Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
V. Ряди Фур’є
5. 1. Деякі властивості, пов’язані з визначеними інегралами
Спочатку нагадаємо означення періодичності функції:
Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке число , від додавання (або віднімання) якого до значення функції не зміниться:
.
Найменше додатне число, яке має таку властивість, називається періодом і позначається буквою :
.
Із означення випливає, що графік періодичної функції повторюється через кожний проміжок довжини (див. рис. 1).
Рис. 1.
Відмітимо властивість визначеного інтеграла, яка пов’язана з періодичністю функції.
Теорема 1. Для всякої періодичної функції періода виконується рівність
, (1)
де - довільне число.
Для доведення використаємо властивість адитивності визначеного інтеграла:
. (2)
В третьому інтегралі зробимо заміну , ,
якщо , то , якщо , то . Отже,
.
Таким чином, останній доданок в правій частині (2) знищується з першим доданком, і тому справджується рівність (1).
Теорема 2. Нехай функція задана на відрізку і є парною , тоді
. (3)
Для доведення необхідно розглянути рівність
,
і в першому інтегралі зробити заміну .
Теорема 3. Нехай функція задана на відрізку і є непарною , тоді
. (4)
5. 2. Ряди Фур’є для періодичних функцій
Тригонометричний ряд для функції , заданій на відрізку , вигляду
(5)
називається рядом Фур’є, якщо його коефіцієнти, які називаються коефіцієнтами Фур’є для , обчислюються за формулами:
, (6)
, (7)
, (8)
де .
Якщо є - періодичною, то згідно з теоремою 1 із 5.1 у формулах (6)-(8) інтеграли можна брати у межах від 0 до . Вибір відповідних меж залежить від зручності інтегрування.
Умови, яким повинна задовольняти функція , щоб її ряд Фур‘є (5) був збіжним, визначаються відомою теоремою Діріхле.
Теорема (Діріхле). Якщо функція , задана на відрізку задовольняє такі умови:
а) дорівнвє у всіх точках неперервності функції, які лежать усередині інтервала ;
б) дорівнює у всіх точках розриву;
в) дорівнює на кінцях проміжка.
Оскільки членами ряду (5) - - періодичні функції, то із збіжності ряду на відрізку випливає його збіжність для всіх . Отже, сума ряду є -періодичною функцією. Таким чином, для збіжності ряду Фур’є саме до функції необхідно вважати, що теж -періодична.
5. 3. Ряди Фур’є для парних і непарних -періодичних функцій
Якщо функція - -періодична і парна , то згідно з теоремою 2 із 5.1 формули (6) - (8) спрощуються, а саме,
, (9)
, (10)
,
де .
Ряд Фур’є для парної функції буде таким:
. (11).
Якщо ж функція - непарна , то відповідно до теореми 3 із 5.1
, (12)
і функція розкладається в ряд Фур’є по синусах:
. (13)
Приклад. Розкласти в ряд Фур’є функцію, яка на проміжку задається рівняння , і далі періодично поширена на всю вісь (див. рис. 2)
Рис. 2.
Розв’язання. Тут функція - непарна, тому за формулами (12) ,
.
Відповідно до формули (13) маємо:
.
Цей ряд збіжний до у всіх точках проміжка . Зокрема, якщо , то
.
Отже, за допомогою рядів Фур’є можна знаходити суми деяких числових рядів.
5. 4. Ряди Фур’є для -періодичних функцій
Якщо функція має період , тобто , то її ряд Фур’є має вигляд:
, (14)
де коефіцієнти Фур’є обчислюються за формулами:
, (15)
, (16)
, (17)
де .
У випадку парності отримаємо розклад по косинусах, тобто
, (18)
причому
(19)
, (20)
.
Якщо ж - непарна, то її ряд Фур’є містить синуси, тобто
, (21)
де , (22)
.
Зауважимо, що при , то всі формули (14) – (22) збігаються з формулами (5) – (13).
Приклад. Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію з періодом , яка на відрізку задається рівнянням
Розв’язання. Дана функція – парна (див. рис 3). Тому за формулою (19) маємо
Рис. 3.
.
Далі за формулою (20) знаходимо
Для парних , для -непарних , тобто
.
Отже,
.
Оскільки - неперервна для всіх , то ряд Фур’є збігається до для всякого .
Зокрема, якщо , то отримаємо рівність
.
Звідси знаходимо суму числового ряду
.
5. 5. Розклад в ряд Фур’є функцій, які задані на півперіоді
У тих випадках, коли функція задана на відрізку (зокрема може бути ), тоді її можна розкласти в ряд Фур’є за косинусами або синусами. Для цього достатньо продовжити на відрізок відповідно парним або непарним способом. Коефіцієнти Фур’є у такому разі обчислюються за формулами (19), (20) для парної функції, або за формулами (22) для непарної функції.
Приклади.
Розклатси в ряд Ф. Періодичні функції ф. , задані на проміжку по відповід. виразами:
|
1. . |
2. . |
|
3. . |
4. |
|
5. . |
6. Розкласти за синусами.
7. . Розкласти за косинусами.
Відповіді:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
PAGE 240
EMBED PBrush
EMBED PBrush