Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1 Ма́трица -- это прямоугольная таблица чисел, где каждой строке и каждому столбцу соответствует свой элемент (число). Общее количество элементов матрицы равно произведению количества строк и столбцов. Вообще говоря, Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры.
Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
Т.е., определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы определитель равен нулю.
Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.
В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы на число заключается в построении матрицы .
Свойства умножения матриц на число:
Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен
Свойства сложения матриц:
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .
Свойства умножения матриц:
3 Нахождение матрицы обратной данной
Метод Гаусса заключается в следующем. Первоначально записывается данная по условию матрица А. Справа к ней добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы. Далее выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк А. Действие осуществляется до тех пор, пока слева не образуется единичная матрица. Матрица, появившаяся на месте расширенной матрицы (справа) и будет являться А^(-1). При этом стоит придерживаться следующей стратегии: сперва необходимо добиться нулей снизу главной диагонали, а затем сверху.Данный алгоритм прост при написании, но на практике к нему необходимо привыкнуть. Однако в последствие вы сможете выполнять большую часть действий в уме. Поэтому в примере все действия будут выполняться крайне подробно (вплоть до отдельного выписывания строк).
4.Предел числовой последовательности (элементы, свойства)
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
5 Методы решения системы линейных уравнений (Метод Крамера, Метод Гаусса).
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704—1752), предложившего этот метод в 1750 г.[1]
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы[2].
6. Вычисление алгебраичных дополнений.
7.Определители и их свойства
Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:
Основные свойства определителей:
1.1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
1.3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
8Производная. Правила дифференцирования. Геометрический смысл и физический смысл.
Произво́дная (-ый, -ое) — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Основная статья: Касательная прямая
Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией
Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени
Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью
9 Производные высших порядков
Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной
10. Исследование функций с помощью производной.
11 Исследование на экстремум (необходимое и достаточное условие
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
12.Полное исследование функций.
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
13.Неопределенный интеграл и его свойства. Метод вычисления.
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.
13.Неопределенный интеграл и его свойства. Метод вычисления.
Задачей дифференциального исчисления являлось нахождение для каждой функции её производной. Поставим обратную задачу: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x). Например, для функции
этому условию удовлетворяет функция
так как
Это одна из типичных задач об обратной операции, которые очень часто встречаются в математике. Так, например, ещё в элементарной математике задача об умножении поставила обратную задачу о делении, задача возведения в степень вызвала обратную задачу извлечения корня и т.д. Точно так же задача дифференцирования ставит обратную задачу об отыскании функции по её производной.
14.Определенный интеграл. Геометрический смысл интеграла. Способы вычисления.
15.Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений.
16.Сложная функция и правило её дифференцирования
17.Точки перегиба.
Точка перегиба функции — это точка, в которой функция непрерывна и при переходе через которую функция меняет направление выпуклости.
18.Характер выпуклости.