У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.4.2025

МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания

КУРСОВАЯ РАБОТА

взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.

Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.

Казань – 2007


Содержание

Введение

  1.  Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости
  2.  Математическая модель взаимодействия пузырьков
  3.  Методика решения
  4.  Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
  5.  Заключение
  6.  Литература
  7.  Приложение. (Программа расчета).


Введение

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.

В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).

Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.


Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями

,   .           (1)

Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , ,  (нижний индекс  означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , , , –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси  неподвижной декартовой системы координат  (рис.1).

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:

кинематическое

,                                           (2)

и динамическое

.                                                     (3)

Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.

Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)

,                         (4)

где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.

На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости  совершает гармонические колебания

,                                    (5)

где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.

Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.

Математическая модель взаимодействия пузырьков

В пятом приближении относительно  уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров

;

;

;

;

Методика решения

Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.

;

()/;

/;

/;

/;

/;

/;

;

()/;

()/;

()/;

/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:

Решим уравнение методом последовательных приближений.

 В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.

Подставляя  выражения, находим уравнения нулевого приближения:

В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.

Исходя из этого, можем записать следующую систему:

Полученные дифференциальные  уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).

  1.  С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:

;

;

Решение для нулевого приближения для одного пузырька

;

Вводим замены:

;             ;         ;;

= =;

 - начальное давление газа в пузырьке;

; -давление газа в пузырьке.

А - константа Ван-дер-Ваальса;

- коэффициент поверхностного натяжения;

- давление газа в пузырьке;

- статическое давление в жидкости;

- Начальный радиус пузырька;

R - Радиус пузырька;

- Центр пузырька;

u - Вектор скорости жидкости;

-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где

- амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ().

- Плотность жидкости;

- Скорость звука в жидкости;

- Кинематический коэффициент вязкости

- расстояние между пузырьками.

;

;

Обозначим слагаемые и сомножители через: , ,,,:

; ; ;

; ;

;

 ;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

; ;  ; = =;

;

;

; ; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Решение для первого приближения одного пузырька

;

;

;

;

();

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

Решение для второго приближения одного пузырька

;

/

;

;

();

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

Решение для третьего приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для четвертого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для пятого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

  1.  Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:

;

;

где , (j = 1,  i = 2);

- Кинематический коэффициент вязкости;

,

, , ,

Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

                                          

Для первого уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;

Для второго уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;

 

Рис.1. Изменение радиуса пузырька и  положения его центра во времени.

 

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

z

x

Рис.1




1. Реферат- Каучуки и резиновые материалы
2. Эпидемиология и профилактика ВИЧ-инфекции
3. а Аомэнь Макао Вануату Гуам Израиль Кирибати КНР КНДР Кокосовые ова Кука ова Марианские Острова Марш
4. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук.1
5. Если принять во внимание исследования имевшие место в XX веке именно в этой области в России и за рубежом и
6. Теоретичні основи безпеки життєдіяльності
7. Статья- Франсуа Кенэ
8. I. Паспортная часть Ф.html
9. Искусство публицистики
10. Стратегические союзы