Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Векторы на плоскости и в пространстве

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 2.11.2024

1.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.

Три вектора называются компланарными, если  они параллельны одной и той же плоскости.

Очевидно, что если из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существует числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что (2).

Если же равенство (2) справедливо только при , то векторы (1) называются  линейно независимыми.

Базис на плоскости: любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости.

Базис в пространстве: любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Всякий вектор однозначно разлагается по базису.

Координаты вектора в данном базисе - коэффициенты разложения вектора по данному базису.

Признаки лин. зав. векторов на плоскости и в пространстве:

Теорема 1. Два вектора лин. зависимыкогда они коллинеарны.

Док-во:1.Пусть векторы и лин. зависимы:  и из двух чисел  по крайней мере одно отлично от нуля. Для определенности будем считать . Тогда  и  коллинеарны.

2. Обратно, пусть векторы  и  коллинеарны. Если , то справедливо равенство:   и  лин. зависимы. Если же , то по теореме (если векторы и  коллинеарны и , то существует единственное число , такое, что )   и  лин. зависимы.

Теорема 2. Три вектора лин. зависимыкогда они компланарны.

Док-во:1. пусть векторы  лин. зависимы:  (*), где из трех чисел  по крайней мере одно отлично от нуля. Возможны два случая.

А) Из трех векторов   какие-либо два вектора коллинеарны. Тогда векторы   компланарны.

Б) Из трех векторов   никакие два неколлинеарны. Тогда в (*) каждое из чисел  отлично от нуля и мы получаем: (**).

Возьмем направленные отрезки  и . Три точки  не лежат на одной прямой, поэтому существует единственная плоскость , проходящая через эти точки.

Строем отрезки  и параллелограмм .

 

Имеем: .

Значит,   (см. (**)). Векторы  параллельны плоскости  и, значит, компланарны.

2. Обратно, пусть векторы  компланарны, т. е. параллельны одной плоскости . Возможны два случая.

А) Векторы   и  коллинеарны. Тогда по теореме 1. они лин. зависимы: , где по крайней мере одно из чисел  отлично от нуля. Перепишем это равенство в виде: . Отсюда следует, что векторы  лин. зависимы.

Б) Векторы   и  неколлинеарны ( значит,). Возьмем точку  и отрезки  (см. рис.). Точки  принадлежат плоскости . Через точку  проведем прямые и , обозначив . Тогда . Так как , то  и по теореме (при n>1 векторы  лин. зависимы когда один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы) заключаем, что векторы  лин. зависимы.

Теорема3. Пусть векторы   и  неколлинеарны в  некоторой  плоскости . Тогда

  1.  Всякий вектор  этой плоскости можно разложить по векторам , :  (1), где .
  2.  Коэффициенты  в (1) по  определены однозначно.

Док-во: 1) ,  .

2) От противного:,  где . Пусть

;  

, что не может быть по условию.

Теорема 4. Пусть  некомпланарные векторы. Тогда:

  1.  Всякий вектор  можно разложить по . (2), где .
  2.  Коэффициенты  в (1) по вектору определены однозначно.

Док-во: 1)

,

(в силу теоремы 3)

.

  1.  От противного. , ,

и  лежат в одной плоскости, тогда и  лежит в этой же плоскости.

F

E

A

D

B

O

A

B

D

M

O




1. 00 ~ 8.00 ~ Ранкова зустріч дітей ігри.html
2. Юг; проблема бедности; продовольственная проблема; энергетическая проблема; проблема экологии
3. 1939 pp Як ви вже знаєте доля західноукраїнських земель вирішувалась на Паризькій мирній конференції 1919 р
4. Статья- Системокванты жизнедеятельности
5. Лекция 1 1.Общие положения о стандартах
6. Николай Иванович Кареев
7. Куединская средняя общеобразовательная школа 2 Педагогический проект Пес
8. Никелькомбината нашлось в достаточном количестве
9. Создание Web-приложений в среде Delphi
10. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук Київ
11. Экономическая политика партии большевиков в годы гражданской войны и строительства социализма
12. Ой Морозе Морозенку Історична пісня Монголотатарська нав
13. Тема. ПРЕДМЕТ ФИЛОСОФИИ 1
14. тематике~ Лекция 1
15. ЛЕКЦИЯ 13 Возрождение в Англии
16. Бибиков Александр Ильич
17. Методические рекомендации для практических занятий Тема- Воспаление- модели воспаления
18. Монолит Черкесов В.html
19. Приговор и его постановление
20. Некоторые действия не являются преступными но они морально неправильны- неэтичны