по теме Интегралы Задача 1

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Пример решения типового расчета по теме «Интегралы»

Задача 1. Найти интегралы (№1−№10):

1.1. .

Решение.

Ответ:

1.2.

Решение.

1 способ (подведение функции под знак дифференциала):

2 способ (введение новой переменной).

Положим Тогда Имеем

Решение можно оформить иначе:

Пусть Тогда

Ответ:

1.3.

Решение.

Выделим в числителе дифференциал подкоренного выражения: Разобьем интеграл на два интеграла:

Выделяем полный квадрат под корнем второго интеграла:

Получим

Ответ:

1.4.

Решение.

Обозначим

Тогда

Применяем формулу интегрирования по частям:

Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть

Получим

В числителе дроби под знаком интеграла выделяем дифференциал знаменателя и разбиваем интеграл на два:

Выделив в последнем интеграле полный квадрат, получим

Итак, имеем

Ответ: .

1.5.

Решение.

Положим

Тогда

Применим формулу интегрирования по частям:

Используем еще раз формулу интегрирования по частям.

Положим

Тогда

Будем иметь

Таким образом, мы пришли к соотношению относительно исходного интеграла

Отсюда .

Ответ:

1.6. .

Решение.

Под знаком интеграла неправильная дробно-рациональная функция. Выделим целую часть:

Итак, .

Знаменатель дроби имеет очевидный корень Следовательно,

Квадратный трехчлен имеет два действительных корня: −4 и 2. Следовательно, разложение на множители знаменателя дроби:

Представим правильную дробь в виде суммы дробей:

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители дробей:

Коэффициенты разложения найдем методом частных значений:

Итак

Найдем интеграл

Ответ:

1.7.

Решение

При замене на − и на − подинтегральная функция не меняет знак, поэтому применим подстановку . Тогда

Разделив числитель и знаменатель подинтегральной функции на и введя замену , получим

Разложим подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей:

Приводим в правой части тождества к общему знаменателю и приравниваем числители:

Для нахождения коэффициентов применим комбинированный метод. Положим . Тогда

Преобразуем левую часть тождества

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева:

Последнее условие служит для проверки решения.

Итак, имеем

Сделав обратную подстановку и учитывая, что ,

получим:

Ответ:

1.8.

Решение

Так как выражение () входит в корни 2 и 3 степеней, а наименьшим общим кратным этих чисел является число 6, то положим

Тогда интеграл примет вид:

Выделим целую часть подынтегральной функции: .

(Проверьте «делением в столбик».)

Тогда

Возвращаемся к переменной :

Ответ:

1.9.

Решение.

Применим формулы универсальной подстановки, позволяющие все тригонометрические функции аргумента рационально выразить через тангенс половинного аргумента:

Сделаем замену переменной: Тогда .

Интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральную функцию:

Будем иметь

Возвратимся к переменной

Ответ: .

1.10.

Решение.

Подынтегральная функция является рациональной функцией относительно

Сделаем подстановку

Получим

Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму элементарных дробей:

Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим

Применим метод произвольных значений дл нахождения коэффициентов разложения:

при

при , учитывая, что , получим

Следовательно,

Возвратимся к переменной

Ответ:

1.11. Вычислить интеграл .

Решение.

Для вычисления интеграла I = используем формулу замены переменной в определенном интеграле: если функция непрерывна на отрезке [a,b] и − функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , где причем сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то

Положим Тогда и

I =

Ответ: .

1.12. Найти среднее значение функции на отрезке [0, 2].

Решение.

Среднее значение функции на отрезке определяется как .

Вычислим интеграл .

Выделяем полный квадрат в знаменателе и полагаем . Получим

Среднее значение функции на отрезке [0, 2] равно:

= (/2): (2 – 0) = /4.

Ответ:

2.1− 2.2. Вычислить несобственные интегралы по определению.

2.1. I1 = .

Решение.

Функция непрерывна на любом отрезке По определению несобственного интеграла имеем

I1 =

Положим Тогда Интегрируя по частям, получим

I1 =

Отметим, что

Следовательно, I1 =

Ответ: Несобственный интеграл сходится и его значение равно I1=

2.2. I = .

Решение.

Функция непрерывна на промежутке и .

Согласно определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем

I =

Несобственный интеграл I2 расходится.

Ответ: Интеграл расходится.

Для исследования на сходимость несобственных интегралов используются признаки сходимости.

1.Если функция при и существует конечный предел

то при несобственный интеграл сходится и при несобственный интеграл расходится.

2. Если функция f(x) непрерывна в и при обращается в бесконечность и существует конечный предел

то несобственный интеграл сходится при и расходится при .

2.3.Исследовать интеграл на сходимость I = .

Решение.

Функция непрерывна и положительна на любом отрезке .

Рассмотрим предел

Итак, . Следовательно, интеграл I сходится согласно первому признаку сходимости.

Ответ: Интеграл сходится.

2.4. Найти площади плоской фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

Решив систему уравнений, найдем точки пересечения кривых

( 1) и (2):

Кривая (1) – парабола с вершиной в точке В(4,0), кривая (2) – парабола с вершиной в точке А(0, 16), параболы пересекаются в точках А и В (рис. 1).

Площадь области находим по формуле:

Ответ: 64 (кв.ед.)

2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Построим кривую (3) по точкам. Для этого составим таблицу (задаем значения параметра t и подсчитываем значения x и y)

t	1/2	1	1,5
x	1/4	1	2,25	3
y	0,46	2/3	0,375	0

Площадь плоской фигуры, ограниченной линией, заданной параметрически, определяется формулой

Площадь плоской фигуры (рис. 2), ограниченной осью ОХ (у = 0) и кривой (3), определяется как

Ответ: 1.39 (кв.ед.).

2.6. Вычислить длину дуги кривой в полярных координатах:

Решение.

Кривая симметрична относительно полярной оси. Период функции равен Период функции равен При изменении от 0 до полярный радиус возрастает от 0 до 1 и описывает половину кривой. Составим таблицу значений функции и построим ее график (рис.3)


0,195	0,383	0,536	0,71	0,832	0,924	0,981	1,0
0,001	0,02	0,096	0,25	0,479	0,729	0,925	1,0

Имеем

так как .

Длину дуги найдем по формуле :

Ответ: 16/3.

Задание 3.1.

Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.

а)

Уравнение нижней границы области

Уравнение верхней границы области интегрирования

Итак, область интегрирования – область, ограниченная эллипсом Отсюда . Область является правильной в направлении осей ОХ и ОУ (рис. 4). Ее можно описать так

Формула (7.8) [2] дает

Итак, изменили порядок интегрирования

б)

Уравнение левой границы области интегрирования

Уравнение правой границы области интегрирования

Область ограничена параболой и прямой (рис. 5), является правильной в направлении оси ОУ и оси ОХ. Точки пересечения параболы и прямой – А(2, 0), В(–6, 8).

Имеем:

Формула (7.7) [2] дает .

Итак, изменили порядок интегрирования

3.2. Найти среднее значение функции в области

Решение.

Среднее значение функции в области определяется по формуле (по теореме о среднем)

Область изображена на рис. 6.

Площадь области .

Тогда среднее значение функции определяется выражением

Перейдем к повторному интегралу

Вычисляем внутренний интеграл по переменной при фиксированном :

Ответ: .

3.3.Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение.

Изобразим тело, ограниченное указанными поверхностями.

− уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси ; − уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси . Тело симметрично относительно плоскостей и . На рис.4 представлена четвертая часть рассматриваемого тела. Объем тела определяется формулой

, где .

Область − проекция на плоскость тела (рис. 5):

Перейдем к повторному интегралу

В двойном интеграле по области перейдем к полярным координатам:

где .

Переходим к повторному интегралу

Внутренний интеграл берем по переменной при фиксированном значении :

Используя формулу понижения степени , получим

Ответ: 12 (куб.ед.).

4.1

Вычислить криволинейный интеграл первого рода по дуге АВ от точки

А(1,-1,5) до точки В(0,-2):

4а) .

Решение.

Дифференциал дуги при явном задании дуги АВ:

вычисляем по формуле − = .

Согласно правилу вычисления криволинейного интеграла первого рода

имеем (см. [2], формула (9.5))

Ответ: .

4) , .

Решение.

Точке А(0,1) соответствует значение параметра , точке В(1,0) − значение параметра . Следовательно, .

Дифференциал дуги при параметрическом задании дуги определяется формулой: . Следовательно,

Согласно правилу перехода к определенному интегралу (см. [2], формула (10.2))), имеем

Ответ: 2.

4.2.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по дуге АВ в направлении от точки А к точке В.

а)

Решение.Дуга АВ: − парабола. Обход дуги от точки к точке соответствует изменению переменной от 1 до 0, переменной − от 0 до 2. Следовательно,

Согласно правилу перехода к определенному интегралу в криволинейном интеграле второго рода (см. [2], формула (10.6)), имеем

Сделаем замену переменной: . Тогда

Следовательно,

Ответ: .

b) Точке А(1,0) соответствует значение параметра , точке В(0,2) − значение параметра . На дуге АВ имеем: . Используем правило сведения криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу (см. [2], формула (10.2)):

Имеем .

Следовательно,

Ответ: 4/3.

Список литературы

Неопределенный и определенный интеграл. Шварц М.А., Соловьева И.М., Лапшина Н.В. Учебное пособие. ПГУПС. 2008г.
Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике, ч.2, 2003, М. Айрис Пресс.

PAGE 18

EMBED Visio.Drawing.11

1. 1по времени возникновения риски распределяются- ретроспективные их анализ дает возможность более точно
2. П ПО ДЕЛУ О ПРОВЕРКЕ КОНСТИТУЦИОННОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ ПУНКТОВ 1 И 2 СТАТЬИ 167 ГРАЖДАНСКОГО КОДЕКСА РОССИЙСК
3. Семейное право 1718 веков
4. Программа фильтрации шумов
5. Функции лунного пейзажа в литературе
6. Целью маркетинговых исследований является разрешение следующих проблем предприятия- Изучение и уста.html
7. медицинское направление соц
8. Особенности социально-правовой поддержки детей в условиях школы
9. ВДАЛИ ОТ ДОМА 1.html
10. варианты образы мышление эмоции внимание память личность характер темперамент
11. Этапы изучения понятия задачи и её решения в начальных класах
12. Податкова система і податкова політика.html
13. О некоторых вопросах замены института прописки институтом регистрации
14. Учет и оформление операций по формированию уставного капитала Учет операций по движению основных средств
15. Методика постановки голоса1
16. Преступления в сфере незаконного оборота наркотических средств
17. Контрольная работа По дисциплине Инвестиции Вариант 20 Выполнила- Студентка 5ого курса з-о
18. Договор строительного подряда в Российской Федерации
19. Педагогические принципы адаптации молодых сотрудников к службе в ОВД
20. тематического вечера для учеников шестых классов

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе