Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практика
Примеры решения типовых задач
Задание 1. Объяснить, почему , а .
Решение.
Множество состоит из четырех элементов, одним из которых является 3, поэтому принадлежность данного элемента множеству записывается как .
Множество состоит из четырех элементов: множества , множества , объекта (элемента) 1 и объекта (элемента) 2. В составе этих элементов не существует множества , следовательно, соотношение записывается как .
Задание 2. Описать множество при помощи характеристического свойства.
Решение.
Множество при помощи характеристического свойства записывается следующим образом .
Задание 3. Доказать, что множества и равны между собой.
Доказательство.
Два множества и равны (тождественны) тогда и только тогда, когда каждый элемент является элементом и обратно. Для данных множеств это условие выполняется, следовательно, они равны между собой, т.е. .
Задание 4. Доказать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Доказательство.
Допустим, что существует множество , такое, что . Это значит, что в содержится некоторый элемент , который не содержится в . Но это невозможно, так как в не содержится элементов.
Задание 5. Пусть , . Найти , , , .
Решение. , , , .
Задание 6. Пусть , . Доказать, что .
Решение.
Шаг 1. Покажем, что .
Шаг 2. Покажем, что .
Из шагов 1 и 2 следует, что .
Задание 7. Доказать, что , где и множества.
Решение.
Шаг 1. Покажем, что
Шаг 2. Покажем, что
Из шагов 1 и 2 следует, что .
Задание 8. Доказать справедливость тождества .
Доказательство. Положим , тогда или . Если , то принадлежит объединению с любым множеством, т.е. и , следовательно, есть элемент пересечения множеств и , то есть . Если , то и , следовательно, и , то есть и в этом случае есть элемент пересечения тех же множеств. Таким образом, доказано . Аналогично доказывается и соотношение . В соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому тождеству .
Задание 9. Доказать справедливость соотношения .
Доказательство. Соотношение доказывается следующими преобразованиями с использованием тождеств алгебры множеств.
.
Задание 10. Указать все подмножества множества .
Решение. Количество подмножеств вычисляется по формуле , где количество элементов множества , следовательно, .
Перечислим подмножества множества :
.
Задание 11. Изобразить результат выполнения операции , используя диаграммы Эйлера-Венна.
Решение.
а) выполним операцию и изобразим её результат на следующей диаграмме (рис. 1.6).
Рисунок 1.6 Операция
Множеству будет соответствовать закрашенная область.
б) выполним операцию и изобразим её результат на следующей диаграмме (рис. 1.7).
Рисунок 1.7 Операция
Множеству будет соответствовать закрашенная область на данной диаграмме, что и является результатом выполнения операции .
Задание 12.
Показать при помощи диаграмм Эйлера-Венна, что .
Решение.
Множество является дополнением множества , представленного на рис. 1.8, поэтому его изобразим закрашенной областью, показанной на рис. 1.9.
Рисунок 1.8 Операция
Рисунок 1.9 Операция
Множеству и множеству соответствуют закрашенные области на рис. 1.10.
а) операция б) операция
Рисунок 1.10 Операции и
Множеству соответствуют части, закрашенные на обеих предыдущих диаграммах, поэтому на рис. 1.11 оно изображено более темной областью.
Рисунок 1.11 Операция
Получили, что и , и одинаково изображаются на диаграмме Эйлера-Венна, поэтому .
Вопросы
Задания
Задание 1. Опишите словами каждое из множеств:
а) ;
б) ;
в) .
Задание 2. Перечислите элементы множества .
Задание 3. Перечислите элементы множества
.
Задание 4. Опишите множество при помощи характеристического свойства.
Задание 5. Перечислите подмножества множества .
Задание 6. Перечислите подмножества множества .
Задание 7. Определите количество элементов в каждом множестве:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Задание 8. Пусть множество первых 20 натуральных чисел – это универсум. Запишите такие его подмножества:
– подмножество четных чисел;
– подмножество нечетных чисел;
– подмножество квадратов чисел;
– подмножество простых чисел.
Задание 9. Равны ли между собой множества и (если нет, то почему?):
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) , .
Задание 10. Доказать, что , где и – множества.
Задание 11. Пусть , , , а . Определите следующие множества: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
Задание 12. Существуют ли такие множества , , , что , , ?
Задание 13. Докажите следующее равенство .
Задание 14. Докажите равенство .
Задание 15. Докажите с помощью тождественных преобразований соотношения: ; . Результат проверьте с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Задание 16. В каком отношении находятся множества и , если ?
Задание 17. Покажите справедливость тождеств: а) ; б) .
Задание 18. Исходя из отношения принадлежности, докажите справедливость следующих выражений: а) ; б) ; в); г) .
Задание 19. Используя диаграммы Эйлера-Венна, покажите равенства двух множеств .
Задание 20. Для каждого из приведенных ниже множеств используйте диаграмму Эйлера-Венна для двух множеств и заштрихуйте те её части, которые изображают заданные множества: а) ; б); в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
Задание 21. Найдите следующие множества:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .