Векторы на плоскости и в пространстве
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.
Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.
Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Очевидно, что если из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существует числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что (2).
Если же равенство (2) справедливо только при , то векторы (1) называются линейно независимыми.
Базис на плоскости: любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости.
Базис в пространстве: любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Всякий вектор однозначно разлагается по базису.
Координаты вектора в данном базисе - коэффициенты разложения вектора по данному базису.
Признаки лин. зав. векторов на плоскости и в пространстве:
Теорема 1. Два вектора лин. зависимыкогда они коллинеарны.
Док-во:1.Пусть векторы и лин. зависимы: и из двух чисел по крайней мере одно отлично от нуля. Для определенности будем считать . Тогда и коллинеарны.
2. Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Если , то справедливо равенство: и лин. зависимы. Если же , то по теореме (если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , такое, что ) и лин. зависимы.
Теорема 2. Три вектора лин. зависимыкогда они компланарны.
Док-во:1. пусть векторы лин. зависимы: (*), где из трех чисел по крайней мере одно отлично от нуля. Возможны два случая.
А) Из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны. Тогда векторы компланарны.
Б) Из трех векторов никакие два неколлинеарны. Тогда в (*) каждое из чисел отлично от нуля и мы получаем: (**).
Возьмем направленные отрезки и . Три точки не лежат на одной прямой, поэтому существует единственная плоскость , проходящая через эти точки.
Строем отрезки и параллелограмм .
Имеем: .
Значит, (см. (**)). Векторы параллельны плоскости и, значит, компланарны.
2. Обратно, пусть векторы компланарны, т. е. параллельны одной плоскости . Возможны два случая.
А) Векторы и коллинеарны. Тогда по теореме 1. они лин. зависимы: , где по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Перепишем это равенство в виде: . Отсюда следует, что векторы лин. зависимы.
Б) Векторы и неколлинеарны ( значит,). Возьмем точку и отрезки (см. рис.). Точки принадлежат плоскости . Через точку проведем прямые и , обозначив . Тогда . Так как , то и по теореме (при n>1 векторы лин. зависимы когда один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы) заключаем, что векторы лин. зависимы.
Теорема3. Пусть векторы и неколлинеарны в некоторой плоскости . Тогда
- Всякий вектор этой плоскости можно разложить по векторам , : (1), где .
- Коэффициенты в (1) по определены однозначно.
Док-во: 1) , .
2) От противного:, где . Пусть
;
, что не может быть по условию.
Теорема 4. Пусть некомпланарные векторы. Тогда:
- Всякий вектор можно разложить по . (2), где .
- Коэффициенты в (1) по вектору определены однозначно.
Док-во: 1)
,
(в силу теоремы 3)
.
- От противного. , ,
и лежат в одной плоскости, тогда и лежит в этой же плоскости.
F
E
A
D
B
O
A
B
D
M
O
2. Имей мужество пользоваться собственным умом.html
3. на тему - Аудиторская проверка кредитных организаций коллективный договор
4. Тема- Финансово ~ кредитные учреждения в рыночной экономике План- 1 Финансовый рынок и его функции 2Финан
5. лекция Понятие философии Функции философии- Гносиологическая одна из основополагающих функций филосо
6. Лекція 15 ЗАХІДНОУКРАЇНСЬКА НАРОДНА РЕСПУБЛІКА 19181923 рр
7. на тему- ldquo; СТРУКТУРА РЫНКА
8. Путешествие в страну правильной речи
9. Реферат Энергосбережение энергоэффективное домостроение; энергия солнца и ветра
10. Тема- Фандрайзинг в сфере культуры
11. где ijbii 1m j 1n ~ заданные вещественные числа а x1xn ~ неизвестные величины
12. Тема- Толщиномер ультразвуковой УТ93П Специальность- 270111 Монтаж и эксплуатация оборудования и систем
13. Введение Человек живет кaк в мире вещей тaк и в мире понятий
14. Тема- Философия древней Греции
15. на тему- Обстоятельства исключающие уголовную ответственность
16. Истории западной философии 1945 изложение основных философских концепций с античности и до времени напис
17. Брегвадзе Нани Георгиевна
18. кора мозжечка построена достаточно однотипно имеет стереотипные связи что создает условия для быстрой об
19. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук1
20. Основы криминалистики