Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема. Поняття натурального числа. Назви натуральних чисел. Символи для їх запису. Число нуль. Множина цілих невід’ємних чисел. Упорядкованість, нескінченність і дискретність множини цілих невід’ємних чисел.
План.
Мета.
Ознайомити студентів з історичними етапами розвитку поняття числа, із поняттям натурального числа, назвами натуральних чисел і символами для їх запису, теоретико – множинним змістом кількісного натурального числа і нуля, правилами лічби, формувати вміння використовувати правила лічби у практичній діяльності вчителя, повторити і розширити знання про множину цілих невід'ємних чисел та її властивості, розвивати мислення, виховувати інтерес до математики та обраної професії.
Література.
Студент повинен знати:
означення: натурального числа, відрізка натурального ряду, лічби, кількісного натурального числа, числа елементів множини;
теоретико – множинний зміст кількісного натурального числа і нуля та їх позначення символами математичної мови;
правила лічби;
властивості множини цілих невід'ємних чисел.
Студент повинен вміти:
розрізняти порядкові і кількісні натуральні числа, натуральні і цілі невід’ємні числа;
співвідносити кількісне натуральне число класу скінченних рівнопотужних множин;
використовувати правила лічби у практичній діяльності вчителя.
Основні поняття: натуральне число, відрізок натурального ряду, лічба, кількісне натуральне число, порядкове натуральне число, число елементів множини, теоретико – множинний зміст кількісного натурального числа, теоретико – множинний зміст нуля, порожня множина, скінченна множина, рівнопотужні скінченні множини, клас скінченних рівнопотужних множин, множина цілих невід'ємних чисел, нескінченність, впорядкованість, дискретність.
1. Коротка історія розвитку поняття числа.
Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Виникло воно із практичних потреб людства. Складалось поступово у процесі розв’язання спочатку практичних задач, а потім і теоретичних. Головною причиною, яка привела людину до створення натурального числа, була необхідність порівнювати скінчені множини між собою. У своєму розвитку поняття числа пройшло декілька етапів:
З часом люди навчились називати числа, позначати їх при письмі, виконувати з ними дії. Пізніше числа стали самостійними об’єктами. Наука, яка стала вивчати числа, дії над ними, отримала назву «арифметика».
Арифметика виникла в країнах Древнього сходу: Вавилоні, Єгипті, Китаї, Індії; пізніше математичні знання отримали розвиток в Древній Греції. В середні віки великий вклад у розвиток арифметики внесли вчені Індії, країн арабського світу, Середньої Азії, а починаючи з XIII ст. - європейські вчені.
2. Визначення натурального числа і нуля.
Означення. Натуральні числа – це числа, які застосовують при лічбі предметів. Натуральні числа є порядкові і кількісні.
Вказуючи при лічбі на кожен елемент деякої множини, називають порядкові натуральні числа (перший, другий і т. д.). Наприклад: перелічуючи елементи множини називаємо слова «перший», «другий», «третій», «четвертий», тобто використали порядкові натуральні числа. Перелічивши елементи множини, вони дають кількісну характеристику цієї множини. У нашому прикладі ми говоримо, що їх у множині А «чотири», тобто даємо кількісну характеристику множини А і використовуємо при цьому кількісне натуральне число. Іншими словами, ми використали множину чисел , яку називають відрізком натурального ряду.
Означення. Відрізком натурального ряду називається множина натуральних чисел, яка не перевищує натурального числа а. Позначається Nа. Будь-який відрізок Nа при а >1 містить 1.
Наприклад: N4 є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4; тобто N4 = .
Лічба елементів множини А – це встановлення взаємнооднозначної відповідності між елементами множини А і відрізком натурального ряду чисел Nа.
Число а називають числом елементів у множині А. Позначається: п (А)=а. Це число для даної множини єдине і є кількісним натуральним числом. Отже, при перелічуванні елементів множини використовуються порядкові натуральні числа, які виражаються числівниками «перший», «другий», «третій» і т. д. (тобто відповідають на питання, який при лічбі); для встановлення кількості елементів множини (тобто для відповіді на питання «скільки»), використовуються кількісні натуральні числа, які виражаються числівниками «один», «два», «три» і т.д.
Таким чином, кількісні і порядкові натуральні числа знаходяться в тісному взаємозв’язку. Тісний зв’язок порядкового і кількісного натурального чисел знайшов своє відображення в початковому навчанні математики. Так при вивченні чисел першого десятка відповідь на питання: «Скільки предметів в даній групі?» - дається кількісним натуральним числом, а на питання: «Який при лічбі буде даний предмет?» - відповідь дається порядковим натуральним числом.
При лічбі дотримуються певних правил:
3. Теоретико – множинний зміст кількісного натурального числа і нуля.
Розкриємо зміст кількісного натурального числа з теоретико-множинних позицій, використовуючи поняття рівнопотужних множин.
Відберемо в один клас всі скінчені множини, які рівно потужні деякій скінченій множині А; в другий клас множини, рівно потужні іншій скінченій множині - В і т. д. В силу того, що відношення рівно потужності є відношенням еквівалентності, всі скінченні множини будуть розподіленні за класами еквівалентності. Всі множини одного класу мають спільну властивість, а саме - в них однакова потужність (тобто однакова кількість елементів - що і є кількісним натуральним числом).
Означення. Кількісним натуральним числом називається загальна властивість класу скінченних рівнопотужних множин.
Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число.
Кожному натуральному числу відповідає тільки один клас рівнопотужних множин.
Кожній скінченій множині відповідає одне і тільки одне натуральне число а = n (А), але кожному натуральному числу відповідають різні скінчені множини одного класу еквівалентності.
Наприклад: числу 3 відповідають множина сторін трикутника, множина його вершин, множина кутів, множина букв у слові «мир» і т. д.
Теоретико-множинний смисл числа нуль: „Нуль - це загальна властивість класу порожніх множин: 0 = п (Ø)”.
В початковому курсі математики при розкритті поняття числа в темі: «Числа першого десятка» кількісне натуральне число розглядається як загальна властивість класу скінчених рівнопотужних множин.
4. Властивості множини цілих невід’ємних чисел.
1. Множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним.
Для будь - яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а < b, а = b, а > b.
Можна розташувати числа так, щоб для будь-яких двох чисел спочатку йшло число менше, тоді отримаємо ряд цілих невід’ємних чисел: 0, 1, 2, З, 4,...
2. Множина цілих невід’ємних чисел нескінчена. Для кожного цілого невід’ємного числа а можна вказати число, яке слідує безпосередньо за ним. Це число а + 1.
3. Множина цілих невід’ємних чисел дискретна. Це означає, що не можна вказати таке натуральне число, яке знаходиться між цілими невід’ємних числами а і а + 1. Самі ці числа називаються сусідніми.
При вивченні чисел першого десятка в 1 класі з’ясовується утворення кожного числа натурального ряду (прилічуванням і відлічуванням одиниці). При цьому використовуються поняття «слідує», «передує», «попереднє число», «наступне число», тобто створюються умови, щоб учні зрозуміли властивості чисел натурального ряду: