Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
П р и м е р 1 4. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадут соответственно 2, 3, 1, 1, 2 (событие А)?
Р е ш е н и е. Число исходов, благоприятных для события А подсчитаем по формуле (1.3.7):
m = 23578910;
Число элементарных исходов в данном опыте n , поэтому
P(А) 0,002
З а д а ч и
1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу расположены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?
2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что эти шары разного цвета.
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 женщины и 2 мужчины?
4. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара красного цвета.
5. На 5 одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово молот?
6. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которой 3 бракованных извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.
7. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
Ответы
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4. 0,25. 5. 1/60. 6. 21/40. 7. 5/9.
Вопросы
1.Что называют перестановками?
2.По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?
3. Что называют размещением?
4. По какой формуле вычисляют размещение из n различных элементов по m элементов?
5. Что называют сочетаниями?
6. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по m элементов?
7. Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?
8. По какой формуле вычисляют число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются?
9. Какой формулой определяется число размещений по m элементов с повторением из n элементов?
10. Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?
§ 1.4. Частота события. Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарных исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению
W(A), (1.4.1)
где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:
. (1.4.2)
2. Частота достоверного события U равна единице:
W(U)=1
3. Частота невозможного события V равна нулю:
W(V)=0
4. Частота суммы двух несовместимых событий A и B равна сумме частот этих событий:
W(A+B)=W(A)+W(B)
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Это определение вероятности называется статистическим.
В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.
П р и м е р 1 . Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найдите частоту бракованных деталей.
Р е ш е н и е . Так как в данном случае m=8, n=500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим
.
П р и м е р 2 . Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?
Р е ш е н и е . Из условия задачи следует, что n=60, m= 10, поэтому
.
П р и м е р 3 . Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?
Р е ш е н и е . Поскольку в данном случае n=1000, m=515, то
П р и м е р 4 . В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?
Р е ш е н и е . Так как n=20, m=15, то
П р и м е р 5 . При стрельбе по мишени частота попаданий W=0,75. Найдите число попаданий при 40 выстрелах.
Р е ш е н и е . Из формулы (1.4.1), следует что m=Wn. Так как W=0,75, n=40, то m=0,75·40=30. Таким образом, было получено 30 попаданий.
П р и м е р 6 . Частота нормального всхода семян W=0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?
Р е ш е н и е . Из формулы (1.4.1) следует, что Поскольку m=970, W=0,97, то n=970/0,97=1000. Итак, было высеяно 1000 семян.
П р и м е р 7 . На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.
Р е ш е н и е . На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как n=20, m=8, то искомая частота
П р и м е р 8 . Проведены 3 серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появления герба: 1) , ; 2) , ; 3) , . Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.
Р е ш е н и е . В соответствии с формулой (1.4.1) находим:
З а м е ч а н и е. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. (Вероятность появления герба при подбрасывании монеты p=1/2=0,5 , так как в этом случае n=2, m=1).
П р и м е р 9 . Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающий стандарту. Найдите частоту появления нестандартных деталей.
Р е ш е н и е . В данном случае n = 300, m = 15, поэтому
П р и м е р 10 . Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные – к первому. Найдите частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.
Р е ш е н и е . Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 – 20 = 380 . Поскольку n = 400, = 380 , то частота изделий первого сорта
Аналогично находим частоту изделий второго сорта:
Задачи
1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
3. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
4. Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях симметричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно)
5. Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях игрального кубика.
6. Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
7. Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.
Ответы
1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.
Вопросы
1. Что такое частота события?
2. Чему равна частота достоверного события?
3. Чему равна частота невозможного события?
4. В каких пределах заключена частота случайного события?
5. Чему равна частота суммы двух несовместимых событий?
6. Какое определение вероятности называют статистическим?
7. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?
§ 1.5. Геометрические вероятности
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
На плоскости задана кодируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадь . В области G содержится область g площади (рис. 1.1). В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятность, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть A – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой
G
g
Рис. 1.1
. (1.5.1)
Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема , содержащую область g объема :
. (1.5.2)
В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G (mes – первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой A событие “попадание брошенной точки в область g, которая содержится в области G”. Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой
. (1.5.3)
П р и м е р 1 . В круг вписан квадрат (рис. 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?
Р е ш е н и е . Введем обозначение R – радиус круга, a – сторона вписанного квадрата,
A – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, - площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга π . Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , поэтому площадь квадрата .
Полагая формуле (1.5.1) ,
= S , находим искомую вероятность
L M
З а м е ч а н и е . Выражение стороны
квадрата через радиус окружности можно
получить следующим образом. Из
по теореме Пифагора ,
т.е. , ,
, .
K N
Рис. 1.2
П р и м е р 2 . В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках О(0,0), К(0,1), L(1,1), M(1,0) наудачу брошена точка Q(x,y). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству .
Р е ш е н и е . Проведем прямую (1/2)x,
она пересечет отрезок ML в точке N(1;1/2) . y
Эта прямая рассекает плоскость на две полу- K L
Q
плоскости: для координат точек первой из
них (верхней) будет выполняться неравенство C N
y > x/2, для второй (нижней) y < x/2.
Все точки, принадлежащие квадрату 0 M x
OKLM и координаты Рис. 1.3
которых удовлетворяют неравенству y > x/2, находятся в многоугольнике OKLM. Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь . Площадь S квадрата OKLM равна единице: . В соответствии с формулой (1.5.1) приняв , найдем искомую вероятность
.
П р и м е р 3 . (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а. На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l(l < a). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых се- мейства?
Р е ш е н и е . Расстояние от верхнего конца
x отрезка до ближайшей снизу прямой обо-
а l y значим через y (рис. 1.4). Угол между отрез-
ком и лучом, параллельным прямым се-
мейства, начало которого совпадает с верх-
ним концом отрезка, обозначим через x.
Очевидно, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ x ≤ π . Для того, чтобы
Рис. 1.4 отрезок пересекал хотя бы одну из прямых
семейства, необходимо и достаточно, чтобы . Выражение “отрезок брошен наудачу” будем понимать так: точка (x,y) наудачу брошена на прямоугольник: (рис. 1.5). Точки, коорди-
наты которых удовлетворяют неравенству
y , образуют фигуру, заштрихован-
ную на рис 1.5. Площадь этой фигуры
а
Площадь всего прямоугольника есть S = aπ . По формуле (1.5.1), приняв ,
0 π x , найдем искомую вероятность