Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Исследование школьниками решенных
арифметических задач
О.А. ИВАШОВА,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики начального обучения
математике и природоведению, Российский государственный университет
им. А.И. Герцена, СанктПетербург
В современном обществе возможность осу(
ществлять поиск становится ценностной
установкой, а умение решать проблемы —
одной из задач образования. Это объясняет
большой интерес к исследовательской дея(
тельности детей, которая формируется при
изучении различных предметов начиная с
младших классов. Важное место в этом про(
цессе занимает математика.
Под учебной исследовательской дея(
тельностью младших школьников мы по(
нимаем целенаправленную творческую
учебно(познавательную деятельность по
открытию нового для учащихся знания об
объекте исследования, способе или сред(
стве деятельности, осуществляемую под
руководством учителя, главным продуктом
которой является развитие самого ученика.
Проводя исследования сюжетных мате(
матических задач, школьники овладевают
как общими исследовательскими умения(
ми (анализ, синтез, сравнение, обобщение,
наблюдение, выявление закономерности,
выдвижение гипотезы; выделение условий,
при которых выполняется некоторое свой(
ство объекта; установление того, как при
изменении условий изменяется объект или
как при изменении объекта изменяются его
свойства и др.), так и специальными мате(
матическими (умением устанавливать
структурное сходство внешне различных
систем, переформулировать задачу, разби(
вать задачу на подзадачи; исследовать вы(
ражение с переменными; исследовать реше(
ние сюжетной задачи и др.).
Выделим два направления в исследова(
тельской работе над решенной задачей, ко(
торая помогает учащимся понять заложен(
ные в задаче связи.
Первое направление — это работа, ори(
ентированная на осознание особенностей
данной задачи и обобщение способа ее ре(
шения. Она включает:
1) осознание средств, способствовавших
поиску решения данной задачи; получение
выводов, которые можно использовать при
решении других задач;
2) поиск различных способов решения
данной задачи, приводящих к одному отве(
ту или к различным ответам;
Второе направление — это работа по ов(
ладению общими исследовательскими уме(
ниями при выполнении заданий, сформу(
лированных к данной задаче, а именно:
1) анализ реального смысла данных и их
соотношений, выявление области опреде(
ления выражения, составленного по задаче;
2) выявление влияния изменений зада(
чи (ее структуры, условия, требования) на
решение и ответ;
3) выявление влияния изменений реше(
ния и ответа задачи на ее текст.
Данная статья посвящена второму нап(
равлению работы над задачами. В ней рас(
смотрены три группы заданий для разви(
тия: а) общего исследовательского умения
устанавливать влияние изменения объекта
на изменение его свойств; б) математичес(
кого умения исследовать решение сюжет(
ной задачи. Охарактеризуем каждую груп(
пу заданий подробнее.
I. Анализ реального смысла данных и их
соотношений, выявление области опреде(
ления выражения, составленного по задаче.
Такие задания выполняют подготови(
тельную функцию к овладению учениками
исследовательским умением выявлять вли(
яние изменений, вносимых в задачу, на из(
менение ее решения и ответа. Проиллюст(
рируем эти задания на примере задач 1–3.
При выполнении заданий детям надо
учитывать ограничения, связанные с ма(тематической и сюжетной сторонами за(
дачи. Математические ограничения воз(
никают при невозможности выполнения
арифметических действий, входящих в
выражение, на изученном множестве чи(
сел (в I–IV классах — на множестве целых
неотрицательных чисел). Сюжетные огра(
ничения вытекают из оценки жизненной
реальности числовых данных и их соотно(
шений.
Задача 1. Коля нашел под елкой а гри(
бов. Сколько грибов Коля положил в кор(
зинку, если в руках у него осталось 3 гри(
ба?
З а д а н и е. Объя сни, почему к данной
задаче не подходят следующие значения:
а = 2, а = 100. Для этого подставь каждое
число в решение и посмотри: а) можно ли
вычислить значение выражения; б) реаль(
на ли получившаяся ситуация.
При а = 2 ученики не могут выполнить
вычитание, да и с точки зрения здравого
смысла часть грибов, оставшаяся в руках,
не может быть больше общего количества
грибов, а при а = 100 ситуация нереальна.
Кроме заданий на обоснование того,
подходит ли предложенное значение бук(
вы, или нет, могут быть составлены задания
на выбор подходящих значений из несколь(
ких данных.
Задача 2. Во время математической
недели ученики придумывали кроссвор(
ды. Девочки составили а кроссвордов, а
мальчики — b. Сколько кроссвордов уже
разгадано, если их на 20 меньше, чем сос(
тавлено?
З а д а н и е. Может ли быть: 1) a > b;
2) a = b; 3) a + b< 20; 4) a + b = 20?
Проиллюстрируем данную задачу с по(
мощью схематического чертежа (рис. 1).
Запишем решение этой задачи:
(a + b) — 20 (к.).
Исходя из данных, можно объяснить ре(
альный смысл заданных соотношений:
1) a > b — девочки составили кроссвор(
дов больше, чем мальчики;
2) a = b — девочки составили кроссвор(
дов столько же, сколько мальчики;
3) a + b < 20 — девочки и мальчики сос(
тавили меньше 20 кроссвордов;
4) a + b = 20 — девочки и мальчики сос(
тавили вместе 20 кроссвордов.
Это задание на выявление реального
смысла соотношений между данными. По(
добные упражнения можно усложнять за
счет увеличения количества данных и усло(
вий, которым они должны удовлетворять.
При выполнении заданий целесообразно
постепенно повышать самостоятельность
учащихся.
Задача 3. Половину дачного сада, пло(
щадью х м2, занимает участок со смороди(
ной. 1/6 этого участка засажена белой смо(
родиной, 1/3 — красной, а остальная часть
участка — черной. Какую площадь в саду
занимает белая и красная смородина?
З а д а н и я . 1. Подбери несколько подхо(
дящих значений х. Какое условие должно
для них выполняться? 2. Приведи пример
значения x, которое не подходит к данной
задаче.
Для задачи 3 можно сделать схематичес(
кий чертеж, изобразив сад в виде прямоу(
гольника или круга, поскольку форма сада
не указана (рис. 2).
На рис. 2 половина сада без смородины
окрашена серым цветом, вторая половина
разделена на 6 равных частей. 1/
6
этого
участка с белой смородиной обозначена го(
ризонтальной штриховкой, а 1/
3
участка с
красной смородиной — вертикальной штри(
ховкой. На чертеже видно, что белая и крас(
ная смородина занимают 3 части из 6, т.е.
половину участка со смородиной, или 1/
4
всего сада. Запишем решение задачи:
х : 2 — площадь всего участка со сморо(
диной;
(х : 2) : 3 = х : 6 — площадь участка с
красной смородиной;
? 20 к.
а + b
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА. 2006. № 12
36
Рис. 1
Рис. 2(х : 2) : 6 = х : 12 — площадь участка с бе(
лой смородиной;
х : 6 + х : 12 — площадь участка с белой и
красной смородиной.
Для того чтобы подобрать подходящее
значение х, надо учитывать, что оно долж(
но: а) делиться на 2, 3, 6, 12, т.е. на 12; б) со(
ответствовать реальной жизни.
Сначала полезно назвать несколько чи(
сел, которые делятся на 12. Это числа 12, 24,
36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 144, 156, 168,
180 и т.д., из которых можно выбирать зна(
чения для площади дачного сада: площадь в
12 м2
может занимать маленькая комната в
квартире, вряд ли сад имеет такой размер;
целесообразнее взять значение х от 1 сотки
(100 м2) до 6, например, 180 м2.
Назвать значение х, которое не подхо(
дит к данной задаче, можно исходя из того,
что: а) оно не делится на 12, например,
500 м2; б) оно нереально с точки зрения
здравого смысла, например, 600 000 м2
или
12 м2.
Такие задания устанавливают связь
обучения математике с жизнью, учат детей
видеть реальный смысл в составленных по
задачам числовых выражений и соотноше(
ниях данных; развивают умение учеников
обдуманно обращаться с числами в задаче;
готовят к овладению исследовательским
умением выявлять влияние изменений,
вносимых в задачу, на изменение ее реше(
ния и ответа.
До рассмотрения второй и третьей
групп исследовательских заданий вынесем
в таблицу элементы задачи и ее решения,
которые можно изменять.
Комментарии к таблице даны ниже
вместе с примерами заданий.
II. Влияние изменений текста задачи на
ее решение и ответ.
В этой группе заданий изменения вно(
сят в условие или требование задачи, а так(
же в ее структуру (в табл. места изменений
отмечены знаком ). Ученикам надо уста(
новить влияние этих изменений на реше(
ние и ответ задачи.
Изменение предметной области зада:
чи, т.е. ее сюжета.
Предметная область задачи (то, о чем
говорится в задаче) может включать раз(
личные множества, величины, отвлеченные
числа. Внося изменения в задачу, можно
вместо множества взять другое (например,
игрушки заменить машинами) или одну
группу величин заменить на другую (нап(
ример, масса одного предмета, количество
предметов, общая массамогут быть замене(
ны на длину, ширину и площадь прямоуголь
ника). Вместо множества можно включить
в задачу величины или отвлеченного числа
(например, вместо количества книг на двух
полках рассмотреть длину двух отрезков
или два числа) и т.п. Как правило, новые за(
дачи вводят на множествах, на этапе зак(
репления дают задачи с величинами, а по(
том и с отвлеченными числами. При обоб(
щении полезно показать, что способ реше(
ния какого(либо вида задач не зависит от
предметной области.
Задача 4. Из неисправного крана за
каждые 3 ч вытекает 4 стакана воды. Сколь(
ко стаканов воды вытечет из этого крана за
24 ч? Составьте таблицу и решите задачу.
ВОСПИТАНИЕ И ОБУЧЕНИЕ
37
Таблица
Части и задачи
ее решения
Место
вносимых изменений
Текст задачи Решение задачи
Условие Требование Решение Ответ
Одна часть задачи или
ее решения
Предметная об7
ласть.
Числовые данные.
Отношения
Суть.
Форма
∗ Конкретное математи7
ческое выражение.
∗ Структура математи7
ческого выражения (об7
щий способ решения).
∗ Различные способы
решения
∗ Числовое значение.
∗ Наименование.
∗ Словесная формулировка
Связи между частями
задачи
Структура задачиТаблица к данной задаче может выгля(
деть так:
З а д а н и е 1. Составьте и решите похо(
жую задачу с величинами цена, количество,
стоимость. Запишите ее в таблицу. Срав(
ните способы решения задач и их ответы.
Таблица к задаче, составленной по дан(
ному заданию, может быть следующей:
Обе задачи можно решить на основе
пропорциональной зависимости: например,
при постоянной скорости во сколько раз
больше время вытекания воды, во столько
же раз больше объем вытекшей воды.
Решения задач можно записать так:
4 (24 : 3) = 32 (ст.)
4 (24 : 3) = 32 (р.)
Таким образом, изменение предметной
области задачи не повлияло на способ ее
решения и числовое значение ответа, а из(
менило наименование и формулировку
ответа.
Изменение числовых данных в тексте
задачи (в ее условии).
З а д а н и е 2 к задаче 4. Как повлияют
на способ решения задачи изменения чис(
ловых данных, если в условии задачи заме(
нить: а) число 24 числом 18; б) число 4
числом 6; в) число 4 числом 6 и число 24
числом 11.
Таблицы к новым задачам будут выгля(
деть так (см. блок из трех таблиц в верхней
части правой колонки).
У первой из данных задач единственный
способ решения (такой же, как у исходной
задачи): 4 (18 : 3) = 24 (ст.).
У второй задачи первый способ решения
такой же, как у исходной задачи, но измене(
ние числового данного 4 на 6 приводит к по(
явлению второго способа решения, основан(
ного на взаимосвязи величин: зная объем и
время, можно найти скорость; зная скорость
и время, можно найти искомый объем.
I с п о с о б: 6 (24 : 3) = 48 (ст.)
II с п о с о б: 6 : 3 24 = 48 (ст.)
Последнюю задачу можно решить од(
ним способом, основанным не на пропорци(
ональной зависимости величин (как у ис(
ходной задачи), а на взаимосвязи величин:
6 : 3 11 = 30 (ст.).
Таким образом, изменение числовых
данных в условии задачи:
— меняет конкретное числовое выраже(
ние, являющееся решением задачи;
— часто не меняет основной способ ре(
шения задачи;
— может изменить или не изменить ко(
личество способов решения;
— меняет числовое значение ответа, ос(
тавляя наименование прежним.
Изменение отношений в условии за:
дачи.
В тексте задачи заложены отношения
между данными, между искомыми, между
данными и искомыми. Наличие связи дан(
ных и искомых делает задачу решаемой.
Преобразуя задачу, можно изменить имею(
щиеся в ней отношения: больше на меньше;
больше/меньше в несколько раз на боль
ше/меньше на несколько единиц; заданных в
прямой форме на заданные в косвенной
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА. 2006. № 12
38
Скорость
вытекания воды
(в стаканах в час)
Время
вытекания воды
(в часах)
Объем
вытекшей воды
(в стаканах)
Одинаковая
3 4
24 ?
Цена
(в рублях)
Количество
(в штуках)
Стоимость
(в рублях)
Одинаковая
3 24
4 ?
Скорость
вытекания воды
(в стаканах в час)
Время
вытекания воды
(в часах)
Объем
вытекшей воды
(в стаканах)
Одинаковая
3 4
18 ?
Скорость
вытекания воды
(в стаканах в час)
Время
вытекания воды
(в часах)
Объем
вытекшей воды
(в стаканах)
Одинаковая
3 6
11 ?
Скорость
вытекания воды
(в стаканах в час)
Время
вытекания воды
(в часах)
Объем
вытекшей воды
(в стаканах)
Одинаковая
3 6
24 ?форме. Возможны и другие изменения от(
ношений, например, часть — целое.
Задача 5. Для приготовления теста взя(
ли 10 стаканов муки, что на d стаканов
больше, чем воды. Сколько взяли стаканов
воды?
З а д а н и е 1. Замени в условии задачи:
слова на d стаканов больше словами на d
стаканов меньше. Как это повлияет на ре(
шение задачи?
З а д а н и е 2. Замени в условии задачи
слова что на d стаканов больше, чем воды
словами воды на d стаканов меньше. Как
это повлияет на решение задачи?
Приведем краткие записи и решения
данных задач.
Задача 5
М. — 10 ст., на d ст. больше
В. — ?
Р е ш е н и е: 10 – d (ст.)
Задача, составленная по заданию 1.
М. — 10 ст., на d ст. меньше
В. — ?
Р е ш е н и е: 10 + d (ст.)
Задача, составленная по заданию 2
М. — 10 ст.
В. — ? на d ст. больше
Р е ш е н и е: 10 – d (ст.)
При изменении задачи 5 по заданию 2
решение задачи не изменилось (обе задачи
на уменьшение на несколько единиц, но ис(
ходная задача в косвенной форме, а вновь
составленная — в прямой. Обе решаются
вычитанием). При изменении по заданию 1
получилась задача на увеличение на нес(
колько единиц, решаемая сложением, так
как в ней произошла еще и смена объекта,
которому соответствует отношение.
Таким образом, изменение отношений в
условии задачи может изменить решение
задачи и ее ответ, а может и не изменить.
Изменение требования задачи.
В требовании задачи можно выделить
его суть и форму. Формой требования яв(
ляется: а) количественный вопрос «Сколь(
ко...?»; б) качественный — например,
«Хватит ли ткани?», «Сможет ли...?»; в)
задание, например: «Определи массу...».
Ответ на количественный вопрос или за(
дание будет числовым. Ответ на качест(
венный вопрос будет утвердительным или
отрицательным.
Задача 6. Антон начал читать книгу в
субботу и читал 2 ч, а в воскресенье 4 ч, про(
читывая за 1 ч по 30 страниц. На сколько
больше страниц прочитал Антон в воскре(
сенье, чем в субботу?
З а д а н и е. Как изменится решение за(
дачи, если ее вопрос станет следующим:
1) На сколько меньше страниц прочитал
Антон в субботу, чем в воскресенье?
2) Во сколько раз больше прочитал Ан(
тон в воскресенье, чем в субботу?
3) Сколько всего страниц прочитал Ан(
тон за 2 дня?
4) Успел ли Антон за 2 дня прочитать
первую главу, в которой 160 страниц?
Таблица к задаче 6 может выглядеть
так:
Решение данной задачи будет следую(
щим:
I с п о с о б
30 4 – 30 2 = 60 (стр.)
II с п о с о б
30 (4 – 2) = 60 (стр.)
О т в е т: на 60 страниц.
ВОСПИТАНИЕ И ОБУЧЕНИЕ
39
?
?
?
Скорость чтения
(в страницах в час)
Время чтения
(в часах)
Количество
прочитанных
страниц
Суббота — 30 2 ?
Воскресенье — 30 4 ?
на ? больше
на d ст. больше
на d ст.
меньше
на d ст. меньшеАналогично решается и задача с вопро(
сом «На сколько меньше страниц прочитал
Антон в субботу, чем в воскресенье?».
Задачу с вопросом «Во сколько раз
больше прочитал Антон в воскресенье, чем
в субботу?» тоже можно решить двумя спо(
собами.
I с п о с о б
(30 4) : (30 2) = 2 (р.)
II с п о с о б
4 : 2 = 2 (р.)
О т в е т: в 2 раза.
Задачу с вопросом «Сколько всего стра(
ниц прочитал Антон за 2 дня?» можно ре(
шить следующими способами.
I с п о с о б
30 4 + 30 2 = 180 (стр.)
II с п о с о б
30 (4 + 2) = 180 (стр.)
О т в е т: 180 страниц.
Задачу с вопросом «Успеет ли Антон за
2 дня прочитать первую главу, в которой
160 страниц?» можно решить так:
I с п о с о б
30 4 30 2 = 180 (стр.)
II с п о с о б
30 (4 + 2) = 180 (стр.)
О т в е т: 180 > 160, успеет.
Замена в вопросе задачи слов больше на
меньшене меняет ее решения. Замена в воп(
росе слов на сколько больше словами во
сколько раз больше меняет в основном спо(
собе решения задачи действие вычитания
на деление. Эта задача может быть решена
более рационально: при постоянной ско(
рости чтения в воскресенье Антон прочитал
во столько раз больше, во сколько раз боль(
ше часов он читал. Последнее изменение
формулировки требования ведет не к изме(
нению решения по сравнению с предыду(
щим, а к его дополнению сравнением. Ответ
получается не числовой, а утвердительный:
да, успеет.
Замена вопроса задачи 4 на требование:
«Узнай, сколько воды можно сэкономить за
сутки, если починить кран» не повлияет на
решение задачи и ее ответ. Изменится лишь
пояснение к ответу, а у самой задачи по(
явится эмоциональная и экономическая ок(
раска (надо бережно расходовать очищен(
ную воду). Кроме того, надо выразить вре(
мя в других единицах: 1 сутки = 24 ч.
Итак, изменение сути требования дела(
ет искомым другой объект. Изменение фор(
мы требования не меняет его сути, а значит,
и основного решения. Если в задаче форму(
лируется качественный вопрос, то это, не
меняя решения задачи, требует осмысления
полученного числа и другой формулировки
ответа.
Изменение структуры задачи.
Структуру задачи определяет взаимное
расположение ее условия (У) и требования
(Т) в тексте. Возможны такие виды струк(
туры задачи:
1) У — Т (сначала формулируется усло(
вие, затем требование);
2) Т — У (сначала формулируется тре(
бование, затем условие);
3) У — Т — У (сначала формулируется
часть условия, затем требование и лишь по(
том оставшаяся часть условия).
Задания.
1. Определить структуру задачи 6.
2. Измени текст задачи, чтобы она имела
структуру Т — У.
3. Измени текст задачи, чтобы она имела
структуру У — Т — У.
Структуру У — Т — У имеет задача: «В
субботу Антон читал книгу 2 ч, а в воскре(
сенье 4 ч. На сколько больше страниц кни(
ги прочитал Антон в воскресенье, чем в суб(
боту, читая по 30 страниц в час?»
Работая с задачей, имеющей структуру
У — Т — У, ученики должны ее вниматель(
но анализировать. Кроме того, у них пре(
одолевается стереотип, что условием явля(
ется все, что написано до вопроса. Это слу(
жит предупреждению ошибок при изуче(
нии многих теорем и решении задач на до(
казательство, которые имеют аналогичную
структуру.
Если изменяется только структура зада(
чи, то это не влияет ни на ее решение, ни на
ее ответ.
Кроме условия и требования, в задаче
выделяют оператор (Л.Ф. Фридман) — это
система действий, которые надо произвес(
ти над объектами с учетом их связей, что(
бы выполнить требование задачи. Опера(
тор задачи нельзя выделить из текста в яв(
ном виде. К изменению оператора приво(
дят такие преобразования условия или
требования задачи, которые влияют на
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА. 2006. № 12
40способ ее решения или количество спосо(
бов решения задачи (оно зависит от числа
операторов).
III. Влияние изменений решения или
ответа задачи на ее текст.
В третьей группе заданий изменения
вносят в решение и ответ задачи (в табл. на
с. 37 места изменений отмечены знаком ∗),
а ученикам надо установить их влияние на
текст задачи. Эти задания носят обратный
характер относительно предыдущей груп(
пы (в которой надо было найти следствия
изменения текста задачи). В третьей груп(
пе указаны следствия, а надо найти их при(
чины. Они, как правило, определяются бо(
лее сложно и не однозначно, т.е. носят ва(
риативный характер.
Изменение решения задачи.
Решение задачи можно рассматривать
как: а) конкретное математическое выра(
жение; б) способ решения, т.е. структуру
выражения, когда важны арифметические
действия и их последовательность (вне за(
висимости от конкретных чисел); в) раз(
личные способы решения (которые отли(
чаются хотя бы одним арифметическим
действием). При этом изменить можно
конкретное математическое выражение
(заменив одно из чисел в выражении и ос(
тавив прежней его структуру), структуру
выражения (изменив одно из действия или
количество действий в решении задачи),
количество способов решения.
1. Изменение одного из чисел в решении
задачи.
Задача 7. Митя за 10 мин решил 10 при(
меров на умножение и 5 примеров на деле(
ние. Сколько всего примеров решил Митя
за 10 мин?
З а д а н и е. Измени условие задачи, что(
бы ее решение было бы следующим: 9 + 5.
Как это повлияет на ответ задачи?
Задача 7 решается так: 10 + 5 = 15 (пр.).
В ней есть лишнее данное — 10 мин.
Изменение текста касается количества
решенных примеров на умножение. Ответ
задачи при этом уменьшится.
2. Изменение структуры выражения
(изменением одного из действий или коли(
чества действий в решении задачи).
Задача 8. Хозяйка влила в кастрюлю х
кружек воды, что в 3 раза больше, чем она
всыпала гречневой крупы. Сколько кружек
крупы всыпала хозяйка?
З а д а н и е. Как изменится условие зада(
чи, если заменить слово больше на меньше
так, чтобы задача решалась: 1) так же; 2)
другим действием; 3) двумя действиями.
Для того чтобы решение задачи не измени(
лось, надо косвенную форму задачи 8 заменить
прямой: «Хозяйка влила в кастрюлю хкружек
воды, а крупы всыпала в 3 раза меньше. Сколь(
ко кружек крупы всыпала хозяйка?»
Для того чтобы задача решалась другим
действием, надо слово больше заменить на
меньше и оставить косвенную форму: «Хо(
зяйка влила в кастрюлю х кружек воды, что
в 3 раза меньше, чем она всыпала крупы.
Сколько кружек крупы всыпала хозяйка?»
Для того чтобы задача решалась в 2
действия, можно изменить:
— требование: «Сколько всего кружек
воды и крупы в кастрюле?» или: «На сколь(
ко больше в кастрюле кружек воды, чем
крупы?»;
— условие: «Хозяйка влила в кастрюлю
2 банки по х кружек воды в каждой, что в 3
раза больше, чем она всыпала крупы».
Целесообразно обратить внимание уче(
ников на то, что реальное соотношение во(
ды и крупы для гречневой каши 3 : 1, а если
воды будет в 3 раза меньше, чем гречневой
крупы, то кашу не сварить.
3. Изменение количества способов ре(
шения задачи.
Задача 9. Пятачок для подарков друзь(
ям разложил 20 красных и 15 синих воз(
душных шаров в 7 пакетиков поровну.
Сколько шаров в каждом пакетике?
З а д а н и е. Измени числа в задаче так,
чтобы ее можно было решить разными спо(
собами. Можно ли назвать количество спо(
собов выполнения задания, если изменить в
условии: 1) одно число; 2) два числа?
Задача 9 решается так:
(20 + 15) : 7 = 5 (шар.)
Выполняя задание, ученики должны
увидеть, что другой способ решения задачи
возможен на основе использования свой(
ства деления суммы на число, если каждое
из слагаемых кратно делителю, но в данном
случае слагаемые 20 и 15 не делятся на 7.
Общим делителем для чисел 20 и 15 яв(
ляется число 5. (Других общих делителей,
ВОСПИТАНИЕ И ОБУЧЕНИЕ
41отличных от 1, для чисел 20 и 15 нет.) Если
число 7 заменить числом 5, то задачу можно
решить двумя способами:
I с п о с о б
(20 + 15) : 5 = 7 (шар.)
II с п о с о б
20 : 5 + 15 : 5 = 7 (шар.)
Можно заменить каждое из слагаемых
так, чтобы они делились на 7. Если не на(
кладывать ограничения на слагаемые, то
количество вариантов изменения бесконеч(
но (как количество натуральных чисел,
кратных 7). Учитывая, что числа означают
количество шаров для небольшого празд(
ника, их можно взять, например, в пределах
100. Приведем некоторые варианты:
(28 + 14) : 7 = 28 : 7 + 14 : 7 = 6 (шар.)
(70 + 35) : 7 = 70 : 7 + 35 : 7 = 15 (шар.)
и т.п.
Отвечая на вопрос, сформированный в
задании, ученики заметят, что можно заме(
нить одно слагаемое и делитель так, чтобы
другое слагаемое было кратно новому де(
лителю.
Можно изменить делитель и первое сла(
гаемое:
(21 + 15) : 3 = 21 : 3 + 15 : 3 = 12 (шар.)
(45+ 15) : 15= 45 : 15 + 15 : 15 = 4 (шар.)
и т.п.
Можно изменить делитель и второе сла(
гаемое:
(20 + 16) : 4 = 20 : 4 + 16 : 4 = 9 (шар.)
(20 + 16) : 2 = 20 : 2 + 16 : 2 = 18 (шар.)
(20 + 80) : 20= 20 : 20 + 80 : 20 = 5 (шар.)
и т.п.
Итак, изменить одно число можно толь(
ко одним способом, а изменить два числа
можно тремя способами (изменить оба сла(
гаемых или делитель и одно из слагаемых)
разными вариантами. Такие изменения
влияют на количество способов решения и
числовое значение ответа задачи.
Изменение ответа задачи.
В ответе задачи можно выделить: число(
вое значение, наименование, формулиров(
ку. Как правило, изменениям подвергают
числовое значение, но можно изменить и
наименование, и формулировку ответа, а
ученики должны увидеть, как для этого на(
до изменить текст задачи.
Увеличение или уменьшение ответа за(
дачи.
Причинами указанного следствия могут
быть изменения: а) одного из данных; б) от(
ношений между данными; в) требования за(
дачи (его сути).
Задача 10. Во время зарядки Саша сде(
лал 60 упражнений: приседаний, наклонов
и отжиманий. Сколько приседаний сделал
Саша, если он отжался 9 раз, а наклонов
сделал в 3 раза больше, чем отжался?
З а д а н и е. Как можно изменить:
1) одно из чисел в тексте задачи; 2) отно
шения между числами в задаче; 3) требова
ние задачи, чтобы ответ задачи во всех слу(
чаях увеличился?
Выполним наглядную интерпретацию и
запишем решение задачи 10.
Решение задачи:
60 – (9 + 9 3) = 24 (пр.)
Ответ задачи является разностью
(частью). Сделать ее больше можно, либо
увеличив уменьшаемое (целое), в данном
случае число 60, либо уменьшив вычитае(
мое (другую часть: 9 + 9 3). При этом на(
до учитывать возможность выполнения
действий и сохранить здравый смысл опи(
санной ситуации. Исходя из сказанного,
можно:
— увеличить общее количество упраж(
нений, например: 66 – (9 + 9 3) = 30 (пр.);
— уменьшить количество других упраж(
нений, например: 60 – (8 + 8 3) = 28 (пр.)
или 60 – (9 + 9 2) = 33 (пр.).
Увеличить разность можно, уменьшив
вычитаемое, например: если Саша накло(
нов сделал в 3 раза меньше, чем отжался:
60 – (9 + 9 : 3) = 48 (пр.).
Изменить требование задачи можно,
найдя разницу между приседаниями и
другими упражнениями, например: «На
сколько меньше Саша сделал отжиманий,
чем приседаний?» Для ответа на этот воп(
рос надо выполнить следующие действия:
(60 – (9 + 9 3)) – 9 = 13 (отж.).
Таким образом, увеличить или умень(
шить ответ задачи можно, внося изменения
в числа, отношения между ними или требо(
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА. 2006. № 12
42
Рис. 3
60
?
Пр. Отж. Накл.
9 9 3вание задачи. Вариантов этих изменений
может быть много, как доступных для
школьников, так и очень сложных. Какие
из них стоит рассматривать в классе, реша(
ет учитель при подготовке к уроку.
2. Получение наибольшего или наи(
меньшего ответа задачи.
Задача 11. В цирковом выступлении
принимали участие b кошек, а собак — на 60
меньше. Во сколько раз кошек выступало
больше, чем собак?
З а д а н и е. Какой наибольший ответ мо(
жет получиться в этой задаче? При каком
значении b?
Запишем решение задачи 11:
b : (b – 60) (раз).
Исходя из данного решения и смысла
задачи: b 0 и b > 60, — поиск значения b,
при котором будет наибольший ответ, мож(
но осуществить неполным перебором вари(
антов, начиная с наименьшего значения b:
если b = 61,
то b : (b – 60) = 61 : (61 – 60) = 61;
если b = 62,
то b : (b – 60) = 62 : (62 – 60) = 31;
если b = 63,
то b : (b – 60) = 63 : (63 – 60) = 21;
если b = 64,
то b : (b – 60) = 64 : (64 – 60) = 16.
Видно, что с увеличением значения b
ответ задачи уменьшается, поэтому наи(
больший ответ задачи (в 61 раз) будет при
b = 61.
Итак, получение наибольшего или наи(
меньшего ответа зависит от изменения или
подбора одного из данных задачи. Такая ра(
бота требует исследования математическо(
го выражения — поиска значения перемен(
ной, при котором выражение имеет наи(
большее или наименьшее значение.
Младшим школьникам интереснее про(
водить исследование сюжетных задач, чем
отвлеченных математических выражений,
поскольку вносимые изменения приобрета(
ют реальный смысл, а возможно, и эмоцио(
нальную окраску.
В статье приведены виды и примеры ис(
следовательских заданий над сюжетными
задачами1
, направленные на развитие уме(
ния устанавливать влияние изменений
текста задачи на ее решение и ответ, реше(
ния и ответа задачи на ее текст. Отметим,
что изменять можно суть и форму краткой
записи задачи (схематический рисунок
или чертеж, таблицу, запись с опорными
словами), а затем выполнять соответству(
ющие преобразования текста задачи и ее
решения.
Рассмотренные задания развивают ис(
следовательское умение, заключающееся в
установлении влияния изменения объекта
на изменение его свойств, а также помогают
глубже понять заложенные в задачи связи и
осознать ее решение. Кроме того, они раз(
вивают учебно(познавательную мотива(
цию, вариативность мышления учеников,
обогащают опыт творческой деятельности,
способствуют осмысленному овладению
учебным материалом, становлению вычис(
лительной культуры, так как требуют вдум(
чивого обращения с числами, осознания их
реального смысла.
ВОСПИТАНИЕ И ОБУЧЕНИЕ
1 Примеры других заданий указанных видов можно найти в пособии: Ивашова О.А., Полнико
ва М.Ю. Сколько весел у овцы? 100 задач с героями детских книг. СПб., 1999, 2002, 2004.
43собенности реализации меж