Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВЕКТОРЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
В данной главе мы рассмотрим векторы в школьном курсе геометрии на основе учебников геометрии для общеобразовательных учреждений следующего коллектива авторов: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
Определение вектора и действия над векторами вводятся в 9 классе, а так же в 8 классе – 2-ой вариант программы, так как по программе в физике начинают вводить понятия вектор. Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются в физике векторными и изображаются отрезками со стрелкой. Поэтому геометрический вектор не отличается определением – вектор – это направленный отрезок, который имеет начало и конец.
На изучение главы «Векторы», в которой рассматриваются 3 учебные темы, отводится 8 часов(12 часов – 2 вариант программы).
Основная цель изучения темы «Векторы» в 8-9 классах - научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов при решении геометрических задач.
Большую часть данной темы относят на выработку умений выполнять операции над векторами (складывать векторы по правилам треугольника и параллелограмма; строить вектор, равный разности двух данных векторов, а также вектор, равный произведению данного вектора на данное число)
Так же на примерах рассматривается, как векторы могут применяться к решению геометрических задач.
Результатом изучения данной главы в основной школе учащиеся являются следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта основного общего образования (Таблица 1).
На изучение главы «Векторы в пространстве» отводится 6 часов. При изучении геометрии на базовом уровне (1-ый вариант программы – 51 час в год) данную тему проходят в 4 четверти в 10 классе, а при изучении геометрии на профильном уровне (2-ой вариант программы – 68 часов в год) данную тему проходят в 1 четверти в 11 классе.
Основная цель изучения темы «Векторы в пространстве» в 10-11 классах - закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трём некомпланарным векторам.
Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, разложение вектора по трём некомпланарным векторам.
В результате изучения данной главы в средней школе учащиеся приобретают следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта среднего общего образования (Таблица 2).
Таблица 1
|
Учебная тема |
Требования стандарта образования |
|
|
знать |
уметь |
|
|
Понятие вектора |
Понятия вектора, его начала и конца, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов |
Изображать и обозначать векторы откладывать от данной точки вектор, равный данному решать типовые задачи |
|
Сложение и вычитание векторов |
определение суммы двух векторов законы сложения векторов (правило треугольника и параллелограмма) понятие суммы трёх и более векторов определение разности двух векторов какой вектор называется противоположным данному |
объяснить, как определяется сумма двух или более векторов строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника строить вектор, равный разности двух векторов решать типовые задачи |
|
Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач |
понятие умножения вектора на число свойства умножения вектора на число понятие средней линией трапеции и её свойства |
формулировать свойства умножения вектора на число формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции применять векторы к решению задач |
Таблица 2
|
Учебная тема |
Требования стандарта образования |
|
|
знать |
уметь |
|
|
Понятие вектора в пространстве. |
Понятие вектора в пространстве, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов |
откладывать от данной точки вектор, равный данному решать типовые задачи |
|
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. |
правило треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве переместительный и сочетательный закон сложения два способа построения разности двух векторов правило сложения нескольких векторов в пространстве правило умножения вектора на число сочетательный и распределительные законы умножения |
строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника решать типовые задачи |
|
Компланарные векторы |
определение компланарных векторов и признак компланарности трёх векторов правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов |
формулировать и доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам решать типовые задачи |
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Вектор – одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ.
К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.
Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить
Цели изучения векторного метода в средней школе:
дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;
показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;
использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;
формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.
ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Формирование векторного метода решения аффинных геометрических задач должно начинаться еще в девятом (восьмом) классе. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:
перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:
введение в рассмотрение векторов;
выбор базисных векторов;
разложение всех введенных векторов
составление системы векторных равенств (или одного равенства).
упрощение векторных равенств
замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения
объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).
ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ
Понятийный аппарат и умения, которыми должен овладеть ученик, чтобы научиться решать аффинные задачи векторным методом:
основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы;
основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», «правилом параллелограмма» и «правилом параллелепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; замена вектора ему равным при помощи параллельного переноса; представление вектора в виде его разложения по двум неколлинеарным векторам; переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и выполнение обратного действия;
действия для овладения компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи; перевод условия задачи на язык векторов, т.е. составление системы векторных равенств по условию задачи; выбор базисных векторов, разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным векторам; упрощение системы векторных равенств; замена векторных равенств алгебраическими.
Для овладения учащимися указанными умениями в своей работе я использую тематические карточки с заданиями.(Приложение №1) С целью систематизации и обобщения знаний учащихся по теме «Векторы», для повторения основных понятий темы уместно использовать опорные таблицы (методика Шаталова В.Ф.)(Приложение №№2-4).
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ,
РЕШАЕМЫЕ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.
Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости
Второй тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.
Третий тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.
Выделение таких типов полезно по следующим соображениям:
Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.
Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).
Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.
Решение геометрических задач векторным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический.
Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. (Таблица 3)
Таблица 3
|
Рисунок |
Что необходимо доказать или определить на геометрическом языке. |
Что достаточно определить или доказать на векторном языке. |
|
= ( - некоторое число), где |
||
|
C – произвольная точка |
||
|
Продолжение таблицы 3 |
||
|
C – произвольная точка |
||
|
–центроид произвольная точка |
|
|
|
5) B
C A O |
произвольная точка |
|
|
6) О А С D B |
O-произвольная точка |
|
|
7) B
C A O |
|
и определяются однозначно |
|
Продолжение таблицы 3 |
||
|
8) B M A C D |
M - середина AB – середина CD |
|
Соотношения 2-3 дают единый подход для решения большого числа геометрических задач. При их применении один и тот же вектор двумя различными способами представляется в виде линейной комбинации двух векторов (на плоскости) или трех векторов (в пространстве), а затем используется единственность разложения.
Знание условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии - задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей.
Рабочими формулами при векторном способе решения аффинных задач стереометрии являются соотношения 3 и 4.
При использовании в решении понятия компланарности трёх векторов, в качестве базиса в пространстве можно выбрать любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов. Тогда любой вектор пространства единственным образом можно разложить по векторам этого базиса:
В общем виде критерий компланарности трех ненулевых векторов выражает равенство: =0 (при условии, что не все коэффициенты одновременно равны нулю). Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор и, используя признак компланарности трех векторов, доказать, что выбранные векторы компланарны.
ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ И ОТРЕЗКОВ,
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотношение 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотношение 7).(Приложение №5)
Задача 1. Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон, равен половине векторной суммы двух других противолежащих (соотношение 8)
Дано:
ABCD– четырехугольник
M– середина AB
N– середина CD
Доказать:
Решение. Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3 имеем
Поэтому .
Задача 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.
Дано:
ABCD– трапеция
AC, ВD – диагонали
M– середина AC
N– середина ВD
Доказать: MN || AD.
Анализ. Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что коллинеарен
Решение. Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то(соотношение 3)
Следовательно,
Но коллинеарен вектору , поэтому Тогда
Тогда (по соотношению 1) коллинеарен что и требовалось доказать.
Задача 3.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.
Дано:
ABCD– трапеция
M– середина AВ
N– середина СD
Рис.15.
Доказать: MN || AD.
Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы и коллинеарны
Решение.
1) Согласно рассмотренной задаче 1 .
2) Так как , то и, значит, MN || AD.
3) Так как , то = AD + BC, поэтому
MN = (AD + BC).
Задача 4. Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Дано:
ABCDЕ– пятиугольник
K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE
P и Q – середины отрезков KM и LN
Доказать PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Решение.
Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3
.
Аналогично,
.
Из этих равенств следует, что
Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.
Задача 5. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 точка М — середина диагонали А1С1 грани A1B1C1D1, точка K— середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Дано:
АВСDА1В1С1D1– параллелепипед
М— середина диагонали А1С1
K— середина ребра ВВ1
Доказать А1В1, KМ и ВС1
Решение. Введем векторы:
Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса. Разложим векторы по векторам этого базиса.
Имеем:
Тогда
Это означает, что векторы компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости , тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1, для которых векторы являются направляющими.
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЕЛЕНИЯ НЕКОТОРОГО ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ ИЛИ НА НАХОЖДЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ, В КОТОРОМ ТОЧКА ДЕЛИТ ОТРЕЗОК
Решение задач этого типа базируется на соотношении 2(№ 806, [2])
Для того чтобы точка С делила отрезок АВ так, что , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки О выполнялось равенство:
Доказательство. По условию , следовательно
n =m. Но
Поэтому
Отсюда следует
Задача 6. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются в одной точке М такой, что точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Решение. Пусть точка М дeлит медиану AD треугольника ABC в отношении 2:1.Тогда по соотношению 2 получаем (m = 2, n = 1)
где О — произвольная точка пространства. Точка D — середина стороны ВС, поэтому, согласно соотношению 3 :
Следовательно,
Тот же результат получится для любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М — общая точка всех трех медиан.
Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.
Задача 7. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что , а на продолжении стороны BC такая точка N что . В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.
Дано:
ABC– треугольник
Рис.19.
Найти: ,
Решение:
Пусть и =y
Выберем базисные векторы
Разложим вектор по базисным двумя различными способами
а) =y, тогда =, т.к. векторы сонаправлены
б) ,
Но. Поэтому
Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам(соотношение 7) , получим систему
Следовательно, и =
Задача 8. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра. Докажите что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.
Доказательство.
Рис.20.
Пусть Н1, Н2, Н3, Н4 — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН1 тетраэдра РАВС в отношении РМ:МН1 = 3:1.
Тогда РМ : РН1 = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н1 грани АВС выполняется:
(соотношение 4)
Тогда
Аналогично доказывается, что для точек М1, М2 и М3, делящих медианы соответственно СН2, АН3, ВН4 тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть
Это означает, что точки М, М1, М2 и М3 совпадают, то есть все четыре медианы РН1, СН2, АН3 и ВН4 тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.
Задача 9. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.
Решение.
Введем векторы:
Рис.21.
Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:
Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы коллинеарны, поэтому (соотношение 7) существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что
По правилу ломаной находим:
По условию MН A1C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:
Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1– х–t =0, t–у=0, х–у–t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН:СА1 = 1 : 3.
ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТРЁХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ
Задача 10. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM:MD=BN:NC== 3:4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно соотношению 8 имеем
Рис.22.
.
Из условия следует, что ,
поэтому .
Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Задача 11. В трапеции ABCD точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Докажите, что точка О пересечения диагоналей AC и BD лежит на прямой MN.
Доказательство.
Рис.23.
Для того, чтобы доказать, что достаточно доказать, что и коллинеарны.
Для этого нужно разложить векторы и по базисным векторам.
В качестве базисных векторов возьмём = =. По соотношению 3
Из подобия треугольников BOC и AOD:
Значит k=n, т.е. , ,
, значит .
Из разобранных примеров видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов.(Приложение №6-7)
Заключение
Многообразие возможностей применения векторного аппарата и его роль в повышении и развитии математической культуры учащихся трудно переоценить. Векторное решение задач аффинной геометрии зачастую проще их решения средствами элементарной геометрии. При этом можно обойтись без тех дополнительных построений, которые иногда затрудняют поиск решения задачи.
В процессе работы я познакомилась с рядом новых источников методической и научной литературы, систематизировала и углубила знания о линейных операциях над векторами, коллинеарных и компланарных векторах.
При работе над второй главой я рассмотрела цели изучения векторного метода в школе, понятийный аппарат векторного метода решения задач, выделила основные компоненты решения задач этим методом, рассмотрела классификацию задач аффинной геометрии, решаемые векторным методом. Работа над данной темой помогла мне решить некоторые задачи аффинной геометрии с помощью векторов. Примеры этих задач взяты и подробно разобраны только из школьной программы. При решении задач были использованы различные линейные операции, такие как сумма и вычитание векторов, умножение вектора на число, а также понятия коллинеарных и компланарных векторов. В ходе работы над темой я выяснила, что для того, чтобы векторы стали аппаратом решение геометрических задач, необходимо научиться:
переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику, т.е. на «векторный язык»;
грамотно выполнять необходимые алгебраические операции над векторами;
результат, полученный в векторной форме, переводить на язык геометрии.
Кроме этого при решении задач векторным методом широко используют такие «рабочие инструменты», как векторная «формула для середины отрезка» и векторная формула «формула для центроида треугольника». Решать в векторной форме задачи аффинной геометрии также позволяют условия коллинеарности двух векторов и компланарности трёх векторов.
Этот материал может быть интересен и полезен для учителя при использовании векторного метода при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию.
В данной работе не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуализация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность.
Библиография
Оглавление
- Методика решения задач аффинной геометрии векторным методом
- Цели изучения векторного метода в средней школе
- Основные компоненты векторного метода решения задач
- Понятийный аппарат
- Типовые задачи аффинной геометрии, решаемые векторным методом
- Задачи связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскостей
- Задачи на доказательство деления некоторого отрезка в данном отношении или на нахождение отношения, в котором точка делит отрезок
- Задачи на доказательство или использование принадлежности трех точек прямой
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный гуманитарный университет»
Курсовая работа
по геометрии
на тему: «Применение векторного метода к решению задач школьного курса»
Студентка: Донкан А.Г., ОЗО ИМФиИТ
Специальность: математика
Преподаватель: Тимошенко Тамара Андреевна, профессор кафедры математики
Хабаровск
2013г.
Введение
Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.
Понятие вектора является одним из фундаментальных поня тий современной математики. С по мощью векторов могут быть решены содержательные геометри ческие задачи, причем их векторные решения часто значительно проще и эффективнее решений средствами элементарной гео метрии. При решении задач находят применение сведения, известные из школьного курса геометрии: действие сложения векторов и его законы, вычитание векторов, действие умножения вектора на число и его законы, понятие коллинеарно сти векторов, разложение вектора в данном базисе, единствен ность разложения. Посредством этих действий и их свойств мож но решать задачи на параллельность прямых, принадлежность трех точек одной прямой, вычисление отрезков параллельных прямых и некоторые другие. Однако задачи на вычисление рас стояний и углов с помощью этих действий не могут быть решены. Для решения задач, связанных с длинами и углами (их называют метрическими), применяется скалярное умножение векторов и его свойства. Умение пользоваться векторным методом требует определенных навыков. Прежде всего необходимо хорошее знание теории. Надо научиться переводить геометрические соотношения между фигурами на векторный язык, а также, наоборот, полученные векторные соотношения истолковывать геометрически. Полезно запоминать некоторые, часто встречающиеся при решении задач векторные соотношения и обратить внимание на их большую общность.
Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.