Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Лабораторная работа 13 (2 часа)
Основные операции в MathCad.
Упражнение 1. Дифференцирование выражений по указанной переменной.
Используется команда Символика – Переменная – Дифференцировать.
Исходное выражение Результат вычисления
sin(x) cos(x)
log(a·xb)
(x-1)·x·cos(x) x·cos(x)+(x-1)·cos(x)-(x-1)·x·sin(x)
x·ex exp(x)+x·exp(x)
(1-ex)·sin(x) -exp(x)·sin(x)+(1-exp(x))·cos(x)
Упражнение 2. Интегрирование выражений по указанной переменной.
Используется команда Символика – Переменная – Интегрировать.
Исходное выражение Результат вычисления
sin(x) -cos(x)
a·xn
ln(x)3 ln(x)3·x-3·x·ln(x)2+6·x·ln(x) -6·x
x2·sinh(x) x2·cosh(x)-2·x·sinh(x)+2·cosh(x)
x·e-x -x·exp(-x)-exp(-x)
Упражнение 3. Решение алгебраических уравнений.
Команда Символика – Переменная - Разрешить используется для решения алгебраических уравнений. Должно быть задано выражение и выделена переменная х.
Исходное выражение Результат операции
a·x2+b·x+с
2·x2+3·x-5
x3-6·x2+11·x-6
x4+9·x3+31·x2+59·x+60
(x+4)·(x+3)·(x2+2·x+5)
Упражнение 4. Подстановка выражений и чисел на место переменных.
Команда Символика – Переменная - Подставить используется для получения нового выражения путем подстановки вместо указанной переменной некоторого другого выражения. Эта команда позволяет найти численное значение функции некоторой переменной путем замены ее аргумента числовым значением.
Исходное выражение Результат операции
1. y-a (использовать команду Copy)
x3+2·x2+1 (y-a)3+2·(y-a)2+1
x3+2·x2+1 17
Упражнение 5. Разложение выражений в ряд Тейлора.
Используется команда Символика – Переменная – Разложить в ряд.
Разложение выражения в ряд Тейлора проводится относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n. Такое разложение относительно точки х = х0 функции f(x) имеет вид:
f(x) = f(x0) + + + +…+
Если разложение выполняется относительно точки х = 0, то такой ряд называется рядом Маклорена, и он имеет вид:
f(x) = f(0) + + + + …. +
По умолчанию n принимает значение равное 6. В разложении указывается остаточная
погрешность.
Вычисление ряда Тейлора для функции .
Исходное выражение Результат операции
1-·x2+·x4+0(x5)
Построение графиков функций:
Разложения в ряд Тейлора используется для вычисления определенного интеграла, который в явном виде не берется.
Рассмотрим интеграл
Данный интеграл можно вычислить методом Симпсона, используя знак вывода =
Данный интеграл можно вычислить также путем замены подынтегральной функции ее разложением в ряд Тейлора.
Разложение функции ecos(x) в ряд Тейлора с 10 членами имеет вид:
ecos(x) = exp(1)+·exp(1)·x2 + ·exp(1)·x4 + ·exp(1)·x6 + ·exp(1)·x8 + 0(x10).
C помощью операций Copy (копирование в буфер обмена) и Paste (вставка из буфера объмена) подставим первые четыре члена разложения в качестве подынтегральной функции, в результате получим:
)dx = 1.305
Упражнение 6. Разложение выражений на правильные дроби.
Используется команда Символика – Переменная – Разложить на элементарные дроби.
Исходное выражение Результат операции
(x-a)·(x-b)·(x-c) x3+(-a-b-c)·x2+[a·b-(-a-b)·c]·x-a·b·с
(x-a)4 x4-4·a·x3+6·a2·x2-4·a3·x+a4
(x-a-b)2 x2+(-2·a-2·b)·x+(-a-b)2
-+- + +
Упражнение 7. Матричные операции.
Команды Символика – Матрица предназначены для проведения в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций: транспонирование матриц, создание обратных матриц, вычисление определителя матриц. Эти команды в подменю Матрица меню Символика обозначены: Переместить (транспонировать), Инверсировать (обратить), Детерминант (определитель).
Транспонирование матрицы – это перестановка строк и столбцов. Подлежащая транспонированию матрица должна быть выделена.
Обращение матрицы – это создание такой матрицы А-1, которая при умножении на исходную матрицу А дает единичную матрицу. Обращение допустимо только для квадратных матриц.
Транспонирование матрицы
Исходное выражение Результат операции
Обращение матрицы
Исходное выражение Результат операции
·
Вычисление детерминанта матрицы
Исходное выражение Результат операции
a·d-b·c
-14
Упражнение 8. Интегральные преобразования Фурье.
Преобразования Фурье лежат в основе спектрального анализа и синтеза сигналов.
Прямое преобразование Фурье позволяет получить в аналитическом виде функцию частоты F(ω), если задана временная функция f(t) по формуле:
F(ω) = .
Обратное преобразование Фурье задается следующей формулой:
f(t) = .
Для прямого преобразования Фурье используется команда Трансформация – Фурье меню Символика. Для обратного преобразования Фурье используется команда Трансформация – Инверсная Фурье (обратное преобразование Фурье) меню Символика.
Для выполнения команд преобразования Фурье следует записать исходное выражение и выделить в нем переменную, относительно которой будет проводиться преобразование.
Исходное выражение Результат операции
a·t (прямое преобразование Фурье) 2·1i·π·a·Dirac(1,ω)
2·1i·π·a·Dirac(1,ω) (обратное преобразование) a·t
t + 2 (прямое преобразование Фурье) 2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω)
2·i·π·Dirac(1,ω)+4·π·Dirac(ω) (обратное преобразование) t+2
Упражнение 9. Интегральные преобразования Лапласа.
Интегральные преобразования Лапласа применяются для решения линейных дифференциальных уравнений. В этих преобразованиях используется оператор Лапласа, который обозначается s = iω ( иногда р). Оператор Лапласа позволяет переходить от уравнений с комплексными величинами к уравнениям с действительными величинами. Для выполнения этих преобразований служат команды Трансформация – Лапласа и Трансформация –Инверсная Лапласа меню Символика.
Прямое преобразование Лапласа позволяет по известной временной функции f(t) найти передаточную функцию F(s) по формуле:
F(s) = .
Обратное преобразование Лапласа позволяет по передаточной функции F(s) найти временную функцию f(t) по формуле:
f(t) =
Выражение F(s) должно иметь особенности слева от линии Re(s) = s.
Исходное выражение Результат операции
1 - exp(- (прямое преобразование)
(обратное преобразование)
Результат обратного преобразования не всегда приводит к первоначальному результату.
1 - t (прямое преобразование)
(обратное преобразование) 1 - t
Упражнение 10. Символьные операции с применением оператора символьного вывода.
Оператор символьного вывода имеет вид удлиненной горизонтальной стрелки, направленной вправо →. Этот оператор можно вызвать нажатием комбинации клавиш
Ctrl + . (точка) или из палитры математических символов Панели ключевой символики.
В шаблоне оператора символьного вывода имеется место ввода, куда необходимо ввести исходное выражение. Если задать исходное выражение и вывести курсор из формульного блока, то после оператора символьного вывода система выведен результат символьных преобразований.
Расширенный оператор символьного вывода задается нажатием комбинации клавиш Ctrl + Shift + . (точка) или выбором из палитры символьных операций Панели ключевой символики.
В шаблоне оператора имеется два места ввода. В первое вводится исходное выражение, а во второе – одна из директив символьных преобразований. Директивы символьных преобразований задаются либо вводом соответствующих ключевых слов, либо выбором из палитры символьных операций.
Директивы символьного оператора:
Примеры: