Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Образец выполнения кр1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:
1) найти частные производные и ;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .
Решение.
1) При нахождении считаем аргумент y постоянным:
= (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =
= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =
= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).
При нахождении считаем аргумент x постоянным:
= (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =
=2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =
= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = = sin(4x – 2y).
2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:
dz = = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.
3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.
Для того чтобы найти дифференцируем по у:
= = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =
= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).
Для того чтобы найти дифференцируем по x:
= = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =
= cos(4x – 2y)(4x – 2y) = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).
Получили: = 4cos(4x – 2y), = 4cos(4x – 2y) Ответы:
1) = –2sin(4x – 2y); = sin(4x – 2y);
2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;
3) равенство выполнено.
Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение.
Для F(x, y, z) = 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:
F= (4x2 yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =
= 8x y ez + sin( x3 – z)3x2 + 3 = 8x y ez + 3x2 sin( x3 – z) + 3;
F= (4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2 ez + 4y;
F = (4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2 y ez – sin (x3 – z).
По формулам (2) находим частные производные:
;
и по формуле (3) получаем: .
Ответы: ;
.
Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где , . Найти полную производную .
Решение. Используя формулу (4), получаем:
Подставив в полученный ответ , , получим:
Ответ: .
Задача 4. Дана функция z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости XОY: x = 0, y = –1, x + y = 2. Требуется:
1) найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D;
2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Решение.
x = 0, y = –1 и x + y = 2. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 1).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.
Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные
1-го порядка равны нулю:
Решаем систему:
Стационарная точка М(2, 0) (рис.1), но не является внутренней точкой области, поэтому значение функции в этой точке вычислим позже.
Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.
а) На границе АВ выполняется x = 0 и функция z является функцией одной переменной: .
Исследуем поведение z (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке: стационарная точка на границе АВ: А(0, – 1);
б) На границе АС выполняется у = –1 и функция z является функцией переменной х:
.
Исследуем поведение z (х): стационарная точка на границе АС: N(1,5, –1);
в) На границе ВС выполнено x + y = 2, т.е. y = 2 – х и функция z является функцией одной переменной:
Исследуем поведение z (х): . Вычислим ординату стационарной точки: y = 2 – x = 0 стационарная точка М(2,0);
.
Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
.
2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 1) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,2) и М(2,0).
Ответы: 1) ;
2) рисунок 1.
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = + xy – 5x3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Решение.
Найдем частные производные функции z = f (x, y) = + xy – 5x3:
(x, y) = ( + xy – 5x3) = – + y – 15x2;
(x, y) = ( + xy – 5x3) = + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z = + xy – 5x3 z0 = + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
В точке М0(–1, 2, 1) значения частных производных:
(М0) = – + 2 – 15(–1)2 = –15; (М0) = – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: = = .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: = = .
Задача 6. Представить двойной интеграл в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по и внешним интегрированием по , если область задана следующими линиями: , , , .
Решение.
Построим схематический чертеж.
Составим интеграл
.
Задача 7. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной следующими линиями: , .
Решение.
Задача 8. Вычислить площадь плоской области , ограниченной следующими линиями: , .
Задача 9. С помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры , ограниченной следующей линией: .
Решение.
Перейдем в полярную систему координат: , тогда
.
Задача 10. Вычислить объем тела V, ограниченного следующими поверхностями:
,, , .
Решение.
Задача 11.
Вычислить тройной интеграл с помощью цилиндрических или сферических координат по области V: , , ,.
Решение.
Перейдем в сферическую систему координат: , тогда область перепишется следующим образом: , , , .
Задача 12.
С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного следующими поверхностями: , ,. Сделать чертеж.
Решение.
Перейдем в цилиндрическую систему координат: , тогда:
Задача 13. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.
Указание. Считать плотность вещества .
Решение.
Область D (рис. 8) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения ординаты точки М решаем систему уравнений:
Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств: где – это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.
Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (1):
.
Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:
Ответы: Mx = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 8.
Задача 14. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где – полярный радиус точки.
Решение.
Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (2):
,
где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.
Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:
,
где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств: при R = 0,5 и H = 2.
Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:
.Вычислим внутренний интеграл по переменной z: .
Затем находим интеграл по переменной :
Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:
.
Ответ: ед. массы.