Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВОПРОСЫ КОЛЛОКВИУМА
По математическому анализу
НМ-101-102
1. Понятие множества по Кантору, пустое множество.
2. Подмножество, собственное подмножество, равенство множеств.
3. Конечные, счетные и бесконечные объединения и пересечения множеств.
4. Разность множеств, дополнения к множествам, законы де Моргана.
5. Упорядоченные пары и декартовы произведения множеств.
6. Дискретная сумма двух и произвольного числа множеств.
7. Отображения и функции множеств.
8. Инъекция, сюръекция, биекция.
9. Мощность множества. Конечные, счетные и континуальные множества.
10. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества.
11. Теорема Кантора-Бернштейна.
12. Отношения на множествах. Отношение эквивалентности. Фактормножества.
13. Натуральные числа. Аксиомы Пеано.
14. Сложение в множестве натуральных чисел. Свойство сложения.
15. Умножение в множестве натуральных чисел. Свойство умножения.
16. Дроби. Рациональные числа.
17. Сложение и умножение в множестве рациональных чисел.
18. Доказать, нет рационального числа, квадрат которого равен 2.
19. Сечения в области рациональных чисел. Свойства сечений.
20. Положительные действительные числа: рациональные и иррациональные числа.
21. Сложение и умножение в множестве положительных действительных чисел.
22. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа. Сложение и умножение.
23. Разбиения (сечения) в области действительных чисел. Теорема Дедекинда.
24. Множества ограниченные сверху. Множества ограниченные снизу. Ограниченные множества.
25. Верхние грани. Точная верхняя грань. Свойства точной верхней грани.
26. Нижние грани. Точная нижняя грань. Свойства точной нижней грани.
27. Теорема о существовании точной верхней грани.
28. Теорема о существовании точной нижней грани.
29. Числовая последовательность и ее предел.
30. Бесконечно малая величина и ее связь с пределом числовой последовательности.
31. Свойства сходящихся числовых последовательностей: ловушки, знакопостоянство, свойство модуля, ограниченность, единственность предела.
32. Бесконечно большие величины. Их связь с бесконечно малыми величинами.
33. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Теорема о «двух милиционерах».
34. Леммы о бесконечно малых величинах.
35. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
36. Неопределенные выражения: неопределенности вида
37. Монотонные последовательности и их пределы.
38. Число e.
39. Лемма о вложенных промежутках.
40. Принцип сходимости Больцано-Коши.
41. Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичных пределов.
42. Верхние (наибольшие) пределы. Свойства .
43. Нижние (наименьшие) пределы. Свойства .
44. Теорема о существовании верхнего предела.
45. Теорема о существовании нижнего предела.
46. Теорема о совпадении верхнего и нижнего пределов.
47. Предел функции в точке. Предел функции справа и слева. Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции.
48. Сведение предела функции к обычному пределу последовательности. Предел по Коши и по Гейне; их эквивалентность.
49. Первый замечательный предел.
50. Второй замечательный предел.
51. Распространение теории пределов с последовательностей на функции (свойства пределов). Неопределенности вида
52. Предел монотонных функций.
53. Общий признак сходимости Больцано-Коши.
54. Сравнение бесконечно малых. Шкала бесконечно малых.
55. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых в отношениях.
56. Классификация бесконечно больших.
57. Непрерывность функции – в точке и на множестве.
58. Непрерывность по Коши и по Гейне и их эквивалентность.
59. Арифметические операции над непрерывными функциями.
60. Непрерывность элементарных функций.
61. Одностороння непрерывность и классификация разрывов.
62. Непрерывность и разрывы монотонных функций.
63. Суперпозиция непрерывных функций.
64. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.
65. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.
66. Существование обратной функции.
67. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
68. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
69. Лемма Бореля.
70. Доказательство основных теорем о непрерывных функциях с помощью леммы Бореля.
НЕОБХОДИМЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ
1. Доказать, что .
2. Доказать, что .
3. Доказать, что .
4. Доказать, что 1.
5. Доказать, что 1.
6. Раскрыть смысл .
7. Раскрыть смысл .
8. Раскрыть смысл .
9. Раскрыть смысл .
10. Раскрыть смысл .
11. Раскрыть смысл .
12. Раскрыть смысл .
13. Раскрыть смысл .
14. Раскрыть смысл .
15. Раскрыть смысл .
16. Раскрыть смысл .
17. Раскрыть смысл .
18. Раскрыть смысл .
19. Раскрыть смысл .
20. Раскрыть смысл .
21. Раскрыть смысл .
22. Раскрыть смысл .
23. Раскрыть смысл .
24. Раскрыть смысл .
25. Раскрыть смысл .
26. Доказать, что множество всех рациональных чисел счетно.
27. Найти предел
28. Найти предел
29. Найти предел
30. Доказать, что если существуют конечные пределы
и , то .
31. Найти предел .
32. Найти предел .
33. Найти предел .
PAGE 1