Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4) Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:
Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R2 .
Функция y = y(x) является решением задачи Коши
если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D для всех x из [a, b] , y(x0) = y0 , x0∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:
Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Пусть функция f(x, y) и ее частная производная fy(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x0, y0) принадлежит областиD.
Тогда :
— в некоторой окрестности (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 существует решение задачи Коши
— если y = φ1(x) и y = φ2(x) два решения задачи Коши, то φ1(x) = φ2(x) на (x0 − δ, x0 + δ) .
Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x0, y0) области D проходит единственнаяинтегральная кривая уравнения.
Бесконечное множество решений уравнения
можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x0) — семейство решений задачи Коши
элементы которого различны для разных значений x0 . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x0) .
Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x0 . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.