Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_________________________________
С. А. Гельвер, С. Н. Смердин
кинематика и динамика
вращательного ДвИжЕния абсолюТНо твердого ТЕЛА
(примеры решения задач)
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний к решению задач по физике
Омск 2009
УДК 530.1 (075.8)
ББК 22.3
Г32
Кинематика и динамика вращательного движения абсолютно твердого тела (примеры решения задач): Методические указания к решению задач по физике / С. А. Гельвер, С. Н. Смердин; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 27 с.
Содержатся методические рекомендации по решению типовых задач по кинематике и динамике вращательного движения абсолютно твердого тела, приведены основной закон динамики и краткие теоретические сведения о кинематических и динамических характеристиках вращательного движения.
Предназначены для проведения практических аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов первого курса очной формы обучения всех факультетов университета.
Библиогр.: 3 назв. Табл. 1. Рис. 5.
Рецензенты: доктор филос. наук, канд. физ.-мат. наук,
профессор А. В. Гидлевский;
доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев.
_________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
1. Кинематические характеристики вращательного движения абсолютно
твердого тела. 6
2. Динамические характеристики вращательного движения абсолютно
твердого тела 12
3. Основной закон динамики вращательного движения. 16
4. Движение связанных тел с учетом вращения блока. 21
Библиографический список 26
ВВЕДЕНИЕ
При изучении курса общей физики необходимо уметь решать задачи, однако даже решение типовых задач нередко вызывает затруднения у студентов. Студенты должны знать и правильно применять законы и формулы курса общей физики, уметь выполнять элементарные математические операции и преобразования.
Настоящие методические указания предназначены для практических занятий и самостоятельной работы студентов при решении задач по теме «Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела». При подготовке к практическому занятию, контрольной работе следует внимательно с карандашом в руках проработать теоретический материал по изучаемому вопросу, поэтому каждый раздел данных методических указаний начинается с краткого изложения основных теоретических сведений, а затем приводится подробное решение нескольких типовых задач.
Решать задачи по физике необходимо в следующем порядке: внимательно прочитать условие задачи, кратко записать его и, если необходимо, перевести данные задачи в систему СИ, сделать в тетради рисунок, поясняющий условие задачи. Обычно задача решается в общем виде, т. е. сначала выводится окончательная формула, а затем в нее подставляются числовые данные задачи.
Решение физических задач студентами способствует закреплению теоретических знаний, умений и навыков, необходимых для будущих инженеров железнодорожного транспорта.
1. кинематические характеристики вращательного движения абсолютно твердого тела
1.1. Основные теоретические сведения
Основными кинематическими характеристиками твердого тела при вращательном движении являются угловое перемещение (угол поворота) , угловая скорость и угловое ускорение
Элементарное угловое перемещение и угловая скорость имеют нап-равление вдоль неподвижной оси вращения, которое определяется правилом правого винта (правилом «буравчика» [1]). Значение углового перемещения , совершаемого телом за некоторое время dt , равно значению малого угла поворота d, на который повернется тело за это время. Связь проекции вектора мгновенной угловой скорости на ось вращения и углового перемещения описывается соотношениями:
; ( 1.1)
. (1.2)
В случае произвольного вращения абсолютно твердого тела вектор углового перемещения определить невозможно [2].
Мгновенное ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Связь проекции вектора углового ускорения на ось вращения с проекцией угловой скорости и углом поворота описывается уравнениями:
; (1.3)
(1.4)
Направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости, если вращение ускоренное, и противоположно направлению угловой скорости при замедленном вращении.
В случае равнопеременного вращения (= const) из уравнений (1.2) и (1.4) можно получить следующие выражения:
; (1.5)
; (1.6)
; (1.7)
. (1.8)
Угол поворота за время t и число оборотов N, сделанных телом за это же время, связаны соотношением:
(1.9)
Значение угловой скорости может быть найдено через частоту вращения n по формуле:
. (1.10)
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Скорость, с которой точка движется по окружности, называется линейной. Связь линейной скорости точки, расположенной на расстоянии r от оси вращения, и угловой скорости описывается уравнением:
(1.11)
Быстрота изменения модуля линейной скорости точки характеризуется тангенциальным ускорением , проекцию которого на ось вращения можно определить по соотношению:
(1.12)
Быстрота изменения линейной скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением , направленным к центру окружности и равным по модулю:
(1.13)
Полное ускорение точки вращающегося тела определяется как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений:
. (1.14)
Модуль полного ускорения определяется по уравнению:
. (1.15)
1.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 1.1. Модуль линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, меняется с течением времени по закону: , где А = 2 м/с2; С = 2 м/с3 – константы. Найти: 1) модуль углового ускорения колеса в момент времени t1 = 2 c; 2) угловую скорость колеса в этот же момент времени; 3) зависимость угла поворота колеса от времени; 4) число оборотов, сделанных колесом за 10 с от начала вращения. Радиус колеса равен 1 м. Угловую скорость и угол поворота в начальный момент времени принять равными нулю.
|
Дано: |
Решение.
1) Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, угловое ускорение его вращательного движения и линейная скорость связаны соотношением (1.12):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
2) Модуль угловой скорости определяем по формуле (1.4):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
3) Находим зависимость угла поворота от времени, воспользовавшись соотношением (1.2):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
4) Число оборотов N, сделанных колесом за время t2, определяем из соотношения (1.9):
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
З а д а ч а 1.2. Барабан стиральной машины, вращаясь равнозамедленно при торможении, за 30 с уменьшил скорость вращения от 1000 об/мин до 600. Найти: 1) модуль углового ускорения барабана; 2) число оборотов, которое барабан сделает до полной остановки.
|
Дано: |
СИ |
Решение.
1) Проекцию углового ускорения на ось z определим из формулы (1.5):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
Отрицательный знак в ответе свидетельствует о том, что вектор углового ускорения направлен против выбранного направления оси вращения z и вектора угловой скорости .
2) Число оборотов, которые барабан сделает до полной остановки, определяем по формулам (1.8) и (1.9). В формуле (1.8) конечное значение проекции угловой скорости полагаем равной нулю, так как барабан останавливается:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
З а д а ч а 1.3. Диск радиусом 50 см вращается вокруг вертикальной оси симметрии так, что зависимость модуля угловой скорости от времени задается выражением: где А = 1 рад/с; В = 2 рад/с2; С = 3 рад/с3. Определить модули нормального, тангенциального и полного ускорений точек диска, максимально удаленных от оси вращения, через 2 с от начала движения.
|
Дано: R = 0,5 м А = 1 рад/с В = 2 рад/с2 С = 3 рад/с3 t1 = 2 c |
Решение.
Модуль нормального ускорения в момент времени t1 определяем по формуле (1.13):
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
Модуль тангенциального ускорения в момент времени t1 определяем по формуле (1.12):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
Модуль полного ускорения в момент времени t1 определяем по формуле (1.15):
;
2. Динамические характеристики вращательного движения абсолютно твердого тела
2.1. Основные теоретические сведения
Основными динамическими характеристиками вращательного движения являются момент силы момент инерции I, момент импульса (кинетический момент) [3].
Различают момент силы относительно точки (векторная величина) и момент силы относительно оси (скалярная величина).
Моментом силы относительно любого центра (точки) О называется физическая величина, определяемая соотношением:
(2.1)
где радиус-вектор, проведенный из центра О в точку приложения силы
Модуль момента силы рассчитывается по формуле:
(2.2)
где угол между векторами и ; плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия силы), .
Проекция вектора момента силы на любую ось, например z, проходящую через центр О, называется моментом силы относительно оси Oz и обозначается В случае, когда ось вращения твердого тела закреплена, ось Oz рекомендуется совмещать с осью вращения.
В СИ момент силы измеряется в ньютон-метрах (Нм).
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси Oz – скалярная величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращении относительно этой оси, вычисляется по формуле:
(2.3)
где плотность; объем тела.
Формулы для определения момента инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно центральной оси симметрии приведены в таблице.
Формулы для определения момента инерции тел
правильной геометрической формы
|
Обруч |
Диск |
Шар |
Стержень |
Если ось вращения Oz не проходит через центр масс (центр инерции) твердого тела, то момент инерции относительно такой оси вращения определяется по теореме Штейнера:
I = Io + mb 2, (2.4)
где Io – момент инерции тела относительно параллельной оси Oz, проходящей через центр масс (центр инерции) тела; b – расстояние между этими осями.
Моментом импульса (моментом количества движения) частицы относительно какой-либо точки О называется векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс :
= . (2.5)
В случае вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z, проходящей через центр масс тела, его моментом импульса относительно этой оси называется произведение момента инерции тела I на проекцию его угловой скорости :
. (2.6)
В СИ момент импульса измеряется в килограмм-метрах в квадрате на секунду в минус первой степени (кгм2с1).
2.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 2.1. На тонком невесомом стержне вплотную друг к другу «нанизаны» два одинаковых шара. Диаметр каждого шара – 20 см, масса – 200 г. Найти момент инерции системы относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр первого шара (рис. 2.1).
|
Дано: |
СИ |
|
D = 20 см m = 200 г |
0,2 м 0,2 кг |
|
I ? |
Решение.
Рис. 2.1
Момент инерции системы шаров будет равен сумме моментов инерции каждого шара. Определяем момент инерции I1 первого шара, его ось вращения совпадает с центральной осью симметрии этого шара, поэтому в соответствии с данными таблицы записываем:
.
Для вычисления момента инерции I2 второго шара воспользуемся теоремой Штейнера (2.4), так как ось вращения не совпадает с центральной осью этого шара:
.
Определяем момент инерции всей системы:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
З а д а ч а 2.2. На тонком стержне массой m1 = 500 г и длиной l = 60 см закреплены шар массой m2 = 90 г и радиусом R2 = 5 см и диск массой m3 = 150 г и радиусом R3 = 10 см (рис. 2.2). Система вращается вокруг оси z1 с частотой 120 об/мин. Определить момент импульса системы относительно оси вращения.
|
Дано: |
СИ |
|
n = 120 об/мин |
2 об/с |
|
m1 = 500 г |
0,5 кг |
|
m2 = 90 г |
0,09 кг |
|
m3 = 150 г |
0,15 кг |
|
l = 60 см |
0,6 м |
|
R2 = 5 см |
0,05 м |
|
R3 = 10 см |
0,1 м |
|
Lz1 – ? |
Решение.
Рис. 2.2
Момент импульса системы относительно оси z1 рассчитываем по формуле (2.6):
.
Момент инерции системы находим как сумму моментов инерции стержня, шара и диска.
Относительно оси z1 момент инерции стержня определяется по формуле:
;
шара –
;
диска –
.
Расчетная формула будет иметь вид:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
Производим подстановку данных задачи и расчет:
3. Основной закон динамики вращательного движения
3.1. Краткие теоретические сведения
Основной закон динамики вращательного движения при вращении абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси описывается формулой:
(3.1)
где – сумма проекций на ось вращения моментов всех сил, приложенных к твердому телу; – момент инерции тела относительно оси вращения; – проекция углового ускорения на эту ось.
3.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 3.1. Шар массой 700 г и радиусом 5 см вращается равноускоренно вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, делая 120 об/мин. Под действием постоянного вращающего момента частота его
вращения увеличилась до 8 об/с в течение 10 с. Найти: 1) угловое ускорение шара; 2) число оборотов, которое шар сделал за это время; 3) модуль вращающего момента.
|
Дано: |
СИ |
|
no = 120 об/мин |
2 об/с |
|
n = 8 об/с |
|
|
m = 700 г |
0,7 кг |
|
t1 =10 c |
|
|
R = 5 см |
0,05 м |
|
, N(t1), М – ? |
Решение.
1) Под действием постоянного момента силы шар вращается равноускоренно, поэтому проекция его угловой скорости на ось вращения зависит от времени и рассчитывается по формуле (1.5). Из этой формулы можно определить проекцию углового ускорения:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
2) Число оборотов, сделанное шаром за время , выражаем из формулы (1.9) и подставляем в получившееся уравнение выражение (1.8):
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
3) Модуль вращающего момент определим в соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела (3.1), момент инерции шара – в соответствии с данными таблицы. После подстановки выражения для в формулу (3.1) получим:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
З а д а ч а 3.2. Тонкий стержень длиной 20 см и массой 2 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно стержню. Угол поворота стержня с течением времени меняется по закону: , где А = 2 рад; В = 2 рад/с; С = –1 рад/с2. Определить модуль тормозящего момента и время равнозамедленного вращения.
|
Дано: |
СИ |
|
А = 2 рад |
|
|
m = 2 кг |
|
|
В = 2 рад/с |
|
|
С = –1 рад/с2 |
|
|
l = 20 см |
0,2 м |
|
М, t1 – ? |
Решение.
Связь тормозящего момента момента инерции стержня и углового ускорения описывается формулой (3.1). Величину определяем по уравнению (1.3), а момент инерции стержня – в соответствии с данными таблицы. После подстановки уравнения (1.3) в формулу (3.1) получаем:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
Для определения времени равнозамедленного вращения определяем зависимость проекции угловой скорости от времени по соотношению (1.1):
.
В момент остановки стержня , тогда искомое время рассчитываем по формуле:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
.
Производим подстановку данных задачи и расчет:
.
З а д а ч а 3.3. С какой силой следует прижимать тормозную колодку к ободу вращающегося с угловой скоростью 34 рад/c колеса в форме сплошного диска массой 8 кг и радиусом 50 см, чтобы колесо остановилось в течение 10 с. Коэффициент трения между колодкой и колесом равен 0,32. Вращение считать равнозамедленным.
|
Дано: |
СИ |
|
R = 50 см |
0,5 м |
|
m = 8 кг |
|
|
t1 = 10 c |
|
|
F – ? |
Решение.
Когда прижимается тормозная колодка к вращающемуся диску с силой появляется касательная сила трения , пропорциональная этой силе давления:
Сила трения создает тормозящий момент:
.
Момент можно определить и по формуле (3.1):
С учетом соотношения (3.1) можно определить модуль силы давления F:
.
Момент инерции определяем по данным таблицы, а угловое ускорение – из выражения (1.5), полагая в нем
Расчетное выражение для определения модуля силы давления будет иметь вид:
.
Проверяем размерность полученного выражения:
Производим подстановку данных задачи и расчет:
4. Движение связанных тел с учетом вращения блока
4.1. Основные теоретические сведения
При решении задач на движение связанных тел с учетом вращения блока нити можно считать невесомыми и нерастяжимыми, а момент сил трения в блоках можно не учитывать, если это не оговорено в условии задачи.
Прежде чем рассматривать решение конкретных задач с учетом вращения блока, авторы настоящих методических указания считают целесообразным привести некоторые типовые примеры. Общим в примерах является решение системы алгебраических уравнений, составленной из основных уравнений динамики поступательного и вращательного движений:
(4.1)
При условии, что нить при вращении блока движется без проскальзывания, можно предположить равенство ускорения поступательного движения точек нити и тангенциального ускорения точек обода вращающегося блока, т. е. С учетом уравнения (1.12) получаем:
(4.2)
где R – радиус блока.
Рассмотрим два примера вращения блока.
П р и м е р 1. Вращается блок, на который намотана нить с прикрепленным грузом массой m (рис. 4.1). Момент инерции блока относительно оси вращения равен Iz. На груз действуют силы тяжести и натяжения нити Будем рассматривать движение груза относительно системы отсчета, ось y которой направлена вертикально вниз. Груз движется равноускоренно. Уравнение движения груза (первое уравнение в системе (4.1)) в проекции на ось y имеет вид:
. (4.3)
Вращение блока будем рассматривать относительно оси z, которая нап-равлена по оси вращения «от нас» (см. рис. 4.1). На блок действуют силы тяжести , реакции опоры и натяжения нити Вращающий момент создает
только сила Моменты сил тяжести и реакции опоры равны нулю, поскольку эти силы проходят через центр вращения и, следовательно, плечо каждой из сил равно нулю. Блок вращается равноускоренно. Уравнение вращательного движения блока (второе уравнение в системе (4.1)) имеет вид:
(4.4)
Модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо, которое равно радиусу блока R. Благодаря невесо-мости нити силы натяжения и равны по модулю. Тогда с учетом формул (4.4) и (4.2) уравнение вращения блока можно записать в виде:
(4.5)
Система уравнений (4.1) принимает вид:
(4.6)
П р и м е р 2. Вращается блок, через который перекинута нить с прикрепленными с обоих концов грузами массой m1 и m2 (рис. 4.2). В данном примере все рассуждения проводятся аналогично рассуждениям, приведенным в примере 1, за исключением двух отличий. Первое отличие состоит в том, что вращающие моменты создают силы натяжения нитей и . Проекция момента силы на ось вращения z положительна, а силы – отрицательна. Тогда результирующий вращающий момент, приложенный к блоку, будет определяться по формуле:
. (4.7)
Перепишем уравнение (4.7) с учетом формулы (4.2):
(4.8)
Второе отличие состоит в том, что необходимо записать два уравнения динамики поступательного движения (для каждого груза), которые в проекции на ось y будут иметь вид:
(4.9)
Решая совместно уравнения (4.8) и (4.9), можно определить модули сил и ускорение а .
4.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 4.1. На горизонтальном столе лежит брусок массой 0,1 кг (рис. 4.3), к нему привязана нить, перекинутая через блок радиусом 10 см, укрепленный на краю стола. К свободному концу нити привязана гиря массой 0,2 кг. Найти момент инерции блока и силы натяжения нити, если за 2 с от начала движения брусок перемещается на 80 см. Коэффициент трения скольжения бруска о стол равен 0,15.
|
Дано: |
СИ |
|
m1 = 0,1 кг m2 = 0,2 кг t = 2 c |
0,8 м 0,1 м |
При движении грузы 1 и 2 участвуют в поступательном движении, а блок – во вращательном, поэтому для решения задачи воспользуемся основными уравнениями поступательного и вращательного движения.
На первый груз действуют силы трения , тяжести , натяжения нити и реакции опоры ; на второй груз – силы тяжести и натяжения нити . На блок действуют силы тяжести, реакции в опоре и натяжения нитей и . Выбираем инерциальную систему отсчета, совмещая ее с неподвижной осью вращения блока так, чтобы ось z была направлена вдоль оси вращения (по правилу буравчика), а оси x и y – вдоль линии движения грузов.
Дальнейшее решение задачи совпадает с решением, приведенным в примере 2 (см. рис. 4.2). Отличие будет состоять в основном уравнении поступательного движения для бруска массой , которое будет иметь вид:
. (4.10)
Запишем уравнение (4.10) в проекции на ось x:
.
В проекции на ось у уравнение (4.10) примет вид:
,
отсюда получим:
.
Модуль силы трения скольжения определяем по формуле:
.
Тогда система уравнений (4.9) для рассматриваемой задачи будет иметь вид:
(4.11)
Модуль ускорения а определяем из формулы кинематики поступательного движения:
.
В условиях рассматриваемой задачи и в проекции на ось y последняя формула будет иметь вид:
,
отсюда
.
Модули сил натяжения нитей и выразим из системы уравнений (4.11):
Проверяем размерность полученных выражений:
Производим подстановку данных задачи и расчет:
Уравнение вращательного движения блока будет аналогично выражению (4.8):
,
Отсюда выразим момент инерции:
Проверяем размерность полученного выражения:
Производим подстановку данных задачи и расчет:
Библиографический список
1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М., 2001. 542 с.
2. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М., 1989. 607 с.
3. Савельев И. В. Курс физики / И. В. Савельев. М., 1989. Т. 1. 293 с.
Учебное издание
ГЕЛЬВЕР Сергей Александрович,
СМЕРДИН Сергей Николаевич /
кинематика и динамика
вращательного ДвИжЕния Абсолютно ТВЕРДОГО ТЕЛА
(Примеры решения задач)
_____________________________
Редактор Т. С. Паршикова
* * *
Подписано в печать .12.2009. Формат 6084 1/16.
Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,1. Уч.-изд. л. 2,3.
Тираж 800 экз. Заказ .
* *
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
С. А. ГЕЛЬВЕР, С. Н. СМЕРДИН
кинематика и динамика
вращательного ДвИжЕния абсолюТНо твердого ТЕЛА
(примеры решения задач)
ОМСК 2009
33
PAGE 1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 4.2
EMBED Equation.3