Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 14
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. .
Проверка: . Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом, .
Проверка:
.
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. .. Полагаем , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом, .
Проверка: .
Ответ: .
6. . Делаем замену переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем после преобразований. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10.
. Предел не имеет смысла, интеграл расходится.
Интеграл сходится. Ответ: . Интеграл расходится.
11. . Бесконечно большие величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин . Поэтому интеграл расходится.
Ответ: . Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Найдём точки пересечения линий: . Тогда . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (гиперболическая спираль).
.
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.
.
Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) (циклоида) вокруг оси OY.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
Ответ: .
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Напряжение на клеммах цепи V=120 в. В цепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0.1 Ом/с. Кроме того в цепь включено постоянное сопротивление r =10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдёт через цепь в течение двух минут.
В момент времени сопротивление цепи равно . В момент времени сопротивление цепи будет . Тогда в момент времени ток составит величину . Следовательно количество электричества за две минуты составит величину кулонов.
Ответ: кулонов.
20. Котёл имеет форму параболоида с радиусом R при глубине котла H. Он наполнен жидкостью с удельным весом γ. Вычислите работу, необходимую для выкачивания жидкости из котла.
Уравнение параболы, образующей параболоид вращения: . Из условия находим Объём элементарного слоя жидкости на уровне y будет равен . Если плотность жидкости равна γ, то вес элементарного слояжидкости будет . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y, равна . Следовательно, . Ответ: .
R
H
y