Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 9
В глубокой древности возник и затем стал широко использоваться метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называете умозаключением по аналогии. Уже первобытный человек многократно наблюдал постоянство некоторых связей между признаками в предметах и явлениях. Если есть корни и ствол, то, как правило, есть и ветви. С течением времени эти связи признаков вещей привели к формированию уверенности в том, что если у двух предметов имеются одинаковые существенные признаки, то несмотря на различие этих предметов вполне возможно, что они обладают и другими одинаковыми признаками.
Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики. Наиболее древние письменные тексты, известные в настоящее время, относят примерно к 2000 г. до н.э. Это время расцвета двух великих цивилизаций Египта и Вавилона. Имеются некоторые основания полагать, что вавилоняне уже пользовались исключительно важным для моделирования понятием подобия в форме такого элементарного геометрического подобия, как подобие прямоугольных треугольников.
Значительное развитие моделирование получает в древней Греции в V— III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы. Греческий врач Гиппократ для изучения человеческого глаза воспользовался его физической аналогичной моделью — глазом быка [1]. Греческим математиком Евклидом было построено учение о геометрическом подобии.
По мере развития и укрупнения механического производства, металлургии, кораблестроения, градостроительства, строительства гидротехнических сооружений в XVI—XVIII вв. все чаще обнаруживается недостаточность геометрического подобия физически однородных объектов для прогнозирования свойств объектов больших размеров на основании свойств объектов меньших размеров. Например, при постройке в Венеции (XVII в.) галеры увеличенного размера подпорки с сечениями, выбранными на основании геометрического подобия, оказались недостаточно прочными. «Прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел», — отметил Галилей (1564—1642 гг.).
Это требовало развития вопросов подобия при физическом моделировании. Первый шаг в этом направлении был сделан И. Ньютоном (1643—1727), сформулировавшим условия подобия механических явлений. Затем развитие учения о подобии длительное время шло путем определения частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. В 1909—1914 гг. в результате работ Н. Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции пи-теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании.
Параллельно с развитием материального (физического) моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме, которое было связано прежде всего с развитием математики. В конце XVI в. Д. Непер (1550—1617) изобрел логарифмы. В. XVII в. И. Ньютон и Лейбниц (1646—1716) создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими получают развитие численные методы решения различных задач.
Стремление упростить, ускорить и облегчить вычисления приводит к появлению различных вычислительных устройств. По существу это материальные формальные подобные модели таких логических объектов, как различные математические операции. Первыми вычислительными устройствами были многочисленные предшественники русских счетов. Русские счета появляются в XVI в. и принимают почти современный вид в XVII в. Это первое простейшее цифровое вычислительное устройство для полуавтоматического выполнения арифметических операций. В начале XVII в. появляется логарифмическая линейка — простейшее аналоговое вычислительное устройство для полуавтоматического выполнения операций умножения и деления.
На рубеже XIX и XX вв. появляются счетно-решающие механизмы, арифмометр.
В 30-х гг. ХХ века начинается развитие электромеханических, а затем электрических аналоговых и цифровых вычислительных устройств, приведшее к появлению в середине ХХ столетия современных электронных вычислительных машин.
Стремительное развитие вычислительной техники в последние годы превратило математическое моделирование в эффективный инструмент исследования самых различных областей науки и техники.
В настоящее время моделирование и методы, развиваемые в теории моделирования, широко применяются в самых различных областях •науки и техники.
Итак, что же такое моделирование?-
Моделирование – процесс замещения одних объектов другими, обеспечивающий фиксацию наиболее существенных свойств и особенностей замещаемых объектов.
Оригинал – замещаемый (моделируемый) объект.
Модель – замещающий объект, позволяющий изучить или фиксировать некоторые свойства оригинала.
Модели классифицируются по следующим признакам:
По первому признаку модели разделяют на логические и материальные. Логические модели функционируют по законам логики в сознании человека, материальные — по объективным законам природы.
К логическим моделям относятся:
1. Образные - выражающие свойства оригинала с помощью наглядных чувственных образов, имеющих прообразы среди элементов оригинала. Например, в кинетической теории газов частицы газа образно моделируются в виде упругих шаров, воздействующих друг на Друга только во время столкновений.
2. Знаковые - выражают свойства оригинала с помощью условных знаков или символов. К ним относят математические выражения и уравнения, физические и химические формулы и т. п.
3. Образно-знаковые модели обладают признаками образных и знаковых моделей (схемы, графики, чертежи, графы и т. д.).
К материальным моделям относятся:
1. Функциональные - отражают только функциональные свойства оригинала.
2. Геометрические отражают только пространственные свойства оригинала.
3. Функционально-геометрические модели отражают одновременно функциональные и пространственные свойства оригинала.
В зависимости от физической однородности и разнородности с оригиналом функциональные и функционально-геометрические модели разделяют на физические и формальные. Физические – физически однородны с оригиналом (например, последовательное соединение резистора и конденсатора является физической моделью потребителя энергии генератора). Формальные – физически разнородны с оригиналом (например, если оригинал — маятник, то электрический колебательный контур является его формальной моделью).
По второму признаку различают условные, аналогичные и математические модели.
1. Условные выражают свойства и отношения оригинала на основании принятого условия или соглашения. У таких моделей сходство с оригиналом может совершенно отсутствовать. К ним относятся все знаковые и образно-знаковые модели.
2. Аналогичные модели обладают сходством с оригиналом, достаточным для перехода к оригиналу на основании умозаключения по аналогии, т. е. на основании логического вывода, что оригинал, возможно, обладает некоторым признаком, имеющимся у модели, так как другие признаки оригинала сходны с признаками модели.
3. Математические модели обеспечивают переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов.
Среди них выделяют расчетные и соответственные.
Расчетные модели выражают свойства и отношения оригинала с помощью математических представлений — формул, уравнений, графиков, таблиц, операторов, алгоритмов и т. д.
Соответственные модели содержат переменные величины, связанные с соответствующими переменными величинами оригинала определенными математическими зависимостями. Например, если два логических объекта — функции Z=ХУ, z=ху, и эти функции, а так же их независимые переменные связаны соотношениями х = lgХ, y = lgУ, z = lgZ, то каждый из таких объектов может служить соответственной моделью другого.
Математические модели имеют признаки условных моделей и могут обладать признаками аналогичных.
Важнейшей разновидностью соответственных моделей являют ся подобные, переменные величины которых пропорциональны соответствующим переменным оригинала. Они также могут быть логическими и материальными. Подобные материальные модели разделяют на аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные и гибридные) в зависимости от того, какие величины связывает их математическое описание— непрерывные, дискретные или одновременно непрерывные и дискретные.
В общем случае процесс моделирования состоит из нескольких этапов:
1. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.
2 Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала в натуре.
3. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.
4 Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.
5. Перенос результатов исследования модели на оригинал.
6. Проверка этих результатов.
Основными задачами теории моделирования являются выбор моделей и перенос результатов исследования моделей на оригинал, которые решаются с помощью эффективных достаточно общих методов.
Математическое моделирование — это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов.
Особое значение среди математических моделей имеют подобные, обеспечивающие перенос данных на оригинал на основании подобия.
Подобие— это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.
Сходственные функции различаются только аргументами и не нулевыми постоянными. Среди функций
1. z=xcosy, 2. u=2ucos3w, 3. r=4s cos (5t+6), 4. q = 7p cos(8l+9)
сходственными являются первая и вторая, третья и четвертая.
Сходственные переменные — это переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом. По аналогии с этим можно говорить и о сходственных постоянных. Сходственные функции x = al + a2X1 ln a3X2, и y = b1 + b2Y1 ln b3Y2 содержат сходственные переменные х и у, X1 и Y1, X2 и Y2и сходственные постоянные а1 и b1, а2 и b2, а3 и b3.
Сходственные уравнения получаются приравниванием нулю или друг другу сходственных функций.
Пример: Дифференциальные уравнения y1+a1yl = a2x, и y'2+b1y2 = b2z являются сходственными, если
В случае
уравнения не являются сходственными.
Математическое описание конкретного объекта (его расчетная модель) может иметь разнообразную форму. В самом простейшем случае это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы хi:
y=f{X1,..., Xi,..., Xn) или сокращенно y=f(Xi), i = 1, 2,..., n.
В несколько более сложном случае это конечное уравнение:
F(y, X1,..., Xi,..., Xn)=0 или сокращенно F(y, Xi)=0, i = 1, 2,..., n,
выражающее зависимость у=f(Xi) в неявной форме.
В еще более сложном случае это обыкновенное дифференциальное уравнение:
F(y, y', y",…y{n},xi, хi', хi",... хi{m}, t) = 0,
связывающее независимую переменную t, известные функции Xi= =Xi(t), неизвестную функцию y=y(t) и производные функций хi, у. Если ввести оператор дифференцирования , то в символической форме:
F (у, Dy, D2y,... , Dny; xi, Dхi, D2хi,... Dmхi; t) = 0
или сокращенно F(y, xi, t, D)=0.
Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных
F{y, xi, t1, ..., tj,..., tk; D1, ..., Dj, ... , Dk) =0 или сокращенно
F(y, xi, tj, Dj, As) =0,
где и учтены постоянные коэффициенты As.
В самом общем случае под F можно понимать любой оператор, символизирующий совокупность некоторых действий, выполняемых над у, хi, tj, Dj.
Условия подобия
Два объекта подобны, если
1) они имеют сходственные математические описания:
F(y1, x1i, t1j, D1j, A1s) =0
F(y2, x2i, t2j, D2j, A2s) =0
где
y1, y2 и x1i, x2i — неизвестные и заданные функции независимых переменных t1j, t2j
2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называются масштабами или константами подобия
(2.3)
При условии (2.3) сходственные уравнения и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называются подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью.
Пример: Сходственные функции у1 = х12 и у2 = 8х22 подобны, если my = y1/y2 = 2, mх=х1/х2=4.
При этих условиях для них справедлива зависимость на рис. 2,а.
Если принять my =4, mх = 4, то сходственные функции y1 и у2 не будут подобными и их графические изображения не совпадают (рис. 2,б).
Рис. 2. Сходственные функции при наличии (а) и отсутствии (б) подобия.
Особыми частными случаями являются геометрическое, физическое и временное подобие.
Геометрическое подобие — это подобие геометрических образов: точек, линий, поверхностей, фигур, тел.
Физическое подобие означает подобие физически однородных объектов. Все масштабы являются при этом безразмерными величинами.
Временное подобие — подобие функций времени.
В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого. Если, например, имеются две подобные САУ, то, установив время переходного процесса одной из них t1 и зная временной масштаб mt, можно найти время переходного процесса другой системы t2=t1/mt.
Пример. Став обладателями атомной бомбы, американцы в пропагандистских целях сняли устрашающий кинофильм о распространении ударной волны и огненного шара, возникающих при взрыве. Просматривая этот фильм, один любознательный американец установил, что за некоторое время t волна распространяется на расстояние R. Располагая этими данными, выполнив анализ размерностей определяющих величин и получив единственный критерий подобия t2W-1R-51, он вычислил энергию взрыва W — секретную характеристику атомной бомбы.