У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематических наук Настоящие указания содержат краткие сведения по теории и практике анализа временных р

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 28.12.2024

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российский Государственный Гуманитарный Университет

Филиал в г. Домодедово

Анализ временных рядов

Часть I

Сглаживание временных рядов

Т.Б. Белова, Н.Г. Ярошенко

Методические указания к лабораторной работе

Домодедово

2008

Белова Татьяна Борисовна – кандидат технических наук

Ярошенко Наталья Георгиевна – кандидат физико-математических наук

Настоящие указания содержат краткие сведения по теории и практике анализа временных рядов. На конкретных примерах приведена методика сглаживания временного ряда с использованием метода скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Представлена методика выполнения лабораторной работы по сглаживанию временных рядов и прогнозированию.

Эти указания будут полезны студентам при изучении материала по курсам: «Математическая статистика», «Эконометрика», «Статистика», «Прикладная статистика» по специальностям: 060400 «Финансы и кредит», 060800 «Экономика и управление на предприятиях городского хозяйства», 351400 «Прикладная информатика в информационной сфере» и 0610000 «Государственное и муниципальное управление».

Содержание

[1] Введение

[1.0.0.1] А) для моментного ряда

[1.1] Метод скользящего среднего

[1.2] Метод экспоненциального сглаживания

[2] Методические указания по выполнению лабораторной работы

[2.1] Построение графика временного ряда

[2.2] Сглаживание временного ряда методом скользящего среднего с использованием инструмента анализа данных

[2.3] Экспоненциальное сглаживание

[2.4] Выбор оптимальной константы сглаживания

[3] Задание на выполнение лабораторной работы

[4] Список литературы.

Введение

Основная задача сглаживания временного ряда состоит в устранении неверных и сезонных колебаний для определения асимптотического поведения временного ряда – тренда. Сглаженные данные могут использоваться для прогноза и как часть анализа сезонных колебаний.

Множество значений статистического показателя в последовательные моменты времени называют временным (динамическим) рядом.

Различают два вида временных рядов – моментные, когда значения статистического показателя x1 ,x2 … xn отнесены к определенным моментам времени t1 t2 … tn (обычно считается t1 <t2 …<tn ), и интервальные, когда значения показателя соответствуют промежуткам времени, т.е.интервалам (t0 -t1), (t1 –t2), , (tn-1 –tn ).

Временные ряды могут быть заданы с помощью таблиц:

А) для моментного ряда

Моменты времени	t1	t2	. . .	tn
Фактическое значение показателя	x1	x2	. . .	xn

В) для интервального ряда

Интервал времени	(t0 -t1)	(t1 –t2)	. . .	(tn-1 –tn ).
Фактическое значение показателя	x1	x2	. . .	xn

или графически. При графическом изображении временных рядов ось абсцисс соответствует шкале времени t, а ось ординат – фактическим значениям показателя (рис.1)

Рис.1.

При изучении временных рядов основная задача - выявить закономерность (тенденцию) в изменении фактических значений ряда, которую называют трендом. Линия тренда

( пунктирная кривая на рис.1) сглаживает фактические значения показателя временного ряда

( обозначены точками на рис 1.) и выражает общую тенденцию изменения параметра.

В некоторых случаях временной ряд кроме тренда и отклонений от него имеет сезонные составляющие. Анализ сезонной составляющей будет выполнен во второй части лабораторной работы.

Для простоты будем считать, что тренд является линейным и обсудим следующие методы анализа временных рядов:

А) метод скользящего среднего;

В) метод экспоненциального сглаживания.

Метод скользящего среднего

Рассмотрим указанные методы на простом примере фактического объема продаж в течение недели:

День недели	Количество проданной продукции
Понедельник	11
Вторник	7
Среда	6
Четверг	12
Пятница	10
Суббота	9
Воскресенье	8

Эти данные запишем в виде таблицы временного ряда

t	1	2	3	4	5	6	7
x	11	7	6	12	10	9	8

Где

t – порядковый номер дня недели

x – объем продаж за день.

В методе скользящих средних расчет показателя на прогнозируемый момент времени производится с помощью усреднения фактических значений показателя “х” за несколько предшествующих моментов времени.

В приведенном примере спрогнозируем объем продаж на четверг. Для этого возьмем фактические данные за три предыдущих дня ( понедельник, вторник, среду) и найдем среднее арифметическое:

f4 =

Аналогично найдем прогнозируемый объем продаж на пятницу по фактическим данным за три предшествующих дня – вторник, среду, четверг:

f5 =

По такой же схеме рассчитаем прогноз на субботу, воскресенье и очередной понедельник:

f6 =

f7 =

f8 =

В итоге получаем таблицу:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
x	11	7	6	12	10	9	8	-
f	-	-	-	8,00	8,33	9,33	10,33	9,00

Графически эти результаты представлены на рис.2, где точками обозначены фактические значения, а треугольниками – прогнозируемые.

Рис. 2

В общем случае прогноз на момент времени t равен:

fk =

где

xk-1 –фактические значения показателя в момент времени t k-i ;

n – число предшествующих моментов времени i = 2, 3,…n;

fk - прогноз на момент времени tk.

Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания предназначен для расчета прогнозируемого значения показателя на момент времени tk+1, используя фактические значения показатели за предыдущий период времени и текущее значение показателя.

Прогнозируемое значение параметра на период времени k+1 рассчитывается по формуле:

fk+1 = α xk + (1-α)fk

где

fk+1 – прогноз на момент времени tk+1 ;

fk – прогноз на момент времени tk;

xk – фактическое значение показателя на момент времени tk;

α – константа сглаживания.

Значение константы сглаживания α (0<α<1) определяет степень сглаживания и выбирается методом проб и ошибок. При выборе его значения следует учитывать, что, чем ближе α к единице, тем больший вес имеет текущее значение.

Чтобы применить данную формулу к фактическим значениям, мы должны выбрать начальное значение прогноза и подходящее значение .

Величина (1- ) в Excel обозначается как фактор затухания.

В качестве начального значения прогноза принимают среднее значение первых нескольких показателей ( от 3 до 7).

Для рассмотренного нами примера прогноз на среду равен (11+7+6)/3 =8,00,

Приведем расчет прогноза для α=0,2 и α = 0,8:

α=0,2 α=0,8

f5 = 0,2*12+(1-0,2)*8,0 = 8,8 f5 = 0,8*12+(1-0,8)*8,0 = 11,2

f6 = 0,2*10 + (1-0,2)*8,8 = 9,04 f6 = 0,8*10 + (1-0,8)*11,2 = 10,24

f7 = 0,2*9 +(1-0,2)* 9,04 = 9,03 f7 = 0,8*9 +(1-0,8)* 10,24 = 9,25

f8 = 0,2*8 + (1-0,2)*9,03 = 8,82 f8 = 0,8*8 + (1-0,8)*9,25 = 8,25

Запишем полученные результаты в виде таблиц:

Для α=0,2

T	1	2	3	4	5	6	7	8
X	11	7	6	12	10	9	8	-
fk+1	-	-	-		8,8	9,04	9,03	8,82

Для α=0,8

T	1	2	3	4	5	6	7	8
X	11	7	6	12	10	9	8	-
fk+1	-	-	-	-	11,2	10,24	9, 25	8,25

На рис.3 точками обозначены фактические значения продаж, треугольниками – прогноз для .

α=0,2, а квадратами – прогноз для α=0,8

Рис.3.

Как видно из рисунка, прогноз при α=0,2 практически не зависит от текущего значения продаж и остается примерно на постоянном уровне, а при α=0,8 – прогноз отражает тенденцию снижения продаж.

Методические указания по выполнению лабораторной работы

Методические указания даны с использованием конкретного примера. При выполнении лабораторной работы следует сначала выполнить все пункты методического указания на приведенном примере, а затем, подставляя данные для Вашего варианта и, изменяя адреса соответствующих ячеек, необходимо выполнить и оформить работу.

Построение графика временного ряда

Введите метки Год, Квартал, Продажи в первую строку и введите год, кварталы и данные продаж в столбцы A,B,C. Рис. 4
Выделите ячейки А1:С21 и щелкните по кнопке Мастера диаграмм.
На шаге 1 (тип диаграммы) Мастера диаграмм на вкладке Стандартные выберите Тип – График и Вид – График с маркерами, помечающими точки данных. Нажмите Далее.
На шаге 2 (источник данных диаграммы) проверьте правильность задания диапазона данных и нажмите Далее.
На шаге 3 (Параметры диаграммы) на вкладке Заголовки введите названия диаграммы и осей, как показано на рис. 2. На вкладке Линии сетки уберите все отметки. На вкладке Легенда- выключите опцию Добавить легенду. Нажмите готово.
Перетащите маркеры размера, чтобы диаграмма занимала примерно 9 столбцов по 20 строк.
Выделите вертикальную ось и щелкните по кнопке Уменьшить разрядность.
Дважды щелкните по вертикальной оси; в диалоговом окне формат оси на вкладке Шкала введите минимальное значение 200

Рис 5

Дважды щелкните по горизонтальной оси; в диалоговом окне формат оси на вкладке выравнивание введите 0 (ноль) в строке Градусов. Диаграмма должна выглядеть как показано на рис.5.

Полученный график имеет сильно выраженную сезонную периодичность с линейным, направленным вверх, трендом. С помощью скользящего среднего можно удалить сезонные колебания, для того, чтобы тренд был более явным.

Сглаживание временного ряда методом скользящего среднего с использованием инструмента анализа данных

Следующие шаги описывают получение значений скользящего среднего и диаграммы.

Скопируйте метки и данные продаж, показанные на рис.1 на новый лист. Введите в ячейку D1метку СкСреднее (скользящее среднее) и в ячейку E1 метку СтдОшибка (стандартная ошибка).
В меню сервис выберите Анализ данных. В диалоговом окне Анализа данных щелкните по пункту Скользящее среднее списка Инструменты анализа и нажмите ОК. Появится диалоговое окно Скользящего среднего.
Заполните требуемую информацию ( Входной интервал $C$1:$C$21, Метка в первой строке- подведите мышь и щелкните, Интервал – 4, Выходной интервал $D$2)

Рис.6.

Постройте график, выделив данные Продаж и скользящего среднего и щелкнув по кнопке мастера диаграмм. и нажмите ОК. Результаты появятся в столбцах D и E. Рис. 6.
Дважды щелкните по вертикальной оси. В диалоговом окне формат оси на вкладке Шкала щелкните в строке Минимальное значение и введите 200.

Рис. 7.

Каждое среднее значение получено из четырех: текущее значение и три предыдущих.

Каждое значение стандартной ошибки в столбце Е находится по четырем последним значениям.

Упрощенная модель прогноза может использовать последнее скользящее среднее 376,8 в качестве прогноза тренда на следующий квартал со стандартной ошибкой 23,7 в качестве меры неопределенности.

Экспоненциальное сглаживание

Следующие шаги описывают использование инструмента анализа Экспоненциальное сглаживание при неопределенном начальном сглаженном значении.

Введите метки Квартал, Фактическое, Прогноз, СтдОшибка на первой строчке нового листа в ячейки A,B,C,D Рис.8.

Рис.8

2. В меню сервис выберите Анализ данных. В диалоговом окне Анализа данных выберите пункт Экспоненциальное сглаживание в списке инструментов анализа и нажмите ОК.

3. В диалоговом окне заполните Входной интервал $B$1:$B$19, Фактор затухания=0,9;

Выходной интервал $C$2; пометьте окошки Вывод графика и Стандартные погрешности. Нажмите ОК.

4. Результаты появятся в столбцах C и D с диаграммой справа. Измените размер

диаграммы, щелкнув по маркеру на границе и перетащив его, чтобы получить удобочитаемое

изображение.

Рис. 9

В данном случае фактор затухания равен 0,9, то есть константа сглаживания равна 0,1, поэтому сглаженные значения мало чувствительны к изменениям фактических значений.

В ячейке D6 содержится формула

=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(B3:B5;C3:C5)/3)

Каждое значение стандартной ошибки в столбце D находится по трем предыдущим фактическим значениям и прогнозам.

Выбор оптимальной константы сглаживания

Наилучшим значением  будет то, которое минимизирует разности между фактическими величинами и прогнозом. Такие разности называют отклонениями или ошибками прогноза.

В данном случае мы будет минимизировать корень из суммы квадратов ошибок прогноза (КСКОП), которое использует как среднее, так и стандартное отклонение ошибки прогноза по формуле

КСКОП = (срошибка2 + стдотклош2 )1/2

Так как первым прогнозом является среднее первых шести значений, то в данном примере ошибки начинают измеряться с седьмого наблюдения.

Для определения зависимости КСКОП от константы сглаживания  выполните

следующие действия.

Введите данные, как показано в столбцах А и В рис. 10.
Введите метки прогноз, ошибка, альфа, срошибка, стдотклош и КСКОП в ячейки

C1, D1, E1 и E3:E5, как показано на рис. 7.

Введите значение 0,8 в ячейку F1.
Выделите ячейки E1:F5. В меню вставка выберите Имя/Создать. В диалоговом окне Создать имена щелкните по пункту «В столбце слева» и нажмите ОК.
Выделите ячейки D7:D19. В меню Вставка выберите Имя/Создать. В диалоговом окне “Создать имена” щелкните по пункту “ В строке выше” и нажмите ОК.

Рис. 10

Выделите ячейку С2. Введите формулу =СРЗНАЧ(B2:B7). Появится значение 1,9.
Выделите ячейку С3. Введите формулу =альфа*В2+(1-альфа)*С2. Появится значение 2,62.
Выделите ячейку С3. Скопируйте ее. Запишите ее содержимое в ячейки С4:С19.
Выделите ячейку D8. Введите формулу =B8-C8. Появится значение 1,71.
Выделите ячейку D8. Скопируйте ее значение в диапазон D9:D19.
Выделите ячейку F3. Введите формулу = СРЗНАЧ(ошибка).
Выделите ячейку F4. Введите формулу =СТАНДОТКЛОН(ошибка).
Выделите ячейку F5. Введите формулу =КОРЕНЬ(срошибка^2+стдотклош^2).
Создайте таблицу со столбцами альфа – КСКОП и задавая и записывая в нее различные значения альфа, переносите значения КСКОП.
Постройте график на основе этой таблицы. И определите значение альфа, при котором прогноз будет наилучшим, т.е. КСКОП принимает минимальное значение.
Для проверки, выполните экспоненциальное сглаживание с полученным значением альфа.

Задание на выполнение лабораторной работы

Работа выполняется на ПЭВМ с использованием ППП Microsoft Excel.

Целью данной лабораторной работы является овладение студентом:

приемами работы с ППП Microsoft Excel для анализа статистических данных;
навыком построения временных рядов по фактическим статистическим данным;
практическими навыками по сглаживанию временного ряда статистических данных с использованием метода скользящего среднего и экспоненциального сглаживания.

Используя приведенную методику, необходимо выполнить задание, поставляя в таблицы исходные данные в соответствии со своим вариантом.

Выполните с использованием Excel все расчеты, результаты занесите в таблицы и графики в отчете. Сделайте вывод о полученном прогнозе при наилучшем значении альфа.

Результаты расчета следует записать в файл Excel под своей фамилией.

Задание.

Приведены данные продаж на конец недели. Данные записывались в течение 30 недель.

Постройте график и определите скользящее среднее
Выполните экспоненциальное сглаживание с константой сглаживания  =0,1
Найдите оптимальную константу экспоненциального сглаживания.
Выполните экспоненциальное сглаживание с полученной константой сглаживания .
Какой из построенных наборов сглаженных данных подходит наилучшим образом для определения асимптотического ряда?

вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
неделя
1	33	43	24	272	1795	1523	1630	622	666	53	72	517	609	1204	1494	6827	6848	737	2428
2	35	44	260	281	1738	1549	1659	620	670	33	73	538	625	1328	1525	6178	7027	775	2010
3	37	45	265	289	1934	1576	1689	621	676	30	77	554	644	1328	1551	7084	7685	792	2981
4	40	42	267	291	1835	1602	1720	630	684	29	81	575	665	1435	1539	8162	7602	787	3074
5	38	47	269	296	2024	1630	1749	636	696	55	78	584	676	1416	1629	8462	7775	835	2893
6	43	48	268	299	2083	1659	1778	650	705	44	79	601	700	1494	1665	9644	7933	887	3198
7	44	49	272	302	1341	1689	1807	666	707	41	87	609	725	1525	1708	8350	8094	810	3250
8	45	53	281	306	987	1720	1837	670	718	43	94	625	745	1551	1799	7829	9280	832	3495
9	42	56	289	310	1650	1749	1865	676	731	68	93	644	787	1539	1873	8829	8730	855	3528
10	47	60	291	315	2074	1778	1892	684	745	55	84	665	810	1629	1973	9948	9614	878	3838
11	48	66	296	324	2122	1807	1919	696	758	55	92	676	832	1665	2087	10638	9290	884	3916
12	49	72	299	334	1920	1837	1943	705	773	67	100	700	855	1708	2208	11253	10925	913	4142
13	53	73	302	348	1877	1865	1966	707	787	55	106	725	878	1799	2271	11179	10645	941	4441
14	56	77	306	367	1815	1892	1987	718	807	57	110	745	884	1873	2365	12820	12161	959	5583
15	60	81	310	388	1848	1919	2007	731	828	52	108	787	913	1973	2423	12950	10466	939	6230
16	66	78	315	405	1646	1943	2027	745	844	34	111	810	941	2087	2416	10894	11030	957	6497
17	72	79	324	418	1653	1966	2051	758	870	29	103	832	959	2208	2484	10455	11424	983	5480
18	73	87	334	444	1810	1987	2077	773	894	30	109	855	939	2271	2605	11179	10748	1000	5870
19	77	94	348	493	1462	2007	2099	787	920	28	121	878	957	2365	2744	10590	11390	1002	6354
20	81	93	367	538	1404	2027	2110	807	938	28	110	884	983	2423	2729	8919	11637	996	6610
21	78	84	388	569	1522	2051	2138	828	962	41	115	913	1000	2416	2695	11607	12200	993	6290
22	79	92	405	606	1624	2077	2160	844	990	50	125	941	1002	2484	2826	12537	11577	1007	6725
23	87	100	418	652	1732	2099	2180	870	102	49	145	959	996	2605	2858	14759	12246	1003	6435
24	94	106	444	726	1850	2110	2202	894	105	44	132	939	993	2744	3115	10437	13281	1030	6687
25	93	110	493	824	1920	2138	2226	920	107	52	136	957	1007	2729	3190	13589	10360	1055	6885
26	84	108	538	909	2074	2160	2251	938	109	79	158	983	1003	2695	3248	13402	13812	1077	6540
27	92	111	569	965	2122	2180	2277	962	115	68	146	1000	1030	2826	3166	13103	12185	1040	6480
28	100	103	606	996	2305	2202	2300	990	112	83	148	1002	1055	2858	3279	14190	14057	1280	7000
29	106	109	652	103	2280	2226	2323	102	116	107	160	996	1077	3115	3501	13560	16243	1090	6580
30	110	121	726	107	2295	2251	2340	105	109	105	155	993	1040	3190	3618	10820	12400	1150	6985

Список литературы.

Основная литература.

Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики / Учебник для вузов. -

М.: ЮНИТИ-ДАНА. - 2001.- 432с.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА. - 2002.- 543с.
Кремер Н.Ш., Прутко Б.А. Эконометрика / Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА. - 2005. – 311с.
Палий И.А. Прикладная статистика / Учебное пособие для вузов. - М.: Высш. Шк.. - 2004.-176с.
Практикум по эконометрике / Учебное пособие / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.:Финансы и статистика. – 2005. -192с.
Теория статистики:Учебник, под ред. Р.А.Шмойловой.- М.: Финансы и статистика - 2005.-656с.

Дополнительная литература

Кулаичев А.П. Методы и средства комплексного анализа данных. - М.: ФОРУМ: ИНФРА. - М, 2006.- 512с.
Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel / Учебное пособие.- М.:Финансы и статистика - 2003.- 386с.
Мидлтон М.Р. Анализ статистических данных с использованием Microsoft Excel для

Office XP. Перевод с англ., Под ред. Г.М. Кобелькова. - М., БИНОМ, Лаборатория знаний. 2005 – 296с.

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED MSGraph.Chart.8 \s

1. Основные тенденции вынужденных миграционных процессов на Ближнем и Среднем Востоке
2. ізра~їльський конфлі~кт або Арабоізраїльські війни протистояння між низкою арабських країн а також араб
3. эгрегор В этом эгрегоре энергетически участвуют не только живущие в настоящее время люди
4. Слово Спасения декабрь 2013 г
5. миопия усталость глаз Напряженная и длительная зрительная работа чтение письмо работа за компьют
6. Аппарат искусственной вентиляции легких
7. і Упорядковані пари чисел х0у0 на координатній площині відповідає одна точка Р0 х0у0
8. кишечного тракта гастродуоденитам холециститам язвенной болезни
9. Ieu
10. Малярия
11. Задание 1 Жили у Танюшки Зеленые лягушки Два удава крокодил Утконос по кличке Нил Тигр Федя кролик Ж
12. Психологические факторы переживание внутренней пустоты
13. модульді принципі Аны~тал~ан параметрлерді~ м~ндеріні~ жина~ы ~алай аталады парамерлік ~атар Айным
14. Как приобретать друзей и оказывать влияние на людей
15. Тема Глава б тв 1 Жалпы ы~ ж~йесіндегі мемлекет ж~не
16. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата біологічних наук Київ ~ 2001 Дисе.
17. Внетекстовое и текстовое пространство и законы их взаимодействия
18. Выбор4 4 Вопросы типа Упорядочение Ошибка Закладка не определена
19. працював із все більшими проблемами
20. 14 лет Форма проведения- театрализованное представление с элементами ролевой игры

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе