Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский
университет»
Кафедра прикладной математики и информатики
Лабораторная работа №1
«Метод итераций»
по дисциплине «Прикладная математика»
Выполнил:
студент 1-го курса
механико-математического факультета
Дускаев В.А ПМИ-4
Проверил:
Доцент кафедры ПМИ ПГНИУ,
д. ф. м. _______ Шварц. К. Г.
1октября 2013 г.
г. Пермь, 2013 г.
Постановка задачи 3
Теория 4
Решение задачи 5
Вывод 9
Приложение 10
Постановка задачи
Дано уравнение:
x3 + 3x – 1 = 0
Требуется:
Метод итераций основан на последовательном приближении значения корня.
Пусть дано некоторое уравнения вида , тогда введем функцию
, такую, что .
Рассмотрим значение производной функциив точке . Если выполняется условие , то метод можно применять, в противном случае следует выбрать другое значение .
Присваивая на каждой итерации и сравнивая модуль разности левой и правой части данного выражения, следует выполнять до тех пор, пока не выполнится условие , где ε – заданная точность.
Решение задачи
Найдем критические точки, то есть корни уравнения :
Корень не может быть извлечен из отрицательного числа. Так как на всей области определения, следовательно, функция монотонно возрастает на всей области определения, а значит имеет единственный корень.
Требуется определить промежуток,в котором заключен искомый корень уравнения. Для этого следует найти такие значения и , что выполняется условие:
Предположим , , тогда:
Условие выполнено, промежуток найден.
Далее требуется ввести не явную функцию:
Проверим условие сходимости метода, в качестве возьмем середину отрезка .
Условие сходимости выполняется, можно применять метод итераций.
Данный алгоритм в виде блок-схемы:
Рис. 1. Блок-схема алгоритма.
Работа разработанной программы для найденного значения :
Найден корень уравнения=0.322172.
Вывод
Метод итераций позволяет находить корень уравнения с заданной точностью. Для решения уравнения методом итераций требуется найти неявную функцию, отделить корни, проверить сходимость метода для найденного значения, и применить метод.
Приложение.