Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Раздел II Элементы линейной алгебры
Тема: матрицы и определители
Вопросы:
Учебник: И.В.Виленкин, В.М. Гробер «Высшая математика» для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей вузов. Издание 2008г.
Глава 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1 первоначальные понятия. линейные операции над матрицами. умножение матриц
МАТРИЦЕЙ размера m*n называется прямоугольная таблица чисел
содержащая т строк и п столбцов. Каждый элемент матрицы аik имеет два индекса: i — номер строки и k номер столбца. Краткая форма записи матрицы:
A= (aik) m, n.
Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка п, если она состоит из п строк и п столбцов.
Матрица размера 1 х п называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m х 1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ.
НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.
ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей га-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
Определение главной диагонали:
Главной диагональю квадратной матрицы называется её диагональ, составленная из элементов а11, а22, а33, …, аnn
ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нули:
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
СУММОЙ матриц А = (aik)m п и В = (blk)m называется матрица А + В = (aik + bik)mn.
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (aik)m п на число 𝛌 называется матрица 𝛌А=( 𝛌аik)m,n.
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел 𝛌 и µ выполняются свойства:
Докажем свойство 5):
Доказательство остальных свойств читатель проведет самостоятельно.
ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица АТ , строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы — строками матрицы А.
ПРИМЕР 1. Даны матрицы
Построить матрицу С=2А-3В+АТ.
РЕШЕНИЕ.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом её столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.
ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы
В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это — условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А • B существует, а произведения B • А — нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т. е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А- В≠ В-А- Если А, В, С — квадратные матрицы одинакового порядка и Е — единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:
Свойство 1) оставим без доказательства ввиду его громоздкости. Докажем 2):
Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.
1.2. определители второго и более высоких порядков. свойства определителей.
порядка
Определителем 2-го порядка (матрицы А) называется
ПРИМЕР. Вычислить определитель матрицы
РЕШЕНИЕ.
Минором элемента называется определитель Mik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-ro столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число Аik=(-1)i+k Mik .
Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:
ПРИМЕР 3. Вычислить определитель матрицы
РЕШЕНИЕ. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:
Вычисляем искомый определитель:
Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.
Определителем n-го порядка называется число
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Изложенные ниже свойства справедливы для любого n-го порядка. Доказательства будем проводить для n=3.
Если нулю равны все элементы другой строки, то, поменяв ее местами с первой (что может повлиять лишь на знак определителя), мы сведем дело к предыдущему. Свойства 4), 6) читатель докажет самостоятельно, используя понятие определителя.
Док-во 5). Если поменять местами одинаковые строки, то, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой — на основании св. 2, он поменяет знак, т. е.
Док-во 7) следует теперь из 6) и 5)
Доказательство. Раскладывая по элементам 1-го столбца, получаем произведение ведущего элемента а11 на определитель такого же вида (n-l)-ro порядка с ведущим элементом а22. Раскладывая этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем произведение а22 на определитель такого же вида (n-2)-го порядка. Это значит, что равен произведению а11*а22 на этот новый определитель. Продолжая этот процесс, необходимое число раз, приходим к
равенству
a11*a22*a33…ann.
Сформулируем без доказательства еще один важный факт.
квадратные матрицы одного
ТЕОРЕМА 1.1. Если А и В - порядка, то
1.3. обратная матрица. существование и структура обратной матрицы
Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если
А*А-1=А-1*А=Е.
ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. чтобы (А)≠0.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Дано: (А)≠0• Докажем, что обратной к матрице А является матрица
В самом деле,
Каждый из элементов главной диагонали равен определителю (А), ибо представляет собой сумму произведений элементов одной из строк матрицы на свои алгебраические дополнения. Все остальные числа в результирующей матрице равны нулю на основании второй части свойства 8).
Поэтому,
Совершенно аналогично доказывается, что. А * А-1= Е. Это завершает доказательство достаточности.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Дано, что матрица А-1 существует. Надо доказать, что (А) ≠0 . Допуская, что (А) = 0, мы бы получили из равенства А• А-1 = Е, (А) • (А-1) = Е, откуда (А)*-1)=1, что невозможно, ибо левая часть этого равенства есть 0.
ПРИМЕР 4. Найти обратную к матрице
2 -1 -2
А= 3 1 -1
-2 3 4
РЕШЕНИЕ. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:
Находим определитель матрицы А:
Теперь записываем обратную матрицу
ПРОВЕРКА:
Значит, матрица А-1 найдена, верно.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. ВЫЧИСЛИТЬ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ.