Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Расчетное задание для студентов
специальность 220301 - «Автоматизация технологических процессов и производств»
(заочная форма обучения)
Кинематика, динамика, законы сохранения энергии
и импульса материальной точки. Элементы теории поля
Законы вращательного движения твердого тела.
Колебания и волны. Элементы теории относительности
Основные формулы
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x
где f(t) - некоторая функция времени.
Проекция средней скорости на ось x
Средняя путевая скорость
где s - путь, пройденный точкой за интервал времени t. Путь s в отличие от разности координат x = x2-x1 не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. s 0.
Проекция мгновенной скорости на ось x
Проекция среднего ускорения на ось x
Проекция мгновенного ускорения на ось x
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
, r=R-const
Модуль угловой скорости
Модуль углового ускорения
Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
где - модуль линейной скорости; и - модули тангенциального и нормального ускорений; - модуль угловой скорости; - модуль углового ускорения; R - радиус окружности.
Модуль полного ускорения
или
Угол между полным и нормальным ускорениями
Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,
.
Второй закон Ньютона
где - результирующая сила, действующая на материальную точку.
Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
где - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);
x - абсолютная деформация;
б) сила тяжести
в) сила гравитационного взаимодействия
где - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность гравитационного поля:
г) сила трения (скольжения)
где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления.
Закон сохранения импульса
или для двух тел (i=2)
,
где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,
, или
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины
где - жесткость пружины; x - абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия
где - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии hR, где
R — радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии
Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
x = A cos(t+),
где х - смещение; А - амплитуда колебаний; - угловая или циклическая частота; - начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
= -A sin(t+); a = -A2 cos(t+).
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания
б) начальная фаза результирующего колебания
Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,
x = A1 cost; y = A2 cos(t+);
а) если разность фаз =0;
б) если разность фаз =;
в) если разность фаз =/2.
Уравнение плоской бегущей волны
где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;
- скорость распространения колебаний в среде.
Связь разности фаз колебаний с расстоянием x между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;
где - длина волны.
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z
где Мz - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; - угловое ускорение; Jz - момент инерции относительно оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
где R - радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,
где - угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,
= const,
где Jz - момент инерции системы тел относительно оси z; - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
или
Релятивистская масса
или
где mo - масса покоя частицы; - ее скорость; с - скорость света в вакууме; - скорость частицы, выраженная в долях скорости света
( = /с).
Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
или
где Ео=mос2 - энергия покоя частицы.
Полная энергия свободной частицы
Е = Ео + Т,
где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
или
Импульс релятивистской частицы
или
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с3. Найти координату х, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с.
Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:
x = (2 + 12 - 0,523)м = 0.
Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:
.
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
В момент времени t = 2 с
= (1 - 30,522) м/c = - 5 м/c;
= 6(- 0,5) 2 м/с2 = - 6 м/с2.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = A + Bt + Ct2, где A = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.
Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):
Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами
где - модуль угловой скорости тела; - модуль его углового ускорения.
Подставляя выражения и в формулу (1), находим
. (2)
Угловую скорость найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:
В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости
= [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
= 2 C = - 4 рад/с2.
Подставляя значения , и r в формулу (2), получаем
м/с = 1,65 м/с2.
Пример 3. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
(1)
где Т1 - кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения надо найти u2. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:
(2)
(3)
Решим совместно уравнения (2) и (3):
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на 1 и m1, получим
Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1 = 100г и m2 = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.
Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза
; (1)
для второго груза
(2)
Под действием моментов сил и относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,
(3)
где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.
Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):
После сокращения на и перегруппировки членов найдем
(4)
Формула (4) позволяет массы m1, m2 и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим
Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости 1, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.
Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,
Т1 + П1 = Т2 + П2, (1)
где Т1, П1 и Т2, П2 - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.
Согласно определению кинетической энергии,
Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии
По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2 станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:
Подставляя выражения Т1, П1, Т2 и П2 в (1), получаем
откуда
Заметив, что GM/R2=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде
что совпадает с выражением для первой космической скорости.
Произведем вычисления:
м/с = 7,9 км/с.
Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
const, (1)
где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;
- угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .
С учетом этого равенство (1) примет вид
(2)
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ( = 2n) и конечной угловой скорости (' = /R, где - скорость человека относительно пола):
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость
Произведем вычисления:
м/с.
Пример 7. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
где = 2/Т. Отсюда амплитуда
(1)
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде:
Fmax = kA. (2)
Коэффициент k выразим через период колебаний:
k = m2 = m42/T2. (3)
Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим
Произведем вычисления:
0,045 м = 45 мм;
Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями
где А1 = 3 см, А2 = 2 см, 1 = 1/6 с, 2 = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме
х = A cos(t+), получим
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
.
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны
Произведем вычисления:
с-1;
Изобразим векторы А1 и А2. Для этого отложим отрезки длиной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами 1 = 30о и 2 = 60о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А1 и А2: А = А1 + А2. Согласно теореме косинусов:
Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):
Произведем вычисления:
см = 4,84 см;
или = 0,735 рад.
Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде
где А = 4,84 см, = 3,14 с-1, = 0,735 рад.
Молекулярная физика. Термодинамика
Основные формулы
Количество вещества тела (системы)
= N/NA,
где N - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); NА - постоянная Авогадро
(NА = 6,021023моль-1).
Молярная масса вещества
M = m/,
где m - масса однородного тела (системы); - количество вещества этого тела.
Относительная молекулярная масса вещества
Mr = niAr,i ,
где ni - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; Ar,i - относительная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д.И.Менделева.
Связь молекулярной массы М с относительной молекулярной массой вещества
M = Mrk,
где k = 10-3 кг/моль.
Количество вещества смеси газов
= 1 + 2 + … + n = N1/NA + N2/NA + … + Nn/NA,
или
где i, Ni, mi, Mi - соответственно количество вещества, число молекул, масса, молекулярная масса i-го компонента смеси.
Уравнение Менделеева-Клайперона (уравнение состояния идеального газа)
где m - масса газа, М - молекулярная масса газа, R - молекулярная газовая постоянная, - количество вещества, Т - термодинамическая температура.
Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клайперона для изопроцессов:
а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const)
pV = const,
или для двух состояний газа
p1V1 = p2V2;
б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p=const, m=const)
или для двух состояний
в) закон Шарля (изохорный процесс: V=const, m=const)
или для двух состояний
г) объединенный газовый закон (m=const)
или
где p1,V1,T1 - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2,V2,T2 - те же величины в конечном состоянии.
Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,
р = р1 + р2 + … + рn
где pi - парциальные давления компонентов смеси; n - число компонентов смеси.
Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.
Молекулярная масса смеси газов
где mi - масса i-го компонента смеси; i = mi/Mi - количество вещества i-го компонента смеси; n - число компонентов смеси.
Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)
где m - масса смеси.
Концентрация молекул
где N - число молекул, содержащихся в данной системе; - плотность вещества; V - объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.
Основное уравнение кинетической теории газов
p = n п,
где п - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
п = kT,
где k - постоянная Больцмана.
Средняя полная кинетическая энергия молекулы
i = kT,
где i - число степеней свободы молекулы.
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p = nkT.
Скорости молекул:
- средняя квадратичная;
- средняя арифметическая;
- наиболее вероятная,
где mi - масса одной молекулы.
Относительная скорость молекулы
u = /B,
где - скорость данной молекулы.
Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (сv) и постоянном давлении (cp)
Связь между удельной с и молекулярной С теплоемкостями
с = С/М, С = сМ.
Уравнение Майера
Сp – Cv = R
Внутренняя энергия идеального газа
Первое начало термодинамики
где Q - теплота, сообщенная системе (газу); U - изменение внутренней энергии системы; А - работа, совершенная системой против внешних сил.
Работа расширения газа:
в общем случае;
A = p(V2-V1) при изобарном процессе;
при изотермическом процессе;
, или
при адиабатном процессе, где = сp/cv - показатель адиабаты.
Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:
Термический КПД цикла
где Q1 - теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; Q2 - теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.
Термический КПД цикла Карно
где T1 и T2 - термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.
Коэффициент поверхностного натяжения
или
где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости; Е - изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади S поверхности этой пленки.
Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:
где R - радиус сферической поверхности.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
где - краевой угол ( = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; = при полном несмачивании); R - радиус канала трубки; - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.
Высота подъема жидкости между двумя близкими параллельными друг другу плоскостями
где d - расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой г и азота массой г.
Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси :
. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:
.
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:
.
Подставив в формулу (1) выражения и , получим
. (2)
Найдем молярные массы кислорода и азота :
кг/моль; кг/моль.
Подставим значения величин в (2) и произведем вычисления:
кг/моль =
= кг/моль.
Пример 2. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода
. (1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
. (2)
Число всех молекул газа
, (3)
где – постоянная Авогадро; – количество вещества.
Если учесть, что количество вещества , где m – масса газа; М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид
.
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
. (4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода кг/моль:
Дж Дж;
Дж Дж.
Пример 3. Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют и . Значения удельных теплоемкостей газов взять из справочника.
Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами:
, (1)
, (2)
где – удельная теплоемкость неона; – удельная теплоемкость водорода.
Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на , получим . Отсюда
,
или
,
где и .
Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
.
Произведем вычисления:
=
;
=
.
Пример 4. Кислород массой кг занимает объем
и находится под давлением МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема м3, а затем при постоянном объеме до давления МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
Решение. Изменение внутренней энергии газа
, (1)
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i=5); – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона , откуда
.
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой
.
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:
.
Следовательно, полная работа, совершаемая газом,
.
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы A:
.
Произведем вычисления, учтя, что для кислорода
кг/моль:
K =
= 385 K;
K =
= 1155 K;
K =
= 2887 K;
Дж Дж МДж;
Дж = 3,24 МДж
МДж МДж.
Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой кг при температуре К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением
, или ,
где – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; .
Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:
.
Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле
,
где – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
, или ,
где .
Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа , и кг/моль:
К К.
Так как (находится логарифмированием), то
К К;
Дж кДж;
Дж кДж.
Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.
График процесса приведен на рис. 5.
Пример 6. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика К. Определить термический КПД цикла и температуру теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
.
где – теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.
Зная КПД цикла, можно по формуле определить температуру охладителя :
.
Произведем вычисления:
; К К.
Пример 7. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?
Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление
,
где r – радиус пузыря. Так как , то
.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на , выражается формулой
, или .
В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая , получаем
.
Произведем вычисления:
Па Па;
Дж Дж мДж.
Таблица вариантов заданий
Вариант |
Номер задач |
||||||||
1 |
101 |
111 |
121 |
131 |
141 |
151 |
161 |
171 |
181 |
191 |
201 |
211 |
221 |
231 |
241 |
251 |
261 |
||
2 |
102 |
112 |
122 |
132 |
142 |
152 |
162 |
172 |
182 |
192 |
202 |
212 |
222 |
232 |
242 |
252 |
262 |
||
3 |
103 |
113 |
123 |
133 |
143 |
153 |
163 |
173 |
183 |
193 |
203 |
213 |
223 |
233 |
243 |
253 |
263 |
||
4 |
104 |
114 |
124 |
134 |
144 |
154 |
164 |
174 |
184 |
194 |
204 |
214 |
224 |
234 |
244 |
254 |
264 |
||
5 |
105 |
115 |
125 |
135 |
145 |
155 |
165 |
175 |
185 |
195 |
205 |
215 |
225 |
235 |
245 |
255 |
265 |
||
6 |
106 |
116 |
126 |
136 |
146 |
156 |
166 |
176 |
186 |
196 |
206 |
216 |
226 |
236 |
246 |
256 |
266 |
||
7 |
107 |
117 |
127 |
137 |
147 |
157 |
167 |
177 |
187 |
197 |
207 |
217 |
227 |
237 |
247 |
257 |
267 |
||
8 |
108 |
118 |
128 |
138 |
148 |
158 |
168 |
178 |
188 |
198 |
208 |
218 |
228 |
238 |
248 |
258 |
268 |
||
9 |
109 |
119 |
129 |
139 |
149 |
159 |
169 |
179 |
189 |
199 |
209 |
219 |
229 |
239 |
249 |
259 |
269 |
||
10 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
180 |
190 |
200 |
210 |
220 |
230 |
240 |
250 |
260 |
270 |
101. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0=4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же началь ной скоростью V0 верти кально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.
102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5м/с2. Опре делить, на сколько путь, пройденный точкой в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять V0= 0.
103. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми =60°. Ско рость автома шин V1=54 км/ч и V2=72км/ч. С какой скоростью V удаля ются ма шины одна от другой?
104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью V0=10 м/с и посто янным ускоре нием а=-5м/с2. Определить, во сколько раз путь Δs, пройденный материальной точ кой, будет превышать модуль ее перемещения Δr спустя t=4c после начала от счета времени.
105. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Пер вую треть пути он про ехал со скоро стью V1=18 км/ч. Да лее половину оставшегося времени он ехал со ско ростью V2=22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пеш ком со скоростью V3=5км/ч. Определить среднюю ско рость V велосипедиста.
106. Тело брошено под углом = 30о к горизонту со скоростью vo = 30 м/с. Каковы будут нормальное an и тангенциальное a ускорения тела через время t = 1 с после начала движения.
107. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью = /6 рад/с. Во сколько раз путь s, пройденный точкой за время t = 4 с, будет больше модуля ее перемещения r? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол о = /3 рад.
108. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х = А1 + В1 t + С1 t2 и у = А2 + В2 t + С2 t2, где В1 = 7 м/с, С1 = - 2 м/с2, В2 = - 1 м/с, С2 = 0,2 м/с2. Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5 с.
109. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью = 1 рад/с платформы идет человек и обходит платформу за время
t = 9,9 с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы R = 2 м.
110. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением . Определить тангенциальное ускорение a точки, если известно, что за время t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение
an = 2,7 м/с2.
111. При горизонтальном полете со скоростью V=250 м/с снаряд массой m=8кг разорвался на две части. Большая часть массой m1=6 кг получила ско рость U1=400м/c в направлении полета сна ряда. Опре делить модуль и направление скорости U2 меньшей части снаряда.
112. С тележки, свободно движущейся по горизон тальному пути со скоростью V1=3 м/с, в сторону, про тивоположную движению тележки, прыгает человек, пос ле чего скорость тележки изменилась и стала равной U1=4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости U2x че ловека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1=210кг, масса человека m2=70 кг.
113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорож ной платформе, производит выстрел вдоль полотна же лезной дороги под углом =30° к линии горизонта. Определить скорость U2 от ката платформы, если снаряд вылетает со скоростью U1=480м/c. Масса платформы с орудием и снарядами m2=18т, масса снаряда m1=60 кг.
114. Человек массой m1=70 кг, бегущий со скоростью V1=9 км/ч, догоняет тележку массой m2=190кг, движу щуюся со скоростью V2=3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с челове ком? С какой скоростью будет двигаться тележка с чело веком, если человек до прыжка бежал навстречу те лежке?
115. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой m1=2,5 кг под углом =30° к горизонту со скоростью V=10 м/с. Какова будет начальная ско рость V0 движения конькобежца, если масса его m2=60 кг? Перемещением конькобежца во время бро ска пренебречь.
116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски сто ит человек. Масса его m1=60 кг, масса доски m2=20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) V=1 м/с? Массой колес и тре нием пренебречь.
117. Снаряд, летевший со скоростью V = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью U1=150 м/с. Определить скорость U2 боль шего осколка.
118. Две одинаковые лодки массами m=200кг каж дая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями V=1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m1=200 кг. Определить скорости U1 и U2 лодок после перебрасывания грузов.
119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной l=3,5 м и массой m1=200 кг, если стоящий на корме человек массой m2=80 кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендику лярно берегу.
120. Лодка длиной 1=3 м и массой т=120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами т1=60 кг и т2=90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поме няются местами?
121. В деревянный шар массой т1=8 кг, подвешен ный на нити длиной l=1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой т2= 4 г. С какой скоростью ле тела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол =3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, централь ным.
122. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой т1=300 кг, ударяет молот массой т2 = 8 кг. Определить КПД удара, если удар неупру гий. Полезной считать энергию, затраченную на дефор мацию куска железа.
123. Шар массой m1=1 кг движется со скоростью V1= 4 м/с и сталкивается с шаром массой т2=2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью V2=3 м/с. Ка ковы скорости и1 и u2 шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
124. Шар массой т1=3 кг движется со скоростью V1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформа ции шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
125. Определить КПД неупругого удара бойка мас сой т1=0,5 т, падающего на сваю массой т2=120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.
126. Шар массой т1=4 кг движется со скоростью V1= 5 м/с и сталкивается с шаром массой m2 =6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V2= 2 м/с. Определить скорости u1 и u2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент ральным.
127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1 = 10 г со скоростью V = 300 м/с. Затвор пистолета массой m2 = 200 г прижимается к стволу пру жиной, жесткость которой k=25 кН/м. На какое рас стояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.
128. Шар массой т1 = 5 кг движется со скоростью V1 = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 = 2 кг. Определить скорости u1 и u2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент ральным.
129. Из орудия, не имеющего противооткатного уст ройства, производилась стрельба в горизонтальном на правлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью V1 = 600 м/с, а когда ору дию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью V2 = 580 м/с. С какой ско ростью откатилось при этом орудие?
130. Шар массой т1 = 2 кг сталкивается с покоя щимся шаром большей массы и при этом теряет 40% ки нетической энергии. Определить массу т2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент ральным.
131. Определить работу растяжения двух соединен ных последовательно пружин жесткостями k1 = 400 Н/м и k2 = 250 Н/м, если первая пружина при этом растя нулась на l = 2 см.
132. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой т1 = 3,0 т на канате, каждый метр которого име ет массу m = 1,5 кг. Какая работа A совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффи циент полезного действия подъемного устройства?
133. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 H. Определить работу A внешней силы, допол нительно сжимающей пружину еще на l = 2 см.
134. Две пружины жесткостью k1 = 0,5 кН/м и k2 = 1 кН/м скреплены параллельно. Определить потен циальную энергию П данной системы при абсолютной деформации l = 4 см.
135. Какую нужно совершить работу A, чтобы пру жину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на х= 6 см, до полнительно сжать на x = 8 см?
136. Если на верхний конец вертикально расположен ной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на l = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?
137. Из пружинного пистолета с пружиной жестко стью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость V пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на x = 4 см.
138. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 16 т, двигавшийся со скоростью V = 0,6м/с, оста новился, сжав пружину на l = 8 см. Найти общую жест кость k пружин буфера.
139. Цепь длиной l == 2 м лежит на столе, одним кон цом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает '/зl, то цепь соскальзывает со стола. Опре делить скорость V цепи в момент ее отрыва от стола.
140. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндри ческой дымоходной трубы высотой h = 40 м, наружным диаметром D = 3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность материала принять равной 2,8103 кг/м3.
141. Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h = 1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.
142. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг:
1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?
143. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
144. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v=5 км/с. На какую высоту она поднимется?
145. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
146. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.
147. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h=520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
148. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h =1000 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
149. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84108 м.
150. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять, что радиус Rз Земли в 390 раз больше радиуса Rл Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.
151. Шарик массой т = 60 г, привязанный к концу нити длиной l1 =1,2 м, вращается с частотой п1=2с-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси до расстояния l2 =0,6 м. С какой частотой п2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.
152. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой т = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение и частоту вращения п маховика через время t = 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.
153. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость = 9 рад/с.
154. Нить с привязанными к ее концам грузами мас сами т1 = 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диаметром D=4 см. Определить момент инерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.
155. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению = At + Bt3, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент М, действующий на стержень через время t = 2 с после начала вращения, если момент инерции стержня J=0,048 кг м2
156. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью V = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s = 18 м.
157. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12c-l, чтобы он остановился в течение времени t = 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока т = 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.
158. Блок, имеющий форму диска массой т = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами т1 = 0,3 кг и т2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения Т1 и Т2 нити по обе стороны блока.
159. К краю стола прикреплен блок. Через блок пе рекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой - вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент f трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением а = 5,6 м/с2. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь.
160. К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами т1 = 0,2 кг и т2 = 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока m = 0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а= 2 м/с2? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пренебречь.
161. На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой т = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи l1 = 70 см. Скамья вращается с частотой п1 = 1с-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси J = 2,5 кгм2.
162. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 1= 4 рад/с. С какой угловой скоростью 2 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J =5 кгм2. Длина стержня l=1,8 м, масса m==6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.
163. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m1=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью 1 будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m2 = 70 кг со скоростью V=1,8 м/с относительно платформы?
164. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформы m1 = 280 кг, масса человека m2 = 80 кг.
165. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 1=25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью 2 станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол =90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кгм2, момент инерции колеса J0 = 0,5 кгм2.
166. Однородный стержень длиной l=1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой т=7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стерж ня, если в результате попадания пули он отклонится на угол =60°. Принять скорость пули V=360 м/с.
167. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n1=8 мин--1, стоит человек массой m1=70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой п2=10 мин-1. Определить массу т2 платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
168. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D=0,8 м и массой m1=6 кг стоит человек массой m2=60 кг. С какой угловой скоростью начнет вра щаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m=0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r=0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча V=5 м/с.
169. Горизонтальная платформа массой m1=150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n=8 мин--1. Человек массой т2= 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным диском, а человека — материальной точкой.
170. Однородный стержень длиной l=1,0 м и массой M1=0,7 кг подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от оси на 2/3l , абсолютно упруго ударяет пуля массой m = 5 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. После удара стержень отклонился на угол =60°. Определить ско рость пули.
171. На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период Т простых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.
172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х=A1 sin t и y=A2 cos t, где A1=8 см, А2=4 см, =2 с-1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.
173. Точка совершает простые гармонические колебания, уравнение которых x=Asint, где A=5 см, =2c-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией П=0,1 мДж, на нее действовала возвращающая сила F=5 мН. Найти этот момент времени t.
174. Определить частоту простых гармонических колебаний диска радиусом R=20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.
175. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R=40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.
176. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения r = 18 см и максимальная скорость Vmax=16 см/с.
177. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение x0 = 4 см, а скорость V0=10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу 0 колебаний, если их период Т=2 с.
178. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: х1=А1sin1t и x2=A2sin2(t+), где А1 = А2 = 3 см, 1 = 2 = c-1, =0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу 0 результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторую диаграмму для момента времени t=0.
179. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой M=200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью k=500 Н/м. В шар попадает пуля массой m=10 г, летящая со ско ростью V=300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитуду А и период T колебаний шара.
180. Шарик массой m=60 г колеблется с периодом T=2 с. В начальный момент времени смещение шарика x0=4,0 см и он обладает энергией E=0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.
181. Частица движется со скоростью = с/3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?
182. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс частицы.
183. При какой скорости (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в п = 3 раза больше массы покоя?
184. Определить отношение релятивистского импульса р-электрона с кинетической энергией Т = 1,53 МэВ .к комптоновскому импульсу тос электрона.
185. Скорость электрона = 0,8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.
186. Протон имеет импульс р = 469 МэВ/с*. Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно сообщить протону, чтобы его релятивистский импульс возрос вдвое?
187. Во сколько раз релятивистская масса т электрона, обладающего кинетической энергией Т = 1,53 МэВ, больше массы покоя m0?
188. Какую скорость (в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя?
189. Релятивистский электрон имел импульс p1 = тос. Определить конечный импульс этого электрона (в единицах тос), если его энергия увеличилась в п == 2 раза.
190. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его импульс увеличится в п = 2 раза.
191. Определить количество вещества и число N молекул кислорода массой m=0,5 кг.
192. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством вещества =0,2 моль; 2) массой m = 1 г?
193. Вода при температуре t=4°С занимает объем V = 1 см3. Определить количество вещества и число N молекул воды.
194. Найти молярную массу М и массу от„ одной молекулы поваренной соли.
195. Определить массу тм одной молекулы углекислого газа.
196. Определить концентрацию п молекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V=2л. Количество вещества кислорода равно 0,2 моль.
197. Определить количество вещества водорода, заполняющего сосуд объемом V=3 л, если концентрация молекул газа в сосуде n=21018 м-3.
198. В баллоне вместимостью V=3л содержится кислород массой т=10 г. Определить концентрацию п молекул газа.
199. Определить относительную молекулярную массу Mr: 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.
200. Определить количество вещества и число N молекул азота массой m=0,2кг.
201. В цилиндр длиной l=1,6м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р0 , начали медленно вдвигать поршень площадью основания S= 200 см2. Определить силу F, действующую на поршень, если его остановить на расстоянии l1=10см от дна цилиндра.
202. В баллоне находится газ при температуре Т1=400 К. До какой температуры T2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
203. Баллон вместимостью V=20л заполнен азотом при температуре T=400K. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на =200кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.
204. В баллоне вместимостью V=15л находится аргон под давлением р1=600кПа и при температуре T1 = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р2=400кПа, а температура установилась T2=260K. Определить массу m аргона, взятого из баллона.
205. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р1=2МПа и температуре T1=800К, в другом р2=2,5МПа, T2=200К. Сосуд соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T=200К. Определить установившееся в сосудах давление р.
206. Вычислить плотность азота, находящегося в баллоне под давлением р=2МПа и имеющего темпера туру T=400 К.
207. Определить относительную молекулярную массу Mr газа, если при температуре T=154К и давлении р=2,8МПа он имеет плотность =6,1 кг/м3.
208. Найти плотность азота при температуре T=400 К и давлении р=2 МПа.
209. В сосуде вместимостью V=40 л находится кислород при температуре T=300К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на р=100кПа. Определить массу m израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.
210. Определить плотность водяного пара, находящегося под давлением р=2,5кПа и имеющего темпера туру T=250 К.
211. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию молекулы этого газа при температуре T=300К, если количество вещества этого газа равно 0,5 моль.
212. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью V=3л под давлением р=540 кПа.
213. Количество вещества гелия =1,5 моль, температура Т = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул этого газа.
214. Молярная внутренняя энергия Um некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию вр вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.
215. Определить среднюю кинетическую энергию одной молекулы водяного пара при температуре T=500 К.
216. Определить среднюю квадратичную скорость кв молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V=2л под давлением р=200кПа. Масса газа m=0,3 г.
217. Водород находится при температуре T=300К. Найти среднюю кинетическую энергию вр вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Еk всех молекул этого газа; количество водорода =0,5 моль.
218. При какой температуре средняя кинетическая энергия п поступательного движения молекулы газа равна 4,1410-21 Дж?
219. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 610-10 г. Газ находится при температуре T=400 К. Определить средние квадратичные скорости кв, а также средние кинетические энергии п поступательного движения молекулы азота и пылинки.
220. Определить среднюю кинетическую энергию п поступательного движения и вр вращательного движения молекулы азота при температуре T=1 кК. Определить также полную кинетическую энергию Ек молекулы при тех же условиях.
221. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность cp—cv удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/(кгК).
222. Найти удельные cp и cv, а также молярные Ср и Сv теплоемкости углекислого газа.
223. Определить показатель адиабаты идеального газа, который при температуре Т=350 К и давлении р=0,4МПа занимает объем V=300 л и имеет теплоемкость Cv=857 Дж/К.
224. В сосуде вместимостью V=6 л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.
225. Определить относительную молекулярную массу Mr и молярную массу М газа, если разность его удельных теплоемкостей cp—cv=2,08 кДж/(кгК).
226. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости cv ==10,4 кДж/(кгК) и Ср= 14,6 кДж/(кгК).
227. Найти удельные cp и cv и молярные Сv и Ср теплоемкости азота и гелия.
228. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М=410-3 кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/Сv==1,67.
229. Трехатомный газ под давлением р=240кПа и температуре t=20°С занимает объем V=10л. Определить теплоемкость Сp этого газа при постоянном давлении.
230. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5л. Вычислить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.
231. Найти среднее число (z) столкновений за время t=1с и длину свободного пробега (l) молекулы гелия, если газ находится под давлением р=2кПа при темпе ратуре T=200 К.
232. Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы азота в сосуде вместимостью V=5л. Масса газа m=0,5 г.
233. Водород находится под давлением р=20мкПа и имеет температуру T=300 К. Определить среднюю длину свободного пробега (l) молекулы такого газа.
234. При нормальных условиях длина свободного пробега (l) молекулы водорода равна 0,160 мкм. Определить диаметр d молекулы водорода.
235. Какова средняя арифметическая скорость () молекул кислорода при нормальных условиях, если известно, что средняя длина свободного пробега (l) молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?
236. Кислород находится под давлением р=133 нПа при температуре T=200К. Вычислить среднее число (z) столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время =1 с.
237. При каком давлении р средняя длина свободного пробега (l) молекул азота равна 1 м, если температура газа t=10°С?
238. В сосуде вместимостью V=5 л находится водо род массой m=0,5 г. Определить среднюю длину свобод ного пробега (l) молекулы водорода в этом сосуде.
239. Средняя длина свободного пробега (l) молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотность водорода при этих условиях.
240. В сферической колбе вместимостью V=3л, содержащей азот, создан вакуум с давлением р=80 мкПа. Температура газа T=250 К. Можно ли считать вакуум в колбе высоким?
Примечание. Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул в нем много больше линейных размеров сосуда.
241. Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду объемом V=50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на =0,5 МПа.
242. При изотермическом расширении азота при температуре T=280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа рабо ту А; 2) изменение U внутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота m=0,2 кг.
243. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р1=50кПа до р2=0,5МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление р3 газа в конце процесса.
244. Кислород массой m=200г занимает объем V1=100 л и находится под давлением р1=200кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема V2 =300 л, а затем его давление возросло до р3==500кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии U газа, совершенную газом работу A и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
245. Объем водорода при изотермическом расширении при температуре T=300К увеличился в n=3 раза. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную при этом. Масса т водорода равна 200 г.
246. Азот массой m=0,1 кг был изобарно нагрет от температуры T1=200 К до температуры T2=400 К. Определить работу А, совершенную газом, полученную им теплоту Q и изменение U внутренней энергии азота.
247. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества =0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплоты Q=800Дж? Температура водорода Т=300 К.
248. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода массой m=5г, взятого при температуре T=290К, если объем газа увеличивается в три раза?
249. Какая доля 1 количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение U внутренней энергии газа и какая доля 2 — на работу А расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.
250. Определить работу A, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q=21 кДж. Найти также изменение U внутренней энергии газа.
251. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах теплоприемника T2=290К и теплоотдатчика T1=400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия цикла, если температура теплоотдатчика возрастет до T1=600 К?
252. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 теплоотдатчика в четыре раза (n=4) больше температуры теплоприемника. Какую долю количества теплоты, полученного за один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?
253. Определить работу А2 изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого =0,4, если работа изотермического расширения равна A1=8Дж.
254. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику теплоту Q2= 14 кДж. Определить температуру Т1 теплоотдатчика, если при температуре теплоприемника T2=280 К работа цикла A=6кДж.
255. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от теплоотдатчика теплоту Q1=4,38кДж и совершил работу A=2,4кДж. Определить температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемника T2=273 К.
256. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплоприемнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру Т2 теплоприемника, если температура теплоотдатчика T1= 430 К.
257. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия цикла Карно при повышении температуры теплоотдатчика от T1=380 К до T1=560 К? Температура теплоприемника T2=280 К.
258. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т1 = 500 К, температура теплоприемника T2=250 К. Определить термически КПД цикла, а также работу A1 рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа A2=70 Дж.
259. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1=84кДж. Определить работу A газа, если температура Т1 теплоотдатчика в три раза выше температуры Т2 теплоприемника.
260. В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика теплоту Q1=500Дж и совершил работу A=100Дж. Температура теплоотдатчика T1=400 К. Определить температуру Т2 теплоприемника.
261. Найти массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала d=0,8мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание полным.
262. Какую работу A надо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем от V1 = 8 см3 до V2 = 16см3? Считать процесс изотермическим.
263. Какая энергия Е выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d1=0,8мм и d2=1,2 мм в одну каплю?
264. Определить давление р внутри воздушного пузырька диаметром d=4 мм, находящегося в воде у самой ее поверхности. Считать атмосферное давление нормальным.
265. Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинками с площадью поверхности S=100 см2 каждая, расположенными на расстоянии l=20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.
266. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала d=1 мм на высоту h=20 мм. Определить поверхностное натяжение глицерина. Считать смачивание полным.
267. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром канала d=1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.
268. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р0, если диаметр пузыря d=5 мм?
269. Воздушный пузырек диаметром d=2,2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.
270. Две капли ртути радиусом r = 1,2 мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.
Приложение
1.Основные физические постоянные (округленные значения)
|
Физическая постоянная |
Обозначение |
Значение |
|
Нормальное ускорение свободного падения Гравитационная постоянная Постоянная Авогадро Молярная газовая постоянная Стандартный объем Постоянная Больцмана |
g G NA R Vm k |
9,81 м/с2 6,6710-11 м3/(кгс2) 6,021023 моль-1 8,31 Дж/(мольК) 22,410-3 м3/моль 1,3810-23 Дж/К |
2. Некоторые астрономические величины
|
Наименование |
Значение |
|
Радиус Земли Масса Земли Радиус Солнца Масса Солнца Радиус Луны Масса Луны Расстояние от центра Земли до центра Солнца Расстояние от центра Земли до центра Луны |
6,37106 м 5,981024 кг 6,95108 м 1,981030 кг 1,74106 м 7,331022 кг 1,491011 м 3,84108 м |
3. Плотность твердых тел
|
Твердое тело |
Плотность, кг/м3 |
Твердое тело |
Плотность, кг/м3 |
|
Алюминий Барий Ванадий Висмут Железо Литий |
2,70103 3,50103 6,02103 9,80103 7,88103 0,53103 |
Медь Никель Свинец Серебро Цезий Цинк |
8,93103 8,90103 11,3103 10,5103 1,90103 7,15103 |
4. Плотность жидкостей
|
Жидкость |
Плотность, кг/м3 |
Жидкость |
Плотность, кг/м3 |
|
Вода (при 4о С) Глицерин Ртуть |
1,00103 1,26103 13,6103 |
Сероуглерод Спирт |
1,26103 0,80103 |
5. Плотность газов (при нормальных условиях)
|
Газ |
Плотность, кг/м3 |
Газ |
Плотность, кг/м3 |
|
Водород Воздух |
0,09 1,29 |
Гелий Кислород |
0,18 1,43 |
6. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей
|
Жидкость |
Коэффициент, мН/м |
Жидкость |
Коэффициент, мН/м |
|
Вода Мыльная пена |
72 40 |
Ртуть Спирт |
500 22 |
7. Эффективный диаметр молекулы
|
Газ |
Диаметр, м |
Газ |
Диаметр, м |
|
Азот Водород |
3,010-10 2,310-10 |
Гелий Кислород |
1,910-10 2,710-10 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чертов А.Г. Физика. Методические указания и контрольные задания. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. – М.: Высшая школа, 1996.
Редактор Л.А.Матвеева
Подписано в печать 16.09.04 г. Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.
Гарнитура «Таймс». Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 3,1. Уч.-изд. л. 2,7.
Тираж 100 экз. Заказ
Издательство Уфимского государственного нефтяного технического
университета.
Адрес издательства:
450062, РБ, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.