Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическая работа №8
«Вычисление определителей и выполнение действий над матрицами. Нахождение матриц, обратных данным»
Цель: научиться находить значение определителей второго и третьего порядка, выполнять действия над матрицами, находить матрицу, обратную данной.
Краткая теория
Матрицей А размера m x n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij называемых элементами матрицы. Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) –номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
Коротко матрицу обозначают так: A=(aij). Размер матрицы записывается так: (mxn).
Векторы можно рассматривать, как частные случаи матриц. Например, n-мерная вектор-строка, является матрицей размера (1 х n), а m -мерный вектор-столбец – матрицей (m x 1).
– вектор-строка, – вектор-столбец.
Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, в которой число строк равно числу столбцов (m=n), размерность – (n x n).
Прямоугольной матрицей называется матрица, в которой число строк и столбцов не совпадают.
Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенством aij+bij=cij(i=1,2...,m; j==1,2...,n;).
Обозначается: А+В=С. Аналогично определятся разность двух матриц.
Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число :
.
Произведением матрицы A=(aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица C=(cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е. cij=ai1b1j+ai2b2j+....+aikbkj (i=1,2...,m; j=1,2...,n;)
При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.
Произведение обозначается так: AB=C
Для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:
Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов a11,a22,...,anm квадратной матрицы A=(aij) называется главной диагональю матрицы.
Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Обозначается единичная матрица буквой Е.
Например – единичная матрица третьего порядка.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Вот эти свойства:
1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.
2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.
3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.
4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число. Для определителей третьего порядка это свойство может быть записано, например, так:
6. Определитель второго порядка вычисляется по формуле
(1)
7. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
(2)
Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).
По схеме, приведенной на рис. 1, произведения соединеных элементов берутся со своим знаком, а по схеме рис. 2 - с обратным. Величина определителя равна алгебраической сумме полученных шести произведений.
Задания для аудиторной работы
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
3. Найти сумму матриц и
Решение. Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:
4. Найти произведение матриц и .
Формула для данного случая:
.
5. Найти произведение матриц и
Формула:
В результате получена так называемая нулевая матрица.
6. Найти произведение матриц и
Формула очень похожа на предыдущие формулы:
7. Найти обратную матрицу для матрицы
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы.
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.
2) Находим матрицу миноров
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ:
Проверка:
8. Раскрыть определитель, используя разложение по первой строке:
Решение. Определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
2) Затем записываем сам элемент:
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент:
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
8) Записываем третий элемент:
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Задания для самостоятельной работы
I вариант
Решите уравнение
Вычислить произведение матриц
Вычислить определители второго порядка
Вычислить определители третьего порядка, используя их разложение по элементам первой строки
Вычислить определитель, используя правило треугольников
Найти матрицу, обратную данной
II вариант
Решить уравнение.
Вычислить произведение матриц
Вычислить определители третьего порядка, используя их разложение по элементам первой строки
Вычислить определитель, используя правило треугольников
Найти матрицу, обратную данную данной
Сделайте вывод.