У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Векторы на плоскости и в пространстве

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-06

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 7.3.2025

1.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.

Три вектора называются компланарными, если  они параллельны одной и той же плоскости.

Очевидно, что если из трех векторов какие-либо два вектора коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существует числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что (2).

Если же равенство (2) справедливо только при , то векторы (1) называются  линейно независимыми.

Базис на плоскости: любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости.

Базис в пространстве: любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Всякий вектор однозначно разлагается по базису.

Координаты вектора в данном базисе - коэффициенты разложения вектора по данному базису.

Признаки лин. зав. векторов на плоскости и в пространстве:

Теорема 1. Два вектора лин. зависимыкогда они коллинеарны.

Док-во:1.Пусть векторы и лин. зависимы:  и из двух чисел  по крайней мере одно отлично от нуля. Для определенности будем считать . Тогда  и  коллинеарны.

2. Обратно, пусть векторы  и  коллинеарны. Если , то справедливо равенство:   и  лин. зависимы. Если же , то по теореме (если векторы и  коллинеарны и , то существует единственное число , такое, что )   и  лин. зависимы.

Теорема 2. Три вектора лин. зависимыкогда они компланарны.

Док-во:1. пусть векторы  лин. зависимы:  (*), где из трех чисел  по крайней мере одно отлично от нуля. Возможны два случая.

А) Из трех векторов   какие-либо два вектора коллинеарны. Тогда векторы   компланарны.

Б) Из трех векторов   никакие два неколлинеарны. Тогда в (*) каждое из чисел  отлично от нуля и мы получаем: (**).

Возьмем направленные отрезки  и . Три точки  не лежат на одной прямой, поэтому существует единственная плоскость , проходящая через эти точки.

Строем отрезки  и параллелограмм .

 

Имеем: .

Значит,   (см. (**)). Векторы  параллельны плоскости  и, значит, компланарны.

2. Обратно, пусть векторы  компланарны, т. е. параллельны одной плоскости . Возможны два случая.

А) Векторы   и  коллинеарны. Тогда по теореме 1. они лин. зависимы: , где по крайней мере одно из чисел  отлично от нуля. Перепишем это равенство в виде: . Отсюда следует, что векторы  лин. зависимы.

Б) Векторы   и  неколлинеарны ( значит,). Возьмем точку  и отрезки  (см. рис.). Точки  принадлежат плоскости . Через точку  проведем прямые и , обозначив . Тогда . Так как , то  и по теореме (при n>1 векторы  лин. зависимы когда один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы) заключаем, что векторы  лин. зависимы.

Теорема3. Пусть векторы   и  неколлинеарны в  некоторой  плоскости . Тогда

  1.  Всякий вектор  этой плоскости можно разложить по векторам , :  (1), где .
  2.  Коэффициенты  в (1) по  определены однозначно.

Док-во: 1) ,  .

2) От противного:,  где . Пусть

;  

, что не может быть по условию.

Теорема 4. Пусть  некомпланарные векторы. Тогда:

  1.  Всякий вектор  можно разложить по . (2), где .
  2.  Коэффициенты  в (1) по вектору определены однозначно.

Док-во: 1)

,

(в силу теоремы 3)

.

  1.  От противного. , ,

и  лежат в одной плоскости, тогда и  лежит в этой же плоскости.

F

E

A

D

B

O

A

B

D

M

O




1. величина зависящая от материала способа его обработки состояния контактирующей поверхности
2. строительный факультет Кафедра 13ГрСтрбГрПр Отчет по расчетногра
3. Учет затрат по строительству объектов
4. Производство поливинилбутираля
5. семинары по эффективной работе с клиентами семинары по психологии взаимоотношений деловые игры по форми
6. Отчет по лабораторной работе 10 ldquo;Линейные спискиrdquo; Выполнил- студент групп
7. на тему- Современное состояние и проблемы медицины катастроф
8.  Россия на рубеже XVII~XVIII вв
9. Династия Круппо
10. Исследование рисков внешнеэкономической деятельности на ОАО донецкий металлургический заво