Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЭУМК
УСТРОЙСТВА СВЧ И АНТЕННЫ
Лекция 5.
Излучение плоских раскрывов (апертурные антенны). Открытый конец волновода и рупорные антенны
5.1. Идеальная апертурная антенна
Сначала разберёмся, как работает идеальная апертурная антенна.
Пусть на отверстие в плоском непрозрачном экране падает плоская волна (рис.5.1).
Рис. 5.1. Падение плоской волны на отверстие в экране
Плоская волна – это простейшее решение уравнений Максвелла.
Рассмотрим частный случай. Ищем решение в виде:
Чтобы найти вектор Н из второго уравнения Максвелла, нужно вычислить ротор вектора Е. Для этого воспользуемся тождеством:
Здесь S – произвольная скалярная функция, V –произвольная векторная функция.
Получим:
После подстановки этого выражения во 2-е уравнение Максвелла, получим:
или Можно убедиться, что полученные векторные функции удовлетворяют и первому уравнению Максвелла. Плотность потока мощности в плоской волне определяется величиной вектора Пойнтинга:
( 5.1)
Излучение поля из отверстия эквивалентно излучению токов:
Перейдём к моментам полного тока:
Воспользуемся формулой для поля излучения электрического и магнитного элементов тока:
Подставляя в неё выражения для моментов тока, с учётом того, что вектор r для элементов электрического и магнитного токов один и тот же, получим:
Далее проводим вычисление векторных и скалярных произведений, с учётом того, что составляющая электрического тока направлена вдоль оси X, а составляющая магнитного тока – вдоль оси Y.
После подстановки полученных выражений в элемент излучённого поля и интегрирования этого элемента по площади отверстия в экране, получим выражение для электрического поля излучения:
Антенну, образованную отверстием в экране при нормальном падении на него плоской волны, называют идеальной апертурной антенной. Выражение электрического поля, излучённого идеальной апертурной антенной, по форме похоже на диаграмму направленности антенной решётки, с элементарным излучателем типа элемента Гюйгенса и множителем решётки, который можно представить в виде интеграла Фурье, если сделать замены:
(5.2)
(5.3,а)
В апертурной антенне информация о поляризации излучения содержится только в диаграмме направленности элементарного излучателя: .
5.2. КНД идеальной апертурной антенны
Рассчитаем КНД идеальной апертурной антенны в направлении оси Z. КНД определяется, как отношение максимальной плотности потока мощности к средней плотности потока мощности, излучаемой антенной. Максимальное значение модуля интеграла поля излучения (5.3,а) получается при ξ=η=0, то есть, при θ=0. В этом случае интеграл равен . Здесь S – это площадь отверстия. Но модуль диаграммы направленности элемента Гюйгенса (5.2), в этом случае, равен единице, поэтому .По величине максимального электрического поля излучения можно вычислить величину максимальной плотности потока излучённой мощности: .
Для расчёта КНД нужно ещё вычислить среднюю плотность потока излучённой мощности. Среднюю плотность можно вычислить как отношение полной мощности к площади поверхности сферы радиуса R0. Полная мощность вычисляется умножением плотности потока мощности в плоской волне в пределах отверстия на площадь отверстия. Итак,, . КНД идеальной апертурной антенны получим делением максимальной плотности потока излучения на среднюю:
.
5.3. Реальная апертурная антенна
Найденная связь КНД с площадью апертуры универсальна, то есть применима не только к идеальной апертурной антенне, но и к реальным антеннам. Нужно только заменить в формуле для КНД геометрическую площадь излучающей апертуры на эффективную площадь.
Форма диаграммы направленности идеальной апертурной антенны зависит от формы излучающей апертуры. Вычислим сначала диаграмму направленности прямоугольной апертуры (рис.5.2). Для этого достаточно вычислить интеграл в формуле (5.3,а) для случая прямоугольной области интегрирования. Пусть размер прямоугольника равен a в направлении оси X и b в направлении оси Y. Интеграл превращается в произведение двух интегралов. Вычисляя двойной интеграл по прямоугольнику, получим:
(5.4)
Рис.5.2. Система координат в прямоугольной апертуре и трёхмерное изображение диаграммы направленности. По горизонталям отложено и , по вертикальной оси – величина поля E
Обратим внимание на дискретный характер боковых лепестков при равномерном облучении прямоугольной апертуры. Ширину диаграммы направленности, определяемой формулой (5.4), можно найти с помощью таблицы 1. Для прямоугольной апертуры с равномерным распределением поля Δθ0.7 ~50.7 λ/a , где a – сторона прямоугольника. Уровень первого бокового лепестка ~ минус 13 дБ, согласно той же таблице.
Аналогично вычисляется диаграмма направленности круглой, равномерно облучённой апертуры (рис.5.3):
(5.5)
Рис.5.3. Изображение диаграммы направленности равномерно облучённой круглой апертуры
В случае равномерного облучения круглой апертуры вся диаграмма, как и её боковые лепестки, обладают осевой симметрией. Ширину диаграммы направленности круглой, равномерно облучённой апертуры можно найти по формуле: Δθ0.7 ~59 λ/d.
Класс реальных апертурных антенн очень широк. К нему относятся всевозможные рупорные антенны, излучатели, типа открытого конца волновода, рефлекторные и линзовые антенны. К апертурным антеннам можно отнести и некоторые типы антенных решёток
Изложенная теория идеальной апертурной антенны применима к реальным апертурным антеннам. Нужно лишь считать, что распределение поля E0 в пределах апертуры в реальных антеннах может меняться как по амплитуде, так и по фазе. В реальных антеннах также может быть заменён элемент Гюйгенса на какой-нибудь другой элементарный излучатель. С такими изменениями формула (5.3,а) остаётся в силе.
(5.3,б)
5.4. КНД и эффективная площадь реальной апертурной антенны
Рассчитаем КНД реальной апертурной антенны по этой, слегка видоизменённой формуле. Будем считать, что максимум модуля интегрального члена достигается в направлении (ξ=η=0). В этом же направлении при θ=0 имеет место максимум модуля диаграммы направленности элементарного излучателя, причём он равен единице. Тогда максимальное значение модуля электрического поля в дальней зоне можно вычислить по формуле:
из которого можно получить максимальное значение величины вектора Пойнтинга в дальней зоне:
Аналогичным образом вычисляется среднее значение величины вектора Пойнтинга в дальней зоне по величине полной излучённой мощности (в предположении, что к излучающей апертуре вектор Пойнтинга поля подходит по нормали):
,
КНД реальной апертурной антенны получим делением максимальной плотности потока излучения на среднюю:
; (5.6,а)
Отношение интегралов в этой формуле и представляет эффективную площадь реальной апертурной антенны.
(5.6,б)
Заметим, что для вычисления эффективной площади и КНД реальной апертурной антенны не требуется вычислять поле излучения, достаточно знать распределение поля в излучающей апертуре антенны. Важное неравенство между эффективной и геометрической площадями апертуры : . Это неравенство следует из интегрального неравенства Коши-Буняковского:
:
Отношение называется коэффициентом использования площади (КИП) апертуры или апертурной эффективностью антенны.
Применим полученные результаты. Проще всего применить известные нам результаты к апертурным антеннам с прямоугольной апертурой. Если функция распределения поля по апертуре может быть представлена произведением функций, каждая из которых зависит только лишь от X или от Y, интеграл также представляется произведением функций, подобно (5.4). Но в этом случае можно учесть неравномерный характер амплитудного облучения в разных плоскостях. Так, если в направлении оси Х поле меняется по косинусоидальному закону, а в плоскости Y - по равномерному, применяя результат из (таблица 1), получим:
(5.7)
Такие диаграммы направленности характерны для прямоугольных апертур, облучаемых синфазным полем со структурой амплитудного изменения как в прямоугольном волноводе с волной Н10. В плоскости Е ширина диаграммы направленности определяется уже приведённой формулой Δθ0.7 ~50.7 λ/b. В плоскости Н ширину можно найти с помощью таблицы 1: Δθ0.7 ~68.2 λ/a.
5.5. Открытый конец волновода
Перейдём к конкретным реальным апертурным антеннам. Начнём с антенн типа открытого конца волновода. Рассмотрим излучение из прямоугольного волновода с волной Н10. Хотя волна распространяется строго вдоль оси волновода и подходит к апертуре по нормали, соотношение касательных составляющих поля на апертуре будет отличаться от идеальной апертурной антенны из-за дисперсии волн в волноводе. Вместо элементарного излучателя типа элемента Гюйгенса, мы получим элементарный излучатель с диаграммой направленности
(5.8)
Здесь обозначено - множитель связи длин волн в волноводе и в свободном пространстве. Интегральный же множитель можно вычислить по формуле (5.6). На рис.5.4. показаны диаграммы направленности открытого конца прямоугольного волновода при λ=0.8 λкр и b/a=0.5. При расчёте диаграмм направленности апертурным методом не учитывается излучение электрических токов, вытекающих из волновода наружу, поэтому приемлемая точность расчётов достигается только в передней полусфере.
Рис. 5.4. ДН открытого конца прямоугольного волновода в Е и Н-плоскостях при λ=0.8 λкр и b=0.5a
Аналогичным образом могут быть рассчитаны диаграммы направленности открытого конца круглого волновода (рис.5.5). Диаграмма направленности элементарного излучателя рассчитывается по той же формуле (5.8). При вычислении же интегрального множителя разделения переменных не происходит. Интегральный множитель для круглого раскрыва, облучаемого волной типа Н11, в Е и Н плоскостях можно рассчитать по формуле:
(5.9)
В этой формуле: - функция Бесселя первого порядка и производная этой функции, a – радиус круглого волновода, 1.841 – приближённое значение первого нуля производной функции Бесселя первого порядка.
Рис.5.5. ДН открытого конца круглого волновода в Е и Н-плоскостях при λ=0.8 λкр
Направленность антенн, типа открытых концов волновода небольшая. Для прямоугольного волновода ширина диаграмм направленности Δθ0.5 в обеих плоскостях одинаковая, порядка 100˚, что соответствует КНД ~ 6 дБ. Для круглого волновода ширина диаграммы направленности в Е-плоскости 70˚, а в Н-плоскости порядка 90˚, КНД~ 8 ДБ. (Здесь оценка КНД выполнена по соотношению полного телесного угла сферы и телесного угла, занимаемого излучением антенны: КНД~ 4π/( ΔθE ΔθH )). Соотношение рабочей и критической длин волн λ=0.8 λкр в волноводах на рис.5.4,5.5 выбрано на нижней границе стандартной рабочей полосы частот металлических волноводов. При увеличении частоты (то есть, в рабочей полосе,) диаграммы направленности будут уже, но в одномодовом режиме ненамного. Чтобы существенно увеличить направленность антенн, нужно увеличивать размер излучающей апертуры. Этого можно достигнуть в рупорных антеннах.
13.2. Рупорные антенны
Рис.5.6. Пирамидальный рупор
В пирамидальном рупоре (рис.5.6) соотношение сторон излучающей апертуры может отличаться от соотношения сторон сечения питающего волновода, однако эпюры амплитуды электромагнитного поля в апертуре рупора такие же, что и в питающем волноводе. Пирамидальный рупор расширяется, как в Е-, так и в Н- плоскости. Но в антенной практике используются и такие рупоры, которые в одной из плоскостей не меняют ширины. Они называются Е-секториальным и Н-секториальным, в зависимости от плоскости, в которой происходит расширение.
При распространении волны по рупору от его горла к раскрыву фронт волны постепенно преобразуется из плоского в сферический. Из-за этого нарушается синфазность поля в апертуре. Величины отставания фронта волны Δa и Δb можно определить из элементарных геометрических соотношений в пирамидальном рупоре. Пусть нам известно сечение волновода a и b, размер излучающей апертуры A и B, а также длина рупора RA=RB. Исходя из этих размеров нетрудно найти углы α,и β:
и все остальные геометрические размеры. В частности, для величин Δa и Δb справедливы формулы:
;
Теперь можно найти распределение поля в апертуре рупора:
Здесь проведена приближённая замена сферической фазовой ошибки на квадратичную. Для вычисления диаграммы направленности рупора эти выражения следует подставить в интеграл (5.3,б). Диаграмму направленности элементарного излучателя нужно взять в форме элемента Гюйгенса, потому что при расширении волновода эффект дисперсии уменьшается. Появление квадратичной фазовой ошибки в апертуре рупора приводит к искажению диаграммы направленности (рис.5.7).
Рис.5.7. Искажение диаграммы направленности Е-секториального рупора из-за влияния квадратичных фазовых ошибок в апертуре (слева показано снижение эффективности вблизи главного направления, справа – полная диаграмма)
Рис.5.8. Искажение диаграммы направленности Н-секториального рупора (слева показано снижение эффективности вблизи главного направления, справа – полная диаграмма)
На рис.5.7 и 5.8 показаны диаграммы направленности Е-секториального и Н-секториального рупоров, искажённые за счёт влияния квадратичных фазовых ошибок в раскрыве. Слева на этих рисунках показано искажения, проявляющиеся в уменьшении уровня излучениия вдоль оси, а справа – искажения в области главного и боковых лепестков. Показано, как под влиянием фазовых ошибок сначала (при малых ошибках) заплывают «нули» диаграммы направленности, затем вообще сглаживается лепестковый характер диаграммы направленности. При наименьшей из показанных фазовых ошибок π/8 искажения в обеих плоскостях мало заметны в обеих плоскостях. Такую фазовую ошибку обычно считают допустимой.
Влияние квадратичной фазовой ошибки на КНД пирамидальной рупорной антенны можно оценить по формуле (5.6,а). Благодаря разделению переменных в этом случае полный КНД можно представить в виде произведения сомножителей, отвечающих каждой из плоскостей Е- и Н-.
Графики зависимости сомножителей от размеров апертуры и углов α и β приведены на рис.5.9. Так как выбрана логарифмическая размерность сомножителей (в дБ), то соответствующую величину полного КНД можно найти, как сумму величин в Е- и Н-плоскостях.
Каждый из сомножителей при увеличении размеров апертуры сначала растёт, в соответствии с ростом геометрической площади, достигает максимума, а затем уменьшается из-за влияния квадратичной фазовой ошибки. Рупор, соответствующий максимальным значениям КНД называется оптимальным. Величина фазовой ошибки на краю апертуры для оптимального рупора приближённо равна π/2 для Е-плоскости и 3 π/4 для Н-плоскости.
Рис.5.9.Влияние квадратичной фазовой ошибки (в плоскостях Е- и Н-) на КНД пирамидального рупора
Для оптимального в обеих плоскостях рупора при расчёте КНД можно пользоваться зависимостью:
.
Аналогичные результаты можно получить и для конического рупора, питаемого круглым волноводом с волной Н11.
В технике зеркальных антенн часто применяется круглый рупор, у которого распределение поля в раскрыве описывается функцией Бесселя нулевого порядка с нулём на границе раскрыва. Множитель комбинирования для такого рупора с постоянным распределением фазы поля в раскрыве описывается функцией:
где - первый нуль функции Бесселя:
z