Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
гоу впо ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Ярославский филиал |
||
|
Контрольная работа |
||
|
по дисциплине «Эконометрика» |
||
|
Вариант № 32 |
||
|
Выполнил: |
||
|
Факультет: |
ФК |
|
|
Специальность: |
ФК |
|
|
Курс: |
3 |
|
|
Форма обучения: |
День (2ВО) |
|
|
Зачетная книжка: |
||
|
Проверил: |
преподаватель |
|
|
Ярославль 2008 |
Вариант задания к контрольной работе выбирается по учебному пособию
[1, стр. 63 - 65]:
Таблица 1
|
Номер зачётной книжки |
Вариант |
|
№ 07ФФД61732 |
32 |
Задание № 1
Исходные данные:
Таблица 2
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Y |
26 |
30 |
32 |
30 |
35 |
33 |
35 |
38 |
40 |
1) определить наличие тренда ;
2) построить линейную модель , параметры которой оценить с помощью МНК;
2) оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни и ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого ;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
4) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности используйте коэффициент );
Решение
1. Определение наличия тренда
Динамический ряд является временным, так как изменение экономического показателя происходит в зависимости от времени .
Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то в этом случае говорят о наличии тренда.
Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, т.е. основная тенденция изменения временного ряда.
Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней.
Разобьем динамический ряд на две части, каждая из которых представляет собой самостоятельную выборочную совокупность, имеющую нормальное распределение:
– ,
– ,
где - уровни ряда;
- число уровней ряда.
Принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей. По каждой части ряда рассчитаем значение среднего уровня и дисперсию.
Значения средних уровней рассчитаем по формулам:
, .
,
Дисперсии для каждой части ряда рассчитаем по формулам:
, .
.
9,666.
Проверяем однородность дисперсии для первой и второй групп наблюдения.
Рассчитаем - критерий Фишера по формуле:
; .
По таблице «Значения - критерия Фишера при уровне значимости » определяем табличное значение критерия Фишера [2, с. 111, 112].
Поскольку (, дисперсии однородны, т.е. различаются не значительно, а расхождение между ними носит случайный характер.
Проверяем гипотезу о равенстве средних уровней (отсутствие тренда):
.
Рассчитаем дисперсию для всего ряда по формуле:
,
.
Рассчитаем - критерий Стьюдента по формуле:
,
.
По таблице «Значения - критерия Стьюдента при уровне значимости » на основе заданной вероятности 0,95 и числа степеней свободы определяем табличное значение - критерия Стьюдента [2, с. 113]:
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве средних уровней отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании тренда в исходном временном ряду .
Определение наличия тренда в исходном временном ряду можно осуществить с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel.
Производим ввод исходных данных:
Рис. 1. Ввод исходных данных
На основании исходных данных строим поле корреляции и добавляем линию тренда (рис. 2):
в главном меню выбираем Вставка/Диаграмма и строим поле корреляции;
в области построения диаграммы выделяем график, нажимаем правую кнопку мыши и из контекстного меню выбираем команду Добавить линию тренда;
в диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем Линейная, на вкладке Параметры выбираем Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации .
Рис. 2. Определение наличия тренда
Из графика динамического ряда видно наличие возрастающей тенденции, что может свидетельствовать о возможности существования линейного тренда.
Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяем метод проверки разностей средних уровней, для чего разбиваем динамический ряд на две самостоятельные выборочные совокупности (Рис. 2).
С помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel определяем - критерий Фишера и проводим двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.
Для этого:
в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 3). Щёлкаем по кнопке ОК.
заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный F-тест для дисперсии (рис. 4): интервал переменной 1 - $B$3:$B$7, интервал переменной 2 - $B$8:$B$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щёлкаем по кнопке ОК.
Получаем результаты расчета Двухвыборочного F-теста для дисперсии (табл. 3).
Рис. 3. Анализ данных Двухвыборочный F-тест для дисперсии
Рис. 4. Двухвыборочный F-тест для дисперсии
Таблица 3
|
Двухвыборочный F-тест для дисперсии |
||
|
Переменная 1 |
Переменная 2 |
|
|
Среднее |
30,6 |
36,5 |
|
Дисперсия |
10,8 |
9,666666667 |
|
Наблюдения |
5 |
4 |
|
df |
4 |
3 |
|
F |
1,117241379 |
|
|
P(F<=f) одностороннее |
0,483030518 |
|
|
F критическое одностороннее |
9,117182253 |
Осуществляем перевод по формулам:
, ,
, .
Поскольку (, дисперсии однородны, т.е. различаются не значительно, а расхождение между ними носит случайный характер.
Аналогично с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel проводим двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.
Для этого:
в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 5). Щёлкаем по кнопке ОК.
Рис. 5. Анализ данных Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
заполняем формы в диалоговом окне Двухвыборочный t-тест c одинаковыми дисперсиями (рис. 6): интервал переменной 1 - $B$3:$B$7, интервал переменной 2 - $B$8:$B$11; уровень значимости Альфа 0,05. Щёлкаем по кнопке ОК.
Рис. 6. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
Получаем результаты расчета Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями (таблица 4).
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве средних уровней отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании тренда в исходном временном ряду .
Таблица 4
|
Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями |
||
|
|
Переменная 1 |
Переменная 2 |
|
Среднее |
30,6 |
36,5 |
|
Дисперсия |
10,8 |
9,666666667 |
|
Наблюдения |
5 |
4 |
|
Объединенная дисперсия |
10,31428571 |
|
|
Гипотетическая разность средних |
0 |
|
|
df |
7 |
|
|
t-статистика |
-2,73858469 |
|
|
P(T<=t) одностороннее |
0,014488654 |
|
|
t критическое одностороннее |
1,894578604 |
|
|
P(T<=t) двухстороннее |
0,028977308 |
|
|
t критическое двухстороннее |
2,364624251 |
2. Построение линейной модели
Линейная модель регрессии описывается уравнением вида:
,
где - постоянная величина (свободный член уравнения);
- коэффициент регрессии.
Построение этой модели сводится к определению параметров и по существующим исходным данным.
Классический подход при определении параметров и основан на методе наименьших квадратов (МНК). Содержание данного метода состоит в том, чтобы подобрать такие значения параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от расчетных была бы минимальной:
,
.
Таким образом, решается задача оптимизации:
и .
Исходя из этих двух условий, получается система нормальных уравнений:
.
Откуда
; ; ; ; ; ,
где , , , - средние значения;
, - текущие значения;
- число уровней ряда.
Построим линейную модель регрессии .
Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 5.
Таблица 5
|
1 |
1 |
26 |
26 |
1 |
|
2 |
2 |
30 |
60 |
4 |
|
3 |
3 |
32 |
96 |
9 |
|
4 |
4 |
30 |
120 |
16 |
|
5 |
5 |
35 |
175 |
25 |
|
6 |
6 |
33 |
198 |
36 |
|
7 |
7 |
35 |
245 |
49 |
|
8 |
8 |
38 |
304 |
64 |
|
9 |
9 |
40 |
360 |
81 |
|
Сумма |
45 |
299 |
1584 |
285 |
|
Среднее значение |
5 |
33,22222222 |
176 |
31,66666667 |
Определим коэффициент регрессии:
.
Определим значение постоянной величины:
.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Аналогично можно получить параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа данных в МS Еxcel .
Для этого:
в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис. 7). Щёлкаем по кнопке ОК.
заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис. 8): входной интервал Y - $C$3:$C$11, входной интервал X - $B$3:$B$11; параметры вывода – Новый рабочий лист; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щёлкаем по кнопке ОК.
Рис. 7. Анализ данных
Рис. 8. Регрессия
Получаем результаты расчета Регрессия (таблица 6).
Таблица 6
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
Y-пересечение |
25,80555556 |
1,149946322 |
22,44066098 |
|
Переменная X 1 |
1,483333333 |
0,204350824 |
7,258758758 |
Во втором столбце таблицы 6 содержатся коэффициенты уравнения регрессии , . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
3. Оценка адекватности уравнения модели
Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна. Под адекватностью понимается соответствие модели исследуемому процессу, т.е. наблюдается соответствие значений, определенных по кривой роста, фактическим данным .
Модель является адекватной, если значения остаточной последовательности () удовлетворяют ряду требований:
значения остаточной последовательности должны быть случайными величинами;
значения остаточной последовательности должны быть независимыми случайными величинами, т.е. не должно наблюдаться автокорреляции в остаточной последовательности.
значение должны быть распределены по нормальному закону;
математическое ожидание значений остаточной последовательности должно быть близким к нулю.
а) оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков
Для оценки случайности остаточной компоненты построенной модели исследуем ряд остатков отклонений расчетных значений от фактических . Для этого проведем предварительные расчеты, результаты которых приведены в таблице 7.
Таблица 7
|
Точка поворота |
|||||||
|
1 |
26 |
27,289 |
-1,288889 |
- |
1,66123 |
- |
|
|
2 |
30 |
28,772 |
1,2277778 |
0 |
1,50744 |
2,5166667 |
6,333611111 |
|
3 |
32 |
30,256 |
1,7444444 |
1 |
3,04309 |
0,5166667 |
0,266944444 |
|
4 |
30 |
31,739 |
-1,738889 |
1 |
3,02373 |
-3,483333 |
12,13361111 |
|
5 |
35 |
33,222 |
1,7777778 |
1 |
3,16049 |
3,5166667 |
12,36694444 |
|
6 |
33 |
34,706 |
-1,705556 |
1 |
2,90892 |
-3,483333 |
12,13361111 |
|
7 |
35 |
36,189 |
-1,188889 |
0 |
1,41346 |
0,5166667 |
0,266944444 |
|
8 |
38 |
37,672 |
0,3277778 |
0 |
0,10744 |
1,5166667 |
2,300277778 |
|
9 |
40 |
39,156 |
0,8444444 |
- |
0,71309 |
0,5166667 |
0,266944444 |
|
- |
- |
0 |
- |
- |
- |
- |
|
|
- |
- |
- |
- |
17,5389 |
- |
46,06888889 |
|
|
Количество поворотных точек |
- |
- |
- |
4 |
- |
- |
- |
Определим количество поворотных точек, т.е. таких точек, значение уровня в которых одновременно больше соседних с ним или, наоборот, одновременно меньше предыдущего и последующего за ним уровня.
Введем обозначения: 1 – точка поворота; 0 – отсутствие точки поворота.
Из расчета (таблица 7) и графика остатков (рис. 9) видно, что количество поворотных точек .
Рис. 9. График остатков
Критическое число поворотных точек определяется по формуле:
,
.
Так как (), то свойство случайности остаточной компоненты выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
б) оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию
Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
,
По данным таблицы 7:
.
Так как попадает в интервал , то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. В этом случае критерий преобразуется по формуле:
,
.
Вычисленное значение попадает в интервал , следовательно, значения остаточной последовательности являются независимыми случайными величинами, т.е. в остаточной последовательности не наблюдается автокорреляции. Модель адекватна по d-критерию Дарбина - Уотсона, поэтому нет необходимости в проверке адекватности модели по первому коэффициенту корреляции.
в) оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию
Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины к стандартному отклонению :
,
, ,
где и - максимальный и минимальный уровни ряда остатков;
- среднеквадратическое отклонение;
- среднее значение ряда остатков;
n – количество уровней ряда.
Берем значения из таблицы 7: ,
Так как , то .
Тогда
,
.
Так как , то значения остаточной компоненты не случайны. Модель не адекватна по R/S-критерию.
г) оценка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков
Из таблицы 7 видно, что среднее значение ряда остатков равно нулю (), следовательно, расчетное значение t-критерия Стьюдента:
,
т.е. условие выполняется.
Следовательно, гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. Модель адекватна по данному критерию.
Общие выводы:
- линейная трендовая модель является адекватной фактическому ряду динамики, кроме исследования оценки нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию, соответственно для построения точечного и интервального прогноза на два шага вперед, необходимо провести оценку точности модели (п.4), и если ошибка не будет превосходить 15%, то модель будет считаться приемлемой.
- модель может быть использована для построения прогнозных оценок.
4. Оценка точности модели
Точность модели характеризуется величиной отклонения фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем, с использованием трендовой модели.
В качестве статистических показателей точности применяются среднеквадратическое отклонение и средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации.
Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле:
.
Так как , то из таблицы 7 видно, что .
Тогда,
.
Средняя относительная по модулю ошибка аппроксимации определяется по формуле:
.
Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 8.
Таблица 8
|
1 |
26 |
27,28888889 |
-1,2888889 |
-0,049573 |
0,0495726 |
|
2 |
30 |
28,77222222 |
1,2277778 |
0,0409259 |
0,0409259 |
|
3 |
32 |
30,25555556 |
1,7444444 |
0,0545139 |
0,0545139 |
|
4 |
30 |
31,73888889 |
-1,7388889 |
-0,057963 |
0,057963 |
|
5 |
35 |
33,22222222 |
1,7777778 |
0,0507937 |
0,0507937 |
|
6 |
33 |
34,70555556 |
-1,7055556 |
-0,051684 |
0,0516835 |
|
7 |
35 |
36,18888889 |
-1,1888889 |
-0,033968 |
0,0339683 |
|
8 |
38 |
37,67222222 |
0,3277778 |
0,0086257 |
0,0086257 |
|
9 |
40 |
39,15555556 |
0,8444444 |
0,0211111 |
0,0211111 |
|
- |
- |
- |
|
0,3691577 |
|
|
|
|
|
|
0,0410175 |
Окончательно: .
Так как , то модель является адекватной и достаточно точной, поэтому она может быть использована для краткосрочного прогноза.
5. Точечный и интервальный прогнозы
Для периода упреждения на шаг вперед:
,
Для периода упреждения на шага вперед:
.
Подставив полученные значения в линейную модель, получим точечные прогнозы:
,
.
Интервальный прогноз рассчитывается по формуле:
,
где доверительный интервал
.
Тогда, при табличном критерии Стьюдента
для ,
для .
Интервальный прогноз на два шага вперед при уровне вероятности :
,
Результаты прогнозных оценок по модели регрессии представлены в таблице 9.
Таблица 9
|
Нижняя граница |
Верхняя граница |
|||
|
10 |
1 |
40,636 |
37,951 |
43,321 |
|
11 |
2 |
42,119 |
39,112 |
45,126 |
Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования представлены на рис. 10.
Рис. 10. Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования
Задание № 2
Исходные данные:
Таблица 10
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Y |
26 |
30 |
32 |
30 |
35 |
33 |
35 |
38 |
40 |
|
62 |
67 |
80 |
81 |
85 |
87 |
84 |
88 |
91 |
|
|
18 |
21 |
24 |
26 |
25 |
29 |
34 |
38 |
41 |
1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции с и и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной ;
2) построить линейную однопараметрическую модель регрессии ;
3) оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
4) для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и
-коэффициент;
5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности используйте коэффициент ). Прогнозные оценки фактора на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).
Решение
1. Матрица коэффициентов парной корреляции с и
На основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции определяют взаимную зависимость переменных.
Выборочный парный линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
.
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента приведены в таблице 11.
Тогда .
Таблица 11
|
1 |
26 |
62 |
-7,222222222 |
-18,5555556 |
52,16049383 |
344,308642 |
134,0123457 |
|
2 |
30 |
67 |
-3,222222222 |
-13,5555556 |
10,38271605 |
183,753086 |
43,67901235 |
|
3 |
32 |
80 |
-1,222222222 |
-0,55555556 |
1,49382716 |
0,30864198 |
0,679012346 |
|
4 |
30 |
81 |
-3,222222222 |
0,444444444 |
10,38271605 |
0,19753086 |
-1,432098765 |
|
5 |
35 |
85 |
1,777777778 |
4,444444444 |
3,160493827 |
19,7530864 |
7,901234568 |
|
6 |
33 |
87 |
-0,222222222 |
6,444444444 |
0,049382716 |
41,5308642 |
-1,432098765 |
|
7 |
35 |
84 |
1,777777778 |
3,444444444 |
3,160493827 |
11,8641975 |
6,12345679 |
|
8 |
38 |
88 |
4,777777778 |
7,444444444 |
22,82716049 |
55,4197531 |
35,56790123 |
|
9 |
40 |
91 |
6,777777778 |
10,44444444 |
45,9382716 |
109,08642 |
70,79012346 |
|
Среднее значение |
33,22222222 |
80,55555556 |
|||||
|
Сумма |
149,5555556 |
766,222222 |
295,8888889 |
Промежуточные результаты расчетов для коэффициента приведены в таблице 12.
Таблица 12
|
1 |
26 |
18 |
-7,222222222 |
-10,4444444 |
52,16049383 |
109,08642 |
75,43209877 |
|
2 |
30 |
21 |
-3,222222222 |
-7,44444444 |
10,38271605 |
55,4197531 |
23,98765432 |
|
3 |
32 |
24 |
-1,222222222 |
-4,44444444 |
1,49382716 |
19,7530864 |
5,432098765 |
|
4 |
30 |
26 |
-3,222222222 |
-2,44444444 |
10,38271605 |
5,97530864 |
7,87654321 |
|
5 |
35 |
25 |
1,777777778 |
-3,44444444 |
3,160493827 |
11,8641975 |
-6,12345679 |
|
6 |
33 |
29 |
-0,222222222 |
0,555555556 |
0,049382716 |
0,30864198 |
-0,12345679 |
|
7 |
35 |
34 |
1,777777778 |
5,555555556 |
3,160493827 |
30,8641975 |
9,87654321 |
|
8 |
38 |
38 |
4,777777778 |
9,555555556 |
22,82716049 |
91,308642 |
45,65432099 |
|
9 |
40 |
41 |
6,777777778 |
12,55555556 |
45,9382716 |
157,641975 |
85,09876543 |
|
Среднее значение |
33,22222222 |
28,44444444 |
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
149,5555556 |
482,222222 |
247,1111111 |
Тогда
Для построения полной матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо вычислить коэффициент (таблица 13).
Тогда
.
Таким образом, матрица коэффициентов парной корреляции, построенная по вычисленным значениям, имеет вид (таблица 14).
Таблица 13
|
1 |
62 |
18 |
-18,55555556 |
-10,4444444 |
344,308642 |
109,08642 |
193,8024691 |
|
2 |
67 |
21 |
-13,55555556 |
-7,44444444 |
183,7530864 |
55,4197531 |
100,9135802 |
|
3 |
80 |
24 |
-0,555555556 |
-4,44444444 |
0,308641975 |
19,7530864 |
2,469135802 |
|
4 |
81 |
26 |
0,444444444 |
-2,44444444 |
0,197530864 |
5,97530864 |
-1,086419753 |
|
5 |
85 |
25 |
4,444444444 |
-3,44444444 |
19,75308642 |
11,8641975 |
-15,30864198 |
|
6 |
87 |
29 |
6,444444444 |
0,555555556 |
41,5308642 |
0,30864198 |
3,580246914 |
|
7 |
84 |
34 |
3,444444444 |
5,555555556 |
11,86419753 |
30,8641975 |
19,13580247 |
|
8 |
88 |
38 |
7,444444444 |
9,555555556 |
55,41975309 |
91,308642 |
71,13580247 |
|
9 |
91 |
41 |
10,44444444 |
12,55555556 |
109,0864198 |
157,641975 |
131,1358025 |
|
Среднее значение |
80,55555556 |
28,44444444 |
|||||
|
Сумма |
766,2222222 |
482,222222 |
505,7777778 |
Таблица 14
|
1 |
0,874 |
0,920 |
|
|
0,874 |
1 |
0,832 |
|
|
0,920 |
0,832 |
1 |
Аналогично с помощью Пакета анализа данных в МS Еxcel проводим корреляционный анализ. Для этого:
в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щёлкаем по кнопке ОК.
заполняем формы в диалоговом окне Корреляция: входной интервал - $B$3:$D$11, выходной интервал - $A$13. Щёлкаем по кнопке ОК.
Результаты расчета приведены на рис. 11.
Рис. 11. Результаты корреляционного анализа
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что фактор наиболее тесно связан с зависимой переменной , так как , т.е. наиболее близок к 1.
2. Построение линейной однопараметрической
модели регрессии
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии для :
.
Так как данная модель линейна относительно параметров и , то для их оценки применим метод наименьших квадратов. Тогда:
; ; ;
; ; ,
где , , , - средние значения;
, - текущие значения;
- число уровней ряда.
Результаты предварительных расчетов приведены в таблице 15.
Таблица 15
|
1 |
26 |
62 |
1612 |
3844 |
|
2 |
30 |
67 |
2010 |
4489 |
|
3 |
32 |
80 |
2560 |
6400 |
|
4 |
30 |
81 |
2430 |
6561 |
|
5 |
35 |
85 |
2975 |
7225 |
|
6 |
33 |
87 |
2871 |
7569 |
|
7 |
35 |
84 |
2940 |
7056 |
|
8 |
38 |
88 |
3344 |
7744 |
|
9 |
40 |
91 |
3640 |
8281 |
|
Сумма |
299 |
725 |
24382 |
59169 |
|
Среднее значение |
33,22222222 |
80,55555556 |
2709,111111 |
6574,333333 |
Определим коэффициент регрессии:
.
Определим значение постоянной величины:
.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Аналогично можно получить параметры линейной модели регрессии с помощью инструмента Регрессия Пакета анализа данных в МS Еxcel.
Для этого:
в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис. 12). Щёлкаем по кнопке ОК.
Рис. 12. Анализ данных
заполняем формы в диалоговом окне Регрессия (рис. 13): входной интервал Y - $B$3:$B$11, входной интервал X - $C$3:$C$11; параметры вывода – Выходной интервал - $А$63; в поле Остатки ставим необходимые флажки. Щёлкаем по кнопке ОК.
Рис. 13. Регрессия
Получаем результаты расчета Регрессия (таблица 16).
Таблица 16
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
|
Y-пересечение |
2,114414153 |
6,577274418 |
0,321472698 |
|
Переменная X 1 |
0,386165893 |
0,081118536 |
4,760513617 |
Во втором столбце таблицы 16 содержатся коэффициенты уравнения регрессии , . В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Результаты расчета по модели регрессии приведены в таблице 17.
Таблица 17
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
1 |
26,05669954 |
-0,056699536 |
|
2 |
27,987529 |
2,012470998 |
|
3 |
33,00768561 |
-1,007685615 |
|
4 |
33,39385151 |
-3,393851508 |
|
5 |
34,93851508 |
0,061484919 |
|
6 |
35,71084687 |
-2,710846868 |
|
7 |
34,55234919 |
0,447650812 |
|
8 |
36,09701276 |
1,902987239 |
|
9 |
37,25551044 |
2,744489559 |
3. Оценка адекватности и точности линейной
однопараметрической модели регрессии
Для оценки адекватности и точности линейной однофакторной модели регрессии необходимо убедиться в следующем:
в адекватности вида уравнения модели;
в статистической значимости модели регрессии в целом (F-критерий Фишера);
в статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции;
в точности модели (в качестве меры точности используют оценки значений ошибок).
3.1. Оценка адекватности уравнения модели
Уравнение модели является адекватным, если:
математическое ожидание значений остаточного ряда равно или близко нулю (t-критерий Стьюдента);
значения остаточного ряда случайны (критерий пиков);
значения остаточного ряда независимы (d-критерий Дарбина-Уотсона);
значения остаточного ряда подчинены нормальному закону (R/S-критерий).
а) t-критерий Стьюдента
Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки статистической нулевой гипотезы . С этой целью находим t-критерий Стьюдента.
, ,
где - среднеквадратическое отклонение;
- среднее значение ряда остатков;
– текущие значения уровней ряда остатков;
n – количество уровней ряда.
Если расчетное значение t < tтабл , то гипотеза Н0 принимается.
Промежуточные результаты расчетов, проведенных для t-критерия Стьюдента, а также остальных критериев адекватности (рассчитанных в порядке аналогичном описанному в Задании I), приведены в таблице 18.
Среднеквадратическое отклонение:
.
t-критерий Стьюдента:
.
Так как расчетное значение t-критерия Стьюдента близко к нулю и меньше табличного значения, например, tтабл (1-)=0,9 m=7 = 1, 8946, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания значений остаточного ряда выполняется. Модель адекватна по данному критерию.
Таблица 18
|
Точка поворота |
|||||||||||
|
1 |
26 |
62 |
26,05669954 |
-0,05669954 |
- |
0,00321484 |
- |
- |
- |
-0,05669954 |
0,003214837 |
|
2 |
30 |
67 |
27,987529 |
2,012470998 |
1 |
4,05003952 |
2,069170534 |
4,281466697 |
-0,11411 |
2,012470998 |
4,050039517 |
|
3 |
32 |
80 |
33,00768561 |
-1,00768561 |
0 |
1,0154303 |
-3,020156613 |
9,121345964 |
-2,02794 |
-1,00768561 |
1,015430298 |
|
4 |
30 |
81 |
33,39385151 |
-3,39385151 |
1 |
11,5182281 |
-2,386165893 |
5,69378767 |
3,419935 |
-3,39385151 |
11,51822806 |
|
5 |
35 |
85 |
34,93851508 |
0,061484919 |
1 |
0,0037804 |
3,455336427 |
11,93934982 |
-0,20867 |
0,061484919 |
0,003780395 |
|
6 |
33 |
87 |
35,71084687 |
-2,71084687 |
1 |
7,34869074 |
-2,772331787 |
7,685823535 |
-0,16668 |
-2,71084687 |
7,34869074 |
|
7 |
35 |
84 |
34,55234919 |
0,447650812 |
0 |
0,20039125 |
3,15849768 |
9,976107593 |
-1,21351 |
0,447650812 |
0,20039125 |
|
8 |
38 |
88 |
36,09701276 |
1,902987239 |
0 |
3,62136043 |
1,455336427 |
2,118004116 |
0,851874 |
1,902987239 |
3,621360432 |
|
9 |
40 |
91 |
37,25551044 |
2,744489559 |
- |
7,53222294 |
0,84150232 |
0,708126155 |
5,222729 |
2,744489559 |
7,53222294 |
|
Среднее значение |
2,76322E-15 |
||||||||||
|
Сумма |
35,2933585 |
51,52401155 |
5,763634 |
35,29335847 |
|||||||
|
Количество поворотных точек |
4 |
б) Оценка случайности остаточной компоненты по критерию пиков
Из расчета (таблица 18) и графика остатков (рис. 14) видно, что количество поворотных точек .
Рис. 14. График остатков
Критическое число поворотных точек определяется по формуле:
,
.
Так как (), то свойство случайности остаточной компоненты выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
в) Оценка независимости уровней ряда остатков по d-критерию
Процедура представляет проверку отсутствия автокорреляции в остаточной последовательности и осуществляется по d-критерию Дарбина-Уотсона:
,
По данным таблицы 18:
.
Так как попадает в интервал (), значит модель уровня ряда остатков независима, автокорреляции нет, свойство независимости выполняется. Модель адекватна по d-критерию Дарбина - Уотсона.
г) оценка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию
Метод проверки нормальности распределения остаточной компоненты основан на R/S-критерии. Значение этого критерия численно равно отношению размаха случайной величины к стандартному отклонению :
,
, ,
где и - максимальный и минимальный уровни ряда остатков;
- среднеквадратическое отклонение;
- среднее значение ряда остатков;
n – количество уровней ряда.
Берем значения из таблицы 18: , , .
Тогда
,
.
Так как , то значения остаточной компоненты случайны и распределены по нормальному закону. Модель адекватна по R/S-критерию.
3.2. Статистическая значимость модели регрессии в целом
(F-критерий Фишера)
F-критерий Фишера применяется для установления истинности статистической гипотезы о том, что фактор регрессии действительно влияет на зависимую переменную или, точнее, действительно ли часть дисперсии зависимой переменной объясняется влиянием фактора .
F-критерий Фишера рассчитывается по формуле:
,
где: – коэффициент детерминации;
– число параметров при переменных, включенных в модель;
– количество уровней ряда.
Используя введенные ранее обозначения, коэффициент детерминации можно записать в виде:
.
Для однофакторной модели значение совпадает с , определенным в первом пункте задания. Тогда, подставив значения , (линейная однофакторная модель) и , получим:
.
Табличное значение F-критерия Фишера при , степенях свободы и согласно [2, стр. 111]:
.
Так как расчетное значение , то модель считается статистически значимой, при этом коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемого фактора, т.е. в данном случае ~87,4% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора .
3.3. Статистическая значимость коэффициентов регрессии и корреляции
Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится с помощью t-критерия Стьюдента путем сопоставления значений коэффициентов с величиной случайной ошибки
, , ,
где
;
;
.
Промежуточные результаты вычислений приведены в таблице 19.
Таблица 19
|
1 |
26 |
62 |
26,05669954 |
-0,05669954 |
0,003214837 |
-18,555556 |
344,308642 |
3844 |
|
2 |
30 |
67 |
27,987529 |
2,012470998 |
4,050039517 |
-13,555556 |
183,7530864 |
4489 |
|
3 |
32 |
80 |
33,00768561 |
-1,00768561 |
1,015430298 |
-0,5555556 |
0,308641975 |
6400 |
|
4 |
30 |
81 |
33,39385151 |
-3,39385151 |
11,51822806 |
0,44444444 |
0,197530864 |
6561 |
|
5 |
35 |
85 |
34,93851508 |
0,061484919 |
0,003780395 |
4,44444444 |
19,75308642 |
7225 |
|
6 |
33 |
87 |
35,71084687 |
-2,71084687 |
7,34869074 |
6,44444444 |
41,5308642 |
7569 |
|
7 |
35 |
84 |
34,55234919 |
0,447650812 |
0,20039125 |
3,44444444 |
11,86419753 |
7056 |
|
8 |
38 |
88 |
36,09701276 |
1,902987239 |
3,621360432 |
7,44444444 |
55,41975309 |
7744 |
|
9 |
40 |
91 |
37,25551044 |
2,744489559 |
7,53222294 |
10,4444444 |
109,0864198 |
8281 |
|
Ср. знач. |
|
80,55555556 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,29335847 |
|
766,2222222 |
59169 |
Тогда при
;
;
и значения t-статистик (по модулю)
;
;
.
Табличное значение t-критерия Стьюдента при и числе степеней свободы составляет . Так как все фактические значения t-статистик превышают табличное значение, то коэффициенты регрессии и корреляции статистически значимы.
3.4. Оценка точности модели
В качестве меры точности модели регрессии применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, т.е. части дисперсии фактического явления, “не объясненную” включенными в модель факторами. Стандартная ошибка оценки определяется по формуле:
где: k – количество факторов, включенных в модель ( в данном случае k=1 );
n – количество уровней ряда.
Из таблицы 19 видно, что .
Тогда
.
Средняя относительная ошибка аппроксимации (по модулю), т.е. среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:
.
Промежуточные расчетные данные приведены в таблице 20.
Таблица 20
|
1 |
26 |
62 |
26,05669954 |
0,002180751 |
|
2 |
30 |
67 |
27,987529 |
0,067082367 |
|
3 |
32 |
80 |
33,00768561 |
0,031490175 |
|
4 |
30 |
81 |
33,39385151 |
0,113128384 |
|
5 |
35 |
85 |
34,93851508 |
0,001756712 |
|
6 |
33 |
87 |
35,71084687 |
0,082146875 |
|
7 |
35 |
84 |
34,55234919 |
0,012790023 |
|
8 |
38 |
88 |
36,09701276 |
0,050078612 |
|
9 |
40 |
91 |
37,25551044 |
0,068612239 |
|
0,429266138 |
Тогда,
.
Так как , то модель считается точной.
4. Коэффициент эластичности и коэффициент
Коэффициент эластичности (т.е. коэффициент, показывающий на сколько процентов изменится результат, если фактор изменится на 1%) в общем виде определяется как
,
где: – первая производная функции .
Так как для линейной функции коэффициент эластичности зависит от значения фактора , то воспользуемся формулой среднего коэффициента эластичности:
.
Подставив вычисленные ранее значения, получим:
.
Стандартизованный -коэффициент линейной регрессии определяется из общего уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе:
,
где: , - стандартизованные переменные;
- стандартизованные коэффициенты регрессии, определяемые из системы уравнений:
…
………………………………………………………….
где: – парные коэффициенты корреляции.
Для однопараметрической (однофакторной) линейной модели регрессии система уравнений сводится к тождеству:
,
откуда значение - коэффициента линейной однофакторной регрессии:
.
2-й способ.
Из сопоставления систем уравнений множественной регрессии (для метода наименьших квадратов) в нормальной линейной и стандартизованной формах также известно, что связь между коэффициентами и коэффициентами множественной регрессии выражается соотношением:
,
где: - среднеквадратическое отклонение.
Для линейной однопараметрической регрессии коэффициент совпадает с коэффициентом линии регрессии.
Эмпирическое среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле:
,
где: – длина эмпирического ряда.
Тогда, используя данные из таблицы 11:
и
для n = 9 получим:
,
.
Тогда
.
5. Точечный и интервальный прогнозы
Прогнозируемое точечное значение переменной для периода упреждения на шагов вперед получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора при , т.е.
.
Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста (САП):
,
.
Подставив соответствующие значения, получим:
.
Тогда прогнозные значения фактора :
;
.
И прогнозные значения зависимой переменной :
;
.
Интервальный прогноз рассчитывается с помощью доверительных интервалов по формуле:
,
где: – средняя стандартная ошибка прогноза.
- стандартная ошибка оценки;
– табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости и для числа степеней свободы .
Подставив известные (по условию задачи) значения и ; а также вычисленные ранее значения (пункт 3.4); и (таблица 13), получим:
;
.
Результаты прогнозных оценок по линейной однофакторной модели регрессии представлены в таблице 21.
Таблица 21
|
Нижняя граница |
Верхняя граница |
|||
|
10 |
1 |
38,639 |
35,723 |
41,555 |
|
11 |
2 |
40,039 |
36,967 |
43,111 |
Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования представлены на рис. 15.
Рис. 15. Фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования
Литература
1. Эконометрика. Программа. Методические указания по изучению дисциплины для студентов 4-го курса второго высшего образования, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит». – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2001. – 68 с.
2. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика труда». – М.: Вузовский учебник, 2005. – 122 с.
3. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.: ил.
4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 192 с.: ил.
5. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL: Практикум: Учебное пособие / И. В. Орлова; ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2000. - 136с.
6. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник / С. А. Айвазян. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022с