Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекція 20. Верстатна система як система масового обслуговування.
Составными элементами процесса массового обслуживания являются:
входящий поток; очередь; система пунктов обслуживания; выходящий поток.
Входящий поток – последовательность событий, следующих через какие-то моменты времени (выход из строя станков).
Структура очередей определяется правилами прохождения требований через эти системы. Требования могут выполняться в порядке поступления, а приоритет (внеочередное выполнение), в случайном порядке, в порядке первого очередного поступления при освободившемся канале обслуживания.
Основной характеристикой очереди является время ожидания. Изучаются с целью их рациональной организации или выявления закономерностей природы явлений.
Входящий поток простейший, если вероятность поступления того или иного числа требований в течении интервала времени t зависит только от протяженности этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени (стационарность).
Требования поступают по одиночке (ординарность). Независимость друг от друга (отсутствие последействия).
Плотность распределения числа требований за время t
представляет собой распределение Пуассона.
t – определяет среднее значение числа требований за время t.
- среднее число требований в единицу времени.
Вероятность того, что в интервале времени t не наступит ни одного требования равно
Вероятность поступления одного требования
Вероятность поступления за время t не более одного требования будет
Вероятность того, что за время t поступит не более n требований равна сумме вероятностей Pk(t) для kn
Среднее время между двумя последовательными требованиями
Вероятность того, что интервал между двумя последовательными требованиями превысит некоторую величину , равна вероятности отсутствия требований в этом интервале
Функция распределения интервалов между появления двух последовательных требований
Плотность распределения
Время обслуживания определяется экспонициальным законом с плотностью распределения
,
где - интенсивность обслуживания, средним временем обслуживания
Время ожидания в очереди определяется экспонициальным законом
Марковские процессы
Являются дискретными процессами с конечным или счетным множеством состояний и непрерывным временем. Переход из одного состояния в другое происходит скачком в момент наступления события (новое требование, начало, конец обслуживания, уход из очереди и т. д.) . Для процессов массового обслуживания с Пуассоновским потоком требований и экспонициальным распределением времени обслуживания характерно отсутствие последействия. Будущее развитие зависит только от состояния в настоящий момент и не зависит от того как происходило развитие в прошлом.
Пусть систему обслуживания, состоящую из m пунктов, поступает простейший поток требований. При наличии хотя бы одного свободного канала начинается обслуживание, а если все каналы заняты, требование становится в очередь.
Время обслуживания и время ожидания подчиняются экспонициальным законам распределения. Si – состояние системы, в котором заняты i каналов, при im обслуживается очередь и система находится в состоянии Smtr ,
где r – число требований в очереди.
S0 – все каналы свободны
Si – занято і каналов 1 і m – очереди нет
Sm+r – заняты все m каналов, r-требований
Pi – вероятность Pi (t) – вероятность того, что в момент t система находится в состоянии Si. Для любого момента t сумма вероятностей состояния равна 1.
Система дифференциальных уровней описывается относительно вероятностей p0 (t), p1(t)…pn(t) называется уровнями Колмогорова.
При составлении уравнений пользуются графом состояний.
Пусть система в момент t находится в состоянии Si и вероятность того, что за время t она перейдет в состояние Sj равна Pij(t)
j,
где t0.
Плотность вероятности перехода.
При малом t
Вероятность того, что система за время t не перейдет из состояния i в состояние j выражается
Уравнения производной вероятности К-го состояния
Запись всех состояний описывается системой дифференциальных уравнений и в матричной форме имеет вид
p = (p0, p1, …pn) – вектор состояния,
- матрица плотности вероятности перехода.
Вероятность перехода Pi,i+1 из состояния i в состояние i+1 зависит от потока требований(новое требование либо поступает в канал обслуживания или становится в очередь)
Всем дугам графа, направленным от вершин Si к вершине Si+1 – соответствует интенсивность потока требований .
Переход в «младшее» состояние обуславливается освобождением каналов обслуживания. При наличии только одного канала плотность вероятности перехода в младшее состояние равна интенсивности обслуживания . Если занято i каналов, то интенсивность обслуживания увеличивается в i раз
,
где і m.
При возникновении очереди і = m интенсивность освобождения каналов становится постоянной и равной m. Как только канал освобождается, его немедленно занимает требование из очереди и система переходит в младшее состояние. Распределение времени ожидания определяется интенсивностью ухода из очереди при наличии в ней одного требования. Для очереди r интенсивного ухода из очереди r. Плотность вероятности перехода из состояния Sm+r в Sm+r-1 равна сумме интенсивностей освобождения каналов и отказа от обслуживания.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова
;
;
,
где r0.
Если система в начальный момент находится в состоянии Si, то начальными условиями является соотношение
Система становится конечной, если накладывается ограничение на длину очереди, на величину r.
Стационарный режим, который наступает при t описывается системой алгебраического уравнения получаемой из системы дифференциального уравнения, путем приравнивания всех производных по времени 0.
Пример
При сложении любого числа независимых стационарных потоков получают снова стационарный поток интенсивность которого равна сумме интенсивности складываемых потоков.
,
В бригаде к5 станочников производящих однородные детали.
Производная i-го станочника i
i=4 2=4 3=6 4=5 5=4.
Вероятность выпуска брака равна
q1=0,1 q2=0,2 q3=0,3 q4=0,2 q5=0,25
План 14 деталей. Интенсивность производства забракованных деталей
Количество деталей в смену
Вероятность выполнения бригадой плана за смену
вероятность выполнения плана, что связано с большим разбросом числа произведенных незабракованных деталей