на основе модели С.П. Тимошенко, т.е. дополнительно учитываются сдвиг, инерция вращения и деформированное состояние стержня. Определяя методом последовательного перебора корни уравнения (3.2) и координаты точек слияния двух первых частот, можно найти критические силы различных неконсервативных задач устойчивости. Полученные результаты сведены в таблицу 16. Если в коэффициентах выражений (4.37) не учитывать продольные силы , то уравнение (4.38) будет описывать модель жесткого стержня, когда максимальные прогибы лежат в пределах . При бóльших прогибах продольные силы оказывают влияние на изгибающий момент и поперечную силу. В этой связи в таблице 16 приведены критические силы по двум моделям стержня жесткой и условно гибкой , а также при разных отношениях высоты и ширины сечения. Площадь сечения при этом не изменялась. Данные таблицы 16 позволяют сделать ряд интересных выводов.
Задача М. Бекка. Учет сдвига, инерции вращения и деформированного состояния стержня незначительно увеличивают критическую силу. По жесткой модели при уточнение составляет 4,69%, по гибкой 2,59%. Изменение отношения мало влияет на величину критической силы.
Задача В.И. Реута. Гибкая модель приводит к существенному снижению критической силы (в 2,12 раза) по сравнению с жесткой моделью. Таким образом, сила с фиксированной линией действия более опасна, чем следящая за углом поворота сила.
Таблица 16
Задачи устойчивости |
Координаты точек слияния первых двух частот |
Отношение высоты к ширине сечения h/в ; А = вh = 0,01 м² |
|||||
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
||
М. Бекка F1 = F ; F2 = 0 |
|||||||
В.И. Реута F1 = 0 ; F2 = F |
|||||||
Комбинированная F1 = F; F2 = F; Fg = 2F |
Комбинированная задача. Совместное действие сил F1 и F2 приводит к большей критической силе, чем случай действия одной силы F2, что невозможно при консервативных сжимающих силах. В жесткой модели все частоты в отдельности стремятся к нулю, т.е. определенная комбинация неконсервативных сил может приводить к консервативным задачам.
в преобразованиях (1.38) приводят к матрице устойчивости вида
А* = |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
1 |
3 |
. (4.46) |
|||||
2 |
4 |
||||||
3 |
1 |
||||||
4 |
2 |
Рис. 4.20
Для исключения нулевых ведущих элементов матрицы (в жесткой модели), ее строки необходимо переставить в новом порядке, как показано цифрами справа. Критические силы данной задачи при квадратном сечении и принимают значения
(4.47)
т.е. для свободного стержня отношение критических сил жесткой и гибкой моделей резко увеличивается по сравнению с консольным стержнем,
. (4.48)
Остальные случаи действия сжимающих сил по рис. 4.20 проводят к консервативным задачам.
Рис. 4.21
1 |
1 |
|||
2 |
2 |
|||
3 |
3 |
|||
4 |
4 |
|||
Х* = 5 |
; Y = 5 |
; |
||
6 |
6 |
|||
7 |
7 |
|||
8 |
8 |
После переноса параметров из матрицы Y в матрицу Х*, частотное уравнение задачи по рис. 4.21 примет вид, где компенсирующие элементы определяются выражениями
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
стержень 0-1 = 0 . (4.49) стержень 1-2 |
||
1 |
-A13 |
-A14 |
A*15 |
A*16 |
5 |
|||||
2 |
-A23 |
-A24 |
A*25 |
A*26 |
6 |
|||||
3 |
A33 |
A34 |
A*35 |
A*36 |
A*37 |
3 |
||||
│А*│ = 4 |
A43 |
A44 |
A*45 |
A*46 |
A*48 |
4 |
||||
5 |
A*51 |
A*52 |
A11 |
A12 |
-A13 |
-A14 |
1 |
|||
6 |
A*61 |
A*62 |
A21 |
A22 |
-A23 |
-A24 |
2 |
|||
7 |
A*71 |
A*72 |
-A31 |
-A32 |
A33 |
A34 |
7 |
|||
8 |
A*81 |
A*82 |
-A41 |
-A42 |
A43 |
A44 |
8 |
стержень 0-1
(4.50)
стержень 1-2
(4.51)
.
3.1. Стержень сжат двумя силами F1 (рис. 4.21). Для квадратного сечения и из уравнения (4.49) следует, что
(4.52)
.
3.2. Стержень сжат двумя силами F2. В этом случае изменятся компенсирующие элементы матрицы (4.49):
стержень 0-1
(4.53)
стержень 1-2
(4.54)
Критические силы этой задачи будут равны
(4.55)
.
3.3. Стержень сжат в точке 1 силой F1, в точке 2 силой F2. Компенсирующие элементы матрицы (4.49) будут равны выражениям (4.50) для стержня 0-1 и выражениям (4.54) для стержня 1-2. Критическую силу удается определить только для гибкой модели
. (4.56)
3.4. Стержень сжат в точке 1 силой F2, в точке 2 силой F1. Компенсирующие элементы стержня 0-1 будут равны выражениям (4.53), а стержня 1-2 (4.51). Критическая сила определяется только для гибкой модели
. (4.57)
Для сравнения приведем критическую силу при двух мертвых силах
.
Из представленных результатов следует, что в комбинированных задачах наблюдается снижение критических сил в различной степени по сравнению с задачами М. Бекка и В.И. Реута.