Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Пример решения типового расчета по теме «Интегралы»
Задача 1. Найти интегралы (№1−№10):
1.1. .
Решение.
.
Ответ:
1.2.
Решение.
1 способ (подведение функции под знак дифференциала):
2 способ (введение новой переменной).
Положим Тогда Имеем
Решение можно оформить иначе:
Пусть Тогда
Ответ:
1.3.
Решение.
Выделим в числителе дифференциал подкоренного выражения: Разобьем интеграл на два интеграла:
Выделяем полный квадрат под корнем второго интеграла:
Получим
Ответ:
1.4.
Решение.
Обозначим
Тогда
Применяем формулу интегрирования по частям:
Под знаком интеграла неправильная дробь. Выделим целую часть
Получим
.
В числителе дроби под знаком интеграла выделяем дифференциал знаменателя и разбиваем интеграл на два:
Выделив в последнем интеграле полный квадрат, получим
.
Итак, имеем
Ответ: .
1.5.
Решение.
Положим
Тогда
Применим формулу интегрирования по частям:
Используем еще раз формулу интегрирования по частям.
Положим
Тогда
Будем иметь
Таким образом, мы пришли к соотношению относительно исходного интеграла
Отсюда .
Ответ:
1.6. .
Решение.
Под знаком интеграла неправильная дробно-рациональная функция. Выделим целую часть:
Итак, .
Знаменатель дроби имеет очевидный корень Следовательно,
Квадратный трехчлен имеет два действительных корня: −4 и 2. Следовательно, разложение на множители знаменателя дроби:
.
Представим правильную дробь в виде суммы дробей:
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители дробей:
.
Коэффициенты разложения найдем методом частных значений:
Итак
Найдем интеграл
Ответ:
1.7.
Решение
При замене на − и на − подинтегральная функция не меняет знак, поэтому применим подстановку . Тогда
Разделив числитель и знаменатель подинтегральной функции на и введя замену , получим
.
Разложим подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей:
Приводим в правой части тождества к общему знаменателю и приравниваем числители:
.
Для нахождения коэффициентов применим комбинированный метод. Положим . Тогда
Преобразуем левую часть тождества
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева:
Последнее условие служит для проверки решения.
Итак, имеем
Сделав обратную подстановку и учитывая, что ,
получим:
Ответ:
1.8.
Решение
Так как выражение () входит в корни 2 и 3 степеней, а наименьшим общим кратным этих чисел является число 6, то положим
Тогда интеграл примет вид:
Выделим целую часть подынтегральной функции: .
(Проверьте «делением в столбик».)
Тогда
Возвращаемся к переменной :
Ответ:
1.9.
Решение.
Применим формулы универсальной подстановки, позволяющие все тригонометрические функции аргумента рационально выразить через тангенс половинного аргумента:
Сделаем замену переменной: Тогда .
Интеграл примет вид:
Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Будем иметь
Возвратимся к переменной
Ответ: .
1.10.
Решение.
Подынтегральная функция является рациональной функцией относительно
Сделаем подстановку
Получим
Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму элементарных дробей:
.
Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим
Применим метод произвольных значений дл нахождения коэффициентов разложения:
при
при
при , учитывая, что , получим
Следовательно,
Возвратимся к переменной
Ответ:
1.11. Вычислить интеграл .
Решение.
Для вычисления интеграла I = используем формулу замены переменной в определенном интеграле: если функция непрерывна на отрезке [a,b] и − функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , где причем сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то
.
Положим Тогда и
I =
Ответ: .
1.12. Найти среднее значение функции на отрезке [0, 2].
Решение.
Среднее значение функции на отрезке определяется как .
Вычислим интеграл .
Выделяем полный квадрат в знаменателе и полагаем . Получим
Среднее значение функции на отрезке [0, 2] равно:
= (/2): (2 – 0) = /4.
Ответ:
2.1− 2.2. Вычислить несобственные интегралы по определению.
2.1. I1 = .
Решение.
Функция непрерывна на любом отрезке По определению несобственного интеграла имеем
I1 =
Положим Тогда Интегрируя по частям, получим
I1 =
Отметим, что
Следовательно, I1 =
Ответ: Несобственный интеграл сходится и его значение равно I1=
2.2. I = .
Решение.
Функция непрерывна на промежутке и .
Согласно определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем
I =
.
Несобственный интеграл I2 расходится.
Ответ: Интеграл расходится.
Для исследования на сходимость несобственных интегралов используются признаки сходимости.
1.Если функция при и существует конечный предел
,
то при несобственный интеграл сходится и при несобственный интеграл расходится.
2. Если функция f(x) непрерывна в и при обращается в бесконечность и существует конечный предел
,
то несобственный интеграл сходится при и расходится при .
2.3.Исследовать интеграл на сходимость I = .
Решение.
Функция непрерывна и положительна на любом отрезке .
Рассмотрим предел
Итак, . Следовательно, интеграл I сходится согласно первому признаку сходимости.
Ответ: Интеграл сходится.
2.4. Найти площади плоской фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
Решив систему уравнений, найдем точки пересечения кривых
( 1) и (2):
Кривая (1) – парабола с вершиной в точке В(4,0), кривая (2) – парабола с вершиной в точке А(0, 16), параболы пересекаются в точках А и В (рис. 1).
Площадь области находим по формуле:
Ответ: 64 (кв.ед.)
2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.
Построим кривую (3) по точкам. Для этого составим таблицу (задаем значения параметра t и подсчитываем значения x и y)
|
t |
0 |
1/2 |
1 |
1,5 |
|
|
x |
0 |
1/4 |
1 |
2,25 |
3 |
|
y |
0 |
0,46 |
2/3 |
0,375 |
0 |
Площадь плоской фигуры, ограниченной линией, заданной параметрически, определяется формулой
Площадь плоской фигуры (рис. 2), ограниченной осью ОХ (у = 0) и кривой (3), определяется как
Ответ: 1.39 (кв.ед.).
2.6. Вычислить длину дуги кривой в полярных координатах:
Решение.
Кривая симметрична относительно полярной оси. Период функции равен Период функции равен При изменении от 0 до полярный радиус возрастает от 0 до 1 и описывает половину кривой. Составим таблицу значений функции и построим ее график (рис.3)
|
0 |
|||||||||
|
0 |
0,195 |
0,383 |
0,536 |
0,71 |
0,832 |
0,924 |
0,981 |
1,0 |
|
|
0 |
0,001 |
0,02 |
0,096 |
0,25 |
0,479 |
0,729 |
0,925 |
1,0 |
Имеем
так как .
Длину дуги найдем по формуле :
Ответ: 16/3.
Задание 3.1.
Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.
а)
Уравнение нижней границы области
Уравнение верхней границы области интегрирования
.
Итак, область интегрирования – область, ограниченная эллипсом Отсюда . Область является правильной в направлении осей ОХ и ОУ (рис. 4). Ее можно описать так
Формула (7.8) [2] дает
Итак, изменили порядок интегрирования
б)
Уравнение левой границы области интегрирования
Уравнение правой границы области интегрирования
Область ограничена параболой и прямой (рис. 5), является правильной в направлении оси ОУ и оси ОХ. Точки пересечения параболы и прямой – А(2, 0), В(–6, 8).
Формула (7.7) [2] дает .
Итак, изменили порядок интегрирования
.
3.2. Найти среднее значение функции в области
.
Решение.
Среднее значение функции в области определяется по формуле (по теореме о среднем)
Область изображена на рис. 6.
Площадь области .
Тогда среднее значение функции определяется выражением
Перейдем к повторному интегралу
Вычисляем внутренний интеграл по переменной при фиксированном :
.
Ответ: .
3.3.Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
Решение.
Изобразим тело, ограниченное указанными поверхностями.
− уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси ; − уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси . Тело симметрично относительно плоскостей и . На рис.4 представлена четвертая часть рассматриваемого тела. Объем тела определяется формулой
, где .
Область − проекция на плоскость тела (рис. 5):
.
Перейдем к повторному интегралу
В двойном интеграле по области перейдем к полярным координатам:
:
,
где .
Переходим к повторному интегралу
Внутренний интеграл берем по переменной при фиксированном значении :
Используя формулу понижения степени , получим
.
Ответ: 12 (куб.ед.).
4.1
Вычислить криволинейный интеграл первого рода по дуге АВ от точки
А(1,-1,5) до точки В(0,-2):
4а) .
Решение.
Дифференциал дуги при явном задании дуги АВ:
вычисляем по формуле − = .
Согласно правилу вычисления криволинейного интеграла первого рода
имеем (см. [2], формула (9.5))
Ответ: .
4) , .
Решение.
Точке А(0,1) соответствует значение параметра , точке В(1,0) − значение параметра . Следовательно, .
Дифференциал дуги при параметрическом задании дуги определяется формулой: . Следовательно,
.
Согласно правилу перехода к определенному интегралу (см. [2], формула (10.2))), имеем
Ответ: 2.
4.2.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода по дуге АВ в направлении от точки А к точке В.
.
а)
Решение.Дуга АВ: − парабола. Обход дуги от точки к точке соответствует изменению переменной от 1 до 0, переменной − от 0 до 2. Следовательно,
Согласно правилу перехода к определенному интегралу в криволинейном интеграле второго рода (см. [2], формула (10.6)), имеем
Сделаем замену переменной: . Тогда
Следовательно,
Ответ: .
b) Точке А(1,0) соответствует значение параметра , точке В(0,2) − значение параметра . На дуге АВ имеем: . Используем правило сведения криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу (см. [2], формула (10.2)):
Имеем .
Следовательно,
=
Ответ: 4/3.
Список литературы
PAGE 18
EMBED Visio.Drawing.11
EMBED Visio.Drawing.11
EMBED Visio.Drawing.11
EMBED Visio.Drawing.11
EMBED Visio.Drawing.11