nарной алгебраической операцией на X называется отображение

Работа добавлена на сайт samzan.net:

§2. Алгебраические операции.

Основные типы алгебраических структур

1°. Алгебраические операции.

Алгебра − наука об алгебраических операциях.

Пусть X − произвольное множество.

Определение 1. n-арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. n-компонентному элементу  однозначно ставится в соответствие элемент .

Задача. Пусть . Сколько  n-арных алгебраических операций на ?   Ответ. Таких операций

Алгебраические операции при n=1 называются унарными, при n=2 – бинарными, n=3 – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.

Если , то пишут или . Операции на X обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.

Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.

На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.

Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).

1.  так, что   имеем

2.      3.

4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на .

5-8. То же самое для С.

9.

10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. .

11.  - множество всех отображений  относительно операции композиции  является алгебраической структурой.

12. Как правило, алгебраическая операция  на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую  (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде

2 1	Д	О	Т
Д	Д	О	Д
О	О	Д	Т
Т	Т	Т	Д

 

         

13. Примерами тернарных операций на  являются:

1.    .
2.  .
3.     .

Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами.

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если  выполняется .

Задача. Пусть . Сколько  коммутативных бинарных операций на X?     Ответ. Таких операций  .

Примеры.

1.  . Операция  сложения коммутативна и ассоциативна.
2.  . Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, , .
3.  , где  . Такая операция  коммутативна, но не ассоциативна. Действительно: .
4.  Умножение матриц: ассоциативная, но не коммутативная операция.

Теорема 1 (обобщённая ассоциативность). Если  операция ассоциативна, то в выражении скобки можно расставлять в любых местах.

Доказательство. Проводится методом математической индукции. Для  утверждение повторяет определение ассоциативности. Пусть . Рассмотрим выражения

и .

Пусть − обычная ассоциативность. ■

Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если

.

(1)

Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство.  (от противного). Пусть  и − два нейтральных элемента

    (по условию нейтральности )    и

 (по условию нейтральности )

.■

Определение 5. Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.

Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если

(2)

Теорема 3. Если в моноиде для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.

Доказательство. Пусть для данного  два симметричных элемента  и  Тогда в силу (1) и (2) имеем:           

                                    .■

Обычно умножение называют мультипликативной операцией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называют произведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к  – обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операции  называют суммой (x+y), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).

Теорема 4. Если в моноиде для элементов  и  есть симметричные элементы  и  соответственно, то для элемента также существует симметричный элемент, равный

Доказательство. Для  доказательства теоремы необходимо проверить условия (2):  Проверим первое из этих равенств. Имеем:

 Аналогично проверяется второе условие из (2).■                                   

2°.Группа, свойства группы.

Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией  называется группой, если

1)  – ассоциативная операция.

2) В G  нейтральный элемент .

3)  симметричный элемент из

Если  – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция  − умножение, то группа называется мультипликативной, если  – сложение, то G – аддитивная группа.

Примеры.

1.  (N,+)  – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.
2.  (N,)  – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.
3.   –  аддитивная абелева группа.
4.   –  аддитивная абелева группа.
5.   –  аддитивная абелева группа.
6.   –  абелева полугруппа с нейтральным элементом.
7.  –  мультипликативная абелева группа.
8.  – абелева группа: .
9.  Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения.

Свойства группы.

1°. В группе G  нейтральный элемент и   симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2°. Для  уравнения   имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что  – решение уравнения . Имеем: , т.е.  − решение.

Если z – другое решение, то   после умножения слева на       x – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3°. Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2°.

Важный пример (группа перестановок степени ).

Пусть  − произвольное множество из элементов; например,

Определение 8. Перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение множества  в .

Множество всех перестановок степени обозначается .  Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита:  Перестановка изображается двурядным символом:

.

Такой символ обозначает отображение

Лемма 1. Число различных перестановок степени  равно   

Доказательство. В качестве первого элемента  можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся  элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора   Таким образом, ■

На множестве перестановок вводится операция умножения по формуле

Например, если

  то

Лемма 2. Множество  образует группу, не являющуюся коммутативной.

Доказательство. Вначале проверим ассоциативность умножения. Пусть  и  Тогда по определению легко проверить выполнение равенства  Тождественная перестановка является нейтральным элементом в рассматриваемом множестве, симметричный элемент получается перестановкой строк. Некоммутативность легко проверяется на предыдущем примере.■

Замечание. Если   и  − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.

3°.Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество  называется кольцом и обозначается , если выполняются условия:

1) (K;+) – абелева группа.

2) умножение ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры колец.

1.   образуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.
2.  Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.
3.  Множество непрерывных на отрезке  функций с операциями + и , определенными следующим образом:

,  ,

образует коммутативное кольцо с единицей.

1.  Множество V3 всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов, образует кольцо.
2.  Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций  (исключающее «или») и  (логическое умножение), которые задаются таблицами:

	0	1
0	0	0
1	0	1
	0	1
0	0	1
1	1	0

Например, (1010) (0110)=(1100);    (1010) (0110)=(0010).

Операции  и − алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является  эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операций  и  и дистрибутивность логического умножения относительно операции  сводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Т.о., пространство битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается . Это кольцо является ассоциативным кольцом с единицей.

Так как (;+) абелева группа, то   противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы  единственное решение уравнения .

Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е.

.

Доказательство.

.

2) .

   Доказательство. Т.к. . Аналогично доказывается, что .

Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, т.е  но . Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество  непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если ,    

Аналогично,  − множество матриц размера  − кольцо с делителями нуля.

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и

(закон сокращения в кольце). Аналогично,

 Доказательство.

4)

    Доказательство. 

4°.Поле, свойства поля.

Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Определение 10. Множество  с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения  называется полем и обозначается (), если:

1) (P;+) – абелева группа.

2) (P\{0};) – абелева группа.

3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

Т.о., поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.

Примеры полей.

1.   − примеры полей.
2.  (,,) − поле.

Свойства поля.

1) В поле Р нет делителей нуля.

 Доказательство. Пусть  Умножим  на : . С другой стороны,

2) Свойство сокращения на ненулевой элемент:  из  

3) , уравнение  в поле P имеет единственное решение .  

Доказательство. При  доказываемое свойство  –  это свойство группы, при  − свойство кольца.

        Решение уравнения  обозначается  и называется частным от деления  на . Т.о., в поле определено деление на ненулевой элемент.

 Вывод. В произвольном поле можно проводить все операции, как в обычной арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевой элемент, раскрытие скобок, приведение подобных, … .

Итак, алгебраические структуры – это множества с алгебраическими операциями. Дальнейшее обобщение – алгебраические системы, являющиеся совокупностью множества, алгебраических операций и отношений. Это стык алгебры и математической логики.

5°.Подполугруппа, подгруппа.

 Пусть  − бинарная алгебраическая операция на .

Определение 11. Подмножество  называется замкнутым относительно , если  выполняется

Если подмножество  множества  замкнуто относительно , то на  определена операция: каждой  паре  ставится в соответствие

Определение 12. Такая операция на  называется операцией, индуцированной операцией .

Лемма 3. Пусть  − полугруппа и  замкнуто относительно  Тогда  является полугруппой относительно индуцированной операции.

 Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что операция  ассоциативна на множестве  Это очевидно, так как все элементы  являются элементами , а на  введенная операция ассоциативна.■

Определение 13. Пусть   − полугруппа. Подмножество , замкнутое относительно , называется подполугруппой.  

Пример.  − полугруппа (и даже группа), а  − подполугруппа (но не группа).

Определение 14. Пусть пара () – группа.  называется подгруппой, если X замкнуто относительно  и X  −  группа относительно индуцированной операции.

Определение 15. Пусть тройка (P,+,) − кольцо (поле). Подмножество называется подкольцом (подполем), если Y замкнуто относительно  и  и Y является кольцом (полем).

Пример.  − подполе в поле 

Теорема 5. Пусть () – группа.  является подгруппой в   

1) X замкнуто относительно ; 2) , где  − нейтральный элемент в ;

3) существует .

Доказательство. Достаточность − очевидна.

Необходимость. Пусть  − подгруппа в . Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.

Проверим условие 2). Так как  − подгруппа, то  − нейтральный элемент в . Докажем, что , т.е. совпадает с нейтральным элементом в .  Действительно, умножим равенство  на  (симметричный элемент к  в смысле , т.е. ). С одной стороны имеем: , с другой − . Отсюда следует, что .

Осталось проверить 3). Пусть . Тогда , являющийся симметричным  в , т.е. . Это и означает выполнение условия 3).■

Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.

Теорема 6. Если в группе взяты две подгруппы и , то их пересечение , т.е. совокупность элементов, лежащих одновременно в обоих множествах, также будет подгруппой группы .

Доказательство. Действительно, если в пересечении  содержатся элементы и , то они лежат в подгруппе ,  а потому в  лежат и произведение , и симметричный элемент . По тем же соображениям элементы  и  принадлежат подгруппе , а потому они входят и в .■

Интересный пример подгруппы − циклические подгруппы. Вначале введем некоторые понятия. Если   − элемент группы , то n-ой степенью элемента  называется произведение n элементов, равных . Отрицательные степени элемента  вводятся как произведения сомножителей, равных . Легко видеть, что . Для доказательства достаточно взять произведение  сомножителей, из которых первые  равны , а остальные − , и произвести все сокращения. Под нулевой степенью элемента будем понимать нейтральный элемент. В силу обобщенной ассоциативности легко показать, что  имеют место равенства:

(3)

Обозначим подмножество группы , состоящее из всех степеней элемента .

Лемма 4. Множество   является подгруппой группы .

 Доказательство очевидно.

Определение 16. Подгруппа  называется циклической подгруппой группы .

 Легко видеть, что циклическая подгруппа всегда коммутативна, даже если сама группа некоммутативна. Если все степени элемента  являются различными элементами, то  называется элементом бесконечного порядка . Если существуют  и  из , такие, что , то  называется элементом конечного порядка. Легко видеть, что в этом случае . Наименьшее  такое, что  называется порядком элемента .

Определение 17.  Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов ,  т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .

Примеры.

1)  − циклическая группа с образующим элементом 1.

2) Группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная группа с образующим элементом, получаемом при .

6°.Гомоморфизм и изоморфизм групп

Определение 18. Пусть и − множества, и  − бинарные операции (на и  соответственно). Гомоморфизмом из  в  называется отображение  такое, что

Пример. Отображение  является гомоморфизмом из  в  Это следует из справедливости равенства

Замечания.  

1. Аналогично определяется понятие гомоморфизма, если на множествах и  определены несколько операций.

2. Так как полугруппа, группа, кольцо и т.д. множества с операциями, то ясно, что такое гомоморфизм полугрупп, групп и т.д.

Определение 19. Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Пара  изоморфна паре , если  изоморфизм из  в .

Обозначение.  означает, что  изоморфно . Иногда пишут .

Примеры.

1.  Отображение  является изоморфизмом из  в Действительно, это отображение является гомоморфизмом  (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).
2.  В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида  отождествлялись с множеством действительных чисел . Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.
3.  Отображение  такое, что  является изоморфизмом.
4.  Отображение  такое, что  является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно, , но .

Теорема 7. Пусть − изоморфизм. Тогда

1.  если  − коммутативна, то  − также коммутативна;
2.  аналогично для ассоциативности;
3.  если  − нейтральный элемент в  относительно , то  − нейтральный элемент в  относительно ;
4.  если  и  − взаимно обратные элементы из , то  и  − взаимно обратные из .

Доказательство.

1.  Пусть  и . Докажем, что . Так как  и , то последнее равенство можно переписать в равносильном виде , откуда следует . Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции .
2.  Доказывается аналогично 1). Пусть . Тогда : , , . Далее по аналогии.
3.  Пусть . Докажем, что . Пусть . Тогда . Аналогично доказывается .
4.  Дано: , где  − нейтральный элемент в . Действуя на все элементы этого равенства функцией , получаем требуемое равенство.■

Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если  и  − группа, то  − также группа. Аналогично для колец и полей.

Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка .

Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом  отображается взаимно однозначно на аддитивную группу , если каждому элементу  этой группы ставится в соответствие число . Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента  показатели складываются. Если рассматривается конечная циклическая группа порядка  с образующим элементом , то, рассматривая мультипликативную группу корней −ой степени из единицы и обозначая , изоморфизм строится сопоставлением элементу  группы  числа . Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме из § 1.■  

17

 

1. .11.2003 N 153ФЗ от 29.06
2. Барановичский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Ректор первый проректор УО БарГУ
3. Изменение системы государственного управления народным хозяйством в 1957г
4. Деловое общение понятие структура цели и функции
5. а при наступлении различных неблагоприятных событий в их жизни и деятельности а также для выплат в иных опр
6. Демографічна криза Теорії індустріального суспільства
7. Проектирование железнодорожного пути
8. Серебряный век в русской литературе и искусстве
9. Развитая пищевая промышленность обеспечивает более рациональное питание населения способствует устранен
10. Вища освіта в Україні Ступенева освіта
11. дохода Налогообложение
12. Собаку крайне трудно было понять что его не в наказание неведомо за что закрыли в вольере а спасли ему жиз
13. тематических исследований должно служить объектом изучения отдельной дисциплины
14. большие дольки чеснока 67 лавровых листиков
15. Preventing serious deseases
16. показывает достаточный объем знаний в рамках образовательного стандарта; показывает усвоение основной
17. психологической экспертизы в уголовном и гражданском судопроизводстве Предметом исследования судебнопс
18. способы управления эмоциями
19. правовых дисциплин Гражданское право Словарь терминов по гражданскому праву спе
20. Политика администрации Дж Бушамладшего в отношении национальной безопасности

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе