Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 24
Расчеты трещиностойкость
Хрупкое разрушение связано с возникновением в материале трещин, инициированных дефектами в структуре материала, состоянием поверхности в результате обработки или коррозии, действием повторно-переменных нагрузок (усталостные трещины) и т. п. Возникшие трещины сначала развиваются во времени медленно, а потом – быстро. Рост трещин со временем может происходить и при постоянной нагрузке.
Первые основополагающие исследования о развитии хрупких трещин связывают с именем А. Гриффитса, который рассмотрел условия развития единичной трещины в пластине бесконечных размеров и единичной толщины, находящейся в условиях одноосного растяжения (рис.1). При этом требовалось установить, при каком значении внешнего напряжения σ = σкр, приложенного к пластине на бесконечности, трещина с начальной длиной 2l станет неустойчивой, т.е. начнет быстро распространяться при постоянном внешнем напряжении σ.
Рис.1 Растяжение плоскости с одиночной трещиной
(задача Гриффитса)
Для расширения трещины нужно затратить некоторую работу на преодоление сил взаимодействия соседних слоев. Обозначим через γ работу, необходимую для образования единицы новой поверхности. Тогда поверхностная энергия рассматриваемой пластины, обусловленная образованием трещины,
Г=4γl (1)
Значение γ (плотность поверхностной энергии) можно считать константой материала. Ее определяют экспериментально.
Потенциальная энергия деформации пластины в связи с образованием в ней трещины уменьшается на величину
(2)
представляющую собой разность потенциальных энергий деформации пластины без трещины и с трещиной в виде вытянутого эллипса.
Исходя из закона сохранения энергии, А. Гриффитс предложил следующую формулировку критерия разрушения: трещина начинает распространяться в том случае, когда при вариации ее длины >0 приращение поверхностной энергии компенсируется соответствующим количеством потенциальной энергии деформации (полагают, что другие виды энергии отсутствуют):
(3)
где с учетом (1) и (2)
, (4)
(5)
Приращение поверхностной энергии δГ — величина положительная: она характеризует увеличение внутренней энергии тела, в то время как приращение потенциальной энергии деформации δW — величина отрицательная, так как эта часть энергии выделяется телом (благодаря релаксации напряжений в связи с появлением новых, свободных от нагрузки поверхностей тела). Подставляя (4) и (5) в (3), получим
(6)
Отсюда находим
(7)
В случае плоской деформации (когда εz= 0) в последней формуле следует модуль упругости Е заменить на Е/(1 – μ2). Тогда
(8)
Формулы (7), (8) определяют критическое напряжение, при котором происходит самопроизвольный, без дополнительной работы внешних сил, рост имеющейся в теле трещины длиной 2l.
Теория Гриффитса не учитывает докритического роста трещины, наблюдаемого экспериментально. Теория позволяет выразить хрупкую прочность через физические и механические свойства материала, показывает, что максимальная разрушающая нагрузка имеет место не при возникновении трещины, а после достижения некоторых критических размеров. Последнее свидетельствует о том, что существуют безопасные, неразвивающиеся трещины, которые, однако, могут перейти в опасные в результате понижения температуры, динамического действия нагрузки, старения материала и т. п.
В принципе, можно по критическому значению длины трещины и характеру внешней нагрузки, вводя соответствующий запас на наличие трещины, устанавливать допуск на размер трещины, с которой деталь может работать заданное время. Поскольку не каждая трещина опасна, механика разрушения может развиваться как наука, создающая надежные методы защиты конструкций от хрупкого разрушения.
Теорию Гриффитса можно применять также для металлов и сплавов, обладающих некоторой пластичностью.
Е. Орован и Д. Ирвин на основе концепции энергетического баланса Гриффитса предложили дополнительно учесть энергию пластического деформирования, введя в формулу (7) вместо истинной удельной поверхностной энергии γ эффективную поверхностную энергию γэф = γ + γр, где γр – работа пластического деформирования при образовании единицы поверхности. Такой подход позволил перейти от идеального материала в схеме Гриффитса к реальным металлическим материалам. Схема квазихрупкого разрушения позволила перевести модель А. Гриффитса в разряд инженерных представлений, в которых трудно воспринимаемая величина поверхностной энергии тела заменяется на эффективную удельную энергию разрушения, доступной для экспериментального определения.
Таким образом, условие квазихрупкого разрушения металлов принимает вид
(9)
Опыты показывают, что для сталей γр≈103γ. Следовательно, в (2.9) можно пренебречь величиной γ и принять γэф ≈ γр. Заметим, что γp ~ 200 Дж/м2, a γ~0,l Дж/м2.
Отметим, что использование энергетического критерия Гриффитса не требует рассмотрения явлений, происходящих в малой окрестности конца трещины. При его применении оперируют с величинами энергий и их разностями для всего тела в целом. Поэтому в общем случае энергетический критерий разрушения является необходимым условием разрушения, но не достаточным. Необходимое количество энергий разного вида может присутствовать, но для реализации их взаимного перераспределения надо еще наличие достаточного условия, например достижение напряжением у вершины трещины величины теоретической прочности.
разрыв сдвиг срез
Рис.2 Типы растрескивания
В развитии трещины различают три простейших типа смещения ее берегов относительно друг друга в соответствии с действием различных внешних нагрузок (рис. 2). При деформации растяжения (схема I) возникает трещина
Рис.3 Трещина в бесконечной пластине.
отрыва, когда ее поверхности смещаются (расходятся) в направлениях, перпендикулярных к поверхности трещины; при деформации поперечного сдвига (схема II) поверхности берегов трещины смещаются поперек ее передней кромки; при нагрузке по схеме III образуются трещины продольного сдвига, при котором точки поверхности трещины смещаются вдоль ее передней кромки. Очевидно, если на тело с трещиной действует произвольная
нагрузка в области применимости закона Гука, на основании принципа суперпозиции любое смещение берегов развивающейся трещины можно представить в виде суммы приведенных трех типов смещений.
Наиболее опасным и распространённым в технике является первый тип трещины, поэтому ограничимся рассмотрением напряжений в зоне вершины трещины именно этого типа.
Рассмотрим задачу о трещине типа I (рис.3). На рисунке изображена бесконечная пластина, находящаяся под действием растягивающего напряжения σ, которое вызывается приложенными в бесконечности силами.
Нормальные напряжения, действующие на элементе dxdy, вычисляются следующим образом:
σz = 0 (плоское напряженное состояние)
σz = ν (σx+ σy) (плоская деформация)
Для других типов трещин также получены выражения для напряжений, аналогичные формулам (10). Приведённое решение в силу его простоты, является одним из основных в механике разрушения.
Процесс разрушения материала сосредоточен в малой окрестности вершины трещины, где весьма высока концентрация напряжений, обусловленная малым радиусом закругления. Напряженное состояние в этой области при различных схемах нагружения на основе методов теории упругости (формулы (10)) можно в общем виде представить следующим образом:
(11)
где i, j = x, у.
Величина К, зависящая от вида нагружения, величины нагрузки и формы трещины, называется коэффициентом интенсивности напряжений (размерность К – сила/длина3/2). В зависимости от вида нагрузки (см. схемы рис.2) коэффициенты интенсивности напряжений отмечают соответственно индексами I, II или III, т. е. КI, KII, KIII, r и θ — полярные координаты с полюсом в вершине трещины; fij — некоторая функция угла θ.
Когда известен коэффициент КI поле напряжений при вершине полностью определено. В частности, при плоском напряженном состоянии для нагрузки по схеме I формулы (10) имеют вид
(12)
Перемещения u и v точек в направлении осей х и у соответственно определяются формулами
В случае плоской деформации, когда εz =0, в формулах (13) следует заменить (1–μ)/(1+μ) и 1/(1+μ) на величины (1–2μ) и (1–μ) соответственно.
Часто при расчетах бывает достаточно вместо рассмотрения самих напряжений оперировать только с коэффициентом КI. Отсюда можно сделать вывод об использовании коэффициента интенсивности напряжений при построении критерия разрушения упругих тел с трещинами. Разработка методов отыскания значений этого коэффициента является важной проблемой в механике развития трещин.
По определению коэффициент интенсивности напряжений около вершины трещины при плоской деформации:
(14)
что следует из анализа напряженного состояния у вершины трещины. Так, при растяжении пластины с трещиной длины 2l, расположенной посредине ширины пластины, этот анализ позволяет установить выражение для нормального напряжения в сечении пластины в окрестности трещины:
(15)
где х – координата, отсчитываемая от середины трещины, r =х–l. У вершины трещины, при x→0,r→0, напряжения неограниченно возрастают по величине. Подставляя эти значения в (14) и вычисляя предел, находим:
(16)
Аналогично можно получить выражения для коэффициентов интенсивности напряжений KII и KIII соответственно схемам нагружения II и III на рис.2. Таким образом, имеем:
При одинаковых коэффициентах интенсивности напряжений в различных телах с трещинами, поля напряжений у вершин трещин будут одинаковыми. Это обстоятельство позволяет рассматривать коэффициент интенсивности напряжений КI как параметр, характеризующий напряжённое состояние у вершины трещины в зависимости от формы тела, размеров трещины, способа нагружения.
Именно это обстоятельство и позволило принять величину КI за критерий, определяющий начало роста трещины. По Д. Ирвину в линейной механике разрушения: трещина будет распространяться тогда, когда величина коэффициента интенсивности напряжений достигнет критического значения, характерного для данного материала. Этот подход, получил название силового.
Принятие величины КI за параметр, контролирующий рост трещины, предполагает существование его предельного значения КIС, соответствующего началу неконтролируемого роста трещины.
КIС принимается за одну из характеристик материала.
Критерий развития трещин нормального отрыва имеет вид:
КI=KIс (17)
Аналогично записывают два других критерия KIIс и KIIIс для трещин поперечного и продольного сдвига: КII=KIIс, КIII=KIIIс
КIС есть мера трещиностойкости материала. Поэтому КIС называют «вязкостью разрушения при плоском деформированном состоянии». Для материалов с малой вязкостью разрушения допускаются только маленькие трещинки.
Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений определяют экспериментально. Методика их определения регламентируется соответствующими стандартами.
Усовершенствование методов анализа напряжений в конструкциях позволяет уменьшить коэффициенты запаса и, следовательно, повысить уровень эксплуатационных напряжений. В результате вероятность развития трещины из раковины или другого разрыва сплошности повышается. Использование современных высокопрочных материалов с относительно низким сопротивлением росту трещины приводит к необходимости решать дополнительные проблемы, связанные с быстрым ростом трещин в этих материалах при уменьшении остаточной прочности. Если важна масса конструкции, то коэффициенты запаса уменьшают еще больше и появление трещин становится более вероятным.
Экономика производства требует, чтобы эксплуатация конструкций была надежна в течение всего расчетного срока службы. В результате некоторой неточности при определении расчетных нагрузок, а также из-за возможных небольших дефектов производства следует ожидать, что трещины возникают задолго до полного окончания срока службы. В некоторых конструкциях (сильно нагруженные сечения, сварные швы) в материале могут содержаться начальные раковины, достаточно острые для того, чтобы вызвать разрушение сколом немедленно после начала эксплуатации конструкции.
Конструкция для обеспечения надежности должна быть спроектирована с таким расчетом, чтобы способность ее воспринимать значительные нагрузки сохранялась даже при наличии трещин и разрушенных частей: конструкция должна допускать повреждения. Для обеспечения надежности необходимо также, чтобы повреждение можно было обнаружить прежде, чем оно достигнет опасного размера, либо чтобы оно никогда не достигало опасного размера в течение всего расчетного срока службы. Если конструкция отвечает этим требованиям, то она определенно надежна.
Надежность конструкции подразумевает ее достаточную устойчивость к повреждениям – такую, чтобы соблюдение мер предосторожности обеспечило ее надежную эксплуатацию. Меры предосторожности заключаются в своевременных проверках на наличие трещин, осуществляемых на протяжении всего времени эксплуатации. Если наложено требование, чтобы начальное повреждение не могло увеличиться до опасных размеров, то следует иметь гарантию того, что начальное повреждение не превышает определенного максимального размера: проверку следует проводить до начала эксплуатации конструкции. Если трещина, после того как она образовалась, может расти достаточно быстро, чтобы достигнуть опасного размера в течение срока службы, то проверку конструкции следует проводить периодически.
Очевидно, ни одно из средств механики разрушения, пригодных для проектирования, не может считаться совершенным, хотя некоторые из них были доведены до того уровня, на котором полученные с их помощью результаты можно считать достоверными. При проектировании надежной конструкции необходимо решить следующие задачи:
Существуют инженерные методы решения всех приведенных задач, однако эти решения имеют явные недостатки. Дополнительная трудность может заключаться в том, что для использования той или иной процедуры будет недостаточно экспериментальных данных, хотя сам по себе метод пригоден для применения в инженерных приложениях.
В настоящее время существует различные методики проверок: прямые (визуальный, красители, рентген и др.) и косвенные (ультразвуковой, вихревые токи и др.). Оценивать методику проверки следует по степени ее эффективности. При определении наиболее полезной методики проверки следует учитывать следующие факторы:
а) доступность применения;
б) чувствительность методики и минимальный размер трещины, при котором применение данной методики делает возможным ее об наружение;
в) частоту проведения проверок.
Долгое время надежность проектируемых конструкций основывалась на качественных суждениях инженера. В настоящее время стали возможными количественные расчеты, особенно по отношению к остаточной прочности. Следует ожидать, что в дальнейшем будет улучшена методика проведения подобных расчетов и в отношении процесса распространения трещины.
7
PAGE 8
Сопротивление материалов. Конспект лекций.
(13)
(10)
σу
dy
dх
2l
θ
τху
σх
х
у
r
σ
σ