Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки УКРАИНЫ
ЗАПОРОЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
по дисциплине “Эконометрия”
для студентов дневной и заочной форм обучения
специальностей:
7.050107 «Экономика предприятий»;
7.050104 «Финансы»;
7.050201 «Менеджмент организаций»;
7.050102 «Экономическая кибернетика»;
7.050103 «Международная экономика»;
7.050106 «Учет и аудит»
Методическое пособие по дисциплине “Эконометрия” часть 1 – «Статистические оценки и тесты в экономических моделях», часть 2 – «Анализ динамических рядов и кластерный анализ» для студентов дневной заочной форм обучения специальностей: 7.050107 “Экономика предприятий; 7.050104 “Финансы и кредит”; 7.050102 “Экономическая кибернетика”; 7.050106 “Учет и аудит”; 7.050103 “Международная экономика”; 7.050201 “Менеджмент организаций”. / сост. к.э.н., доц. Двигун А.А., к.ф.-м.н., доц. Гнеушев А.А., к.т.н. –Запорожье.: ЗИЭИТ, 2003 г., - с.
Составители:
к.э.н., доцент Алла Александровна Двигун,
к.ф.-м.н., доцент Александр Николаевич Гнеушев
Обсуждены на заседании
кафедры экономики предприятия и международной экономики
протокол № ____________
от “___” __________ 2003 г.
зав. Кафедрой ________________
к.э.н., доц. А.А. Двигун
Содержание
Эконометрия сочетает две области знаний – экономическую теорию и статистику и применяет математические методы к рядам экономических данных. Изучение эконометрии дает обзор эконометрических моделей, важнейших методов оценки параметров и тестирования гипотез. Знания, полученные при ее изучении, позволяют интерпретировать результаты экономических исследований, а также определять формы и типы эконометрических моделей, позволяющие получить наиболее эффективную помощь при принятии решений.
а) Линейная регрессионная модель состоит из двух основных частей:
Для нее характерно то, что ее регрессоры (независимые переменные) не случайные (детерминированные) величины. Однако эта предпосылка не выполняется для многих прикладных моделей, поэтому в группу регрессоров включают стохастические величины и рассматривают обобщенные классические модели. При этом объект исследования представляют регрессионной функцией:
, (1.1)
где Y – регрессанд, X1, X2, …, XК – регрессоры, U – случайные переменные.
Для реализации случайных переменных Yt и Ut уравнение (1.1) примет вид:
(1.2)
Чтобы статистически оценить параметры регрессионной модели, необходимы ряды данных длиной Т для регрессандов (Y) и для каждого из К регрессоров (переменных Х). При этом длина рядов наблюдений должна быть больше количества регрессоров (T>K). Длина временных рядов образует опорный (базовый) период. Для наблюдаемых в моменты времени t=1, 2, …, T значений можно записать Т уравнений регрессии:
, (1.3)
где
(1.4)
Вектор наблюдений Y и матрица наблюдений Х образуют матрицу данных D.
(1.5)
Она содержит все данные, необходимые для статистической оценки вектора коэффициентов регрессии и прочих параметров модели.
б) Метод оценки регрессионных коэффициентов , в котором применяется сумма квадратов ошибок как мера качества адаптации эмпирической функции к наблюдаемым данным, называется одношаговым методом наименьших квадратов (1-МНК). Ошибка уравнения для t-го наблюдения равна:
(1.6)
Тогда сумма квадратов ошибок для Т наблюдений имеет вид:
(1.7)
или
Дифференцируя по , получим, с учетом необходимого условия существования минимума ():
, (1.8)
где - вектор коэффициентов регрессии минимизирующий ; выражение (1.8) называется системой нормальных уравнений. Домножив слева равенство (1.8) на обратную матрицу , получим формулу для вычисления вектора 1-МНК оценок для :
(1.9)
Порядок расчетов по формуле (1.9) может быть следующим:
Подставив в оцениваемое уравнение, получим оцененную с помощью 1-МНК эмпирическую регрессионную функцию:
(1.10)
Эмпирический коэффициент определяет количество единиц, на которое изменится при изменении XK на единицу при прочих равных условиях.
Все Т значения – прогноз величины Y (величины ее математического ожидания) образуют вектор :
(1.11)
Тогда 1-МНК оценщик вектора возмущений u имеет вид:
(1.12)
Важной характеристикой регрессионной модели является дисперсия возмущений . Ее величина должна быть как можно меньше. 1-МНК оценщик для можно вычислить по одной из формул:
(1.13)
(1.14)
где - сумма квадратов ошибок; - количество степеней свободы; - сумма общих квадратов.
Для t – тестирования гипотез по отдельным коэффициентам регрессии и их линейным комбинациям необходимо знать элементы ковариационной матрицы. Ковариационная матрица для , оцененная методом 1-МНК, может быть представлена следующим образом:
(1.15)
На главной диагонали оцененной ковариационной матрицы , k-ый элемент является 1-МНК оценщиком дисперсии k-го коэффициента , а элемент , расположенный вне диагонали, является 1-МНК оценщиком ковариации между и . Наиболее желательными являются, по возможности, узкие доверительные и прогнозные интервалы. И, как следствие, меньшие оцененные дисперсии и ковариации.
Можно показать, что 1-МНК обеспечивает в классической регрессионной модели многие желательные статистические свойства оценщика (линейность, несмещенность, состоятельность и др.). Поэтому этот метод является оптимальным методом оценки классической регрессионной модели. Однако эта модель мало подходит для реальных экономических и социальных исследований. Следовательно, 1-МНК теряет ряд своих свойств при отклонении условий от лабораторных. Но классическая модель и относящиеся к ней методы оценки и проверки статистических гипотез, образуют основу для развития обобщенных моделей, а также соответствующих методов их оценки и тестирования.
(– прогнозы, – прогнозы)
В формуле (1.11) для определения 1-МНК оценщика регрессанда используются временные ряды наблюдений за Т прошедших периодов, поэтому прогнозные значения полученные по формуле (1.11), являются – прогнозами. Об истинных прогнозах ( – прогнозах) регрессанда говорят тогда, когда во временных рядах прогнозный период лежит после оценочного периода. Качество прогноза будет тем выше, чем:
Значение для будущего периода, вычисленное по формуле
(2.1)
может представлять собой:
оценку математического ожидания регрессанда ;
оценка индивидуального значения регрессанда .
При этом предполагается .
Обозначим ошибку прогноза при оценке математического ожидания , а при оценке индивидуального значения регрессанда .
Тогда (2.2)
(2.3)
И оцененная дисперсия ошибки прогноза и ошибки прогноза равны:
(2.4)
(2.5)
Следовательно, оцененная стандартная ошибка для E(Yt) и для индивидуального значения yt равна:
или (2.6)
Прогнозный интервал (интервальный прогноз, доверительный интервал) величины математического ожидания регрессанда Y при уровне доверия 1–α определяется следующим образом:
– НИЖНЯЯ ГРАНИЦА:
– ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА: (2.7)
где вычисляется по формуле (2.1); берется из таблицы t-критерия (см. приложение) при уровне значимости α и числа степеней свободы вычисляется по формуле (2.6).
При интерпретации данного прогнозного интервала следует различать прогнозный интервал для случайной переменной и для ее реализации. В первом случае он накрывает (включает) математическое ожидание E(Yt) с вероятностью 1–α; во втором случае интервал может включать или не включать E(Yt). Если при этом взять большое число выборок и для каждой из них вычислить соответствующий прогнозный интервал, то эти интервалы накроют E(Yt) с вероятностью 1–α.100%.
Прогнозный интервал индивидуального значения регрессанда вычисляется по формуле (2.7), но вместо величины используется . При интерпретации также необходимо заменить E(Yt) на индивидуальное значение .
В классическом анализе предполагается, что функция регрессии известна до оценки параметров. Однако в эмпирических исследованиях прежде всего должна быть выбрана из множества вариантов уравнений наиболее адекватная регрессионная функция. Оценка с использование суммы квадратов ошибок имеет существенный недостаток, который затрудняет сравнение степени соответствия различных уравнений: отсутствует верхняя граница SFQ . Этот недостаток устраняется применением коэффициента детерминации R2.
Определение 1: Коэффициент детерминации R2 равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений: теоретическими значениями регрессанда (yt) и его расчетными значениями . При этом t=1, 2, 3, …, T.
(3.1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Коэффициент детерминации R2 равен частному от деления суммы квадратов отклонений значений регрессанда, вычисленного с помощью регрессии, от его средней арифмитической (сумма квадратов регрессии около средней) – SRQm и суммы квадратов отклонений наблюдаемого ряда регрессанда от его средней арифметической (сумма общих квадратов около средней) – SGQm.
t=1, 2, 3, …, T. (3.2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Коэффициент детерминации R2 равен единице минус частное от деления суммы квадратов ошибок и суммы квадратов отклонений выборки от средней:
(3.3)
т.к.
то SGQ=SRQ+SFQ
откуда
(3.4)
На основании (3.4) можно получить границы R2
Вторая часть методического пособия по курсу «Эконометрия» посвящена анализу динамических (временных) рядов и кластерному анализу. Изучение этих разделов способствует формированию у студентов навыков прогнозирования и классифицирования. Такие навыки будут весьма полезны в практической работе.
П.1. Динамические (временные) ряды. Особенности статистического прогноза.
Случайную величину, изменяющуюся с течением времени и принимающую те или иные значения в фиксированные моменты времени, называют динамическим рядом. Значение случайной величины в конкретный момент времени называют уровнем ряда. Таким образом, динамический ряд есть набор значений уровней, расположенных по возрастанию времени реализации. На практике динамический ряд представляет собой набор значений той или иной экономической переменной. Например, значений цены или объема продаж.
Обычно ставится задача прогноза значения экономической переменной на определенный промежуток времени (т.е. нахождения точечной и интервальной оценки величины yn+1 по известным значениям y1, y2, …yn.). Например, известен объем продаж за 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 месяц – y1 , y2 , … y7 . Необходимо сделать точечную и интервальную оценку величины y8 .
Следует отметить, что вполне корректное статистическое прогнозирование возможно лишь при выполнении условий статистической устойчивости, т.е. неизменности поведения основных факторов, влияющих на значения динамического ряда. Иначе говоря, статистический анализ динамических рядов позволяет выявить закономерные изменения значений экономических переменных и на этой основе сделать прогноз в предположении, что за время прогноза не произойдет существенных изменений в поведении факторов, определяющих значение прогнозируемой величины.
П. 2. Тренд.
Суть анализа динамического ряда заключается в разделе каждого значения уровней динамического ряда на две составляющие: закономерную и случайную. Статистическими методами выделяют закономерное поведение уровней динамического ряда и случайные отклонения относительно закономерных значений. Причем необходимо четко осознавать, что такое разделение на случайную и закономерную составляющую условно и не существует методов позволяющих абсолютно надежно провести такое разделение.
Однако, если динамический ряд имеет тенденцию к закономерному увеличению или уменьшению значений уровней ряда, то для описания закономерной составляющей рекомендуют пользоваться трендом. (Тренд в переводе и означает тенденция.) В зависимости от характера изменения динамического ряда могут быть применены различные виды тренда: линейный, степенной, экспоненциальный, логарифмический, логистический. Далее будет рассматриваться только простейший вид тренда – линейный.
Yi = a + b ti (2.1)
где: Yi - значение тренда в момент времени ti , а и b – коэффициенты линейного тренда. Истинные значения динамического ряда отличаются от тренда на величину остатка.
Li = yi - Yi = yi - a - b ti (2.2)
где: yi – текущее значение динамического ряда; ei – текущее значение остатка.
Уравнение линейного тренда совпадает с уравнением парной линейной регрессии (вместо xi - ti ). Коэффициенты тренда также как и коэффициенты уравнения регрессии рассчитывают методом наименьших квадратов.
b = (ti – t) (yi - y) / (ti – t)2 ; a = y - b t (2.3)
где: y – среднее значение уровней ряда
у = (1/n) yi (2.4)
t – среднее значение времени.
t = (1/n) ti (2.5)
П. 3. Краткосрочное прогнозирование по тренду.
Пусть известны значения динамического ряда: у1 , у2 , … уn (т.е. имеются n данных). Значение уn+1 оценивают по тренду.
yn+1 = Yn+1 = a + b tn+1 (3.1)
Однако точечный прогноз содержит недостаточно информации. Необходимо дополнить точечный прогноз оценкой возможной неточности прогноза – расчетом доверительных интервалов. Для этого необходимо найти все n величин остатков.
.ei = yi - Yi = yi - a + b ti (3.2)
Затем дисперсию остатков.
D(ei) = (1/(n-2)) (ei)2 (3.3)
Где n-2 - число степеней свободы. 2 степени свободы затрачены на расчет коэффициентов тренда a и b. Приняв допущение о том, что остатки распределены по нормальному закону, можно найти величину доверительного интервала с помощью t теста. Совершенно аналогично тому, как находили доверительный интервал для уравнения регрессии.
Доверительный интервал краткосрочного прогноза по тренду:
Нижняя граница:
Yn+1 - t s (3.4)
Где s = (D(ei))1/2 (3.5)
Верхняя граница:
Yn+1 + t s (3.6)
П. 4. Скользящее среднее.
Далеко не всегда динамический ряд имеет явную тенденцию изменения значений уровней ряда. Довольно часто встречаются ситуации, тогда значения колеблются относительно более или менее стабильного среднего уровня. В этом случае для описания поведения динамического ряда и краткосрочного прогнозирования более предпочтительными становятся методы, которые учитывают не все значения динамического ряда, а только ближайшие к интересующему нас моменту времени. Простейшим методом такого типа является метод скользящего среднего.
Скользящим средним называют среднее по предыдущим m значениям уровней динамического ряда.
i-1
Yi = (1/m ) yi (4.1)
i-m
Например, скользящее среднее по трем значениям имеет вид:
Yi = (1/3) (yi—3+ yi-2+yi-1) (4.2)
Прогноз значения y вычисляют с помощью скользящего среднего следующим образом:
n-1
yn=1 = Yn = (1/m) yi (5.1)
n-m
Доверительные интервалы прогнозирования вычисляют с помощью остатков. Остатки равны:
i-1
ei= yi - Yi = yi - (1/m) yi (5.2)
i-m
Дисперсия остатков будет равна:
D(ei ) = (1/(n-m)) (ei )2 (5.3)
Стандартное отклонение остатков
s(ei ) = (D(ei)1/2 (5.4)
Доверительный интервал краткосрочного прогноза по скользящему среднему при тех же допущениях, при которых рассчитывали доверительный интервал тренда, имеет вид.
Нижняя граница
yn - t * s (5.5)
Верхняя граница
yn + t * s (5.6)
Значение t отыскивают по методике, подробно изложенной в первой части пособия.
П. 6. Анализ остатков.
Статистическое прогнозирование можно производить различными способами. Прогноз имеет доверительный интервал, который либо удовлетворяет, либо не удовлетворяет практическим потребностям. Сравнение прогнозов, произведенных различными методами, оценка адекватности и точности модели, на основе которой сделан прогноз, производят с помощью анализа остатков.
Анализ остатков включает:
eср. = (1/n) ei (6.1)
Чем ближе к нулю среднее значение остатков, тем точнее модель описывает поведение динамического ряда в целом.
Чем меньше стандартное отклонение остатков, тем точнее модель не только в целом, но и в деталях совпадает с динамическим рядом. Ширина доверительного интервала прогноза пропорциональна стандартному отклонению. Чем меньше стандартное отклонение, тем точнее прогноз.
Автокорреляция остатков – корреляционная зависимость остатков между собой – позволяет оценить истинность разделения значений уровней динамического ряда, на закономерную и случайную составляющие. Для того, чтобы рассчитать автокорреляцию, значения динамического ряда сдвигают по времени на величину Т (Т – шаг по времени или лаг). Коэффициент автокорреляции рассчитывают как коэффициент корреляции между исходным динамическим рядом и рядом, который сдвигают по времени на величину Т. Рабочая формула для коэффициента автокорреляции.
|
rT= |
n-T ∑ li li+T – (n-T)E1E2 1 |
||||||||
|
n-T √∑ li2 1 |
Если коэффициент автокорреляции для какого -либо значения Т значим (т.е. существенно отличается от 0), то между остатками существует стохастическая зависимость. Наличие стохастической зависимости между остатками означает, что модель, выбранная для анализа и прогнозирования динамического ряда, лишь частично описывает закономерную составляющую. Поскольку случайные значения остатков не коррелируют между собой.
Гипотезу о значимости коэффициентов автокорреляции проверяют с помощью t теста. Критерий Стьюдента для коэффициента корреляции имеет вид.
.t = r (n-2)1/2 /(1-r 2 )1/2 (6.4)
Порядок проверки гипотезы подробно описан в первой части методического пособия.
Сделать краткосрочный прогноз, используя линейный тренд и скользящее среднее. Рассчитать доверительные интервалы прогноза. Провести анализ остатков каждой модели и на основе анализа отдать предпочтение той или иной модели. Исходные данные представлены в таблице 1 первой части пособия (Yt).
Шаг 1. Рассчитать коэффициенты линейного тренда.
Шаг 2. Рассчитать краткосрочный точечный прогноз по тренду.
Шаг 3. Рассчитать остатки тренда.
Шаг 4. Рассчитать стандартное отклонение остатков.
Шаг 5. Задав доверительную вероятность рассчитать верхнюю и нижнюю границу доверительного интервала прогноза по тренду.
Шаг 6. Рассчитать значения скользящего среднего при m =3 .
Шаг 7. Рассчитать краткосрочный точечный прогноз по скользящему среднему.
Шаг 8. Рассчитать остатки модели скользящего среднего.
Шаг 9. Рассчитать стандартное отклонение остатков скользящего среднего.
Шаг 10. Задав доверительную вероятность рассчитать верхнюю и нижнюю границу доверительного интервала прогноза по скользящему среднему.
Шаг 11. Сосчитать среднее значение остатков тренда и скользящего среднего.
Шаг 12. Сосчитать стандартное отклонение остатков тренда и скользящего среднего.
Шаг 13. Сосчитать коэффициенты автокорреляции тренда и скользящего среднего для Т = 1, Т=2, Т=3 и Т = 4.
Шаг 14. Проверить значимость полученных значений коэффициентов автокорреляции с помощью t – теста.
Шаг 15. На основе проведенных расчетов определить, какой из прогнозов предпочтительнее.
КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ.
Методы кластерного анализа применяют при исследовании объектов, характеристиками которых служит большое число количественных параметров. Кластерный анализ решает задачу о разбиении множества объектов на подмножества (кластеры) таким образом, чтобы объекты, принадлежащие одному и тому же кластеру, были сходными, в то время, как объекты, принадлежащие разным кластерам были заметно различными. Количественные значения параметров называют измерениями.
Пример применения кластерного анализа. Рассмотрим n стран, каждую из которых характеризуем валовым национальным продуктом на душу населения (С1), личным потреблением на душу населения (С2), потреблением электроэнергии на душу населения (С3) и т.п. Тогда Х1 (вектор измерений) представляет собой набор указанных характеристик для первой страны, Х2 – для второй страны и т. д. Задача заключается в том, чтобы разбить страны по уровню развития.
Решением задачи кластерного анализа является разбиение, удовлетворяющее некоторому критерию оптимальности. Этот критерий представляет собой некоторый функционал, выражающий уровень желательности различных разбиений и группировок. Этот функционал часто называют целевой функцией.
Решение задачи кластерного анализа основано на количественном определении понятия сходства и разнородности. Оно основано на определении расстояния между Хi и Xj . Функция расстояния (метрика или мера) – неотрицательная вещественная функция d (Xi , Xj), обладает свойствами.
1. d (Xi , Xj) > 0 для всех Xi и Xj
2. d (Xi , Xj) = 0 тогда и только тогда, когда Xi = Xj
3. d (Xi , Xj) = d (Xj , Xi)
4. d (Xi , Xj) < d (Xi , Xk) + d (Xk , Xj)
Наиболее употребительные метрики
N измерений X1, X2, … Xn могут быть представлены в виде матрицы данных размером n* p, где р – число количественных показателей.
Х = (Х1, Х2, … Хn)
Аналогичным образом могут быть выражены матрицы расстояний.
Понятием, противоположным расстоянию между Xi и Xj является понятие сходства. Неотрицательная вещественная функция S (Xi , Xj) = Sij называется мерой сходства, если
1. 0 < S (Xi , Xj) < 1 для Xi Xj
На основании анализа матрицы меры расстояния или матрицы меры сходства согласно заданному критерию оптимальности разбивают совокупность из n объектов на отдельные группы (кластеры).
Пример выполнения задания.
Задача.
Есть 2 группы предприятий, каждая группа характеризуется 8 параметрами (Хt2 и Yt см. Таблицу 1, Методическое пособие часть 1) требуется отнести предприятие параметры которого (Xt3 в той же таблице). Использовать манхеттенскую и сюпремум меры. Пояснить расхождение результатов (если они возникнут) при применении разных метрик.
Вариант 1.
Хt2 (2, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1)
Yt (2, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 3)
Xt3 (2, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2)
Шаг 1. Расстояние между двумя группами предприятий по манхеттенской норме
.d(1-2) = |2-2| + |1-3| + |2-3| + |4-4| + |2-4| + |1-5| + |2-4| + |1-3| =
= 0 + 2 + 1 + 0 + 2 + 4 + 2 + 2 = 13
Шаг 2. Расстояние между двумя группами предприятий по сюпремум- норме
.d(1-2) = sup(0, 2, 1, 0, 2, 4, 2, 2) = 4
Шаг 3. Расстояние между предприятием и первой группой предприятий по манхеттенской норме
. d(1-x) = |2-2| + |1-3| + |2-3| + |4-2| + |2-3| + | 1-1| + |2-1| + |1-2| =
= 0 + 2 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 1 = 8
Шаг 4. Расстояние между предприятием и первой группой предприятий по сюпремум – норме.
. d(1-x) = sup (0, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 1) = 2
Шаг 5. Расстояние между предприятием и второй группой предприятий по манхеттенской норме.
. d(2-x) = |2-2| + |3-3| + |3-3| + |4-2| + |4-3| + |5-1| + |4-1| + |3-2| =
= 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 4 + 3 + 1 = 11
Шаг 6. Расстояние между предприятием и второй группой предприятий по сюпремум – норме
.d(2-x) = sup (0, 0, 0, 2, 1, 4, 3, 1) = 4
Вывод: и по манхеттенской метрике ( расстояние 8 и 11) и по сюпремум-норме (расстояние 2 и 4) предприятие ближе к первой группе предприятий. Причем, расстояние между первой и второй группами предприятий и между предприятием и второй группой предприятий совпадают по сюпремум – норме (4 и 4) и близки по манхеттенской норме (11 и 13).
Литература