Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ОБОРОНИ УКРАЇНИ
Кафедра підготовки офіцерів запасу
|
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедрою Працівник ЗСУ В. Я. Марченко ____ ___________ 200 року |
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА
для проведення групового заняття
зі студентами кафедри підготовки офіцерів запасу
з розділу: “Сучасні методи і інформаційні технології рішення військово-спеціальних (технічних) задач”
програми військова підготовка.
Тема 8: Обґрунтування рішень з використанням методів теорії масового обслуговування.
Заняття 1: Моделі СМО з відмовами, що використовуються при рішенні військово-спеціальних задач.
Час: 2 години.
Місце: комп’ютерний клас.
Навчальна та виховна мета
2.Привити студентам почуття необхідності впровадження сучасних
методів для рішення військово-спеціальних задач та обґрунтування
рішень
Навчально-матеріальне забезпечення:
ЕОМ., СМПЗ.
|
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “ ” 200 року Протокол № |
Київ – 200 _
ЗМІСТ
Вступ. Основні поняття теорії масового обслуговування та
класифікація СМО.
1.Задачі, що вирішуються в штабах методами теорії масового
обслуговування.
3. Моделювання багатоканальних СМО з відмовами.
Висновки.
ЛIТЕРАТУРА
1. Застосування електронної обчислювальної техніки в штабах. Підручник. Київ: вид. НАОУ, 2001.
2. Основи моделювання бойових дій військ /Сучасні методи і технології рішення військово-спеціальних задач/ Підручник. Київ: – вид. НАОУ, 2005, 462 с.
Наочні посібники
1. Електронний підручник.
Завдання на самостійну роботу
Одноканальна СМО з відмовами.
ВСТУП
Серед різних математичних описів бойових дій особливе місце займає моделі масового обслуговування. Це пояснюється тим, що багато які процеси або операції бойових дій являються собою процеси масового обслуговування, які призначені для задоволення різних вимог. Наприклад відбиття атаки противника являється собою процес (операцію) масового обслуговування: цілі, що входять в зону вогню, можливо розглядати як вимоги (заявки) до обслуговування. Задача обслуговування кожної заявки (вимоги, події), що з’являються, полягає в ураженні цілі. Аналогічні задачі мають місце в системах розвідки, в системах управління вогнем при роботі командних пунктів, ремонтних органів, в процесі матеріально-технічного забезпечення військ, тощо. При розв’язанні таких задач використовується методи теорії масового обслуговування.
Основні поняття теорії масового обслуговування та класифікації систем масового обслуговування.
Серед різних математичних описів бойових дій особливе місце займають моделі масового обслуговування. Це пояснюється тим, що багато процесів або операцій бойових дій являють собою процеси масового обслуговування, які призначені для задоволення різних вимог. Наприклад, відбиття атаки противника являє собою процес (операцію) масового обслуговування: цілі, що входять у зону вогню, можливо розглядати як вимоги (заявки) до обслуговування, а безпосередньо обстріл цілей засобами ураження – як процес обслуговування. Задача „обслуговування” кожної „заявки” (вимоги, події), що з’являється, полягає в зниженні цілі. Аналогічні задачі, коли виникає масовий попит на обслуговування заявок (вимог, подій), є в системах розвідки, системах управління вогнем, при аналізі роботи командних пунктів, ремонтних органів, в процесі матеріально-технічного забезпечення військ тощо. При вирішенні таких задач використовуються методи теорії масового обслуговування.
Теорія масового обслуговування – це розділ дослідження операцій, що займається кількісним обґрунтуванням рішень, що приймаються при управлінні різного роду процесами або операціями, які пов’язані з використанням систем масового обслуговування.
Метою теорії масового обслуговування є розроблення математичних методів, на основі яких можливо оцінити ефективність функціонування систем масового обслуговування, тобто їх якість при різних варіантах організації.
Система масового обслуговування (СМО) – це технічні комплекси різноманітного призначення (устаткування, апаратура, озброєння і військова техніка) та обслуга, що призначені для використання певного виду робіт. Прикладами СМО можуть бути:
механізований батальйон в обороні, призначений для відбиття атак противника;
системи розвідки частин і з’єднань;
автоматизовані системи управління військами і вогнем;
системи матеріально-технічного забезпечення військ;
системи протиповітряної оборони або окремі елементи цих систем (вогневі одиниці, радіолокаційні станції);
поточні лінії з виробництва або ремонту, озброєння та військової техніки тощо.
Кожна з вищезгаданих систем має різне призначення, свою структуру, свої особливості, але, незважаючи на це, кожну з них можна розглядати як систему масового обслуговування. Слід підкреслити, що у наведених прикладах мова йде про призначення перелічених систем у конкретній ситуації або на конкретному часовому інтервалі, хоча загальне їх призначення набагато ширше.
Незважаючи на різне цільове призначення, перелічені системи мають певні загальні риси, або особливості. Характерною загальною особливістю цих систем є те, що вони мають справу не з поодинокими об’єктами, а з певною їх множиною, що розосереджена у часі або просторі, тобто можна говорити про масове надходження об’єктів до системи. Методи теорії масового обслуговування дозволяють досліджувати цикли робіт випадкової тривалості, що багаторазово повторюються.
Назвемо дії системи над об’єктами обслуговуванням, а запити об’єктів до системи – заявками. Будемо говорити, що у часі заявки становлять потік. Незважаючи на таку загальну математичну форму запропонованих термінів, вони по суті відповідають роботі будь-якої з перелічених військових систем. Користуючись запропонованими поняттями, можна в загальних рисах описати роботу перелічених систем: в кожній з них під впливом заявки, що надходить ззовні, відбувається певний процес, який складається з послідовності конкретних дій та закінчується після обслуговування заявки. Цей процес створюється циклічно, оскільки заявки надходять потоком.
Застосування методів теорії масового обслуговування для моделювання бойових дій військ ґрунтується на приведенні реальних процесів до форми моделей, для яких в теорії масового обслуговування знайдено рішення. При вирішенні задач моделювання бойових дій військ елементи системи можуть бути зображені у вигляді сукупності каналів обслуговування, кожний з яких приймає повідомлення щодо зміни обстановки (заявки на обслуговування) у вигляді команд, доповідей, сигналів, що надходять з випадковими проміжками часу Т, і обслуговує цю інформацію за деякий випадковий час Тобс. У результаті цього на виході системи буде обслугована заявка.
Кожна СМО складається з одиниць, що обслуговують заявки, які називають каналами обслуговування. СМО можуть бути одноканальними і багатоканальними. У багатоканальних СМО канали можуть бути однорідними або однотипними, неоднорідними або різнотипними.
Випадковий характер потоку заявок, що надходять у СМО на обслуговування, призводить до того, що в якийсь періоди часу на вході СМО може накопичуватися велика кількість заявок, котрі або утворюють чергу, або покидають СМО без обслуговування. В інші же періоди СМО буде функціонувати з недовантаженням або взагалі простоювати.
Кожна СМО залежно від кількості каналів, їх продуктивності, а також від характеру потоку заявок, що надходять на обслуговування, має певну пропускну здатність, яка дозволяє їй більше або менше успішно справлятися з обслуговуванням потоку заявок. Під пропускною здатністю системи розуміють середня кількість заявок, що може обслуговувати система за одиницю часу. Величини, що характеризують пропускну здатність, або якість, з якою СМО виконує своє призначення, називаються показниками ефективності СМО.
Теорія масового обслуговування займається визначенням кількісної залежності між величинами:
які характеризують потік заявок (часто це інтенсивність потоку );
кількістю каналів n;
продуктивністю каналів (характеризується інтенсивністю обслуговування або інтенсивністю потоку заявок , що обслуговані одним каналом, тобто середньою кількістю заявок, обслуговуваних одним каналом за одиницю часу);
правилами роботи СМО (умови утворення черги, порядок обслуговування заявок);
показниками ефективності СМО.
Принципова схема функціонування будь-якої СМО наведена на рис.1.
Випадковий характер потоку заявок, що поступає в систему на обслуговування, а в загальному випадку також випадковий час обслуговування приводять до того, що в СМО буде відбуватися випадковий процес.
Математична формалізація СМО суттєво полегшується, якщо випадковий процес, що відбувається в системі, буде марковським. У цьому випадку можна порівняно просто описати роботу СМО за допомогою диференціальних (в граничному випадку лінійних алгебраїчних) рівнянь та визначити, в якому вигляді основні характеристики обслуговування через параметри СМО і потік заявок. Як відомо, для марковських процесів усі потоки подій, що переводять систему зі стану до стану, будуть пуассонівськими (стаціонарними і нестаціонарними). Властивості пуассонівських, або найпростіших, потоків докладно розглянуті в темі 9.
Для стаціонарного пуассонівського потоку з інтенсивністю λ інтервал часу Т поміж сусідніми подіями є випадковою величиною з експоненціальним законом розподілу
Надалі будемо вважати, що потік заявок, що надходить в СМО на обслуговування, є найпростішим (пуассонівським) потоком, при якому випадковий час між сусідніми заявками розподілений за експоненціальним законом. Слід відзначити однак, що згідно з теоремою І. М. Коваленка, експоненціальний розподіл часу між сусідніми заявками (подіями) вхідного потоку створює найгірші умови для обслуговування. Обчислені при цьому припущені показники ефективності СМО завжди будуть трошки нижче. Однак таке припущення прийнятно, тому що в реальних умовах ефективність буде не нижче тієї, що розрахована при цьому припущенні.
Розглянемо ще одне важливе поняття теорії масового обслуговування – час обслуговування. Обслуговування заявки здійснюється протягом випадкового часу Тобс, яке у загальному випадку може бути розподілено за різними законами. Для багатьох СМО цей час можна вважати розподіленим за законом, близьким до експоненціального за щільністю розподілу:
Відзначимо, що помилки розрахунків показників ефективності обслуговування в результаті заміни реального розподілу часу обслуговування експоненціальним (при однаковому середньому часі обслуговування) не перевищують 5 – 10 % та в практичних розрахунках ними можна зневажити. При розгляді процесу функціонування будь-якого типу СМО будемо враховувати такі обмеження:
одна будь-яка заявка обслуговується тільки одним каналом;
потік подій, що переводить систему зі стану до стану, є найпростішим або пуассонівським (для такого потоку спрощується його математичний опис);
обслуговування кожної заявки здійснюється протягом випадкового часу з середньою інтенсивністю μ заявок за одиницю часу.
Розглянемо класифікацію СМО. Системи масового обслуговування можна розподілити на два типи: системи з відмовами та системи з очікуванням.
У системах з відмовами заявка, що надходить у систему, потрапляє на обслуговування, якщо є хоча б один вільний канал. У разі, коли всі канали зайняті, заявка залишає систему не обслугованою і в подальшому процесі участі не бере.
У системах з очікуванням заявка, що надійшла, коли всі канали зайняті, стає у чергу та очікує звільнення одного з каналів. Обслуговування заявок, що стоять у черзі, звільненим каналом може відбутися одним з трьох способів:
упорядковано, коли заявки обслуговуються в порядку черги;
неупорядковано, коли заявки обслуговуються у випадковому порядку;
пріоритетно, коли одним заявкам надається перевага відносно до інших за певними відзнаками.
Системи із очікуванням розподіляються на системи з необмеженим часом очікування та системи з обмеженим часом очікування. У перших систем заявка, що надійшла, залишається у черзі до того часу, поки не дочекається обслуговування. У системах з обмеженим часом очікування на перебування заявки у черзі накладаються певні обмеження. Це може бути час перебування у черзі, загальний час перебування заявки в системі.
Системи із очікуванням також розподіляються на системи з необмеженою кількістю місць у черзі та системи з обмеженою кількістю місць у черзі.
1. Задачі, що вирішуються в органах управління методами теорії
масового обслуговування.
Задачі теорії масового обслуговування виникають під час проведення оцінки співвідношення засобів в бою, оцінки ефективності функціонування засобів розвідки й ураження, в процесі матеріально-технічного забезпечення бойових дій частин і об’єднань, при обробці інформації, що надходить в автоматизовану систему управління, визначенні доцільних характеристик систем обслуговування на етапі технічного проектування, в процесі наукового прогнозування і моделювання систем обслуговування, при визначенні оптимального режиму функціонування системи, в бойовій підготовці військ і навчальному процесі, при організації військових перевезень, досліджень тощо.
Задачі масового обслуговування можна умовно розподілити на декілька груп. Розв’язок задач першої групи дозволяє визначити кількість засобів обслуговування. Наприклад, визначення числа засобів ураження, які необхідні механізованому батальйону в обороні для успішного відбиття атаки мотопіхоти противника. Відбиття атаки противника можна розглядати як процес обслуговування, а виявлення об’єктів противника – як заявки на їх ураження (обслуговування).
Вирішення задач другої групи пов’язано з визначенням такого показника ефективності функціонування засобів ураження, як імовірність обслуговування, тобто дає можливість відповісти на питання про те, чи спроможна система ураження своєчасно завдати ударів по виявлених об’єктах противника, чи буде функціонувати з великим перенапруженням.
Вирішення задач третьої групи спрямовано на забезпечення бойових дій частин (з’єднань). У будь-якому виді бойових дій можуть виникати ситуації, аналогічні процесу обслуговування. Так, задачу ураження літаків противника засобами протиповітряної оборони можна розглядати як задачу масового обслуговування, в якій, наприклад, потрібно визначити імовірність обстрілу повітряних цілей.
Вирішення задач четвертої групи пов’язано з організацією обслуговування запитів (заявок), що надходять в автоматизовану інформаційно-пошукову систему. У цьому випадку потрібно визначити, якого об’єму необхідно мати буферну пам’ять ЕОМ для того, щоб при даному потоці повідомлень (заявок) і відомому часі обробки кожної з них імовірність втрати повідомлень через обмеження об’єму пам’яті була б допустимою.
Вирішення задач п’ятої групи дозволяє аналізувати бойові властивості озброєння та військової техніки при обґрунтовуванні тактико-технічних характеристик на їх розроблення. Методи теорії масового обслуговування дозволяють виявити показники ефективності систем масового обслуговування ще на стадії обґрунтовування тактико-технічних характеристик зразків (комплексів, систем) озброєння та військової техніки.
Вирішення задач шостої групи дозволяє аналізувати проблеми прогнозування в системах обслуговування. Задачі такого типу полягають в тому, щоб заздалегідь змоделювати систему обслуговування, яка може виникнути в бойовій обстановці.
У задачах сьомої групи оцінюються показники ефективності функціонування систем для визначення співвідношень, при яких спостерігається оптимальний режим функціонування системи. Вирішення задач сьомої групи з використанням теорії масового обслуговування дозволяють краще організувати підготовку військ і удосконалювати процес навчання.
Методи теорії масового обслуговування можуть знайти використання також при плануванні військових перевезень, у процесі матеріально-технічного забезпечення військ, а також, безумовно, при проведенні наукових досліджень.
2. Одноканальні системи масового обслуговування з відмовами.
Розглянемо найпростішу СМО – одноканальну систему з відмовами. Такою системою, наприклад, є вогнева одиниця, яка веде вогонь по цілях, що надходять до зони ураження (або виявлення) послідовно з деяким інтервалом часу. Система може знаходитися в одному з двох станів:
S0 – система вільна;
S1 – система зайнята обслуговуванням.
Систему можна відобразити графом (рис.2), що має дві вершини (два стани). Систему із одного стану до другого переводять два різних потоки: потік заявок, що надходить до СМО на обслуговування, та потік заявок, що обслуговані системою.
Будемо вважати, що до системи надходить стаціонарний пуассонівський потік заявок з інтенсивністю (щільністю) λ = 1/Т3, де Т3 – математичне сподівання часу між сусідніми заявками. Час обслуговування заявки випадковою величиною з щільністю розподілення де μ – інтенсивність обслуговування, μ = 1/Тобс (Тобс – математичне сподівання часу обслуговування заявки).
Таким чином, для даного типу СМО відомі характеристики потоку заявок, що надходять на обслуговування λ, параметри СМО (кількість каналів n = 1, продуктивність каналу μ) та умови роботи системи (потік подій найпростіший, СМО з відмовами).Потрібно визначити характеристики станів системи та її показники ефективності.
Математичне дослідження процесу функціонування системи ґрунтується на таких принципах, що були розглянуті для безперервних марковських ланцюгів. Позначимо ймовірність станів p0(t) і p1(t). Очевидно, що для будь-якого моменту t
(1)
Складемо диференціальні рівняння Колмогорова для ймовірностей станів:
(2)
Із двох рівнянь (2) одне є зайве, тому що p0(t) і p1(t) пов’язані співвідношенням (1). Враховуючи це, в перше рівняння замість p1(t) підставимо 1 – p0(t), тоді отримаємо:
або (3)
Це рівняння розв’язується при початкових умовах p0(0) = 1, p1(0) = 0 (у початковий момент канал вільний). Розв’язання диференціального рівняння (3) з одним невідомим p0(t), коли λ = const та μ = const, що задовольняє початковим умовам, має вигляд:
За аналогією з другого рівняння (6.33) для початкової умови p0(0) = 1 та p1(0) = 0 отримаємо:
При збільшенні t імовірність p0(t) зменшується, а p1(t) збільшується, при цьому зміна ймовірностей станів системи здійснюється за експоненціальним законом.
При та
тобто p0(t) та p1(t) прямують до постійних величин і перестають залежати від t, їх похідні дорівнюють нулю і система диференціальних рівнянь (2) перетворюється в систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
яка разом з умовою, що дозволяє знайти граничні імовірності станів системи
(4)
Аналізуючи одержані значення, розглянемо окремий випадок роботи системи, коли λ = μ, тобто коли ТЗ = Тобс. Здавалося б, що за таких умов система здатна задовольнити всі заявки. Але формула дає значення p0 = 0,5, тобто система може в середньому обслуговувати лише 50 % заявок. Це стає зрозумілим, якщо згадати, що моменти надходження заявок є випадковими і не узгоджені за часом з моменту звільнення системи після обслуговування, які теж є випадковими.
Показники ефективності СМО знаходять для оцінки роботи систем з обслуговування заявок в установленому стаціонарному режимі, оскільки тривалість цього режиму роботи СМО суттєво більше тривалості перехідних процесів.
Ефективність роботи одноканальної СМО з відмовами оцінюється за допомогою ряду показників. Розглянемо основні з них.
1. Імовірність відмови Рвід. Заявка не буде прийнята до обслуговування та отримає відмову у тому разі, якщо надійде до системи в момент, коли канал буде зайнятий обслуговуванням заявки, що надійшла раніше. Імовірність цієї події дорівнює p1:
(5)
Імовірність відмови Рвід являє собою середню частку необслугованих заявок серед тих, що надійшли.
. (6)
3. Відносна пропускна здатність системи. Робс показує, як часто будуть обслуговуватися заявки, що надходять у СМО, тобто це середня відносна кількість заявок, які обслуговані системою. Тому імовірність обслуговування є відносною пропускною здатністю системи:
. (7)
4. Абсолютна пропускна здатність системи А – середня кількість заявок, що обслуговані системою за одиницю часу
А = λq, (8)
Таким чином визначаються характеристики станів і показники ефективності одноканальної системи масового обслуговування з відмовами.
3. Моделювання багатоканальних СМО з відмовами.
Прикладами багатоканальних СМО з відмовами можуть бути системи вогню засобів малої дальності, вузли зв’язку.
Умови функціонування такої СМО:
система складається з n однотипних каналів;
на вхід системи надходить потік заявок із середньою ефективністю λ заявок за одиницю часу;
заявки, що обслуговані, створюють потік обслугованих заявок з інтенсивністю μ заявок за одиницю часу (для одного каналу);
заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову в обслуговуванні і покидає систему.
Перехід системи зі стану до стану буде здійснюватися під впливом двох різних потоків: потоку заявок, що надходить до СМО на обслуговування, і потоку заявок, що вже обслуговані системою. Будемо вважати, що ці потоки є найпростішими. Пронумеруємо стани системи за кількістю зайнятих каналів:
S0 – усі n каналів вільні;
S1 – зайнятий один канал;
S2 – зайняті два канали;
…
Sk – зайняті k каналів;
…
Sn – зайняті n каналів.
Граф станів системи показано на рис.1.
Розмітимо граф, тобто проставимо у стрілок інтенсивності відповідних потоків подій. По стрілках зліва направо систему переводить потік заявок з інтенсивністю λ. Якщо, наприклад, система знаходиться у стані Sk (зайнято k каналів) і надійшла нова заявка, то система переходить у стан Sk+1 (переходи через стан неможливі). По стрілках справа наліво систему зі стану до стану переводить потік обслугованих заявок (або потік звільнення каналів), який також вважається найпростішим з інтенсивністю, що дорівнює інтенсивності обслуговування одним каналом μ, помноженою на число k зайнятих (працюючих) каналів (k = 1, 2, ..., n), тому що k каналів за одиницю часу в середньому будуть обслуговувати в k разів більше заявок, ніж один канал.
Відповідні інтенсивності потоків проставлені у стрілок на графі станів системи (рис.1). Із рис.1 видно, що процес, який відбувається в СМО, являє собою окремий випадок процесу „загибелі та розмноження”, розглянутий в темі 9. Тоді з використання загального правила складається така система диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів системи:
(1)
Рівняння (1) називаються рівняннями Ерланга. Початкові умови для їх розв’язання такі:
тобто в початковий момент (t = 0) система вільна. Розв’язання системи диференціальних рівнянь (1) для реальних систем в аналітичному вигляді достатньо складно. На практиці такі системи рівнянь звичайно розв’язуються чисельно на ЕОМ. Для розв’язання рівнянь (1) не обов’язково складати
n + 1 рівнянь, а достатньо скласти n рівнянь, тому що з нормуючої умови завжди можна знайти імовірність і-го стану:
Для більшості СМО цього типу тривалість роботи в усталеному стаціонарному режимі значно більше тривалості перехідних процесів. Тому при дослідженні СМО звичайно розглядають усталений режим роботи, в якому стани системи характеризуються граничними ймовірностями, що являють собою середні відносні часи перебування системи в різних станах.
Визначимо граничні імовірності станів p0, p1, ... , pn. В усталеному режимі граничні імовірності станів системи є величинами сталими (pk = const для
k = 0, 1, 2, ..., n) та їх похідні дорівнюють нулю, то, поклавши в рівнянні (1) ліві частини кожного рівняння нулю, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої з урахуванням нормуючої умови
p0 + p1 + p2 +...+ pk +…+ pn = 1 (2)
отримаємо граничні імовірності усіх станів системи. Для визначення граничних ймовірностей можна використати також вже готовий розв’язок задачі, що отримано для схеми „загибелі та розмноження”, розглянутий в темі 9. Це можливо тому, що процес в СМО є окремим випадком цього процесу.
У результаті розв’язання системи рівнянь (1) отримаємо формули для обчислення граничних ймовірностей станів в усталеному режимі роботи:
(3)
У формулах системи (6.39) – зведена інтенсивність потоку заявок, що надходять на обслуговування, тобто це середня кількість заявок, що надходять на обслуговування за середній час обслуговування однієї заявки одним каналом.
Підставивши у формулах для визначеннях pk системи (3) значення p0, отримаємо
(k = 0, 1, 2, …, n). (4)
Формули (3, 4) називають формулами Ерланга, за допомогою яких визначаються граничні імовірності станів СМО через інтенсивність потоку заявок, інтенсивність обслуговування та число каналів СМО.
Якщо відомі граничні імовірності, то можна знайти показники ефективності СМО. Показниками ефективності багатоканальної СМО з відмовами є:
1. Імовірність відмови Рвід , яка являє собою середню відносну кількість (відсоток або частку) заявок, що не обслуговані системою, тобто показує, як часто заявки, що надходять в СМО на обслуговування, будуть мати відмову. Заявка отримує відмову, якщо надійде на обслуговування в той момент, коли всі n каналів будуть зайняті обслуговуванням заявок, що надійшли раніше. Імовірність цієї події у відповідності до виразу (4) розраховується за формулою
. (5)
2. Імовірність обслуговування Робс або відносна пропускна здатність системи q, яка являє собою відносну кількість заявок, що обслуговуються СМО, від загального числа заявок, які надходять на обслуговування. Це один з основних показників ефективності роботи СМО. Чим більше Робс , тим ефективніша система. Імовірність обслуговування (відносна пропускна здатність) визначається як імовірність того, що заявка буде прийнята на обслуговування, тобто
(6)
3. Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість заявок, що обслуговуються СМО за одиницю часу), яка визначається за формулою:
(6.473)
4. Як показник ефективності системи розглядається також середня кількість зайнятих каналів , яка показує середнє завантаження системи. Якщо відома середня кількість заявок, що обслуговуються СМО з n однотипними каналами за одиницю часу, тобто абсолютна пропускна здатність системи А, та середня кількість заявок, що обслуговані одним каналом за одиницю часу, μ, можна знайти у вигляді їх відношення
. (8)
Підставивши замість А її значення, отримаємо
(9)
5. Імовірність зайнятості каналу Рзайн. Якщо СМО складається з n однотипних каналів, то враховуючи те, що Рзайн однакова для будь-якого каналу, середня кількість зайнятих каналів буде дорівнювати
.
Звідси
(10)
6. Середній час зайнятості одного каналу, який дорівнює середньому часу обслуговування однієї заявки:
(11)
7. Середній час простою каналу , який визначається з умови
, (12)
звідки
(13)
На практиці бувають СМО з відмовами, що складаються з n каналів різних типів , де nі – кількість каналів і-го типу. Імовірність відмови у цьому випадку знаходиться за формулою
(14)
де
Ця формула, яку називають формулою Шахбазова, дає можливість, зокрема, оцінити ефективність системи вогню різнотипних засобів.
При проведенні оцінки ефективності системи вогню часто використовуються також такі показники, як математичне сподівання кількості обстріляних або уражених цілей за час відбиття атаки відповідної тривалості Т при відомій імовірності ураження цілі R однією вогневою одиницею:
Таким чином, визначені характеристики станів і показники ефективності системи залежать від інтенсивності потоку заявок λ, параметрів системи n і μ та умов роботи СМО.
ВИСНОВКИ
Ефективність організації та ведення бойових дій багато в чому залежить від продуктивності тих чи інших засобів, які можуть утворювати певний клас системи, яка може описуватися математичною моделлю системи масового обслуговування. В якості прикладів таких систем можна назвати:
Старший викладач
К.т.н., доцент В..К. ПЕТРОВ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ОБОРОНИ УКРАЇНИ
Кафедра підготовки офіцерів запасу
|
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедрою Працівник ЗСУ В. Я. Марченко ____ ___________ 200 року |
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА
для проведення групового заняття
зі студентами кафедри підготовки офіцерів запасу
з розділу: “Сучасні методи і інформаційні технології рішення військово-спеціальних (технічних) задач”
програми військова підготовка.
Тема 8: Обґрунтування рішень з використанням методів теорії масового обслуговування.
Заняття 2
Моделювання СМО з очікуванням при рішенні військово спеціальних задач.
Час: 2 години.
Місце: за розкладом
Навчальна та виховна мета
Навчально-матеріальне забезпечення:
ЕОМ., СМПЗ.
|
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “ ” 200 року Протокол № |
Київ – 200 _
План проведення заняття
|
№ з/п |
Навчальне питання |
Час, хв. |
Метод |
|
1 |
Перевірка готовності студентів до заняття. Вступне слово викладача. |
5 |
|
|
2 |
Перевірка підготовки студентів до заняття. |
15 |
бесіда |
|
3 |
Моделювання СМО з очікуванням та обмеженим і необмеженим числом місць у черзі. |
30 |
бесіда та практична робота |
|
4 |
Моделювання СМО з обмеженим часом очікування та необмеженим числом місць у черзі. |
35 |
бесіда та практична робота |
|
5 |
Підведення підсумків і закінчення групового заняття. |
5 |
ЛІТЕРАТУРА:
|
1. Застосування електронно-обчислювальної техніки в штабах. Підручник. – К.: вид. НАОУ, 2000. |
|
2. Основи моделювання бойових дій військ /Сучасні методи і технології рішення військово-спеціальних задач/ Підручник. Київ: – вид. НАОУ, 2005, 462 с. |
Організація та методика проведення заняття
Напередодні до заняття студенти вивчають рекомендовану літературу. При необхідності проводиться групова або індивідуальні консультації.
На занятті на основі постановки задачі у загальному вигляді необхідно розглянути: умови функціонування СМО, характеристики станів системи та математичну формалізацію задачі, показники ефективності СМО.
Викладач має звернути увагу на наявність особового складу . З’ясувати, яким чином відсутні студенти будуть поновлювати знання та навички цього заняття.
Після оголошення теми, навчальної мети, питань заняття та порядку їх відпрацювання, викладач звертає увагу на місце питань, що розглядаються при розв’язанні військово-спеціальних задач.
Перевірка підготовки студентів до заняття здійснюється обговоренням таких питань:
Розгляд першого питання пропонується здійснювати у такій послідовності: визначення багатоканальної СМО з відмовами, умови функціонування СМО, приклади СМО.
При відпрацюванні другого питання розглянути: постановку задачі, визначення станів та побудова графів СМО, система рівнянь для визначення ймовірностей станів.
Граничні ймовірності станів студенти визначають самостійно.
При підведенні підсумків заняття викладач повинен оцінити роботу студентів, звернути їх увагу на приклади СМО військового призначення.
Завдання на самостійну роботу має бути спрямовано на закріплення знань та навичок, отриманих на цьому занятті. Для цього на самопідготовці слухачам потрібно докладно вивчити порядок визначення ймовірностей станів системи.
Навчальні матеріали до навчальних питань.
До першого питання.
У системах з очікуванням заявка, що надійшла на обслуговування в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу та очікує звільнення будь-якого каналу. Як тільки звільняється один з каналів, одна із заявок, що стоять у черзі, приймається на обслуговування. Розглянемо два типи систем з очікуванням: з обмеженою кількістю місць у черзі та необмеженою кількістю місць у черзі.
У системах з очікуванням та обмеженою кількістю місць у черзі заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, стає в чергу і чекає обслуговування, поки не буде обслугована. Якщо в момент надходження заявки всі канали й місця у черзі зайняті, то заявка отримує відмову та покидає систему.
Умови функціонування СМО:
1. СМО складається з n однотипних каналів.
2. На вхід системи надходить найпростіший потік заявок із середньою інтенсивністю λ.
3. Заявки, що обслуговані, створюють вихідний потік обслугованих заявок з інтенсивністю μ (для одного каналу).
4. Довжина черги на обслуговування обмежена кількістю місць m у черзі.
5. Заявка, що надійшла в момент, коли всі канали n і всі місця m у черзі зайняті, отримує відмову та залишає систему.
Обслуговування заявок будемо вважати упорядкованим.
Прикладами таких СМО можуть бути:
переправи з декількома паромами;
пункти заправки пальним з декількома засобами заправки;
пункти технічного обслуговування з обмеженим накопиченням об’єктів на складах пунктів.
Стани системи будемо нумерувати за кількістю заявок, що знаходяться на обслуговуванні та у черзі:
S0 – всі n каналів вільні, черги немає;
S1 – зайнятий один канал, решта n – 1 вільні, черга відсутня;
S2 – зайняті два канали, решта n – 2 вільні, черга відсутня;
…
Sk – зайняті k каналів, решта n – k вільні, черга відсутня;
…
Sn – зайняті всі n каналів, черга відсутня;
Sn+1 – зайняті всі n каналів, одна заявка стоїть у черзі;
Sn+2 – зайняті всі n каналів, дві заявки стоять у черзі;
…
Sn+ – зайняті всі n каналів, заявок стоять у черзі;
…
Sn+m – зайняті всі n каналів і всі місця у черзі.
Оскільки випадковий процес, що відбувається в СМО, буде являти собою процес „загибелі та розмноження” (потоки подій – простіші, ці потоки переводять систему із стану до стану в протилежних напрямах, одну заявку обслуговує тільки один канал), то такій системі відповідає граф станів, показаний на рис.1.
Визначимо характеристики станів системи і показники її ефективності, позначимо . Оскільки процес, що відбувається в системі, являє собою окремий випадок процесу „загибелі та розмноження”, то з використанням графа станів (рис. 1) можна записати формули для граничних імовірностей станів системи через імовірність початкового стану p0:
.
Для визначення p0 використовується нормуюча умова
.
Розв’язання системи алгебраїчних рівнянь, що відповідають усталеному режиму функціонування СМО, дає можливість визначити імовірність станів. Імовірність вільного стану системи
. (2)
Імовірності k-го і n + l станів визначаються за формулами:
k = 1, 2, …, n;
= 1, 2, …, n. (3)
З цих формул видно, що параметрами даного типу СМО є: n; λ; μ; m.
Основні показники ефективності обслуговування системи.
1. Імовірність відмови Рвід . Заявка, що надходить у систему на обслуговування отримує відмову, якщо прийде в систему у той час, коли будуть зайняті всі n каналів та всі місця у черзі. Імовірність цієї події дорівнює Рn+m:
(4)
2. Імовірність обслуговування (відносна пропускна здатність):
(5)
3. Абсолютна пропускна здатність
. (6)
4. Середня кількість заявок у черзі , яке визначається як математичне сподівання дискретної випадкової величини R – числа заявок, що перебувають у черзі:
(7)
5. Середня кількість зайнятих каналів . Кожний зайнятий канал обслуговує в середньому μ заявок за одиницю часу, тоді
(8)
6. Середня кількість заявок у системі
. (9)
7. Середній час очікування заявки у черзі
(10)
8. Середній час перебування заявки в системі (у черзі та при обслуговуванні)
(11)
Якщо кількість місць у черзі необмежене (), а в момент надходження заявки всі канали зайняті, то заявка знаходиться у черзі поки не буде обсугованою. У цьому випадку має місце так звана багатоканальна СМО із очікуванням і необмеженим числом місць у черзі.
Умови функціонування такої СМО, можливі стани і граф станів аналогічні СМО з обмеженою чергою, але тільки до стану Sn+l, а далі кількість можливих станів не обмежено, тобто може бути нескінченним.
Імовірність вільного стану системи визначається за формулою
(12)
Якщо відомо p0, то граничні імовірності інших станів системи визначаються аналогічно (12):
k = 1, 2, …, n;
l = 1, 2, …, n. (13)
Показники ефективності СМО цього типу мають деякі відмінності:
1. При відсутності обмежень по довжині черги кожна заявка, що надходить в систему на обслуговування, буде обслугована, тому імовірність відмови в обслуговуванні Рвід = 0.
2. Відносна пропускна здатність
3. Абсолютна пропускна здатність
4. Середня кількість зайнятих каналів
5. Середня кількість заявок у черзі
6. Середній час очікування заявок обслуговування
До другого питання.
На практиці зустрічаються такі СМО, в яких число місць у черзі не обмежене (), але час очікування заявки в черзі обмежений деяким випадковим часом Точ із середнім значенням . Якщо заявка на цей час не буде обслугована, то вона виходить із черги та покидає систему не обслугованою, тобто кожна заявка виходить із черги з середньою інтенсивністю / заявок за одиницю часу. Якщо цей потік є пуассонівським, то процес, що відбувається в СМО, буде марковським.
Умови функціонування СМО: система складається з n однотипних каналів; на вхід системи надходить найпростіший потік заявок із середньою інтенсивністю λ; обслуговані заявки створюють вихідний потік з інтенсивністю μ (для одного каналу); довжина черги необмежена, ; середня інтенсивність виходу однієї заявки з черги дорівнює заявок за одиницю часу.
Система такого типу в процесі роботи переходить з одного стану до іншого під впливом трьох якісно різних потоків подій: потоку заявок, що надходить на обслуговування λ; потоку обслуговуваних заявок з інтенсивністю kμ (μ – продуктивність одного каналу, k – число каналів, що зайняті обслуговуванням); потоку заявок, що виходять з черги (системи) не обслуговуваних з інтенсивністю ( – число заявок, що знаходяться в черзі). Прикладом таких СМО є системи вогневих засобів з великою дальністю дії.
Розглянемо стани багатоканальної СМО з обмеженим часом очікування та необмеженою кількістю місць у черзі:
S0 – всі канали вільні, черги немає;
S1 – зайнятий один канал, решта n – 1 вільні, черга відсутня;
…
Sn – зайняті всі n каналів, черга відсутня;
Sn+1 – зайняті всі n каналів, одна заявка стоїть у черзі;
Sn+2 – зайняті всі n каналів, дві заявки стоїть у черзі;
…
Sn+ – зайняті всі n каналів, заявок стоять у черзі і так далі.
Марковський випадковий процес, що відбувається в СМО, також буде являти собою процес „загибелі та розмноження”, тому що всі потоки є найпростішими та переводять систему зі стану до стану у протилежних напрямках. Побудуємо та розмітимо граф станів системи (рис. 2)
Визначимо характеристики станів та показники ефективності СМО. Стани системи характеризуються граничними ймовірностями.
Позначимо:
– зведена інтенсивність потоку заявок, що надходять в СМО;
– зведена інтенсивність потоку виходу заявок зі СМО не обслугованими. За правилом визначення граничних ймовірностей станів системи отримаємо:
(14)
Знайдемо p0, підставивши в умову p0 + p1 + p2 +...+ pn + pn+1 + ...+pn+ + +…= 1 замість p1, p2, ..., pn, ..., pn+, ... їх значення:
звідки (15)
де – зведена інтенсивність потоку виходу заявок із СМО необслугованими, за середній час обслуговування одним каналом однієї заявки.
Показники ефективності СМО:
1. Імовірність відмови
(16)
Інші показники ефективності аналогічні СМО з відмовами.
Доцент В.К. Петров
“_____”__________ ______ р.
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ОБОРОНИ УКРАЇНИ
Кафедра підготовки офіцерів запасу
|
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедрою Працівник ЗСУ В. Я. Марченко ____ ___________ 200 року |
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА
для проведення практичного заняття
зі студентами кафедри підготовки офіцерів запасу
з розділу: “Сучасні методи і інформаційні технології рішення військово-спеціальних (технічних) задач”
програми військова підготовка.
Тема 8: Обґрунтування рішень з використанням методів теорії масового обслуговування.
Заняття 3 :Методи упорядкування дисципліни обслуговування в СМО.
Час:2 години.
Місце: комп’ютерний клас.
Навчальна та виховна мета
1. Поглибити знання з питань моделювання із застосуванням методів
теорії масового обслуговування.
2. Виховувати у студентів почуття щодо необхідності впровадження сучасних методів для рішення військово-спеціальних задач та
обґрунтування рішень.
Навчально-матеріальне забезпечення:
ЕОМ., СМПЗ.
|
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “ ” 200 року Протокол № |
Київ – 200 _
Зміст
Вступ.
Завершальна частина.
ЛІТЕРАТУРА:
|
1. Основи моделювання бойових дій військ. Підручник. Київ: – вид. НАОУ, 2005 |
Виконання розрахунково-графічної роботи.
Вступ
Серед різних математичних описів бойових дій особливе місце займають моделі масового обслуговування. Це пояснюється тим, що багато операцій в системах військового призначення уявляють собою процеси масового обслуговування. При розв’язанні військово-спеціальних задач, крім розглянутих на попередніх заняттях моделей СМО, використовуються також моделі з упорядкуванням дисципліни обслуговування. В лекції розглядаються моделі СМО ешелонами каналів обслуговування: модель СМО з пріоритетними потоками.
1. Одноканальна багатофазова система з відмовами
На практиці часто виникають задачі, в яких потрібно визначити імовірність обслуговування потоку заявок, коли його обслуговують послідов но розташовані групи каналів. У таких системах заявки, що не були обслуговані каналами першої групи, надходять до каналів другої групи. Заявки, що не були обслуговані також каналами другої групи, надходять до каналів третьої групи тощо.
Припустимо, що існує і таких груп, кількість каналів обслуговування в кожній групі Sj, де У практичних задачах потрібно визначити ефективність функціонування кожної групи.
Як приклад можна навести ешелоновану оборону, де в кожному ешелоні є відповідна кількість однорідних засобів ураження, призначених для виконання однотипних задач.
Розглянемо СМО з такою організацією обслуговування за умов: вхідний потік заявок є найпростішим з параметром λ; час обслуговування заявок є випадковою величиною з експоненціальним законом розподілу з параметром ; усі канали системи однотипні.
Основним показником функціонування системи є імовірність відмови, яка визначається за формулою Ерланга. Імовірність того, що заявки отримають відмову на каналах першої групи та надійдуть до другої групи каналів, визначається за формулою
(1)
Якщо канали другої групи будуть також зайняті обслуговуванням, то заявки отримають відмову. Імовірність цієї події дорівнює
(2)
де S1, S2 – число каналів обслуговування першої і другої груп.
Якщо таких груп і, то у загальному вигляді імовірність того, що заявка не буде обслугована всією системою, дорівнює
(3)
Враховуючи формулу (3), можна визначити такі показники:
імовірність відмови в обслуговуванні каналами j-ї послідовної групи
(4)
імовірність того, що канали j-ї послідовної групи будуть обслуговувати заявку, яка не була обслугована попередніми групами,
(5)
коефіцієнт продуктивності каналів j-ї групи
. (6)
У військовій практиці часто виникають задачі, при розв’язанні яких потрібно визначати імовірність обслуговування заявок при їх проходженні ряду послідовно розташованих засобів або груп засобів різної продуктивності. Наприклад, така задача може виникнути при проведенні оцінки ефективності багатоешелонованої оборони. В кожному ешелоні є засоби ураження, які за своїми тактико-технічними характеристиками відрізняються від засобів, що розташовані в інших ешелонах.
Розглянемо спочатку СМО, що складається з двох послідовно розташованих каналів різної продуктивності. Час обслуговування кожного з них підпорядковується експоненціальному закону з параметрами 1 і 2 відповідно для першого і другого каналів. На перший канал надходить пуассонівській потік заявок з інтенсивністю . Заявки, що не були обслуговані першим каналом, надходять для обслуговування на другий канал. Якщо він вільний, то заявка обслуговується ним, у протилежному випадку заявки вважаються необслуговуваними.
Позначимо імовірність станів системи:
Р00 – перший і другий канал вільні від обслуговування;
Р10 – перший канал зайнятий обслуговуванням, другий – вільний;
Р01 – перший канал вільний, другий – зайнятий обслуговуванням;
Р11 – обидва канали зайняті обслуговуванням.
Якщо скласти диференціальні рівняння та розв’язати їх для стаціонарного режиму роботи системи, то отримаємо:
1. Імовірність відмови в обслуговуванні заявки (зайняті обидва канали):
. (7)
2. Імовірність того, що всі канали вільні від обслуговування:
(8)
3. Імовірність того, що зайнятий обслуговуванням тільки перший канал:
(9)
4. Імовірність того, що зайнятий обслуговуванням тільки другий канал:
(10)
Якщо відомі імовірності станів системи, то можна визначити завантаження кожного каналу. Коефіцієнт завантаження буде дорівнювати відношенню математичного сподівання кількості заявок, що обслуговані цим каналом за одиницю часу, до математичного сподівання кількості заявок, що обслуговані двома каналами за одиницю часу. Тоді коефіцієнт завантаження першого каналу
(11)
а коефіцієнт завантаження другого каналу
(12)
Із аналізу рівняння (8) можна зробити важливий для практики висновок: щоб ефективність обслуговування системи була найбільшою, перший канал повинен мати більшу продуктивність.
При моделюванні бойових дій військ можуть зустрічатися задачі, в яких потрібно визначити пропускну здатність СМО з послідовно розташованими каналами різної продуктивності. Спочатку потік заявок надходить на групу каналів однакової продуктивності. Ті заявки, що отримують відмову в обслуговуванні каналами першої групи, надходять до каналу, що розташований позаду цієї групи. За своїми характеристиками цей канал може відрізнятися від каналів першої групи.
Одним із шляхів розв’язання такої складної задачі може бути заміна групи каналів одним каналом, що має еквівалентну пропускну здатність деякій групі каналів. Тоді завжди можна підібрати для заданого потоку заявок один канал з таким часом обслуговування, для якого імовірність відмови в обслуговуванні заявок буде дорівнювати імовірності відмови групою каналів.
Спосіб зведення багатоканальної системи до одноканальної полягає у визначенні такого каналу, пропускна здатність якого буде еквівалентна багатоканальній системі. Для цього використовується рівність
(13)
де – імовірність відмови одноканальної системи;
– імовірність відмови багатоканальної системи з n каналами.
Імовірність відмови для одноканальної системи має вигляд
(14)
Тоді, підставивши (6.79) в (6.80), визначимо час обслуговування каналу з еквівалентною пропускною здатністю
(15)
Якщо група має однотипні канали, то величину РвідN можна визначити за формулою, яку отримав А.А. Шахбазов:
(16)
де
μi – продуктивність і-го каналу;
n – число каналів;
Cj – будь-яке сполучення по j чисел ряду ;
означає, що підсумовування розповсюджується на всі сполучення.
Таким чином, для системи, що складається з послідовно розташованих груп каналів (як однотипних, так і різнотипних) та одного каналу, пропускна здатність визначається за залежностями, які отримані для системи послідовно розташованих двох каналів різної продуктивності, якщо попередньо звести групу каналів до еквівалентного за пропускною здатністю одного каналу.
3. Система масового обслуговування з пріоритетними потоками.
При вирішенні військово-спеціальних задач із застосуванням теорії масового обслуговування зустрічаються системи з пріоритетними потоками заявок. Ефективність функціонування такої СМО залежить від дисципліни обслуговування, яка характеризує механізм обслуговування, тобто визначає порядок розподілу заявок між каналами обслуговування.
Прикладами пріоритетних потоків заявок можуть бути інформаційні потоки від старшого начальника в системі управління, потоки найважливіших цілей в системах управління вогнем тощо.
У СМО з пріоритетними потоками можуть бути різні варіанти дисципліни обслуговування. З усіх можливих варіантів СМО з пріоритетними потоками розглянемо тільки один на прикладі одноканальної СМО з абсолютним пріоритетом. Нехай на одноканальну систему надходять два найпростіших потоки зі щільностями 1 і 2. Перший потік (1 ) має пріоритет перед другим потоком. Якщо в момент надходження заявки першого потоку канал буде обслуговувати заявку другого потоку, то незалежно від того, закінчене її обслуговування чи ні, заявка другого потоку звільняє канал, а заявка першого потоку надходить на обслуговування. Час обслуговування заявки для кожного потоку різний і має експоненціальний закон розподілу з параметрами відповідно 1 і 2.
Система диференціальних рівнянь для імовірності станів системи має вигляд :
Як відомо, потрібно враховувати також умову
Розв’язання системи диференціальних рівнянь проводиться для початкових умов
Тоді отримаємо такі значення для імовірностей станів системи залежно від часу процесу обслуговування:
імовірність того, що канал зайнятий обслуговуванням заявки першого потоку :
(17)
де
імовірність того, що канал вільний від обслуговування:
(18)
де
імовірність того, що канал зайнятий обслуговуванням заявки другого потоку:
(19)
Для спеціального режиму отримаємо такі залежності :
(20)
Розрахунки показують, що при λ1 = 1 заявки за хвилину, λ2 = 0,5 заявки за хвилину, середньому часі обслуговування для заявок першого потоку = 1 хвилина і для другого потоку = 0,5 хвилини, то абсолютні помилки у визначенні імовірностей за формулами, що отримані для стаціонарного процесу (при тривалості процесу більше ніж 2 хвилини), не будуть перевищувати 1%.
Використання методів теорії масового обслуговування для моделювання процесів бойових дій обумовлено рядом переваг метода, основними з яких є :
1.Простота проведення розрахунків на ПЕОМ при плануванні та організації бойових дій.
2.Врахування достатньо великої кількості факторів, в тому числі випадкових.
3.Можливість врахування показників часу.
Доцент В.К. Петров
“_____” ____________200 _ р.
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ОБОРОНИ УКРАЇНИ
Кафедра підготовки офіцерів запасу
|
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедрою Працівник ЗСУ В. Я. Марченко ____ ___________ 200 року |
МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА
для проведення практичного заняття
зі студентами кафедри підготовки офіцерів запасу
з розділу: “Сучасні методи і інформаційні технології рішення військово-спеціальних (технічних) задач”
програми військова підготовка.
Тема 8: Обґрунтування рішень з використанням методів теорії масового обслуговування.
Заняття 4 : Проведення тактичних розрахунків методами теорії масового обслуговування з використанням моделей СМО на ПЕОМ.
Час: 4 години.
Місце: комп’ютерний клас.
Навчальна та виховна мета
1. Поглибити знання та надати практичних навичок з питань моделювання із застосуванням методів теорії масового обслуговування.
2. Виховувати у студентів відповідальність за придбання необхідних знань та розуміння необхідності впровадження сучасних методів при обґрунтуванні рішень.
Навчально-матеріальне забезпечення:
ЕОМ., СМПЗ.
|
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “ ” 200 року Протокол № |
Київ – 200 _
План проведення заняття
|
№ з/п |
Навчальне питання |
Час, хв. |
Метод |
|
1 |
Перевірка готовності студентів до заняття. Вступне слово викладача. |
5 |
|
|
2 |
Перевірка підготовки студентів до заняття. |
15 |
бесіда |
|
3 |
Підготовка вихідних даних та введення їх в ПЕОМ. |
30 |
бесіда та практична робота |
|
4 |
Дослідження ефективності операцій із застосуванням моделей СМО. |
100 |
бесіда та практична робота |
|
5 |
Аналіз результатів та їх використання. |
25 |
бесіда |
|
6 |
Підведення підсумків і закінчення практичного заняття. |
5 |
ЛІТЕРАТУРА:
|
1. Застосування електронно-обчислювальної техніки в штабах. Підручник. – К.: вид. НАОУ, 2000. |
|
2. Основи моделювання бойових дій військ /Сучасні методи і технології рішення військово-спеціальних задач/ Підручник. Київ: – вид. НАОУ, 2005, 462 с. |
І. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ.
Після оголошення теми, навчальних цілей, питань заняття та порядку їх відпрацювання, викладач звертає увагу студентів на актуальність та важливість даного заняття і його чинного зв`язку з наступними заняттями.
А. ДО ПЕРЕВІРКИ ПІДГОТОВКИ СТУДЕНТІВ ДО ЗАНЯТЬ.
перевірка підготовленості слухачів до заняття здійснюється викладачем шляхом перевірки забезпеченості слухачів навчальною літературою, технічними засобами і виконанням ними в робочих зошитах завдання, даного на самопідготовку.
Б. ДО НАВЧАЛЬНИХ ПИТАНЬ
1. Підготовка даних та введення їх в ПЕОМ.
Ряд дуже актуальних імовірнісних задач військового (й невійськового) призначення може бути вирішений за допомогою теорії масового обслуговування (ТМО).
1.1. Приклади систем, які можна розглядати як системи масового обслуговування:
1) Організація оборони танкового батальйону від атак противника.
2) Організація ешелонованої оборони зенітно-ракетними комплексами
(ЗРК) від повітряних цілей, що входять в зону ураження.
3) Визначення необхідної структури й продуктивності ремонтних
органів, баз, майстерень, технологічних потоків й т. ін.
4) Оптимізація структури й організація ефективної роботи АТС,
вузлів зв’язку, АСУ, госпіталів, їдалень воєнторгу, заправок ПММ й т. ін.
Загальним для всіх перелічених об’єктів є те, що всі вони функціонують як системи масового обслуговування.
СМО призначена для обслуговування потоку заявок, що надходять у випадкові моменти часу із середньою інтенсивністю λ заявок в одиницю часу. Заявка поступає на обслуговування на вільний канал обслуговування (КО).
Час обслуговування кожної заявки є також випадковим, після обслуговування канал вивільнюється й готовий до прийому наступної заявки.
Обслуговані заявки утворюють вихідний потік із інтенсивністю µ заявок в одиницю часу, рівною середній продуктивності одного КО.
Ефективність СМО залежить від числа КО та їх продуктивності.
При математичному описі СМО прийнято можливі стани системи нумерувати за числом зайнятих КО (або, що є тим самим, - за числом заявок, що знаходяться в СМО на обслуговуванні).
При побудові математичної моделі враховуються обмеження:
При такому потоці спрощується математичний опис СМО. Разом із тим, цей вид потоку подій є найбільш випадковим й при дослідженні дозволяє отримати гарантовані показники ефективності (ПЕ).
Потік подій називається найпростішим, якщо він має такі властивості:
Найчастіше як математичні моделі дослідження операцій використовуються такі види СМО:
1) "СМО-1" – СМО з відмовами (без очікування обслуговування).
2) "СМО-2" – СМО з обмеженою довжиною черги й необмеженим часом очікування в черзі.
3) "СМО-3" – СМО з необмеженою чергою й необмеженим часом очікування в черзі.
4) "СМО-4" – СМО з обмеженим часом очікування в черзі й необмеженою довжиною черги.
Показники та критерії ефективності СМО з відмовами..
Багатоканальна СМО з відмовами ( СМО-1).
Визначення: СМО з відмовами – це система, в якій заявка, що надійшла в момент, коли всі КО зайняті, отримує відмову в обслуговуванні, покидає СМО й губиться.
Параметри СМО-1 :
Параметрами СМО-1 , (що визначають ймовірності Pk ) , є :
1)К = 0, 1, 2, . . . ,n – число КО (каналів обслуговування).
2) , - інтенсивності вхідного й вихідного потоків.
Показники ефективності СМО-1:
1) Рвідм .- критерієм ефективності будь-якої СМО є ймовірність відмови в обслуговуванні Рвідм,, через яку визначаються всі інші ПЕ.
За визначенням для СМО-1 відмова в обслуговуванні чергової заявки відбудеться у випадку, коли всі n КО будуть зайняті обслуговуванням заявок, що надійшли раніше. , тобто – коли k = n. Підставимо в формулу із (*) замість k → n й отримаємо ймовірність відмови:
( Формула табульована.
Див. Сборник таблиц [ 3 ] стр. 144 табл. № 22 ).
Ймовірність відмови можна отримати й з табл. № 21, поклавши k = n ).
2) Ймовірність обслуговування (відносна продуктивність СМО):
3) Абсолютна продуктивність СМО-1:
4) Середнє число зайнятих КО ( каналів обслуговування) :
та
звідки .
6) Середній час простою КО :
Приклади СМО-1:
Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги й необмеженим часом очікування в черзі. ( СМО-2)
Визначення: СМО-2 – СМО з обмеженим числом місць в черзі, в якій заявка, що надійшла в момент, коли всі КО зайняті, ставиться в чергу й очікує обслуговування до того часу, поки не буде обслугована. Якщо в момент надходження заявки всі КО й всі місця в черзі зайняті, то заявка отримує відмову в обслуговуванні, покидає СМО й губиться.
Параметри СМО-2
Параметрами СМО-2 , (що визначають ймовірності Pk , Pn+l ) , є :
k, n, , , m..
Показники ефективності СМО-2:
1) Рвідм .- критерієм ефективності будь-якої СМО є ймовірність відмови в обслуговуванні, із якої визначаються всі інші ПЕ. Тут Рвідм = Pn+m . Це легко отримати з формули для Pn+l , поклавши l = m, тобто випадок, коли всі місця в черзі зайняті й нова заявка з цієї причини отримає відмову в обслуговуванні.
Інші ПЕ СМО-2
2), 3), 4), 5), 6) - аналогічні
ПЕ СМО з відмовами (СМО-1).
Приклади СМО-2:
Функціонування паромної переправи й т.ін.
Багатоканальна СМО з обмеженим часом очікування в черзі й необмеженою довжиною черги ( СМО-4)
Визначення: СМО-4 – це така СМО, в якій заявка, що надійшла в момент, коли всі КО зайняті, ставиться в чергу й очікує обслуговування впродовж деякого випадкового часу Точ , із середнім значенням . Якщо заявка за цей час не буде прийнята на обслуговування, то вона вибуває з СМО й губиться.
При цьому інтенсивність залишення однією заявкою черги дорівнює заяв./од. часу. Якщо в черзі знаходиться “k” заявок, то інтенсивність залишення ними черги буде в “k” разів більшою й складе заяв./од. часу.
Параметри СМО-4 :
Параметрами СМО-4 , (що визначають ймовірності Pk, де довжина черги l ) , є: k, n, , , , l.
Показники ефективності СМО-4:
( Таблиця № 19 , стор. 130 )
Інші ПЕ СМО-4 2), 3), 4), 5), 6) аналогічні ПЕ СМО з відмовами (СМО-1).
Приклади СМО-4:
Функціонування вогневих засобів з великою дальністю дії.
1.2. Підготовка даних та введення їх в ПЕОМ для вирішення розрахункових задач за допомогою табличного процесора.
1.2.1. Завдання на дослідження ефективності операцій з використанням моделей СМО з відмовами.
Підготовка ПЕОМ до рішення задачі:
(С:\ Inform\ Smo\ Smo_otk.xls, Smo_123.xls).
- завантажити систему програмування :
- завантажити файл із потрібною програмою:
а) Файл \ Відкрити...з'явиться вікно “Відкрити”.
б) Указати книгу з програмами СМО ( Наприклад, “СМО-1” ).
Призначення програм:
*.) Smo_123.xls - СМО з відмовами;
Smo_123.xls - СМО з обмеженою кількістю місць у черзі;
Smo_123.xls - СМО з обмеженим часом чекання;
(Smo_otk.xls - багатоканальна система з відмовами)-приклад.
д) Запустити обрану програму на виконання
(Опція меню “Запуск”).
Формулювання задачі
Ділянка переднього краю, що обороняється n підрозділами, може бути атакований протягом однієї години в середньому до танками супротивника. По досяжності і за умовами місцевості танки можуть бути уражені будь-якими вогневими засобами що обороняються. Середній час поразки одного танка одним підрозділом складає tобс години. Танки, що з'являються в зоні вогню в момент, коли усі вогневі засоби зайняті обстрілом проходять зону неураженими.
Виконати наступні розрахунки :
1. Розрахувати основні показники ефективності СМО при наступних значеннях параметрів : n=6 підрозділів; =30 танків / година;
tобс =0,1 година.
2. Визначити кількість каналів n , при якому забезпечується імовірність обстрілу (обслуговування) будь-якої мети Робс не нижче заданої Ртреб для чого :
- прорахувати кілька варіантів задачі при умовах
=30 танків / година; tобс =0,1 година ; n=var ;
- побудувати по отриманим даним графік залежності
Робс = f (n);
- визначити за графіком значення для Ртреб =0,7 ; 0,8 ; 0,9.
3. Вибрати вогневі засоби ( по швидкодії), при використанні яких досягається імовірність відмовлення в обслуговуванні Ротк не більш заданої, для чого:
- прорахувати кілька варіантів задачі при умовах
=30 танків / година; n=6 підрозділів (каналів);
tобс = var ; (tобс =0,05; 0,1; 0,2).
- побудувати по отриманим даним графік залежності
Ротк = f () , де =1/ tобс ;
- визначити за графіком значення , при яких виконуються
умови Ротк <= 0,05; 0,02 .
4. Визначити кількість цілей у годину ( інтенсивність (щільність) потоку заявок), що можуть бути обстріляні при заданих значеннях n, і Ротк , для чого:
- прорахувати кілька варіантів задачі при умовах
n=6 підрозділів, tобс =0,1 година , Ротк =0,05,
= var ; (=20; 30; 40; 50).
- за результатами розрахунків побудувати графік залежності Ротк = f () ;
- визначити за графіком значення , що досягається при
зазначених умовах.
1.2.2. Завдання на дослідження ефективності операцій з використанням моделей СМО з обмеженою кількістю місць у черзі.
Формулювання задачі
Для переправи частини через водяну перешкоду виділено n поромів. До переправи підходить у середньому одиниць техніки в годину. Середній час переправи однієї машини кожним поромом tобс хв. Одночасно кожен пором може переправляти тільки одну машину. Виходячи з умов безпеки в черзі на переправу може знаходитися не більш m машин.
Виконати наступні розрахунки :
1. Розрахувати основні показники ефективності СМО при наступних значеннях параметрів: n=2 поромам; =20 машин/година ; tобс =0,1 година ; m=3 машинам;
2. Визначити кількість поромів , що забезпечує переправу техніки частини з імовірністю Ротк не більш заданої, для чого: - прорахувати кілька варіантів
задачі при =20 машин/година ; tобс =0,1 година ; m=3 машинам; n=1, 2, ..
- побудувати графік залежності Ротк = f (n);
- визначити за графіком необхідне значення n.
1.2.3. Завдання на дослідження ефективності операцій з використанням
моделей СМО з обмеженим часом чекання
обслуговування (обмеженим перебуванням на обслуговуванні )
Формулювання задачі :
Механізована(танкова) бригада, що займає оборону, може піддатися удару повітряного супротивника з одного напрямку. Середня очікувана інтенсивність нальоту СВН супротивника = 8 літаків у хвилину. Бригада прикривається з повітря підрозділом ПВО в складі
n = 8 однотипних зенітних комплексів. Середній час обстрілу одного літака tобс = 0,5 хв . Час перебування літака в зоні обстрілу засобів ПВО t ож = 1 хв. Імовірність поразки літака зенітним комплексом
R = 0,8 .
Потрібно :
1. Визначити на основі розрахунків показників ефективності СМО,
який варіант побудови ПВО бригаді доцільніше:
- в один ешелон зенітних комплексів (8 ЗК у лінію);
- у два ешелони зенітних комплексів (по 4 ЗК у кожнім ешелоні).
2. Змінюючи , n , , R (у розумних межах , на вибір дослідника)
побудувати графіки залежностей показників системи ПВО полку Рпр (Рнпр ) - ймовірностей проходу (непроходу) цілями зони ПВО від параметрів СМО .
3. Зробити висновки за результатами дослідження .
2. Дослідження ефективності операцій із застосуванням моделей СМО з відмовами і очікуванням.
2.1. Приклад дослідження ефективності операцій із застосуванням моделей СМО з відмовами і очікуванням.
Постановка завдання
У штабі для виконання операції по прийому й обробці повідомлень від розвідувальних груп виділені три офіцери . Розвідувальні групи діють таким чином, що їхні повідомлення губляться, якщо вони надходять у моменти часу, коли всі виділені офіцери зайняті обробкою інших повідомлень.
Обробка повідомлення полягає в його одержанні, вивченні, нанесенні
даних повідомлення на робочу карту й записи в робочий зошит. Середній час обробки повідомлення одним офіцером 12 хв. Кожний з офіцерів може приймати й обробляти повідомлення від будь-якої розвідгрупи. Інтенсивність (щільність) потоку повідомлень становить 15 повідомлень у годину.
Перед групою офіцерів поставлене завдання - обробляти не менш 95% вступних повідомлень. Досвід показав, що група з 3-х офіцерів не справляється з поставленим завданням.
Виникла необхідність дослідження зазначеної операції з метою з'ясування граничних можливостей групи офіцерів по обробці повідомлень.
Таким чином, тут
Операція - обробка повідомлень.
Мета операції - обробити не менш 95% вступних повідомлень.
Завдання дослідження операцій - виявлення граничних можливостей виділеної групи офіцерів по обробці повідомлень від розвідувальних груп.
Т.ч. потік повідомлень - випадковий і час обробки повідомлення -випадковий, тобто
Критерій ефективності операції - імовірність того, що оброблено буде
не менш 95% вступних повідомлень.
( Робс>=0,95)
З погляду ТМО досліджувана система функціонує як СМО з відмовами, де
n = 3 - кількість обслуговуючих каналів;
= 15 дон / година - інтенсивність потоку заявок;
t.обс. = 0,2 година - середній час обслуговування одного повідомлення;
= 1 / t обс. = 5 дон / година - середня продуктивність одного каналу
(офіцера)
Таким чином, моделлю досліджуваної операції може служити аналітична модель системи масового обслуговування з відмовами, а розрахунок обраного критерію ефективності операції може бути зроблений по формулі Ерланга
, де
n=3;
Висновок № 1. Група в кількості 3 може обробити лише 65,4%
Доповідь НШ повідомлень.
Показати рішення завдання по “Збірник таблиць для імовірнісних
розрахунків у дослідженні операцій”.
(Табл.№ 22, стор.144)
Отримані результати дають підставу для перегляду складу групи, що обробляє розвіддонесення.
Зробимо це за допомогою цієї ж моделі, але вже із застосуванням ПЕОМ.
Тут викладач може або показати рішення на ПЕОМ
(відпрацьовування питання “уведення даних у ПЕОМ” ) або відразу об’явить результати.
n=4 n=5 n=6
Висновок № 2. Тільки при n=6 група може обробляти біля Доповідь НШ 95% вступних повідомлень.
Питання Пропускна здатність СМО ?
Номінальна Реальна
Модель показала :
Дурний n=6; =15 n=6; =15
начальник tобс=0,2; =5 tобс=0,2; =5
уважає ПЗ=6 5=30 дон / година ПЗ= 95% від 15
т.ч. 15 дон / година
Висновок № 3.
Доповідь НШ Реальна пропускна здатність СМО при випадковому потоці заявок значно нижче номінальної.
Питання : Як вирішити проблему збору розвіддонесень у штабі при досліджених умовах?
а) Збільшити n=3 n=6.
б) Впровадження засобів автоматизації (+ комп'ютерів).
2.2. Практичне проведення дослідження ефективності операцій із застосуванням моделей СМО з відмовами і очікуванням
Виконується самостійно під керівництвом викладача,
використовуючи
1). Індивідуальне завдання слухачам на практичне заняття 2/8.
2). Протокол звіту з переліком і послідовністю питань, що відпрацьовують.
Задача 1. СМО з відмовами (smo-otk.bas)
Формулювання задачі (див. Індивід. завдання тема 2/8).
Виконання розрахунків
1.1. Визначення основних показників ефективності СМО
Вихідні дані: Результати розрахунків:
=30 танк/година; Ротк =________
=10 танк/година; Робс =________
n=6. q = ________
А = ________
1.2. Визначення кількості каналів обслуговування (n), при якому забезпечується Робс не менш заданої величини Ртреб= ( 0,7; 0,8; 0,9)= Робс.
Вихідні дані: Ротк = ( 0,3; 0,2; 0,1).
=30;
=10;
n=var (2,4,6,8).
Результати розрахунків:
|
n |
Ротк |
Робс |
А |
|
2 |
|||
|
4 |
|||
|
6 |
|||
|
8 |
до 1.2. Побудова графіка Робс = f (n).
Висновки:_________________________________________________
___
_______________________________________________________________
___________________________________________________________________
1.3. Визначення основних характеристик СМО при зміні значення часу обслуговування каналу, що забезпечують виконання умов
Ротк <= Рзад . (Рзад = 0.05; 0.02).
Вихідні дані:
=30;
n= 6;
=var (5,10,15,20).
Результати рішення
|
tобс |
|
Ротк |
Робс |
А |
|
0,2 |
5 |
|||
|
0,1 |
10 |
|||
|
0,666 |
15 |
|||
|
0,05 |
20 |
до 1.3. Побудова графіка Ротк = f ()
Висновки: Ротк <= 0.05 досягається при =_______________
Ротк <= 0.02 досягається при =_______________
1.4. Визначення інтенсивності (щільності) потоку заявок, що можуть бути обслуговані при заданих n , tобс , Ротк.
|
n=6 |
|
Ротк |
|
tобс= 0,1 година ( =10 ) |
20 |
|
|
Ротк=0,05 ; 0,1 |
30 |
|
|
= var (20, 30, 40, 60 ) |
40 |
|
|
60 |
до 1.4. Побудова графіка Ротк = f ()
Висновки:_________________________________________________________
_________________________________________________________
Задача 2. СМО з обмеженою кількістю місць у черзі (smo-ogrm.bas)
Формулювання задачі (див. Індивід. завдання тема 2/8).
Виконання розрахунків
2.1. Визначення основних показників ефективності СМО
Вихідні дані: Результати розрахунку
n=2; Ротк =________
=20; Робс =________
tобс= 0,1 (=10); А = ________
m=3 q = ________
2.2. Визначення кількості поромів, що забезпечують переправу техніки частини з імовірністю Ротк не більш заданої Ртреб (Ротк =Ртреб=0,05).
Вихідні дані: Результати розрахунку:
|
=20 |
n |
Ротк |
Робс |
|
tобс= 0,1 ( =10 ) |
1 |
||
|
m=3 |
2 |
||
|
n = var (1,2,3,4) |
3 |
||
|
4 |
до 2.2. Побудова графіка Ротк = f (n)
Висновки:_______________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Задача 3. СМО з обмеженим часом чекання в черзі
( smo-pvo.bas)
Формулювання задачі (див. Індивід. Завдання тема 5/6).
Виконання розрахунків
3.1. Визначення ефективності СМО при побудові ППО полку в один ешелон ЗК.
Вихідні дані: Результати розрахунку:
=8 цілей/хв; Ротк =_________
=2 цілей/хв; Робс = _________
= 1 цілей/хв; q = _________
к=1 ешелон; А = _________
n =8 ЗК; Рпор = Робс R = __________
R=0,8. Рпрох = 1 - Рпор = __________
Висновок: При побудові ППО бригади в один ешелон (лінію ЗК)
частка пропущених цілей складає _____ %.
3.2. Визначення ефективності СМО при побудові ППО бригади в два ешелони ЗК
1 варіант: 4 ЗК - 1 ешелон + 4 ЗК - 2 ешелон
Вихідні дані: Результати розрахунку для 1-го ешелону :
1 =8 цілей/хв; Р1отк = ___________
=2 цілей/хв; Р1обс = ___________
=1 цілей/хв; Р1пір = Р1обс R1 = _____________
к =2 ешелони; Р1прох = 1 - Р1пір = _____________
n1 =4 ЗК; Результати розрахунку для 2-го ешелону :
R1=0,8; 2 = 1Р1 прох = __________
n2=4 ЗК; Р2отк = __________
R2=0,8. Р2 обс = __________
Р2пір = Р2обс R2 = _____________
Р2прох= 1 - Р2пір = _____________
Підсумкові результати 1-го варіанта :
Р1,2прох = Р1прох Р2прох = __________
Р1,2пір = 1 - Р1,2прох = ______________
2 варіант: 5 ЗК - 1 ешелон + 3 ЗК - 2 ешелон
Вихідні дані: Результати розрахунку для 1-го ешелону :
1 =8 цілей/хв; Р1отк = ___________
=2 цілей/хв; Р1обс = ___________
=1 цілей/хв; Р1пір = Р1обс R1 = _____________
к =2 ешелони; Р1прох = 1 - Р1пір = _____________
n1 =5 ЗК; Результати розрахунку для 2-го ешелону :
R1=0,8; 2 = 1Р1 прох = __________
n2=3 ЗК; Р2отк = __________
R2=0,8. Р2 обс = __________
Р2пір = Р2обс R2 = _____________
Р2прох= 1 - Р2пір = _____________
Підсумкові результати 2-го варіанта :
Р1,2прох = Р1прох Р2прох = __________
Р1,2пір = 1 - Р1,2прох = ______________
3 варіант: 3 ЗК - 1 ешелон + 5 ЗК - 2 ешелон
Вихідні дані: Результати розрахунку для 1-го ешелону :
1 =8 цілей/хв; Р1отк = ___________
=2 цілей/хв; Р1обс = ___________
=1 цілей/хв; Р1пір = Р1обс R1 = _____________
к =2 ешелони; Р1прох = 1 - Р1пір = _____________
n1 =3 ЗК; Результати розрахунку для 2-го ешелону :
R1=0,8; 2 = 1Р1 прох = __________
n2=5 ЗК; Р2отк = __________
R2=0,8. Р2 обс = __________
Р2пір = Р2обс R2 = _____________
Р2прох= 1 - Р2пір = _____________
Підсумкові результати 3-го варіанта :
Р1,2прох = Р1прох Р2прох = __________
Р1,2пір = 1 - Р1,2прох = ______________
Загальний висновок з ефективності системи ППО бригади: ________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
В. ДО ЗАКЛЮЧНОЇ ЧАСТИНИ:
при підведенні підсумків заняття викладач звертає увагу слухачів на те, що висока ефективність рішення військово-професійних задач у сучасний час неможлива без використання у військах ПЕОМ, прикладом застосування методів дослідження операцій є постановка й рішення задач методами теорії масового обслуговування;
далі викладач дає завдання на самопідготовку.
ЗАВДАННЯ СТУДЕНТАМ
А. З ТЕОРЕТИЧНОЇ ПІДГОТОВКИ:
повторити основні поняття щодо використання СМО для оцінки ефективності операції.
НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
– Матеріали заняття за темою 2.8 (Pz2_8prcmo.doc, ІндЗавдСМО.doc).
Б. ВИКОНАТИ ПРАКТИЧНО:
провести розрахунки згідно з файлами primer2_8.doc, ІндЗавдСМО.doc, prot2_8.doc, smo_123.xls, smo-otk.xls, дослідження ефективності операцій із застосуванням моделей СМО з відмовами і очікуванням. Зробити аналіз результатів, поліпшення плану, навести приклад використання отриманих результатів при обґрунтуванні рішення.
НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
Старший викладач
доцент В.К. ПЕТРОВ
Потік заявок на обслуговування з інтенсивністю λ
Потік обслуговуваних заявок з інтенсивністю μ
СМО у складі n каналів
обслуговування
λ
μ
Рис. 2
S0
S1
,
.
…
S0
S1
S2
Sk
Sn
λ
λ
λ
λ
λ
λ
μ
μ
3μ
kμ
(k+1)μ
nμ
Рис. 1
…
λ
λ
λ
nμ
λ
nμ
nμ
λ
λ
nμ
nμ
λ
S0
S1
Sn
Sn+1
Sn+m
Sn-l
Рис. 1.
λ
…
…
…
…
…
…
μ
2μ
nμ
(1)
S0
S1
Sn
Sn+1
Sn+
S2
Черги немає
λ
μ
2μ
3μ
nμ
…
nμ+
nμ+2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
nμ+l
nμ+(+1)
…
…
…
…
…
n
0
8
6
4
2
Робс
0.75
0.5
0.25
0
20
10
15
5
Ротк
0.3
0.2
0.1
0
60
40
20
Ротк
0.15
0.1
0.05
n
0
3
2
1
Ротк
0.3
0.2
0.1
4