Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 2
БОГДАНОВ А. Е.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
( ЛЕКЦИИ )
( МК 5 )
( Ряды )
2009г
РЯДЫ
Числовые ряды
Основные понятия
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
u1, u2, u3, … , un, … .
Выражение вида
u1 + u2 + u3 + … + un + … = (1)
называется числовым рядом.
Числа u1, u2, u3,…, un,… - члены ряда; un – п - й или общий член ряда.
Сумма конечного числа п первых членов ряда называется п - й частичной суммой ряда
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un =
Таким образом,
S1 = u1,
S2 = u1 + u2,
S3 = u1 + u2 + u3,
…………………
Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.
Если существует конечный предел
= = S,
то его называют суммой ряда (1), т.е.
S = u1 + u2 + u3 + … + un + … = ,
и говорят, что ряд сходится.
Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят, ряд (1) расходится и суммы не имеет.
Пример. Рассмотрим ряд
а + aq + aq2 + … + aqn – 1 + … . (2)
□
Известно, что q 1
или
.
1) Если | q | < 1, то qn → 0 при п→ ∞ и
= = ,
т.е. ряд (2) сходится и его сумма .
2) Если | q | > 1, то | qn |→ ∞ при п→ ∞. Тогда
= = ± ∞,
т.е. предел не существует и ряд (2) расходится.
3) Если q = 1, то ряд (2) имеет вид
а + а + а + …= , т.е. Sn = па.
Тогда
= ∞,
т.е. ряд (2) расходится.
4) Если q = − 1, то ряд (2) имеет вид
а − а + а − а + …= .
В этом случае
S = .
Таким образом, ряд (2) расходится.
■
Пример. Найти общий член ряда
+ + + + … .
□
Числители членов ряда образуют арифметическую прогрессию: 1, 3, 5, 7, … ; п-й член прогрессии находится по формуле
ап = а1 + d(п – 1).
Имеем а1= 1, d = 2, поэтому
ап= 2п – 1.
Знаменатели членов ряда образуют геометрическую прогрессию: 2, 22, 23, 24, …; п-й член этой прогрессии
bn = 2n.
Следовательно, общий член ряда имеет вид
ип = ,
т.е.
= + + + + … + + ….
■
Пример. Найти сумму ряда
+ + + + … + + … .
□
Общий член после разложения на простейшие дроби будет иметь вид:
ип = .
Тогда
и1 = , и2 = , и3 = , и4 = , … .
Следовательно, сумма п первых членов ряда будет равна
Sn = + + + + … + =
= (1 − + − + − + … + ) = .
Теперь найдем сумму ряда
S = = = = .
Таким образом, сумма ряда S = и, следовательно, заданный ряд сходится.
■
Свойства числовых рядов
10. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость).
20. Если ряд
а1 + а2 + а3 + … = (3)
сходится и его сумма равна S, то ряд
са1 + са2 + са3 + … = , (4)
где , также сходится и его сумма равна cS.
○ Пусть Sn = − n-я частичная сумма ряда (3), а
са1 + са2 + са3 + … + сап = с (а1 + а2 + а3 + …+ ап) = сSn − п-я частичная сумма ряда (4).
Тогда
= = = сS, т.е.
ряд (4) сходится и его сумма равна сS. ●
30. Если ряды
а1 + а2 + а3 + … = (5)
и
b1 + b2 + b3 + … = (6)
сходятся и их суммы соответственно равны Sa и Sb, то ряды
(а1 + b1) + (а2 + b2) + … = (7)
и
(а1 − b1) + (а2 − b2) + … = (8)
Также сходятся и их суммы соответственно равны Sa + Sb и Sa − Sb.
○ Докажем сходимость ряда (7). Пусть S – сумма ряда (7). Тогда
S = = = ( = + = Sa + Sb.
Аналогично доказывается, что ряд (8) сходится и его сумма равна Sa − Sb. ●
Замечание 1. Из сходимости рядов в общем случае не следует сходимость рядов и .
Замечание 2. Операции суммирования рядов и умножения ряда на число называются линейными операциями над рядами. Отсюда вытекает, что линейные операции над рядами реализуются с помощью линейных операций над их членами.
Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд сходится, то
= 0. (9)
○ Пусть S = . Так как Sn = Sn−1 + un, то
= = = S − S = 0. ●
Следствие. Если условие (9) не выполнено, т.е. предел не равен нулю или не существует, то ряд расходится.
Отметим, что из выполнения условия (9) ещё не следует сходимость ряда: ряд может сходиться или расходиться. Другими словами, условие (9) не является достаточным признаком сходимости ряда.
Пример. □ Для гармонического ряда
1 + + + …+ +… = .
условие (9) выполняется:
= = 0,
но гармонический ряд расходится (будет показано ниже). ■
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= 21 + + + ... + + …
□
Проверим выполнение условия (9):
= = = = [1∞] = e 0.
Следовательно, заданный ряд расходится.
■
Знакоположительные ряды
Если задан ряд с неотрицательными членами ип, то последовательность его частичных сумм является неубывающей. Необходимым и достаточным условиями сходимости такой последовательности является ее ограниченность. Отсюда следует
Теорема 1. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Признаки сравнения
Пусть заданы два ряда с положительными членами
u1 + u2 + u3 + … + un + … = (1)
v1 + v2 + v3 + … + vn + … = . (2)
Теорема 2. Если для членов рядов и справедливо неравенство
0 ≤ un ≤ vn, (3)
то:
1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
○ 1. Пусть Sn и п-ые частичные суммы рядов и соответственно и ряд сходится. Из условия (3) следует Sn ≤ . Тогда, согласно теореме 1, из сходимости ряда следует ограниченность последовательности {}, а значит, и последовательности {Sn}. Из ограниченности последовательности {Sn} следует сходимость ряда .
2. Пусть ряд (1) расходится. Тогда последовательность {Sn} неограничена. Следовательно, неограничена и последовательность {}. Отсюда следует, что ряд (2) расходится. ●
Замечание 1. Теорема 2 справедлива для случая, когда некоторые члены рядов (1) или (2) равны нулю.
Замечание 2. Теорема 2 справедлива для случая, когда условие (3) выполняется, начиная с некоторого номера N.
Замечание 3. Доказанный признак является достаточным для сходимости ряда и расходимости ряда .
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … .
□
Возьмем для сравнения ряд
= + + + … + + … ,
который сходится, т.к. является бесконечно убывающей геометрической последовательностью.
Пусть = , т.е. ип = ; = , т.е. vn = .
Условие un < vn , т.е. < , выполняется при любых п ≥ 1 (знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби). Следовательно, согласно теореме 2, заданный ряд сходится.
■
Теорема 3 (предельный признак сравнения).
Если существует конечный и отличный от нуля предел
= L 0,
то оба ряда и одновременно сходятся или расходятся.
○ Из определения предела следует, что для любого > 0, например 0 < < L, найдется номер N, n > N, такой, что
L − < < L +
или, т.к. vn > 0,
(L − )vn < un < (L + )vn.
Из сходимости ряда , согласно свойству 20 числовых рядов, следует сходимость ряда , а значит, по теореме 2 ряд сходится.
Если ряд расходится, то расходится ряд и, следовательно, расходится ряд .
Аналогично доказывается, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда . ●
Замечание 4. Из доказанного признака следует, что сходимость (расходимость) ряда является необходимым и достаточным условием сходимости (расходимости) соответствующего ряда и наоборот.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … .
□
Возьмем для сравнения гармонический ряд
= 1 + + + … + + … ,
о котором известно, что он расходится. Пусть
= , т.е. ип = ; = , т.е. vn = .
Найдем предел
= = = 0.
Следовательно, согласно теореме 3, заданный ряд расходится.
■
Замечание 5. Часто для сравнения используют ряды:
а) , q > 0, который
б) − обобщенный гармонический ряд, который
Признаки сравнения не всегда удобно использовать, т.к. для их применения в каждом конкретном случае необходимо подобрать соответствующий вспомогательный ряд, общих конструктивных приемов построения которого не существует. Поэтому на практике часто используют другие признаки, основанные на свойствах членов исследуемого ряда.
Признак Даламбера
Теорема 4. Пусть для ряда , ип > 0, существует предел
= L. (4)
Тогда:
1) при L < 1 ряд сходится;
2) при L > 1 ряд расходится;
3) при L = 1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым
(нужны дополнительные исследования).
○ По определению предела из равенства (4) следует, что для любого > 0, начиная с некоторого номера N, n > N, выполняются неравенства
L − < < L + . (5)
1. Если L < 1, то найдется такое > 0, что число q = L + < 1. Тогда из неравенства
< q при n > N
следует, что
иN+1 < uN q,
иN+2 < uN+1 q < uN q2,
……………………..
иN+k < uN+k−1 q < uN qk.
Так как ряд при |q| < 1 сходится, то сходится ряд =. Следовательно, сходится и ряд .
2. Если L > 1, то найдется такое > 0, что число q = L − > 1. Тогда из неравенств (5) следует неравенство
> q при n > N
или
ип+1 > uп q.
Это означает, что, начиная с номера N, члены ряда возрастают, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится. ●
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … .
□
Воспользуемся признаком Даламбера:
= = =
= = < 1.
Следовательно, заданный ряд сходится.
■
Замечание 1. Ряд будет расходится и в том случае, когда = ∞.
Замечание 2. Если предел не существует или равен 1, то для исследования на сходимость заданного ряда следует применить какой-либо другой признак сходимости.
Замечание 3. Если = 1, но отношение > 1 для всех номеров п, начиная с некоторого, то ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … .
□
Воспользуемся признаком Даламбера:
= = = 1.
В данном случае ряд расходится, т.к.
= > 1 для любых п.
■
Признак Коши (радикальный)
Теорема 5. Пусть для ряда , ип > 0, существует предел
= L. (6)
Тогда:
1) при L < 1 ряд сходится;
2) при L > 1 ряд расходится;
3) при L = 1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым
(нужны дополнительные исследования).
○ По определению предела из равенства (6) следует, что для любого > 0, начиная с некоторого номера N, n > N, выполняются неравенства
L − < < L + . (7)
1. Если L < 1, то найдется такое > 0, что число q = L + < 1. Тогда из неравенств (7) получаем
ип < qп при n > N.
Из признака сравнения следует: из сходимости ряда при 0 < q < 1 вытекает сходимость ряда .
2. Если L > 1, то найдется такое > 0, что число q = L − > 1. Тогда из неравенств (7) получаем
ип > qп при n > N.
Согласно признаку сравнения, из расходимости ряда при q > 1 следует расходимость ряда . ●
Замечание 1. Если существует предел , то существует и предел (и они равны между собой). Обратное утверждение не всегда верно. Следовательно, признак Коши “сильнее” признака Даламбера.
Замечание 2. Если предел не существует или равен 1, то для исследования на сходимость заданного ряда следует применить какой-либо другой признак сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … .
□
Воспользуемся радикальным признаком Коши:
= = = < 1.
Следовательно, заданный ряд сходится.
■
Интегральный признак Коши
Теорема 6. Пусть члены ряда , ип > 0, не возрастают, т.е.
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ …, (8)
и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что
f(1) = и1, f(2) = и2, …, f(п) = ип .
Тогда
1) если несобственный интеграл
сходится, то сходится ряд ;
2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд .
○ В силу монотонности функции f(x) для k ≤ x ≤ k + 1 выполняется неравенство f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1). Интегрируя от k до k + 1, получим
≥ ≥
или
иk ≥ ≥ uk +1,
т.к. f(k) = иk. Распишем полученные неравенства для k = 1, 2, 3, …, n:
и1 ≥ ≥ u2,
и2 ≥ ≥ u3,
…………………..
ип ≥ ≥ uп +1.
Суммируя эти неравенства, получим
Sn ≥ ≥ Sn +1− u1.
1) Пусть интеграл сходится и равен J, тогда ≤ J и Sn +1 ≤ J + u1 = C или Sn ≤ C для всех п. Таким образом, монотонно возрастающая последовательность частичных сумм {Sn} ограничена сверху и, следовательно, сходится, т.е. сходится ряд .
2) Пусть интеграл расходится. Тогда, в силу неравенства
Sn ≥
последовательность частичных сумм {Sn} неограниченна, а значит, ряд расходится. ●
Замечание 1. Из интегрального признака Коши следует, что сходимость (расходимость) интеграла является необходимым и достаточным условием сходимости (расходимости) соответствующего ряда .
Замечание 2. Нижним пределом несобственного интеграла может быть любое положительное число из области определения функции f(x).
Замечание 3. Теорема справедлива, если неравенства (8) выполняются, начиная с некоторого номера N, т.е. при n ≥ N.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + + … + + … − обобщенный гармонический ряд.
□
Используем интегральный признак Коши. Положим f(x) = . Функция f(x) монотонно убывает на промежутке [1, +∞).
1. Пусть р 1:
= =
=
2. Пусть р = 1:
= 1 + + + … + + … − гармонический ряд.
= = +∞.
Следовательно, ряд расходится.
Обобщим полученные результаты:
обобщенный гармонический ряд сходится при р >1 и расходится при р1.
■
Знакочередующиеся ряды
Ряд
u1 + u2 + u3 + …+ un + … (1)
называется знакочередующимся, если знаки его членов строго чередуются.
Например,
.
и1 и2 и3 и4
Но писать в таком виде ряд неудобно. Поэтому знакочередующийся ряд записывают в виде
1 − + − + …,
считая, что члены ряда положительные.
Тогда знакочередующийся ряд можно записать в общем виде следующим образом
u1 − u2 + u3 − и4 + … + (−1)п−1ип + … = , ()
считая, что ип > 0.
Теорема (признак Лейбница)
Если члены знакочередующегося ряда () удовлетворяют условиям
1) un > un +1 для любых п; (2)
2) = 0, (3)
то ряд () сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. S ≤ u1 .
○ Рассмотрим четную частичную сумму ряда ():
S2п = (u1−u2)+(u3−и4)+…+(u2n −1− u2n).
Из условия (2) следует, что выражения в скобках больше нуля. Следовательно, последовательность четных частичных сумм {S2п} ряда возрастает.
Запишем
S2п = u1 − (u2 − u3) − (u4 − и5) − … − (u2n −2 − u2n −1) − u2n ≤ u1. (4)
Из (4) следует, что последовательность {S2п} возрастает и ограничена. Следовательно, она имеет предел = S при этом S2п ≤ u1.
Рассмотрим теперь нечетные частичные суммы S2п +1. Из соотношения
= = + = S + 0 = S.
Равенство нулю предела следует из условия (3).
Таким образом, = S, т.е. ряд () сходится, а из неравенства (4) имеем S≤ u1. ●
Ряд, удовлетворяющий условиям доказанной теоремы, называется рядом Лейбница.
Замечание 1. Признак Лейбница справедлив, если неравенства (2) выполняются, начиная с некоторого номера N, n ≥ N.
Замечание 2. Если u1 > 0, то сумма знакочередующегося ряда положительна.
Замечание 3. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то можно оценить погрешность, которая получится при замене суммы ряда S на частичную сумму Sn. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с un+1, Но отброшенные члены ряда сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. меньше un+1. Значит, погрешность, получающаяся при замене S на Sn, не превосходит по модулю первого из отброшенных членов.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
□
Заданный ряд является знакочередующимся рядом. Воспользуемся признаком Лейбница:
1)
2)
Оба условия теоремы Лейбница выполняются. Следовательно, данный ряд сходится.
Отметим, что сумма п первых членов этого ряда
Sn =
отличается от суммы ряда S на величину, меньшую .
■
Знакопеременные ряды
Ряд
u1 + u2 + u3 + …+ un + … (1)
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.
Очевидно, что знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременных рядов.
Теорема. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Если знакопеременный ряд
u1 + u2 + u3 + …+ un + … (1)
такой, что ряд составленный из абсолютных величин его членов
|u1| + |u2| + |u3| + …+ |un| + …, (2)
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
○ Пусть Sn и − суммы п первых членов рядов (1) и (2).
Пусть − сумма всех положительных, а − сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых п членов данного ряда (1), тогда
Sn = − , = + .
По условию, последовательность {} имеет предел, т.е. = . Последовательности {} и {} возрастающие и ограничены числом . Следовательно, они имеют пределы
и . Из соотношения Sn = − следует, что и {Sn} имеет предел
= = − = − .
Это и означает, что ряд (1) сходится. ●
Таким образом, исследование сходимости знакопеременного ряда сводится к исследованию сходимости знакоположительного ряда.
Замечание 1. Доказанный признак является только достаточным признаком сходимости, т.е. обратное утверждение в общем случае не имеет места.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
= + + … + + … . (а)
□
Заданный ряд является знакопеременным рядом. Обозначим общий член ряда ип = . Построим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда:
= + + … + + … . (б)
Тогда |ип| = . Исследуем ряд (б) на сходимость. Для этого воспользуемся признаком сравнения, взяв для сравнения ряд
= + … . (с)
Обозначим vn = = . Ряд (с) сходится, т.к. представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = .
Сравним члены рядов (б) и (с), т.е. |ип| и vn:
≤ для всех п, т.к.
= , а ≤ 1 для любых п, т.е.
|ип| ≤ vn. Значит ряд (б), составленный из абсолютных величин членов заданного ряда (а), сходится. Тогда, согласно доказанной теореме, заданный ряд (а) сходится.
■
Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2). Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся.
Тогда, доказанную теорему можно сформулировать следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
Пример. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
.
□
Заданный ряд является знакопеременным рядом, т.к. знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Проверим данный ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда и исследуем его сходимость:
.
Построенный ряд является гармоническим рядом, который расходится.
Исследуем заданный ряд на условную сходимость. Заданный ряд является знакочередующимся рядом. Используем теорему Лейбница:
1) ;
2)
Следовательно, данный ряд сходится.
Вывод: заданный ряд сходится условно.
■
Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов
10. Если ряд абсолютно сходится, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
20. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы не задали число А, можно так переставить члены этого ряда, что его сумма будет равна числу А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.
30. Если ряды
u1 + u2 + u3 + …+ un + …
и
v1 + v2 + v3 + …+ vn + …
сходятся абсолютно и имеют соответственно суммы S1 и S2, то сходится абсолютно и ряд
u1v1 + (u1v2 + u2v1) + (u1v3 + u2v2 + u3v1) + … + (u1vn + u2vn−1 + … + unv1) + … .
Полученный ряд называется произведением рядов (по Коши) и его сумма равна S1S2.
Функциональные ряды
Основные понятия
Ряд
= u1(х) + u2(х) + … + un(х) + … (1)
называется функциональным, если его члены являются функциями от х.
Давая х определенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут сходится или расходится.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S(x).
Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит некоторый промежуток оси ОХ.
Функциональный ряд (1) сходится (абсолютно) на некотором промежутке, если на этом промежутке сходится ряд .
Для определения области сходимости функционального ряда часто используют признаки сходимости Даламбера и Коши.
Пример. Найти область сходимости ряда
= 1 + х + х2 + … + хп + … .
□
Воспользуемся признаком Даламбера:
= = = |x|.
Ряд сходится, если |x| < 1, т.е. при −1 < x < 1 или х (−1; 1).
Следовательно, областью сходимости заданного ряда является интервал (−1; 1).
Для х (−1; 1) заданный ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда, сумма ряда равна
S(x) = = , т.е.
= 1 + х + х2 + …+ хп + … .
■
Пусть Sп(x) – сумма п первых членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то
S(x) = Sп(x) + Rn+1(x), (2)
где Rn+1(x) – сумма ряда
uп+1(х) + uп+2(х) + …,
т.е.
Rn+1(x) = uп+1(х) + uп+2(х) + … .
Сумма Rn+1(x) называется остатком ряда (1).
Для любого х из области сходимости Х ряда имеет место соотношение
= S(x),
поэтому из (2) следует
= = 0,
т.е. остаток Rn+1(x) сходящегося ряда стремится к 0 при п→∞.
Сходимость функционального ряда в каждой точке х из области сходимости Х (х Х) называют поточечной сходимостью.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого > 0 существует номер N такой, что при всех номерах п ≥ N выполняется неравенство
| S(x) − Sn(x)| < (или | Rn+1(x)| < )
для всех х Х.
Различие поточечной и равномерной сходимостей функционального ряда состоит в том, что в первом случае номер N зависит от и х Х, т.е. N = N(, х), а во втором случае − только от , т.е. N = N(). Поточечную сходимость называют также неравномерной.
Теорема. Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда)
Если все члены ряда удовлетворяют неравенствам
|un(х)| ≤ an (3)
в некоторой области Х и ряд (ап ≥ 0) сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в этой области Х.
○ Так как числовой ряд сходится, то его остаток Rn+1→ 0, т.е. для любого > 0 существует номер N такой, что | Rn+1| < при любых п ≥ N.
Согласно неравенству (3),
|Rn+1(x)| = ≤ ≤ = Rn+1<
при любых п ≥ N и х Х, т.е. |Rn+1(x)| < при любых п ≥ N и х Х, а это и означает равномерную сходимость ряда в области Х. ●
Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам (3), называется мажорантным рядом или мажорантой для функционального ряда , а функциональный ряд в этом случае называется мажорируемым на множестве Х.
Пример. Исследовать ряд на равномерную сходимость
= + + … + + …
на промежутке (−∞,+∞).
□
Так как ≤ , а ряд сходится (р = 2 > 1), то заданный ряд сходится равномерно при любых значения х. Следовательно, ряд является мажорантой для заданного ряда , а заданный ряд является мажорируемым на промежутке (−∞,+∞).
■
Замечание 1. Признак Вейерштрасса является только достаточным признаком равномерной сходимости и не является необходимым.
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
10. Если на множестве Х функциональный ряд с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S(x) непрерывна на Х.
Замечание 2. Если сумма S(x) функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области Х, то сходимость этого ряда заведомо неравномерная в области Х.
20. Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится равномерно в некоторой области Х и имеет сумму S(x), то ряд
+ + … + + …
сходится и имеет сумму , при этом [a, b] X.
Замечание 3. Если функциональный ряд не сходится равномерно, то интегрирование ряда не всегда возможно, т.е.
+ … + + … .
Пример. Исследовать сходимость ряда
.
□
Рассмотрим вспомогательный ряд
= + + … + + … .
Так как ≤ для любого хR, а ряд сходится, то, по признаку Вейерштрасса, вспомогательный ряд сходится равномерно на все числовой оси. Интегрируя его почленно на отрезке [0, х], получим
= .
Следовательно, по свойству 20, заключаем, что ряд сходится (равномерно) на все числовой оси.
■
30. Если ряд с непрерывными дифференцируемыми членами на отрезке [a, b] сходится к сумме S(x), а ряд сходится равномерно на этом отрезке, то исходный ряд сходится равномерно на [a, b], его сумма S(x) − непрерывная дифференцируемая функция и справедливо равенство
= .
Замечание 4. Требование равномерной сходимости ряда производных существенно, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда.
Пример. Рассмотрим ряд
= + + … + + … .
□
Этот ряд равномерно сходится к непрерывной функции при любом х:
≤ , а ряд сходится (р = 2 > 1).
Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда:
= = + + … + + … .
Этот ряд расходится. Так, например, при х = 0 он превращается в ряд
= 1 + 22 + 32 + … + п2 + … ,
который расходится по следствию к необходимому признаку сходимости числовых рядов:
= = +∞ 0.
Таким образом, ряд производных не является мажорируемым и, следовательно, заданный ряд нельзя почленно дифференцировать.
■
Степенные ряды
Функциональный ряд вида
= а0 + а1(х −) + а2(х −)2 + … + ап(х −)п + …, (1)
где ап, х, − действительные числа, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом по степеням х − ; а0, а1, а2,…, ап − коэффициенты степенного ряда.
При = 0 получаем степенной ряд по степеням х
= а0 + а1х + а2х2 + … + апх п+ … . ()
Так как ряд (1) заменой х − = z можно свести к ряду (), то будем рассматривать степенные ряды вида ().
Степенной ряд () всегда сходится в точке х = 0. При х 0 степенной ряд может сходиться или расходиться.
Теорема Абеля.
1. Если степенной ряд () сходится при некотором значении х0 0, то он сходится абсолютно при всяком значении х, для которого |x| < |x0|;
2. если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого |x| > ||.
○ 1. Так как по предположению числовой ряд сходится, то = 0, и, следовательно, существует такое число М>0, что |аn|< M для любых п N. Пусть |x| < |x0|, тогда
= ≤ .
Члены ряда представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем < 1, т.е. этот ряд сходится. Следовательно, ряд
в точке х 0 сходится абсолютно.
2. Если бы в какой-либо точке х, удовлетворяющей неравенству |x| > ||, ряд сходился, то в силу доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , т.к. || < |x|. Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. ●
Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд () сходится хотя бы в одной точке х 0, то всегда существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно для всех |x| < R или х (−R, R) и расходится для всех |x| > R или х(−∞; −R)(R; +∞)
При х = ±R ряд может сходиться или расходиться. Нужна проверка.
Интервал (−R, R) − интервал сходимости степенного ряда; R − радиус сходимости.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости (без учета проверки точек х = ±R).
Замечание. Интервал сходимости степенного ряда (1) имеет вид ( − R; + R).
Для определения радиуса сходимости можно использовать признак Даламбера или радикальный признак Коши. Пусть имеется степенной ряд . Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Для определения сходимости последнего ряда применим признак Даламбера. Пусть существует предел
= = = L|x|.
Тогда по признаку Даламбера последний ряд сходится, если L|x| < 1, т.е. если |x| < , и расходится, если L|x| > 1, т.е. если |x| > . Обозначим через радиус сходимости R, т.е. R = . Тогда
R = = = .
Таким образом, радиус сходимости степенного ряда можно определить по формуле
R = .
Аналогично, по радикальному признаку Коши получим
R = .
Пример. Найти область сходимости ряда:
□ Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :
Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором Следовательно, полученный ряд расходится;
Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница :
Значит, полученный ряд сходится.
Областью сходимости заданного ряда является промежуток .
■
Свойства степенных рядов
10. Если радиус сходимости R степенного ряда отличен от нуля, то его сумма S(x) непрерывна на интервале сходимости .
20. Если для степенного ряда , R 0, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости и для его суммы S(x) = справедливо равенство = .
Следствие. Степенной ряд на , R 0, можно почленно дифференцировать любое число раз.
30. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [x0; x] (−R, R), при этом, если S(x) = , то
= − .
Следствие. Степенной ряд можно почленно интегрировать любое число раз на отрезке [x0; x] (−R, R).
40. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на любом отрезке [x0; x] (−R, R) степенного ряд не изменяют его радиуса сходимости R.
Ряды Тейлора и Маклорена
Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки а называется степенной ряд по степеням х − а вида
f(а) + (х − а) + (х − а)2 + … + (х − а)п + … . (1)
Формально ряд Тейлора можно построить для всякой функции, которая в окрестности точки а имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f(x) только при тех значениях х, при которых остаточный член
Rn+1(x) = (х − а)п+1
(с = а + (х−а), 0 < < 1) формулы Тейлора для этой функции стремится к нулю при п → ∞. Если Rn+1(x) → 0 при п → ∞, то можно записать
f(x) = f(а) + (х − а) + (х − а)2 + … + (х − а)п + …, ()
т.е. записать разложение функции f(x) в ряд Тейлора.
При а = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд по степеням х
f(0) + х + х2 + … + хп +… , (2)
который называется рядом Маклорена.
Тогда разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет вид
f(x) = f(0) + х + х2 + … + хп + … . ()
Для разложения функции f(x) в ряд Тейлора необходимо:
а) написать разложение функции согласно данной формуле;
б) исследовать остаточный член Rn+1(x) формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений х, при которых =0.
Замечание. Для большинства функции область сходимости ряда Тейлора совпадает с совокупностью значений х, при которых =0. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена Rn+1(x), что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора как обычного степенного ряда.
Пример. Разложить функцию f(x) = в ряд Тейлора по степеням х − 2.
□
Из условия видно, что а = 2.
а) Найдем значения этой функции и ее производных для х = а = 2:
f(x) =х−1, f(2) = 2−1 ;
=−1х−2, =−1∙2−2;
=1∙2 х−3, =1∙2∙2−3;
=−1∙2∙3 х−4, =−1∙2∙3∙2−4;
…………………………………………………………
=(−1)пп!х−п−1, = (−1)пп!2−п− 1 = ;
…………………………………………………………. .
Подставляя в формулу разложения (), получим
= − + − + … + + …
или
= − + − + … + + … .
б) Чтобы установить, при каких значениях х полученное разложение справедливо, определим область сходимости построенного ряда.
Найдем радиус сходимости R:
R = = = = 2,
т.е. интервалом сходимости будет интервал (−2; 2). Но это интервал для х − 2, а не для х. Поэтому проведем следующее преобразование:
−2 < х − 2 < 2, 0 < х < 4,
т.е. интервалом сходимости для построенного ряда будет интервал (0; 4).
Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
Пусть х = 0:
= = = = (1+1+1+..+1+…).
Ряд расходится, например, согласно необходимому признаку сходимости.
Пусть х = 4:
=== = (1−1+1−...+(−1)п +…).
Ряд расходится, например, согласно необходимому признаку сходимости.
Следовательно, областью сходимости построенного ряда является интервал (0; 4). Значит разложение функции f(x)= справедливо для всех х (0; 4).
■
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = .
□
а) Найдем значения этой функции и ее производных:
f(x) = , f(0) = = 1;
= , = = 1;
= , = = 1;
= , = = 1;
…………………………………….
= , = = 1;
…………………………………….. .
Подставляя в формулу разложения (), получим
= 1 + + + + … + + … . (3)
б) Остаточный член формулы Маклорена имеет вид
Rn+1(x) = , 0 < < 1.
Чтобы установить, при каких значениях х предел = 0, рассмотрим ряд . Применим к этому ряду признак Даламбера:
= = = 0 < 1
при любом х.
Следовательно, ряд сходится. Отсюда следует, что = 0 (необходимый признак сходимости) при любых х. Таким образом, полученный ряд сходится к функции при всех значения х или, другими словами, разложение функции справедливо на интервале (−∞; +∞).
Проверим справедливость разложения по приведенному замечанию, т.е. найдем область сходимости построенного ряда. Найдем радиус сходимости R:
R = = = == +∞.
Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (−∞; +∞). Делаем вывод, что разложение справедливо для всех х(−∞; +∞).
■
Аналогично можно разложить в ряд Маклорена следующие функции:
2. f(x) = :
= х − + − … + (−1)п + … (4)
для х (−∞; +∞).
3. f(x) = :
= 1 − + − … + (−1)п + … (5)
для х (−∞; +∞).
4. f(x) = (1+х)т (биномиальный ряд):
(1+х)т= 1+ тх +х2 +х3 +…+хп +… (6)
при т 0 для х [−1; 1];
−1< т < 0 для х (−1; 1];
т −1 для х (−1; 1).
5. f(x) = :
= х + + + + … + ∙ + … (7)
для х (−1; 1).
6. f(x) = :
= х − + − + … + (−1)п + … (8)
для х [−1; 1].
7. f(x) = (f(x) = ):
= х − + − + … + (−1)п + … (9)
для х (−1; 1].
Заменяя х на −х :
= −х − − − − … − − … (10)
для х [−1; 1).
Приложения степенных рядов
1. Приближенное вычисление значений функций.
В процессе вычислений необходимо помнить, в каждом приближенном результате после запятой должно быть на один знак больше, чем в заданной точности .
Пример. Вычислить с точностью = 10−5 = 0,00001.
□
Воспользуемся разложением функции f(x) = в степенной ряд :
для х (−∞;+∞).
Градусную меру измерения необходимо перевести в радианную:
= , 0,174533.
Полагая , получим ряд для вычисления с любой точностью:
= = 0,174533 − 0,000886 + 0,000001 ≈
≈ | 0,000001 < = 0,00001| ≈ 0,174533 − 0,000886 = 0,173647,
т.е. ≈ 0,173647.
Значения пяти знаков после запятой гарантированы.
■
2. Приближенное вычисление интегралов.
Существуют определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Такие интегралы удобно вычислять с помощью рядов.
Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью :
.
□ Так как
, для х ,
то
= ,
для х .
Подставляя полученное разложение вместо подынтегральной функции, получим:
= ≈
,
т.е.
≈ 0,743.
Значения двух знаков после запятой гарантированы.
■
3. Интегрирование дифференциальных уравнений.
Степенные ряды могут применяться также для решения дифференциальных уравнений, например, в случае, если их решения не удается найти в элементарных функциях.
Так, если требуется решить для уравнения = f(x, y) задачу Коши при начальном условии у(х0) = у0, то можно воспользоваться рядом Тейлора
у = = у(х0) + (х − х0) + (х − х0)2 + …,
где у(х0) = у0, = f(х0, у0). Дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо х, у,, … значений х0, у0, , … .
Если х0 = 0, то для решения используют ряд Маклорена:
у = = у(0) + х + х2 + ….
Аналогично с помощью этих рядов можно интегрировать и уравнения высших порядков.
Пример. Найти три первых, отличных от нуля, члена ряда , определяющего решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями
□ Так как х0 = 0, то воспользуемся разложением
у = = у(0) + х + х2 + ….
Найдем коэффициенты при х :
;
,
.
Подставляя найденные значения в формулу, получим
.
■