Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема: Операції над множинами. Потужність множин. Формула
включень та виключень.
Мета: ознайомити студентів з основними операціями над
множинами, навчити зображати їх на діаграмах Ейлера-
Вена; сформувати вміння доводити основні закони різними
cпособами; навчити використовувати формулу
включень та виключень для розв'язування задач.
План
виключень.
Операції над множинами.
1. Для наочного зображення операцій будемо використовувати діаграми Вена, в яких круги зображають множини, що беруть участь в операції, а заштрихована частина – результат операції.
Означення:
1.Об’єднанням множин А і В(позначається АВ) є множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які входять до складу хоча б однієї з цих множин (або до А, або до В, або до А і В одночасно).
АВ={х:хА або хВ}.
А В
АВ (мал.1)
Приклад 1.
Нехай дані множини А={a,b,m}, B={m,c,p} тоді їх об’єднання АВ={a,b,c,m,p}.
2.Перетином множин А і В (позначається АВ) називається множина, що містить тільки елементи, які належать А і В одночасно.
АВ={х: хА і хВ}
А В
АВ(мал.2)
Приклад 2.
А={1,2,3,4,5}, B={1,3,5,7,9} то АВ ={1,3,5}
Нехай Р- множина всіх парних натуральнихчисел Н- множина всіх непарних чисел, то РН=N множина натуральнихчисел.
3.Різницею множин А і В(позначається А\В)називається множина, що складається з тих елементів множини А, що не належать множині В.
А\В={х:хА і хВ}.
Різниця не є комутативною операцією А\В≠В\А, А\В=А
А В
А\В (мал.1)
Приклад 3.
А={1,2,4,6,7} B={2,3,4,5,6}, то А\В={1,7}, B\A={3,5} .
Нехай U– універсальна множина.
4.Доповнення до множина А (позначається) називається множина всіх елементів, що не належать А ( але належать U), тобто =U\A.
А
(мал.4)
5.Симетричною різницею множина А і В називається множина АВ = (А\В)(В\А). (або позначається А∆B=(А\В)(В\А))
Приклад 4. А={1,2,3}, B={3,4,5}, то АВ={1,2,4,5}
1,2 3 4,5
А В
АВ (мал.5)
Операції об’єднання перетину, доповнення, часто називають булевими операціями над множинами.
Приклад 5. A={nN:n ≤ 11}, B={n N: число n – парне і n ≤ 20} і Е={nN, n парне}.
АВ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20}
АВ={0,2,4,6,8,10}
А\В={1,3,5,7,9,11}
В\А={12,14,16,18,20}
АВ={1,3,5,7,9,11,12,14,16,18,20}
Крім того
ЕВ=В, В\Е=Ø
Е\В={nN:n– парне і n ≥ 22} ={22,24,26,28,30,32…},
А E={1,3,5,7,9,11}{ n N: число n – парне і n ≥12}= ={1,3,5,7,9,11,12,14,16,18,20,22}.
Ми маємо достатньо операцій, щоб створювати складні алгебраїчні вирази. Для цього необхідно визначити, який пріоритет мають операції одна відносно одної. Пріоритет операції над множинами такий: – , , , \.
Властивості операцій над множинами
2. Операції над множинами володіють рядом властивостей, похожих на властивості операції додавання і множення чисел. Розглянемо закони, справедливі для будь-яких множин A,B,C.
1) АВ=BA
АВ=BA – комутативний (переставний) закон для операцій об’єднання і перетину.
2) A (BC)=( АВ)C
А( BC)=( АB)C – асоціативний.
3) A( BC)=( АВ)(AC)
А( BC)=( АB)(AC) – дистрибутивний.
4) властивості порожньої та універсальної множини :
AØ=А АU=A
AU=U AØ=Ø
5)=
=– де Моргана
6) А( АВ)=А
A( АB)=А –поглинання
7) А=U – виключення третього
8) А=Ø – протиріччя
9)=A – інволюції
10) АA=A , АA=A –ідемпотентності.
Усі наведені тотожності можна наочно зобразити і довести використовуючи діаграми Ейлера-Вена.
Приклад 6. Довести за допомогою діаграми Вена дистрибутивний закон А( BC)=( АB)(AC).
Проілюструємо на діаграмі ліву частину тотожності, виконавши спочатку об’єднання множин В і С, а потім перетин (мал.6).
А В А В
С С
BC А( BC)
(мал. )
Тепер побудуємо діаграму для правої частини тотожності.
А В А В А В
С С С
( АB) (AC) ( АB)(AC)
( мал. )
Як бачимо праві діаграми на малюнках 6,7 співпадають, отже ця тотожність справедлива.
Покажемо тепер це на конкретних множинах.
Нехай U={a,b,c,d,e}
А={a,b}, B={a,c,d}, C={b,c,d,e}
Тоді А( BC)={a,b}({a,c,d}{b,c,d,e})={a,b}{a,b,c,d,t,}={a,b}
( АB) (AC) =({a,b}{a,c,d})({a,b}{b,c,d,e})={a}{b}={a,b}
Приклад 7. Спростити вираз
Ø .
Додатково :
A B A B A B
C C C
( АВ)\C
(мал. )
Покажемо, що ()
А В А В
АВ
(мал. )
А В А В А В
( мал. 10)
Потужність множин. Формула включень та виключень.
3.Означення:
Число елементів в скінченій множині А називається її потужністю і позначається .
Формула включень та виключень.
Нехай А,В –задані множини, то
або (1)
Якщо задані три множини:А,В,С, то формула набуде вигляду:
або
(2)
Задача.
У відділі науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожен з них знає хоча б одну іноземну мову. 6 –знають англійську мову,
7 – французьку, 6–німецьку; 4 – англійську і німецьку, 3 – німецьку і французьку, 2 – французьку та англійську, 1– знає всі мови. Скільки з них знає тільки англійську, тільки німецьку, тільки французьку; ?
Розв’язання:
Нехай:
n(A)=6 –знають англійську мову
n(B)=7 –знають французьку мову
n(C)=6 – знають німецьку мову
n()=4 – англійську і німецьку
n()=2 – англійську і французьку
n()=3 – німецьку і французьку
n()=1– знає всі три мови
=6+7+6–2–4–3+1=11 – ті, хто знає хоча одну мову.
– англійська
– німецька – французька.
Цю задачу можна розв’язати використовуючи діаграму Ейлера-Вена:
A B
1
1 1 3
3 2
C
0
Запитання для самоперевірки.
Література