Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 6
ТеорВер
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ.
Оглавление.
1. Вероятность появления хотя бы одного события.
2. Формула Бернулли.
3. Приближения формулы Бернулли.
1. Вероятность появления хотя бы одного события.
Пусть в результате испытания могут появиться п событий, причем вероятности появления каждого из событий известны. Чтобы найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий, воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 4: вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероят ностей противоположных событий :
.
Доказательство: обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
.
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим
,
или
. (2.1)
Частный случай: если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероят ность появления хотя бы одного из этих событий равна
. (2.2)
2. Формула Бернулли
Предположим теперь, что производится n независимых испытаний в неизменных условиях, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А одинакова и равна . Следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна .
Определим вероятность того, что событие А произойдет m раз при этих n испытаниях.
Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.
Всякую комбинацию, в которую входит раз и, соответственно, входит раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которыми можно выбрать чисел из данных ; т. е. оно равно числу сочетаний из n элементов по m:
Подсчитаем теперь вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:
Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет
Так как в любой другой благоприятной комбинации событие встречается также раз, а событие происходит раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак
Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)
Следовательно,
(2.3)
Или, так как , то
(2.4)
Формула (2.4) называется формулой Бернулли (Я. Бернулли (1654-1705) - швейцарский математик).
Так как вероятности для различных значений представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона:
то распределение вероятностей , где , называется биноминальным.
Пример 9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?
Решение: Здесь n = 8; m = 5; p = 0,6; q = 1- 0,6 = 0,4.
Используя формулу (2.4), имеем
Часто необходимо знать, при каком значении вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число наступления события A в данной серии опытов. Можно показать, что число должно удовлетворять двойному неравенству
(2.5)
Заметим, что сегмент , в котором лежит , имеет длину . Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: и .
Пример 10. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 9.
Решение: Здесь ; ; ; ; .
Согласно формуле (2.5) наивероятнейшее значение лежит на сегменте и, следовательно, равно 5.
3. Приближения формулы Бернулли
При больших значениях n подсчет вероятностей по формуле (2.4) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться приближенными формулами.
1. Локальная формула Муавра-Лапласа.
(2.6)
где не равно нулю и единице, , а
. (2.7)
Формула (2.6) выражает так называемую локальную теорему Лапласа (П. Лаплас (1749—1827) — французский математик и астроном.). Точность этой формулы повышается с возрастанием n.
Функция формула (2.7), как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей (см. рис. 2.1). Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I). Она представляет собой функцию плотности вероятности нормального закона распределения (мы еще вернемся к ней). При , , поэтому функция табулирована для . График функции представлен на рис. 2.1.
Пример 11. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.
Решение: Здесь m=20; n=80; p=1/6; q=1-1/6=5/6; далее находим
Используя формулу (2.6), получим
так как из табл. I находим, что .
2. При больших значениях , для вычисления вероятности того, что произойдет от до событий по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласа:
где ,
(2.9)
- функция Лапласа (см. рис. 2.2.).
График функции представлен на рис. 2.2.
К функции Лапласа мы еще не раз будем обращаться, а пока отметим, что имеет следующие свойства:
1) - функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений ;
2) функция возрастает на всей числовой оси;
3) при , ( - горизонтальная асимптота при ), поэтому функция представлена в виде таблицы для (Прил. I);
4) вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число , равна:
Пример 13. Стрелок выполнил выстрелов, вероятность одного попадания . Найти вероятность того, что он попадет от до раз.
Решение. Согласно интегральной формуле
, где
Пример 14. В каждом из независимых испытаний вероятность успеха . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на .
Решение. , следовательно
Пример 15. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности окажется по абсолютной величине не больше чем на ?
Решение. По условию . Отсюда
.
3. Если то используют так называемую формулу Пуассона
(2.8)
Пример 12. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие - 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
а) 3 изделия;
б) 1 изделие;
в) не более трех изделий.
Решение. Имеем и , поэтому применяем формулу Пуассона.
а) : .
б) : .
в) :
PAGE
VB
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 2.1. Функция плотности вероятности нормального распределения.
Рис. 2.2. Функция Лапласа.