Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
План учебного занятия № 45.
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы Введение в математический анализ.
Тема: Свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Цель обучения: Сформировать понятие о свойствах пределов функции, бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
Цель развития: Показать возможные способы применения нахождения пределов числовых последовательностей.
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Науки, изучающие пределы, исследующие поведение числовых последовательностей, игровые шоу-использование последовательностей в них.
Ход занятия:
1. Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + (x),
где (х) – бесконечно малая при х а ((х)0 при х а).
2. Свойства бесконечно малых функций:
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где
, тогда
f(x) g(x) = (A + B) + (x) + (x)
A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где
, тогда
AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит
Теорема доказана.
3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Определение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенство
f(x)>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < x - a <
Записывается .
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим:
а если заменить на f(x)<M, то:
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:
a x a x a x
Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то
4. Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х а. Будем обозначать эти функции , и соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .
Определение. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.
Определение. Если то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают ~ .
Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример. Если , то при х0 , т.е. функция - бесконечно малая порядка 2 относительно функции .
Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функция и несравнимы.
5. Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1) ~ ,
2) Если ~ и ~ , то ~ ,
3) Если ~ , то ~ ,
4) Если ~ 1 и ~ 1 и , то и или .
Следствие: а) если ~ 1 и , то и
б) если ~ 1 и , то
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Часто используются следствия из обоих замечательных пределов:
,
Пример. Найти предел
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
Пример. Найти предел .
Так как 1 – cosx = при х0, то .
Пример. Найти предел
Если и - бесконечно малые при ха, причем - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то = + - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .
Тогда говорят, что - главная часть бесконечно малой функции .
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем = х2, = х, тогда
.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =
=.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Для самостоятельного решения:
3) - не определен.