Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
по информатике
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Руководитель: Минина Е.Е.
Екатеринбург 2007
|
[1] Сибирский государственный университет телекоммуникации [2] и информатики [3] Уральский технический институт связи и информатики [4] Кафедра физики, прикладной математики и информатики [5] КУРСОВАЯ РАБОТА [5.1] Выполнил: студент гр. АЕ-61 [5.2] Сонькин К.М. [6] Содержание [7] Введение [8] Постановка задачи [9] Теоретическое описание методов [9.1] Численные методы решения задачи Коши [9.2] 2.1 Метод Эйлера [9.3] Метод Эйлера модифицированный [10] Код программы. [11] Проверка в пакете MathCad. [12] Заключение. [13] Литература |
Информатика – это области человеческой деятельности, связанная с процессами преобразования информации с помощью компьютеров и их взаимодействием со средой применения.
Термин информатика возник в 60-х гг. во Франции для названия области, занимающейся автоматизированной обработкой информации с помощью электронных вычислительных машин.
В нашей стране подобная трактовка термина “информатика” утвердилась с момента принятия решения в 1983 г. На сессии годичного собрания Академии наук СССР об организации нового отделения информатики , вычислительной техники и автоматизации. Информатика трактовалась как “комплексная научная инженерская дисциплина, изучающая все аспекты разработки, проектирования, создания, оценки, функционирования основных на ЭВМ систем переработки информации, их применения и воздействия на различные области социальной практики”.
Информатика в таком понимании нацелена на разработку общих методологических принципов построения информационных моделей. Поэтому методы информатики применимы по всюду, где существует возможность описания объекта, явления, процесса и т.п. с помощью информационных моделей. Таким образом, информатика намного ускоряет решение математических задач.
Целью моей работы является изучение основ системы программирования Microsoft Visual Basic и приобретение начальных навыков разработки программного обеспечения для операционных систем Windows.
В данной курсовой работе требуется вычислить дифференциальное уравнение способами Эйлера и Эйлера модифицированный:
Результаты вычислений должны содержать:
- точное значение уравнения
- приближенные значения
- графики
1.1 Актуальность.
Программирование в наши дни набирает популярность. Программирование очень нужно для просчёта и построения графиков. В нашей специальности СССК программирование так же нужно т. к. мы часто сталкиваемся с расчётами. Так же в расчётах на помогает программа MathCad.
Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.
Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.
В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.
Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x0) = y0. Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Геометрический смысл задачи:
- тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).
Существование решения:
Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами
|x – x0| < a ; |y – y0| < b ,
то существует, по меньшей мере, одно решение y = y(x), определённое в окрестности |x – x0| < h, где h – положительное число.
Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица
где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную в R, то можно положить
N = max|| при .
При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0, X] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек x0 < x1 < … < xn = X – сеткой.
При этом xi называют узлами сетки.
Во многих методах используются равномерные сетки с шагом
Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0, X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2, …, yn – приближённые значения функции в узлах сетки.
(4.1)
Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.
а) Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от yn+1.
б) Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.
Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.
Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием
y(x0) = y0.
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = x0 + i.h и yi = y(xi) , где i = 0, 1, 2, …,
xi – узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах .
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.
Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом
tgα = f(xi,yi) (1).
В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.
Тогда yi+1 = yi+Δy (2).
Из прямоугольного треугольника АВС (3).
Приравняем правые части (1) и (3). Получим .
Отсюда
Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:
(4).
Рисунок 2. Метод Эйлера.
Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.
Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.
В нашем случае x0 = 1, y0 = -0,9 и теоретическое общее решение выглядит следующим образом . Найдём постоянную С:
Вычислим первую точку: x1 = x0+h = 1+ 0.5 = 1.5
y1=y0 + h* x0*y0+2*x0*y0 = -3.15 tgα=-1.43
x2=2 y2=-14.9625
tgα=-6.98125
x3=2.5 y3=-48.87
tgα=-19.15
Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием
y(x0) = y0.
Выберем шаг h и введём обозначения:
xi = x0 + i.h и yi = y(xi) , где i = 0, 1, 2, …,
xi – узлы сетки,
yi- значение интегральной функции в узлах .
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.
Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.
Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.
Проведем решение в несколько этапов.
1. Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).
2. Через точку А проведем прямую под углом α, где
3. На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).
4. Через точку С проведем прямую под углом α1, где
5. Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.
6. Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.
7. После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:
.
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.
Вычислим первую точку: x1 = x0+h = 1+ 0.5 = 1.5
y1=y0 + h* f(x0+h/2; y0+h/2*f(x0,y0)) = -2.240625
tgα=0.826
x2=2 y2=-3.7309
tgα2=-1.365
x3=2.5 y3=
tgα=
Dim x(), ye(), yem(), t() As Single
Private x0, xk, h, y0 As Single
Private n, i As Integer
Private Function g(ByVal x1 As Single, ByVal y1 As Single) As Single
g = (y1 + 1) / x1
End Function
Private Sub EilerMod()
For i = 0 To n - 1
yem(i + 1) = yem(i) + h * g(x(i) + h / 2, yem(i) + h / 2 * g(x(i), yem(i)))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(Round(yem(i), 4))
Next i
End Sub
Private Sub Eiler()
For i = 0 To n - 1
ye(i + 1) = ye(i) + h * g(x(i), ye(i))
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(Round(ye(i), 4))
Next i
End Sub
Private Sub Teoriya()
For i = 0 To n
t(i) = 0.1 * x(i) - 1
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(t(i))
Next i
End Sub
Private Sub Command1_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
h = Val(Text3.Text)
y0 = Val(Text4.Text)
n = Round((xk - x0) / h)
ReDim x(n)
ReDim t(n)
ReDim ye(n)
ReDim yem(n)
ye(0) = y0
yem(0) = y0
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер модифицированный"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Теория"
For i = 0 To n
x(i) = x0 + i * h
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))
Next i
Eiler
EilerMod
Teoriya
End Sub
Private Sub Command2_Click()
Label7.Caption = Str(x0)
Label8.Caption = Str(xk)
Min = ye(0)
Max = ye(0)
For i = 0 To n
If ye(i) > Max Then Max = ye(i)
If ye(i) < Min Then Min = ye(i)
If yem(i) > Max Then Max = yem(i)
If yem(i) < Min Then Min = yem(i)
If t(i) > Max Then Max = t(i)
If t(i) < Min Then Min = t(i)
Next i
Label5.Caption = Str(Max)
Label6.Caption = Str(Min)
dx = Picture1.Width - 1300
dy = Picture1.Height - 1000
kx = dx / (xk - x0)
ky = dy / (Max - Min)
For i = 1 To n
z1 = Round(720 + (x(i - 1) - x0) * kx)
z2 = Round(3960 - (ye(i - 1) - Min) * ky)
z3 = Round(720 + (x(i) - x0) * kx)
z4 = Round(3960 - (ye(i) - Min) * ky)
z5 = Round(3960 - (yem(i - 1) - Min) * ky)
z6 = Round(3960 - (yem(i) - Min) * ky)
z7 = Round(3960 - (t(i - 1) - Min) * ky)
z8 = Round(3960 - (t(i) - Min) * ky)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4)
Picture1.Line (z1, z5)-(z3, z6)
Picture1.Line (z1, z7)-(z3, z8)
Next i
End Sub
По мере решения поставленных целей и задач, я научился работать в новой для меня среде программирования Visual Basic 6.0. и MathCad. На мой взгляд, эта работа была трудна, но довольно увлекательна и занимательна.
В своей курсовой работе я решал уравнение двумя методами: Эйлера(Рунге-Кутта первого порядка точности) и Эйлера модифицированный(Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности) и выяснил, что метод Эйлера модифицированный более точен, т.к. дает меньшую погрешность при вычислениях.