Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Иркутский государственный технический университет
Кафедра управления качеством и механики
Реферат: на тему:
Сферическое движение твердого тела.
Выполнил студент группы АТб-12-1 Турсунов Отабек
Иркутск 2013
Сферическое движение (движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки) — движение абсолютно твёрдого тела, при котором оно имеет одну неподвижную точку.
При движении вокруг неподвижной точки О каждая из точек твёрдого тела описывает в пространстве сферическую поверхность, центром которой является точка О.
При описании законов сферического движения принято пользоваться координатами, получившими название углов Эйлера:
— угол собственного вращения;
— угол прецессии;
— угол нутации.
Примером сферического движения является движение прецессирующего волчка или любого тела закрученного вокруг оси, не совпадающей с осью наименьшего или наибольшего момента инерции. Другим примером является движение точек на зубьях конического катка в зубчатой конической планетарной передаче.
Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве.
В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).
Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как , конечную как . Пересечение координатных плоскостей и называется линией узлов .
Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера это последовательность 3,1,3 (Z,X,Z), т.е. производится сначала поворот на угол вокруг оси , потом поворот на угол вокруг оси , и последним поворот на угол вокруг оси .
|
||||||||||||||||||
|
Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движется по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. По этой причине рассматриваемое движение тела называется сферическим движением. Для определения положения тела в каждый момент времени воспользуемся двумя системами осей координат: неподвижной системой с началом в неподвижной точке и подвижной системой , неизменно связанной с твердым телом, с началом в той же точке (рис.3).
Положение данного тела в пространстве будет вполне определено, если будет известно положение подвижной системы осей . Обозначим линию пересечения неподвижной плоскости и подвижной плоскости через и установим на ней положительное направление (от к ); эта прямая называется линией узлов (рис.4). Угол между осью и линией узлов обозначим через . Этот угол лежит, очевидно, в плоскости и отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси . Угол между осями и обозначим через . Этот угол отсчитывается от оси в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца линии узлов (пл.). Угол между и осью обозначим через . Этот угол лежит в плоскости и отсчитывается от линии узлов против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси . Заданием углов , , однозначно определяется положение подвижной системы осей, связанной с твердым телом, а следовательно, и положение самого тела. Углы , , называются эйлеровыми углами: - угол прецессии, - угол нутации, - угол собственного вращения. При движении твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной, эти углы непрерывно изменяются во времени, т.е.
Уравнения (4), однозначно определяющие сферическое движение тела, называются уравнениями сферического движения твердого тела. Для определения кинематических характеристик сферического движения тела (угловой скорости, скоростей его точек и т.д.) приведем теорему Эйлера-Даламбера (без доказательства): твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Рассмотрим малый промежуток времени , за которое какая-нибудь точка твердого тела перемещается из положения в положение . При этом тело повернулось на угол вокруг некоторой оси (рис.5). Уменьшая величину промежутка времени , получаем ряд положений оси . Предельное положение этой оси при называется мгновенной осью вращения тела для данного момента времени. Предел, к которому стремится отношение , когда стремится к нулю, называется угловой скоростью твердого тела в момент
Вектор мгновенной угловой скорости в данный момент откладывается по мгновенной оси от неподвижной точки в такую сторону, чтобы, смотря этому вектору навстречу, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю. Линейная скорость точки тела в момент времени определяется по формуле
где - - радиус-вектор точки , проведенный из неподвижной точки . Из (6) следует, что модуль скорости точки тела равен , где - угол между радиусом-вектором и мгновенной осью вращения . Но , где - расстояние от точки до оси , т.е. мгновенный радиус вращения точки . Тогда, окончательно имеем
Вектор скорости точки перпендикулярен к плоскости, проходящей через эту точку и мгновенную ось вращения тела. Проекции скорости точки на неподвижные оси координат определяются по формулам Эйлера
Здесь: и - координаты точки ; , и - проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат. В заключении приводим уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной системе осей
Рассмотрим несколько примеров. Пример 2. Твердое тело движется вокруг неподвижной точки , принятой за начало координат, причем проекции вектора угловой скорости тела на неподвижные координатные оси заданы в виде: , , . Найти в момент скорость точки тела, а также расстояние от нее до мгновенной оси. Координаты точки в этот момент равны и . Решение. Найдем значения проекций угловой скорости при . , , . Проекции скорости точки находим по формулам (8) , , . Модуль скорости точки будет равен . По заданным проекциям угловой скорости найдем ее модуль . Из формулы (7) для расстояния от точки до мгновенной оси вращения получим . Пример 3. Конус с углом при вершине и радиусом основания катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. Скорость центра основания постоянна и равна . Определить угловую скорость конуса , а также скорости наинизшей и наивысшей точек основания и (рис.6). Решение. Движение катящегося конуса является сферическим, так как его вершина остается неподвижной. Это движение в каждый момент времени представляет собой вращение вокруг мгновенной оси. Мгновенная ось вращения конуса совпадает с образующей , по которой конус соприкасается с неподвижной плоскостью, так как скорости точек этой образующей равны нулю. Найдем расстояние от точки до мгновенной оси . Модуль угловой скорости конуса определим по формуле (7) . Зная направление скорости , откладываем от точки по мгновенной оси вектор угловой скорости так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть вращение конуса вокруг этой оси в сторону, обратную вращению часовой стрелки. Перейдем к определению скоростей точек и . Скорость точки , лежащей на мгновенной оси вращения, равна нулю, т.е. . Найдем расстояние от точки до мгновенной оси вращения . Воспользовавшись формулой (7), определяем скорость точки . . Вектор скорости , так же как и , направлен перпендикулярно плоскости . Линейная скорость сферического движения. Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна. При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение — сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам Кинематические характеристики Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с) и угловым ускорением (единица измерения — рад/с²). При равномерном вращении (T оборотов в секунду), Частота вращения — число оборотов тела в единицу времени. , Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением . Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения , Угловая скорость вращения тела . Динамические характеристики Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергии вращения можно записать в виде . В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость роль обычной скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы . Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси: , где: mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси. Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Кинетическая энергия вращательного движения где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения. — угловая скорость. |