Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
29
PAGE 24
Лабораторная работа № 34
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ВОЗДУШНОГО СТОЛБА МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА
1.Определить собственные частоты колебаний струны при различных натяжениях.
2. Исследовать зависимость скорости распространения поперечных колебаний от натяжения струны.
3. Определить длину стоячей волны в воздушном столбе.
Стоячая волна возникает в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, при этом вторая волна может возникнуть при отражении первой волны от преграды.
Уравнения бегущей и отраженной волн, распространяющихся вдоль оси ОХ, можно записать следующим образом:
S1 = A cos(ωt-kx), S2 = A cos(ωt+kx+φ),
где S1 и S2 – смещение точек среды, имеющих координату х, в момент времени t; ω – циклическая частота колебаний (ω = 2π/Т, где Т – период колебаний); А – амплитуда колебаний; k – волновое число (k = 2π/λ, где λ – длина волны); φ – изменение фазы волны при отражении.
При наложении волн выражение для смещения точки в стоячей волне будет иметь вид:
S = S1+S2 = B cos(ωt+φ/2), (1)
где В – амплитуда стоячей волны:
B = 2A cos(kx+φ/2). (2)
Из выражения (2) следует, что амплитуда стоячей волны является периодической функцией координаты и не зависит от времени.
Если все точки среды в бегущей волне совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, то все точки среды в стоячей волне колеблются одновременно, но с различными амплитудами. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой Bmax=2A, - пучностями.
Рассмотрим случай отражения волны от среды с большим волновым сопротивлением (от более плотной среды). При этом фаза волны при отражении изменяется на противоположную (φ = -π). Этот случай называется отражением с потерей полуволны.
Подставив φ = -π в выражения (1) и (2), получим:
S = B sin ωt, (3)
где
B = 2A sin kx. (4)
Найдем координаты узлов стоячей волны. Для этого в уравнении (4) положим В = 0. Тогда sin kx = 0, откуда следует, что kx = mπ, где m = 0, 1, 2 …, и
xуз = mπ/k = mλ/2 = 2mּ(λ/4). (5)
Координаты пучностей найдем из условия: B = Bmax= ± 2A. Знак “- “ означает, что фаза колебаний при переходе через узел изменяется на противоположную. Таким образом, для пучностей sin kx = ± 1, следовательно kx = (2m + 1)π/2. Определим из этого уравнения координаты пучностей:
xпучн= (2m + 1)π/(2k) = (2m + 1) ּ(λ/4). (6)
Аналогичные рассуждения для случая отражения волны от менее плотной среды (φ = 0) показывают, что при отражении без потери полуволны узлы и пучности поменяются местами по сравнению с рассмотренным случаем φ = -π. Легко показать, что расстояние между двумя соседними узлами или пучностями равно λ/2, а расстояние между соседними узлом и пучностью равно λ/4.
Стоячие волны возникают при колебаниях струн, стержней, воздушных столбов, мембран и т.п.
ЧАСТЬ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Рассмотрим струну длины L, концы которой закреплены. Обозначим скорость распространения изгибных волн в струне V. При возбуждении колебаний на струне установится стоячая волна. При этом на концах будут находиться узлы, а между ними – одна или несколько пучностей. Так как расстояние между узлами равно λ/2, то на длине струны должно уложиться целое число полуволн (L = mλ/2), то есть на струне могут возникать только такие стоячие волны, у которых длина волны λ =2L/m (m = 1, 2, 3 …). Используя формулу связи длины волны с частотой колебаний и скоростью распространения волны λ = V/ν, получим формулу для определения собственных частот колебаний струны:
ν = V /λ = mV/( 2L). (7)
Мы приходим к выводу, что в системе, на которую наложены определенные граничные условия, возможны лишь определенные дискретные значения частот собственных колебаний.
Скорость распространения поперечных колебаний в струне определяется формулой:
(8)
где F, d, ρ – сила натяжения, диаметр и плотность материала струны соответственно. Подставляя значение скорости в формулу (7), получим выражение для собственных частот колебаний струны:
где m = 1, 2, 3 … (9)
Наименьшая собственная частота ν1 (m = 1) называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные ν1, называются обертонами или гармониками.
На рис.1 представлены стоячие волны, частоты которых соответствуют основному тону (m = 1) – рис.1а, первому обертону (m = 2) – рис.1б, второму обертону (m = 3) – рис.1в.
В любой момент времени профиль стоячей волны представляет собой синусоиду. В случае струны форма кривых на рисунках будет такой же, как и действительная форма изгибов струны при колебаниях, так как волны в данном случае являются поперечными.
В работе собственные колебания струны исследуются методом резонанса. Явление резонанса заключается в следующем: если частота периодической вынуждающей силы, приложенной к малому участку струны, равна одной из собственных частот колебаний струны, то амплитуда колебаний резко возрастает.
В установке струна натянута горизонтально, причем предусмотрена возможность изменить и измерить силу натяжения струны. С помощью генератора электрических колебаний в струне создается переменнный ток, частоту которого можно менять. Один из участков струны находится в поле постоянного магнита. Со стороны магнитного поля на этот участок действует сила Ампера, направленная перпендикулярно струне. Частота изменения силы Ампера равна частоте переменного тока в струне. Когда эта частота совпадает с одной из собственных частот колебаний, в струне возникает резонанс.
,
где Δν = 5 Гц, ΔL = 1 см.
|
Сила натяжения F, Н |
Номер собственного колебания m |
λ, м |
Форма собственного колебания |
Собственная частота νm, Гц |
Скорость поперечной волны V, м/с |
|||
|
νэкс |
νтеор |
Vэкс= λν |
‹V›±ΔV |
Vтеор |
||||
|
F1 |
1 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
F2 |
1 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
F3 |
1 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
F4 |
1 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
||||||||
|
F5 |
1 |
|||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
ЧАСТЬ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ВОЗДУШНОГО СТОЛБА
Рассмотрим столб воздуха, заключенный в трубку с жесткими стенками и ограниченный с одной или с двух сторон преградой, препятствующей распространению колебаний. Звуковая волна, идущая от источника колебаний, достигает преграды, отражается и распространяется в обратном направлении.
Таким образом, в трубке распространяются две волны: одна – от источника колебаний к преграде – бегущая, другая – от преграды к источнику – отраженная, причем при малом затухании волн в воздухе амплитуды бегущей и отраженной волн практически равны. Как и при колебаниях струны, в трубке возникнет стоячая волна с узлами и пучностями.
В трубке (акустическом резонаторе), открытой с одного конца, на этом конце установится пучность смещения частиц и на длине воздушного столба уложится нечетное число четвертей длины волны λ/4 (рис.2).
Таким образом, условие возникновения резонанса в трубке:
L = (2m - 1)λ/4, (10)
где m = 0,1, 2, 3 … , L – длина воздушного столба в трубке.
В резонаторе, закрытом с обеих сторон, на концах образуются узлы смещения частиц (рис.3). В таком резонаторе на длине L всегда укладывается целое число полуволн.
Стоячую волну максимальной амплитуды в акустическом резонаторе можно получить, изменяя длину воздушного столба при постоянной частоте источника звука или изменяя частоту колебаний источника при неизменной длине L.
В работе используется акустический резонатор, открытый с одного конца (рис.2). Он представляет собой вертикальную цилиндрическую стеклянную трубки с открытым верхним концом. Нижний конец трубки соединен с находящейся в футляре резиновой камерой, заполненной водой. При повороте рукоятки камера сжимается и вода поступает из нее в трубку, то есть уровень воды в трубке повышается и изменяется длина воздушного столба. Трубка снабжена шкалой для измерения длины L воздушного столба. Над открытым концом трубки помещен электромагнитный излучатель звука с мембраной. Звуковые колебания возбуждаются звуковым генератором.
Понижая уровень воды в трубке от максимального до минимального, можно, как следует из формулы (10), наблюдать резонанс при значениях L, равных L1=λ/4 при m = 1, L2=3λ/4 при m = 2, L3=5λ/4 при m = 3 и т. д. Амплитуда звуковых колебаний при этом максимальна. Ее можно контролировать с помощью осциллографического индикатора и на слух. из формулы (10) вытекает формула для расчета длины волны:
λ = 4L/(2m - 1). (11)
Таблица 2 Таблица экспериментальных и расчетных данных
|
Номер максимума m |
Длина воздушного столба при резонансе L, м |
Lср, м |
λ, м |
|||
|
1–ый опыт |
2-ой опыт |
|||||
|
понижение |
повышение |
понижение |
повышение |
|||
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
… |
Обработка результатов измерений
(12)
где γ = 1,4 – коэффициент Пуассона для воздуха, R = 8,31 Дж/(моль· К) – газовая постоянная, μ = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха.
где Δλ 1, Δλmax – погрешности измерения длины волны при m = 1 и при m =mmax:
Δλm = 4ΔL/(2m –1),
ΔL = 0,5 см – погрешность измерения длины воздушного столба.
Погрешность определения частоты найти по формуле:
Δν = νΔλ/‹ λ ›.
λ = (‹ λ › ± Δλ), ν = (ν ± Δν).
Сравнить найденное значение частоты с установленным на генераторе. Сделать выводы.
Список рекомендованной литературы