1. Перечислить основные законы динамики.

2. Записать дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

3. Записать дифференциальные уравнения движения материальной в точки в естественной форме.

4.  Сформулировать первую основную задачу динамики материальной точки.

5. Сформулировать вторую основную задачу динамики материальной  точки.

6. Начальные условия- что это такое и для чего они нужны?

7. Перечислить виды колебаний механической системы с указанием сил, под воздействием которых on совершаются.

8. Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы и уравнение гармоничен кого колебательного движения механической системы.

9. Записать формулы, определяющие амплитуду, круговую частоту и период свободных колебаний механической системам

10. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний механической системы и уравнения затухающих колебаний и апериодического движения механической системы.

11. Как определяется период затухающих колебаний механической системы, декремент, логарифмический декремент и коэффициент затухания?

12. Записать дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы и один из возможных вариантов записи уравнения движения точки при этих колебаниях.

13. При каких условиях вынужденные колебания  являются колебаниями малой и большой частоты? Как определяются амплитуда и фаза колебаний в первом я втором случаях?

14. 3аписать формулу, описывающую движение механической системы при резонансе

15. Записать основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

16. Переносная и кориолисова силы инерции, их величина и направление.

17. Сформулировать принцип относительности классической  механики.

18. Сформулировать понятие систем свободных и несвободных материальных точек.

19. Записать формулы, определявшие центр масс системы материальных точек. В чем схожесть и различие понятий "центр масс" и  "центр тяжести" для механической системы?

20. Какие величины являются мерой инертности при поступательном и вращатель ном движениях тела?

21. Как определяются момента инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса?

22. Дать определение радиуса инерции твердого тела.

23. Как определяются моменты инерции однородных стержня и диска?

24. Дать понятие импульса постоянной и переменной по времени силы.

25. Чему равен импульс равнодействующей нескольких сип?

26. Сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной и дифференциальной формах.

27. Дать понятие количества движения механической системы.

28. Сформулировать закон сохранения количества лишения системы.

29. Дать определение момента количества движения материальной точки относительно центра и главного момента количеств движения механической системы относительно центра.

З0.Сформулировать теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

31. Сформулировать закон сохранения кинетического момента механической системы.

32. Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

33. Записать дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

34. Записать выражения работы постоянной силы на конечном перемещении.

35. Дать понятие мощности силы.

36. Как определяется работа силы тяжести, когда она больше или меньше нуля?

37. Как определяется работа силы упругости?

38. Сформулировать теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в конечной и дифференциальной формах.

39. Чему равна работа внутренних сил, приложенных к твердому телу?

40. Чему равна кинетическая энергия материальной точки и механической системы.

41. Записать формулы, определяющие кинетическую энергию твердого тела при поступательном, вращательном вокруг неподвижной оси и плоском движениях?

42. Дать понятие силового поля и его разновидностей: стационарного и потенциального.

43. Дать понятие силовой функции и потенциальной энергии.

44. Как определяется элементарная и полная работа силы?

45. Сформулировать закон сохранения механической энергии.

46. Дать понятие обобщенных координат.

47.  Дать понятие возможных  перемещений.

48. Сформулировать принцип возможных перемещений.

49. Сформулировать принцип Даламбера для материальной точки и механической системы.

50. Дать определение главного вектора и главного момента сил инерции точек твердого тела.

51. Записать общее уравнение динамики.

52. Чему равна работа реакций идеальных связей механической системы?

53. Дать понятие обобщенной силы.

54. Как находится коэффициент восстановления при ударе? Чему он равен при абсолютно упругом и неупругом ударе?

55. Сформулировать теорему Карно.

56. На каком условии основана теория гироскопа?

57. Сформулировать теорему Резаля.

58. Как находится гироскопический момент?

1. Теорема о движении центра масс механической системы.

2. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей.

3. Теорема об изменении количества движения механической системы в конечной и дифференциальной формах.

4. Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

5. Вывод дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

6. Вывод и интегрирование дифференциального уравнения малых собственных колебаний механической системы.

7. Теорема Кенига.

8. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

9. Теорема Карно. Потери кинетической энергии при ударе.

10. Вывод общего уравнения динамки.

11. Вывод уравнения Лагранжа 2-го рода.

12. Определение динамических давлений в подшипниках гироскопа.

56, 57, 58

56. На каком условии основана теория гироскопа?

Mr = - McE

57. Сформулировать теорему Резаля.

Скорость конца вектора кинетического момента мх. сис. относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту сис. относительно того же центра.

58. Как находится гироскопический момент?

1. ; 2.; 3.;

1. Перечислить основные законы динамики.

Первая аксиома или закон инерции.   Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Вторая  аксиома. Ускорение точки прямо пропорционально силе и направленно в сторону этой силы.

Масса- мера инертности точки.

Третья аксиома.  Всякому действию есть противодействие, равное по величине и противоположное по направлению.

Четвертая аксиома. Закон независимости действия сил.

        Если к точке приложена система сил, то ускорение точки равно векторной сумме ускорений, получаемых от каждой силы в отдельности.

где  W  =ускорению  a

2. Записать дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

3. Записать дифференциальные уравнения движения материальной в точки в естественной форме.

0 = ∑ Pко

md2s/ dt2 = ∑ Pi cos (Pi, τ);

mυ2/ρ = ∑ Pi cos (Pi, n).

4.; 5.; 6.; 7.;

4.  Сформулировать первую основную задачу динамики материальной точки.

Первая задача динамики состоит в том, что зная закон движения и массу мат.точки необходимо найти силы действующие на свободную точку или реакции связей, если точка не свободна; в последнем случае активно действующие силы должны быть заданы.

5. Сформулировать вторую основную задачу динамики материальной точки.

Зная действующие на мат.точку силы, её массу, начальное положение и скорость определить закон движения мат.точки

и т.д.

6. Начальные условия- что это такое и для чего они нужны?

Для выделения конкретного вида движения материальной точки надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. Т.е. в какой-то момент времени задают координаты  движ.  точки. и проекции её скорости.

7. Перечислить виды колебаний механической системы с указанием сил, под воздействием которых oни совершаются.

Колебания, возникающие в системе, не подвергающейся переменным внешним воздействиям после первоначального толчка, называются свободными. Если в процессе движения маятник не испытывает сил трения и сопротивления, то его малые колебания (угол отклонения от положения равновесия q < 6 градусов) можно считать гармоническими. При наличии в системе сил трения или сопротивления свободные колебания будут затухающими. Колебания, возникающие в системе под воздействием переменной внешней силы, называются вынужденными.

8. ; 9. ; 10. ; 11.

8.  Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы и уравнение гармонического колебательного движения механической системы.

x = A sin(kt+β) - уравнение гармон. колебательного движения точки.

9. Записать формулы, определяющие амплитуду, круговую частоту и период свободных колебаний механической системам

Амплитуда

Круговая чистота

Период

10. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний механической системы и уравнения затухающих колебаний и апериодического движения механической системы.

Диф. уравнение затухающих колебаний.

x + 2nx + k2x = 0 - Диф. уравнение.

x = Ae-nt sin (√k2 – n2t + β);

x = Ae-ntsh (√n2 – k2t + β) – апериодическое уравнение.

11. Как определяется период затухающих колебаний механической системы, декремент, логарифмический декремент и коэффициент затухания?

T* = T/√1 – (n/k)2;

e-nT*/2 – декремент, где  -nT*/2 – логарифмич. декрмент.

n = α/2m – коэф. затухания. k* = √k2 – n2

12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16.

12. Записать дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы и один из возможных вариантов записи уравнения движения точки при этих колебаниях.

+ k2x = hsin (pt + δ)

При   где

При   

13. При каких условиях вынужденные колебания  являются колебаниями малой и большой частоты? Как определяются амплитуда и фаза колебаний в первом и втором случаях?

При - малой частоты

При - большой частоты

p<k, pt + δ – фаза

AB = h/(k2 – p2)

p>k, pt + δ – π

AB = h/(p2 – k2).

14. 3аписать формулу, описывающую движение механической системы при резонансе

x + k2x = h sin (kt + δ),

или x = C1 cos kt + C2 sin kt - h/(2k)*t cos (kt + δ).

15. Записать основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

mār = ∑Pi + Фе + Фс

16. Переносная и кориолисова силы инерции, их величина и направление.

17. ; 18. ; 19.

17. Сформулировать принцип относительности классической  механики.

Никакие механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного движения. Т.е

никакими механическими опытами нельзя установить, покоится инерциальная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно

18. Сформулировать понятие систем свободных и несвободных материальных точек.

19. Записать формулы, определявшие центр масс системы материальных точек. В чем схожесть и различие понятий "центр масс" и  "центр тяжести" для механической системы?

центром  масс называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой rс определяется выражением

 для координат центра масс:

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Центром тяжести называют точку приложения результирующей всех сил тяжести, действующих на каждый элемент тела. Положение центра тяжести определяют из условия равновесия: тело будет находиться в равновесии относительно любой горизонтальной оси, которая проходит через его центр тяжести. В однородном поле тяготения положение центра тяжести тела совпадает с его центром масс.

20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ;

20. Какие величины являются мерой инертности при поступательном и вращательном движениях тела?

Масса - это мера инертности тела при поступательном движении. Она измеряется отношением величины приложенной силы к вызываемому ею ускорению.

Момент инерции - это мера инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс веек его частиц на квадраты их расстояний от данной оси вращения.

21. Как определяются момента инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса?

- скалярная величина равная сумме произведений масс точек тела или системы на квадрат их расстояний до плоскости, оси, или полюса

22. Дать определение радиуса инерции твердого тела.

- величина, равная расстояние до той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела (i)

23. Как определяются моменты инерции однородных стержня и диска?

Стержень массой m, длинной l  и диск m, r    

24. Дать понятие импульса постоянной и переменной по времени силы.

Если постоянная по модулю и направлению сила Р действует на тело за промежуток времени τ = t2 – t1, то её импульсом за этот промежуток времени является вектор Š = Pτ.

Чтобы найти импульс переменной силы P = P(t) за промежуток времени t2 – t1 этот промежуток разбивает на n элементарных промежутков Δtк и определяют элементарных импульсов сила за эти промежутки. ΔŠк = РкΔtк

25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30.

25. Чему равен импульс равнодействующей нескольких сил?

Š = Š1 + Š2 +…+ Šn  

в проекциях Šx = Š1x + Š2x +…+ Šnx

                            Šy =…………………..

26. Сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной и дифференциальной формах.

ma = mdυ/dt = d(mυ)/dt =P -  в диф. форме.

mυ2 – mυ1 = ∑ Ši – в кон. форме.

27. Дать понятие количества движения механической системы.

Количеством движения мех. сис. наз. вектор, равный геометр. сумме (главному вектору) количеств движения всех мат. точ. этой сис.  K = ∑miυi

28. Сформулировать закон сохранения количества движения системы.

Если внешие силы отсутствуют или главный вектор внешних сил, действующих на мех. сист.  равен 0, то кол –во движения мех. сис. остаётся постоянны по модулю и направлению и равным своему нач. знач.

29. Дать определение момента количества движения материальной точки относительно центра и главного момента количеств движения механической системы относительно центра.

Моментом кол. движ. mυ мат. точки М относительно неподвижного центра О называется вектор lo = mυh, где h – плечо вектора mυ относительно центра О.

Моментом количества движения мех. сис. относительно даного центра О называется векторная величина Lo, = геометр. сумме моментов количеств движения всех мат. т. системы относительно центра О: Lo = ∑m0(mkυk) =

= ∑rk mkυk

З0.Сформулировать теорему об изменении момента количества движения материальной точки. ,  (*)

В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:   

31.; 32.; 33.; 34.; 35.; 36.; 37.; 38.;

31. Сформулировать закон сохранения кинетического момента механической системы.

’     

32. Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

33. Записать дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

34. Записать выражения работы постоянной силы на конечном перемещении.

35. Дать понятие мощности силы.

Мощность – работа, которую источник силы может совершить за единицу времени:

36. Как определяется работа силы тяжести, когда она больше или меньше нуля?

( + если сила направлена вниз)

37. Как определяется работа силы упругости?

38. Сформулировать теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в конечной и дифференциальной формах.

Диференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Диф. форма:   

Изменение кинетич энегрии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действ на точку на том же перемещении       Кон. форма:

.

39, 40, 41, 42, 43, 44

39. Чему равна работа внутренних сил, приложенных к твердому телу?

40. Чему равна кинетическая энергия материальной точки и механической системы

41. Записать формулы, определяющие кинетическую энергию твердого тела при поступательном, вращательном вокруг неподвижной оси и плоском движениях?

при поступательном: вращательном:

плоском движение:

42. Дать понятие силового поля и его разновидностей: стационарного и потенциального.

Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени. Силовое полес читают стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Силовое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция U, зависящая от координат точки и времени для нестационарного силового поля.

43. Дать понятие силовой функции и потенциальной энергии Функцию U(x, у, z, t) называют силовой функцией. . Через силовую функцию U (зависящая от координат точки и времени для нестационарного силового поля) проекции силы на координатные оси в каждой точке поля  определяются по формулам

44. Как определяется элементарная и полная работа силы?

Элементарная: 

Полная:

45, 46, 47, 48, 49

45. Сформулировать закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия при движении системы в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной: Е=Т+П=const

46. Дать понятие обобщенных координат.

Независимые между собой величины, однозначно определяющие положение точек мех. системы, число которых = числу степеней свободы, обозначаются как q

47.  Дать понятие возможных  перемещений.

Возможные перемещениями несвободной мех. сис. наз. воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на сис. связями.

48. Сформулировать принцип возможных перемещений.

для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е. где—активная сила, приложенная к k-й точке системы; — радиус-вектор этой точки

49. Сформулировать принцип Даламбера для материальной точки и механической системы.

Назовем силой инерции материальной точки произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т. е.Если использовать понятие силы инерции точки и перенести все слагаемые (1) в правую часть уравнения, то получим  (2) Так как силы  образуют систему сходящихся сил и удовлетворяют условию (2), то они являются системой сил, эквивалентной нулю, т. е.  (3)  Уравнение (2) или эквивалентное ему условие (3) выражает принцип Даламбера для точки: при движении материальной точки активные силы и реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

50. Дать определение главного вектора и главного момента сил инерции точек твердого тела.

51, 52, 53, 54, 55

50. Дать определение главного вектора и главного момента сил инерции точек твердого тела. 

Все силы, которые действуют на тело можно привести к одной точке, при этом  вместо сил имеем эквивалентную систему сил, которая состоит из главного  вектора и главного момента

  – главный вектор сил инерции,    – главный момент сил инерции.

Главный вектор 

Главный момент

51. Записать общее уравнение динамики.

52. Чему равна работа реакций идеальных связей механической системы? Ответ: Равна нулю

53. Дать понятие обобщенной силы.

Скалярная величина называется обобщённой силой, отнесённой к обобщённой координате qi

54. Как находится коэффициент восстановления при ударе? Чему он равен при абсолютно упругом и неупругом ударе?                  где - скорость после удара, - до удара, если =1, то удар абсолютно упругий, если =0, то неупругим

55. Сформулировать теорему Карно.

Теорему Карно для точки можно сформулировать в следующей форме: потеря кинетической энергии точки при абсолютно неупругом ударе и отсутствии ударного трения в случае мгновенного наложения связей равна кинетической энергии от потерянной скорости.

Получена теорема Карно для системы: потеря кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе в случае мгновенного наложения связей и отсутствия ударного трения равна кинетической энергии от потерянных скоростей точек системы.

1.  Теорема о движении центра масс механической системы.

Опр.: Центр масс МС движется как МТ, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

В проекциях на оси координат:

– диф уравнения движения центра масс в проекциях на оси ДСК.

Следствия:

А) внутренние силы не влияют на движение центра масс механической системы.

Б)   

Если векторная сумма всех внешних сил действующих на систему =0, то центр масс этой системы движется с пост по величине и напр скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно. Если , то центр масс останется в покое.

В) если сумма проекций всех внешних сил на ось равна нулю, то то проекция скорости центра масс на ту ось есть величина постоянная.

Если дополнительно в нач мом времени

2.; 5.

1.  Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей.

Теорема : момент инерции твёрдого тела относ некоторой оси равен моменту инерции этого тела относит оси, ей параллельной и проходящей через центр масс плюс произведение массы на квадрат расстояния между осями.

: выделим в теле элемент массой dm.

5. Вывод дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z.

По теореме об изменении кинетического момента в проекциях на ось я имеем:

3. Теорема об изменении количества движения механической системы в конечной и дифференциальной формах.

Пусть к точкам системы приложены внешние и внутренние силы. Тогда для каждой точки

Суммируем по всем точкам системы:

  , где   – главный вектор внешних сил.

Опр.: производная по времени от кол-ва движения системы равна векторной сумме всех внешних сил действующих на систему.

– теорема импульсов для МС в диф форме

Опр.: дифференциал кол-ва движения системы равен сумме эл-ых импульсов всех внешних сил действующих на систему.

Проинтегрировав получаем теорему в интегральной форме:

Опр.: изменение кол-ва движения системы за t равно сумме импульсов всех внешних сил действующих на систему за то же время.

В проекциях на оси координат:

Следствие (законы сохранения кол-ва движения):

А)  то   поэтому

Б) )  то   поэтому

В) внутренние силы непосредственно не влияют на изменение кол-ва движения системы. Они могут оказать косвенное влияние через внешние силы.

4. Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

Положим, что система материальных точек

движется под действием некоторой системы сил, которые разделим на внешние силы и внутренние силы .

Выберем некоторый неподвижный центр О и определим изменение момента количества движения каждой точки  относительно этого центра по уравнению:

Просуммируем полученные k уравнений:

   (а)

Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно любого центра равна нулю, т. е. .

Преобразуем левую часть равенства (а):

Тогда уравнение (а) принимает вид:

Теорема: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

7.Теорема Кенига.

Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма значений кинетической энергии всех входящих в эту систему материальных точек:

Положим, что система материальных точек    движется как угодно в пространстве.

Выберем неподвижную систему отсчета Оxyz. В качестве подвижной системы отсчета возьмем систему осей проведенных через центр масс системы параллельно неподвижным осям х, у,z и движущихся с центром масс поступательно. Тогда абсолютное движение системы точек можно рассматривать как совокупность поступательного движения системы вместе с центром масс (переносное движение) и относительного движения системы по отношению к центру масс.

Абсолютная скорость  любой точки   механической системы определится как геометрическая сумма скорости центра масс и относительной скорости этой точки в ее движении относительно центра масс:

Преобразуем первое слагаемое:

Проведём из центра масс С радиус-векторы   во все точки системы. Радиус-вектор центра масс   

7. – продолжение; 8

Тогда кинетическая энергия системы равна:

Теорема: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Эта теорема была установлена голландским математиком С. Кенигом (1751).

8.Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Разделим силы действующие на точки  на внешние и внутренние силы .  Применим к движению каждой точки теорему об изменении кинетической энергии. Пусть при перемещении МС из первого положения во второе каждая точка   перемещается из  причём скорость изменяется   от .

Где  - работа силы       

 - работа силы    на перемещении  

Суммируем левые и правые части составленных n  равенств:

Тогда  

Теорема: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

9.Теорема Карно. Потери кинетической энергии при ударе.
Начальная кинетическая энергия тел:

Конечная кинетическая энергия тел:

Потеря кинетической энергии тел за время удара:

На основании того, что

Кинетическая энергия при упругом ударе:

9 –продолжение; 10

Пусть   -  кинетическая энергия тел, соответствующая их потерянным скоростям.

При неупругом ударе (к = 0)

Теорема Карно: кинетическая энергия, потерянная телами при неупругом ударе, равна кинетической энергии тел, соответствующей их потерянным скоростям.

10 .Вывод общего уравнения динамики.

Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка имеет возможное перемещение    , то сумма работ этих сил на перемещении      должна быть равна нулю:

Положим, что все связи идеальные. Тогда

При этом условии уравнение имеет вид:

Опр.: общее уравнение динамики показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек невободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном её перемещении равна нулю.

12.Определение динамических давлений подшипниках гироскопа.

Гироскоп представляет собой маховик , ось симметрии которого DE опирается на подпятники, укрепленные в подвижной раме. Рама может вращаться вокруг неподвижной оси АВ, проходящей через центр тяжести С маховика. Положение гироскопа определяется двумя величинами: углом поворота маховика вокруг его оси

DЕ и углом поворота рамы вокруг оси АВ, т. е. гироскоп имеет две степени свободы.

Предположим, что маховик вращается вокруг своей оси симметрии С, с большой угловой скоростью , а рама, несущая подпятники D и E, неподвижна. Если смотреть от точки Е к точке С, видно вращение маховика происходящим против направления вращения часовой стрелки. Тогда кинетический момент маховика относительно точки С направлен от точки С к точке Е и имеет модуль .

Предположим теперь, что раме сообщено вращение вокруг оси АВ с небольшой угловой скоростью и что это вращение происходит против направления вращения часовой стрелки, если смотреть от точки В к точке С. В этом случае точка F — конец вектора кинетического момента маховика — имеет вращательную скорость , направленную в сторону вращения рамы и равную по модулю

Главный момент внешних сил  относительно точки С геометрически равен скорости  u. На раму с укрепленным в ней маховиком действуют внешние силы: сила тяжести   гироскопа и реакции подшипников А и В, в которых находится ось рамы. Сила тяжести , приложенная в точке С, не имеет относительно нее момента, и, следовательно, главный момент внешних сил  представляет собой суммарный момент реакций подшипников.

Так как при вращении рамы центр тяжести гироскопа остается неподвижным, то главный вектор внешних сил равен нулю. Отсюда следует, что внешние силы, приложенные к гироскопу, приводятся к паре сил с моментом .

Реакции подшипников А и В складываются из статических и динамических реакций. Статические реакции, уравновешивающие силу тяжести , постоянны по модулю и направлению и вследствие симметрии

Динамические реакции составляют пару сил с моментом . Плоскость  пары  перпендикулярна  моменту и,   следовательно, совпадает с плоскостью, определяемой осями АВ и DE.

тогда динамические реакции подшипников

Статическая и динамическая реакции в каждой точке складываются геометрически. При вертикальном положении плоскости пары линии действия статических и динамических реакций совпадают. В этот момент одна из полных реакций подшипников имеет минимальное значение, а другая — максимальное:

По закону равенства действия и противодействия устанавливаем, что действие рамы на подшипники выражается также парой сил.

Момент пары сил, приложенной к подшипникам, равен по модулю    но направлен в противоположную сторону. Этот момент называют гироскопическим. Обозначим его , тогда

11. Вывод уравнения Лагранжа 2-го рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq1 (δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1  -Q1) + δq2(δ/ δt  - δT/ δq2 – δT/ δq2 – Q2) + … + δqS(δ/ δt  - δT/ δqS – δT/ δqS - QS) = 0

Где  q1, q2,…, qS – обобщённые координаты, q1, q2,…, qS -  обобщённые скорости, δq1, δq2,…, δqS - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q1, Q2,…, QS - обобщ. силы системы,  Т – кин. энергия системы. Т.к. δq1, δq2,…, δqS в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1 = Q1 } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt  *(δT/ δq2) – δT/ δq2 = Q2 }

12. Определение динамических давлений в подшипниках гироскопа.

Пользуясь  теоремой Резаля и формулой  u = Lcω1 = J ζωω1, получаем

MCE = u = Jζωω1, тогда динамические реакции подшипников

RAдин = RBдин = Jζωω1/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

PAдин = -RAдин; PBдин = -RBдин; PAдин = PBдин = Jζωω1/AB