Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Методическое пособие по решению задач по теме Системы счисления».
§1Системы счисления, запись чисел в позиционных системах счисления.
В современном мире известно множество способов представления чисел. Число можно представить группой символов некоторого алфавита.
Система счисления – совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.).
В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.).
Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем большее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.
Поэтому позже эти значки стали объединять в группы по 3, 5 и 10 палочек Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счетные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса.
Системы счисления делятся на 2 большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.
К непозиционным системам счисления относятся: римская система счисления, алфавитная система счисления и др.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.
В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа I 10, 100, 1000 и т.д. и записывались они при помощи специальных иероглифов
|
Тысячи сотни десятки единицы
Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялось не более девяти раз.
— Почему? (Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заменить одним числом, но на разряд старше. ) Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.
Египтяне вычисляли 19*31 так: они последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левой — соответствующую степень двойки.
Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19= 1+2+16), и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31+62+496 = 589).
Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3). Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка, специальные знаки были для 1/2 и для 2/3:
Римская система счисления.
|
АЛФАВИТ |
||||||
|
I |
V |
X |
L |
C |
D |
M |
|
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
500 |
1000 |
Запомните:
Числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например:
VI=5+1=6(V>1)
Числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей», например:IX=10-9=1(I<X)
Пример:MCMXCIV=1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)=1994
Задание 1: переведите числа из римской системе счисления в десятичную:
LXXXVI
XLIX
CMXCIX
Задание2:запишите десятичные числа в римской системе
счисления:
464
390
2648
Задание 3:Подумайте, где в настоящее время используется римская система счисления. Запишите несколько примеров свою тетрадь
Алфавитная система счисления
В алфавитных системах счисления для записи чисел использовался буквенный алфавит.
В славянской системе над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – « титло». Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.
Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин греков, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.
Задание4: Запишите в алфавитной системе счисления
365
413
Недостатки непозиционных систем счисления:
Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.
В привычной для нас системе счисления для записи чисел используются десять цифр(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,). Поэтому её называют десятичной системой счисления.
В числе 555 первая цифра 5 стоит в позиции сотен, вторая цифра 5 – в позиции десятков, третья цифра 5 – в позиции единиц (555=50+50+5).
К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная и другие системы счисления.
Историческая справка.
Начало десятичной системе счисления было положено в Древнем Египте и Вавилоне, в основном её формирование было завершено индийскими математиками в 5-7 вв. н.э. Арабы первыми познакомились с этой нумерацией и по достоинству её оценили. В 12 веке арабская нумерация чисел распространилась по всей Европе.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления:
1). Ограниченное количество символов для записи чисел;
2). Простота выполнения арифметических операций.
Задание 5. Сколько и каких требуется цифр для записи любого числа в :
Пятеричной системе счисления;
В восьмеричной системе счисления;
Запишите цифры для каждой системы в тетрадь.
Задание 6. Укажите, какие числа записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.
1567 ; 3005,234; 185,7948; 11022; 1345,526 ; 112, 0113; 16, 5455.
Основание системы счисления (базис) показывает , во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.
Задание 7. Как изменится число 2457, если справа к нему дописать ноль?
В любой системе счисления натуральные числа, меньше основания q, представляются с помощью одной цифры данной системы. Если число больше или равно q, то требуется две и более цифры.
Представление первых чисел в некоторых системах счисления.
|
Q=10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Q=2 |
0 |
1 |
10 |
11 |
100 |
101 |
110 |
111 |
1000 |
1001 |
1010 |
|
Q=3 |
0 |
1 |
2 |
10 |
11 |
12 |
20 |
21 |
22 |
100 |
101 |
|
Q=4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
10 |
11 |
`12 |
13 |
20 |
21 |
22 |
|
Q=5 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
|
Q=6 |
Задание 8.
Представление чисел в позиционных системах счисления
Разряды 2 1 0–1–2
N10= 3 4 8,1 2 =3*102+4*101+8*100+1*10-1+2*10-2
Свернутая развернутая форма
форма записи числа
записи числа
Любое действительное число можно записать в любой позиционной системе счисления в виде суммы положительных и отрицательных степеней числа q(основание системы).
Задание 9. Запишите в развернутой форме числа:
N8=7764,1
N5=2430,43
§2. Двоичная система счисления
Историческая справка
1703 г. – великий немецкий математик Лейбниц ввел в математику двоичную систему счисления.
1936-1938 гг. – американский инженер и математик Клод Шеннон предложил использовать двоичную систему счисления для конструирования электронных схем.
В двоичной системе счисления для записи числе используется всего две цифры : 0 и 1 , q=2
Перевод чисел из двоичной системе счисления в десятичную (N2→N10)
(через развернутую форму записи числа)
Пример: 1011,012=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+ +1*2-2 =8+2+1+1/4=11
Задание10. Переведите в десятичную систему счисления :
10110,0112, 110101,12, 10101,1012
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную (N10→ N2)
Таблица степеней числа 2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
1 способ ( метод «разности» )
1310=N2?
3)Ищут по таблице самое большое число, меньшее 5. Это 4
4)5-4=1(это число есть в таблице).
1310=8+4+1=1* 23+1* 22+ 0*21 + 1* 20=11012
Обратите внимание: если целое двоичное число заканчивается на 0, то соответствующее ему десятичное число будет четным; если двоичное число заканчивается на 1, то десятичное будет нечетным.
Задание 11. Используя метод разностей, переведите десятичные числа в двоичную систему счисления:
3910 2410 5710
2 способ (деление на основание системы счисления q=2)
Перевод целых чисел.( алгоритм)
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
|
13 |
2 |
||
|
12 |
6 |
2 |
|
|
1 |
6 |
3 |
2 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
1 |
Пример: 1310=11012
Задание 12. Переведите десятичные числа 37; 55; 54; 66 в двоичную систему счисления.
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления (N10 → N2) (умножением на 2).
Перевод дробных чисел (алгоритм)
1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
Полученное при умножение в левом столбце число, переводим в двоичную систему счисления. Первое число откидываем. Например, в нашем примере, мы умножили 1,1250 на 2 и получили 2,2500.
Необходимо перевести 2 в двоичную систему счисления- это 10. Оставляем ноль, единицу откидываем.
Пример: 0,562510=N2=0,10012
|
0, |
5625 2 |
|
1 |
1250 2 |
|
0 |
2500 2 |
|
0 |
5000 2 |
|
1 |
0000 |
Задание 13. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления с точностью до 6 знаков после запятой:
0,710 0,462210 0,519810 0,5803
Алгоритм перевода:
Пример: перевести 17,2510 в двоичную систему счисления.
Решение.
Задание14. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
31,7510 124,2510