Тема- матрицы и определители Вопросы- Понятие матрицы и виды матриц Квадратные матрицы и их определ
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Раздел II Элементы линейной алгебры
Тема: матрицы и определители
Вопросы:
- Понятие матрицы и виды матриц
- Квадратные матрицы и их определители
- Свойства определителей квадратных матриц
- Действия над матрицами
- Обратная матрица
Учебник: И.В.Виленкин, В.М. Гробер «Высшая математика» для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей вузов. Издание 2008г.
Глава 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1 первоначальные понятия. линейные операции над матрицами. умножение матриц
МАТРИЦЕЙ размера m*n называется прямоугольная таблица чисел
содержащая т строк и п столбцов. Каждый элемент матрицы аik имеет два индекса: i — номер строки и k номер столбца. Краткая форма записи матрицы:
A= (aik) m, n.
Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка п, если она состоит из п строк и п столбцов.
Матрица размера 1 х п называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m х 1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ.
НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.
ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей га-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
Определение главной диагонали:
Главной диагональю квадратной матрицы называется её диагональ, составленная из элементов а11, а22, а33, …, аnn
ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нули:
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
СУММОЙ матриц А = (aik)m п и В = (blk)m называется матрица А + В = (aik + bik)mn.
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (aik)m п на число 𝛌 называется матрица 𝛌А=( 𝛌аik)m,n.
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел 𝛌 и µ выполняются свойства:
Докажем свойство 5):
Доказательство остальных свойств читатель проведет самостоятельно.
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ , строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы — строками матрицы А.
ПРИМЕР 1. Даны матрицы
Построить матрицу С=2А-3В+АТ.
РЕШЕНИЕ.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом её столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.
ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы
В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это — условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А • B существует, а произведения B • А — нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т. е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А- В≠ В-А- Если А, В, С — квадратные матрицы одинакового порядка и Е — единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:
Свойство 1) оставим без доказательства ввиду его громоздкости. Докажем 2):
Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.
1.2. определители второго и более высоких порядков. свойства определителей.
порядка
Определителем 2-го порядка (матрицы А) называется
ПРИМЕР. Вычислить определитель матрицы
РЕШЕНИЕ.
Минором элемента называется определитель Mik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-ro столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число Аik=(-1)i+k Mik .
Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:
ПРИМЕР 3. Вычислить определитель матрицы
РЕШЕНИЕ. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:
Вычисляем искомый определитель:
Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.
Определителем n-го порядка называется число
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Изложенные ниже свойства справедливы для любого n-го порядка. Доказательства будем проводить для n=3.
- Определитель не меняется при транспонировании, т.е. Т)=. Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк.
- Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.
- Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
- Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
- Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.
- Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
- Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.
Если нулю равны все элементы другой строки, то, поменяв ее местами с первой (что может повлиять лишь на знак определителя), мы сведем дело к предыдущему. Свойства 4), 6) читатель докажет самостоятельно, используя понятие определителя.
Док-во 5). Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой — на основании св. 2, он поменяет знак, т. е.
Док-во 7) следует теперь из 6) и 5)
- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
Доказательство. Раскладывая по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а11 на определитель такого же вида (n-l)-ro порядка с ведущим элементом а22. Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а22 на определитель такого же вида (n-2)-го порядка. Это значит, что равен произведению а11*а22 на этот новый определитель. Продолжая этот процесс, необходимое число раз, приходим к
равенству
a11*a22*a33…ann.
Сформулируем без доказательства еще один важный факт.
квадратные матрицы одного
ТЕОРЕМА 1.1. Если А и В - порядка, то
1.3. обратная матрица. существование и структура обратной матрицы
Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если
А*А-1=А-1*А=Е.
ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. чтобы (А)≠0.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (А)≠0• Докажем, что обратной к матрице А является матрица
В самом деле,
Каждый из элементов главной диагонали равен определителю (А), ибо представляет собой сумму произведений элементов одной из строк матрицы на свои алгебраические дополнения. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8).
Поэтому,
Совершенно аналогично доказывается, что. А * А-1= Е. Это завершает доказательство достаточности.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано, что матрица А-1 существует. Надо доказать, что (А) ≠0 . Допуская, что (А) = 0, мы бы получили из равенства А• А-1 = Е, (А) • (А-1) = Е, откуда (А)*-1)=1, что невозможно, ибо левая часть этого равенства есть 0.
ПРИМЕР 4. Найти обратную к матрице
2 -1 -2
А= 3 1 -1
-2 3 4
РЕШЕНИЕ. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:
Находим определитель матрицы А:
Теперь записываем обратную матрицу
ПРОВЕРКА:
Значит, матрица А-1 найдена, верно.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. ВЫЧИСЛИТЬ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.
2. Для сдачи в Финансово Экономическом Институте
3. Законодательство Российской Федерации гарантирует социальную защиту всем участникам боевых действий
4. Жизненный путь Михаила Васильевича Ломоносова
5. Управление персоналом на предприятии
6. ІМСеребряковим та М
7. 2014 учебный год Дата Время Группа Пре
8. темах підтримки прийняття рішень на прикладі управління підприємством Спеціальність- 01.
9. Тема работы- Анализ технологического процесса как объекта управления и автоматизации Вариант 52201
10. тема государства и включенный в нее государственный бюджет
11. ТЕМА 26 Доходи у ринковій економіці Формування доходів це проблема яка не може залишити байдужою жодну л
12. Диалог. 7 1.2 Теоретические основы организации бухгалтерского учета основных средств в ОО
13. Особенности интерфейса программы finale
14. тарды~ пайымдауынша педагогикалы~ технология-C О~ыту процесін ~йымдастыруды~~ткізуді~ жанжа~ты ойласт
15. ИТАЛИЯ РОМАНТИКА 1й день Прибытие в Италию
16. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата хімічних наук Харків ~ Дис
17. Курсовая работа- Проектування гідроциліндра
18. обеспечение населения земного шара продуктами питания; обеспечение энергией; обеспечение сырьем в то
19. записка Програма Економіка для учнів 10 11 класів розроблена за формою запропонованою Міністерством осві
20. Статья- Текст как телесный обьект (творчество Алена Роб-Грийе)