Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ и ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Расчётно-графическая работа
по дисциплине: «Вычислительная математика»
на тему: «Применение производных. Комплексные числа»
Вариант №13
Подготовил: студент 117 класса
Сидорович Антон Викторович
Проверил: Царёв Валентин Геннадиевич
Севастополь 2008
1.
>> syms x
>> y=(3*x.^(4)+1)/x.^(3);
>> ezplot(y)
Из уравнения функции видно,что она имеет разрыв в точке х=0
Проверяем ф-цию на чётность, нечётность, периодичность
>> y=(3*(-1).^(4)+1)/(-1).^(3)
y =
-4
Ф-ция нечетна и непериодична
Проверяем функцию на наличие асимптот
Вертикальные асимптоты
>> limit(y,x,0,'right')
ans =
-4
>> limit(y,x,0,'left')
ans =
-4
Из этого следует, что х=0 – вертикальная асимптота(построим её)
>> hold on
>> x=0;
>> ezplot(x)
Наклонные асимптоты
>> k=limit(y/x,x,inf)
k =
3
>> b=limit(y-k*x,x,inf)
b =
0
Наклонная асимптота имеет вид y=kx+b,в нашем случае y=3x(построим и её)
>> y=3*x;
>> hold on
>> ezplot(y)
Исследуем функцию на монотонность
Находим производную
>> A=diff(y)
A =
12-3*(3*x^4+1)/x^4
Приравняем производную к нулю и найдём критические точки
>> solve(A)
ans =
[ 1]
[ -1]
[ i]
[ -i]
С помощью этих точек разобьём функцию на интервалы: (-∞;-1),(-1;1)и(1;∞)
Подставим точку х=-2 в производную функции
>> 12-3*(3*(-2)^4+1)/(-2)^4
ans =
2.8125
Получился знак «+»,значит ф-ция на интервале(-∞;-1) возрастает
Подставим х=0.5 в производную функции
>> 12-3*(3*0.5^4+1)/0.5^4
ans =
-45
Получился знак «-»,значит функция на интервале (-1;1) убывает
Подставим х=2 в производную ф-ции
>> 12-3*(3*2^4+1)/2^4
ans =
2.8125
Получился знак «+»,значит ф-ция на интервале (1;∞) возрастает
Из этого следует, что точка х=-1-точка максимума, а точка х=1-точка минимума
Найдём значение максимума и минимума функции
>> Fmax=(3*(-1).^(4)+1)/(-1).^(3)
Fmax =
-4
>> Fmin=(3*1.^(4)+1)/1.^(3)
Fmin =
4
Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость её графика
Находим вторую производную
>> A=diff(y,x,2)
A =
-36/x+12*(3*x^4+1)/x^5
Приравняем к нулю вторую производную, чтобы найти точки перегиба
>> solve(A)
Warning: Explicit solution could not be found.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\solve.m at line 136
In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\solve.m at line 49
ans =
[ empty sym ]
Из вышенаписанного следует, что точек перегиба графика функции нет
По графику функции определим её интервалы выпуклости и вогнутости
На интервале от -6 до -0.5 график функции вогнутый
На интервале 0.5 до 6 график функции выпуклый
Определяем точки пересечения графика с осями координат
С осью OY:
>> solve((3*x.^(4)+1)/x.^(3))
ans =
[ 1/3*3^(1/2)*(i*3^(1/2))^(1/2)]
[ -1/3*3^(1/2)*(i*3^(1/2))^(1/2)]
[ 1/3*(-3*i*3^(1/2))^(1/2)]
[ -1/3*(-3*i*3^(1/2))^(1/2)]
Не пересекает
С осью OX:
>> y=(3*0.^(4)+1)/0.^(3)
Warning: Divide by zero.
(Type "warning off MATLAB:divideByZero" to suppress this warning.)
y =
Inf
Не пересекает
2.
1.
Запишем функцию из под предела
>> syms n
>> y=x.^(n)*exp(-x.^(2));
Найдём её производную
>> A=diff(y)
A =
x^n*n/x*exp(-x^2)-2*x^n*x*exp(-x^2)
Найдём предел по правилу Лопиталя
>> limit(A,x,inf)
ans =
0
2.
Запишем функцию из под предела
>> syms x
>> y=(1-x)*tan(pi*x/2);
Найдём её производную
>> A=diff(y)
A =
-tan(1/2*pi*x)+1/2*(1-x)*(1+tan(1/2*pi*x)^2)*pi
Найдём предел по правилу Лопиталя
>> limit(A,x,1)
ans =
0
3.
>> %Площадь прямоугольного триугольника:S=1/2*a*b
>> %уравнение прямой :x/a+y/b=1 при Х=4 и У=1 переходит в 4/a+1/b=1
>> %Выражаем из уравнения а через b:
>>%a=4*b/(b-1)
>>%Записываем площадь треугольника, как S=f(b):
>> syms a b
>> S=(4*b/(b-1))*b*(1/2)
S =
2*b^2/(-1+b)
>>%Ищем первую производную от функции:
>> S1=diff(S)
S1 =
4*b/(-1+b)-2*b^2/(-1+b)^2
>>%Приравниваем ее к 0:
>> S12=solve('4*b/(-1+b)-2*b^2/(-1+b)^2=0')
S12 =
[ 0]
[ 2]
>> %Значение Х=0 не удовлетворяет (по условию)
>> %Ищем точку минимума функции S:
>> S2=diff(S,b,2)
S2 =
4/(-1+b)-8*b/(-1+b)^2+4*b^2/(-1+b)^3
>> subs(S2,b,2)
ans =
4
>> %b=2-точка минимума, по-этому нужно найти а:
>> b=2
b =
2
>> a=4*b/(b-1)
a =
8
>> %уравнение прямой: x/8+y/2=1, С угловым коэффициентом:y=2-x/4
>> %построим эту прямую:
>> y=2-x/4
y =
2-1/4*x
>> syms x
>> y=2-x/4
y =
2-1/4*x
>> ezplot(y)
4.
Из условия запишем само комплексное число
>> z=i-3;
Решим уравнение с помощью стандартного оператора
>> solve('z^(4)')
ans =
[ 0]
[ 0]
[ 0]
[ 0]
Решим уравнение с помощью формулы Муавра
>> r=abs(z)
r =
3.1623
>> phi=angle(z)
phi =
2.8198
>> phi=2.8198*180/pi
phi =
161.5626
>> r=abs(z);
>> phi=2.8198*180/pi;
Формула Муавра
>> Z=r^(4)*(cos(4*phi)+i*sin(4*phi))
Z =
60.7783 -79.4103i
>> solve('Z')
Warning: List of equations is empty.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\solve.m at line 85
ans =
[ empty sym ]
Изобразим комплексное число на комплексной плоскости(из результатов решения 2-мя способами)
1способ:
>> z=3-i;
>> z^(4)
ans =
28.0000 -96.0000i
>> compass(z)
2 способ:
>> Z=r^(4)*(cos(4*phi)+i*sin(4*phi));
>> compass(Z)