Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ХАРКIВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
САВЄЛЬЄВ Валерiй Михайлович
УДК 514
ТЕОРIЯ КРИВИНИ ГРАССМАНОВОГО ОБРАЗУ ПIДМНОГОВИДIВ
В ЕВКЛIДОВОМУ I РІМАНОВОМУ ПРОСТОРI
01.01.04 - геометрiя i топологiя
Автореферат
дисертацiї на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико - математичних наук
Харкiв - 1999
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Харкiвському державному унiверситетi Міністерства освіти України.
Науковий керiвник
доктор фiзико-математичних наук, професор
Амiнов Юрій Ахметович,
професор кафедри геометрії Харківського державного університету
Офiцiйнi опоненти:
доктор фiзико-математичних наук, професор Дiскант Валентин Іванович,
професор кафедри вищої математики Черкаського інженерно-технологічного інституту,
доктор фiзико-математичних наук, професор Мілка Анатолій Дмитрович ,
провідний науковий співробітник (Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, м. Харків)
Провiдна установа
Інститут математики НАН України, відділ теорії наближень функцій, м. Київ
Захист дисертацiї вiдбудеться 17.09.1999 р. о 15.00 годинi
на засiданнi спецiалiзованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському державному університеті за адресою: 310077, м. Харків. пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.
З дисертацiєю можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського державного університету за адресою пл. Свободи, 4.
Автореферат розiсланий 16.08.1999 р.
Вчений секретар
спецiалiзованої вченої ради Ігнатович С.Ю.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Тема дисертаційної роботи відноситься до теорії грассманового образу підмноговидів у евклідовому просторі, яка інтенсивно розробляється на даний час.
Питання, що пов'язані з вивченням підмноговидів евклідового простору давно визивають інтерес у геометрів. Геометрія підмноговидів є частиною сучасної геометрії. Спочатку, геометрія пiдмноговидiв була тільки частиною ріманової геометрії, але сьогодні це є самостійний напрямок в багатовимірному узагальнені класичної теорії поверхонь. Геометрія підмноговидів вивчає нові факти, що не мають аналогів в класичній теорії поверхонь. Геометрія підмноговидів поставила та розв'язала нові цікаві проблеми разом з її спеціальними методами. Вона має також багато явних та несподіваних зв'язків з механікою та фізикою.
Поняття кривини є одним із центральних понять диференціальної геометрії. За виразом відомого французького геометра Марселя Берже кривина є "рімановий інваріант № 1''. Кривина також грає важливу роль в фізиці. Наприклад, рух тіла в гравітаційному полі, у відповідності з загальною теорією відносності Ейнштейна, визначається кривиною простору-часу.
Добре відома та роль, яку в класичній диференціальній геометрії грає гауcсове сферичне відображення поверхонь. Гауссове відображення, яке називається також грассмановим, знайшло застосування i в багатовимiрнiй диференціальній геометрії. Воно плідно застосовує-ться як при глобальних, так і при локальних дослідженнях просторів сталої кривини. Особливо успішно гауссове відображення застосовується при вивченні двовимірних поверхонь і гiперповерхонь евклiдового простору.
Грассмановий образ пiдмноговиду в евклiдовому просторі є його важливою геометричною характеристикою. Вивчення грассманового образу i, в зв'язку з цим, дослідження геометричних властивостей многовидiв Грассмана в останній час привертає все більший інтерес.
Многовидом Грассмана () називається множина всіх m-вимірних площин, що проходять через початок координат O у евклідовому просторі . На природнім чином вводиться структура аналітичного многовиду. Його картами є множина m-вимірних площин, які проектуються без виродження на дану m-вимірну площину . Разом з многовидом Грассмана розглядається многовид Грассмана m-вимірних площин, що проходять через , враховуючи орієнтацію. Він є дволистною вкривною над . Відмітимо, що кожній m-вимірний площинi в , яка проходить через початок координат однозначно вiдповiдає ортогональна їй n-вимiрна площина, що проходить через O. Таким чином, разом з многовидом можна розглядати i многовид . Многовиди i ізометричні. Систематичне вивчення диференціальної геометрії грассманових многовидiв m-вимірних пiдпро-сторiв (n+m)-вимірного евклiдового та ермiтового простору започаткували в своїх роботах К.Лейхтвейсс та Ю.Вонг , де були введені локальні координати спеціального вигляду, обчислений метричний тензор, тензор кривини, секційна кривина, розглянуті геодезичні на многовидах Грассмана. З'ясовано, що метрики, якi називаються канонiчними метриками на перетворюють в простiр Ейнштейна сталої скалярної кривини в двовимiрних напрямках, i що тiльки на iснують ще інші рiмановi метрики, инварiнтнi вiдносно SO(4) i O(4); останнi не перетворюють в простiр Ейнштейна. Ю. Вонг в 2 встановив, що рiманова кривина дiйсного грассманового многовиду має точнi межі , і дав характеристику тих 2-напрямкiв s, в яких або мiнiмальна, або максимальна.
Нехай — регулярний (класу n-вимiрний пiдмноговид в (n+m)-вимiрному евклiдовому просторi. Побудуємо в кожнiй точцi пiдмноговиду нормальний простiр та пере-несемо його паралельно в точку — початок координат. Множина одержаних m-вимiрних площин, що розглядаються як точки многовиду Грассмана , називається грассмановим образом пiдмноговиду . Вiдображення ?, що ставить у вiдповiднiсть точцi пiдмноговиду точку многовиду Грассмана , яка вiдповiдає m-вимiрній нормальній площині в точцi будемо називати грассмановим вiдображенням. Якщо в точцi пiдмноговиду грассма-нове відображення ? має максимальний ранг, що дорiвнює n, то грас-смановий образ буде невиродженим: вiн буде регулярним (класу n-вимiрним пiдмноговидом в . Невироджений грассмановий образ пiдмноговиду ми будемо позначати в подальшому через .
Дослiдження грассманового образу iдмноговидiв у евклiдовому просторi проводилось в працях Y.Muto , Ю.А.Амiнова ,,,, Борисенко О.А., Нiколаєвського Ю.А. , та iнших. Ними одержано ряд теорем про кривину грассманового многовиду для площадок, дотичних до грассманового образу. Результати, якi одержанi до 1989 року висвiтленi в оглядовiй статтi Борисенко О.А,Нiколаєвский Ю.А. 9. В , розглядались гауссові відображення підмноговидів у ріманових просторах сталої кривини. С.Е.Козлов запропонував конструкцію сферичних відображень у довільному рімановому просторі. Обчислено форму метрик сферичних відображень та розглянуто ряд слідств. Одержано форму метрики сферичного відображення, що, за умови сталості секційної кривини перетворюється у відому формулу Обата. На поверхні введено деяку квадратичну форму, названу формою тривимірного скрута. Ця формула має аналог для поверхні .
Улюбленим предметом для геометрів від Лагранжа до наших днів є мінімальні поверхні як звичайного тривимірного простору, так і багатовимірних просторів, в яких їх також визначають як "екстремалі" деякої певної варіаційної задачі. Автор роботи вивчає мінімальні поверхні в евклідовому просторі з колами індикатриси нормальної кривини всіх порядків, які ввів та вивчив О.Борувка в 1935 р., а потім досліджували Ю.Г.Лумісте та інші. Доводиться, що якщо метрика грассманового образу вик-лючної мінімальної поверхні має кривину , то якщо і якщо . Для мінімальної поверхні в просторовій формі замість стоїть і замість стоїть . Доводиться, що якщо при виключна мінімальна поверхня має , то її кривина є або або ; якщо виключ-них мінімальних поверхонь з немає.
В роботі досліджено підмноговиди в сфері, що мають мініма-льний гауссовий образ. Доведено, що для того, щоб підмноговид мав мінімальний гауссовий образ необхідно та достатньо, щоб , де слід береться відносно метрики гауссового образу, а є друга фундаментальна форма .
В іншій роботі розглядається внутрішня кривина гауссового образу мінімальної поверхні. Нехай є n-вимірна однозв'язна прос-торова форма сталої кривини . Коли , ; коли , ; коли , . Нехай є мінімальна поверх-ня в ; позначимо через гауссову кривину по відношенню до індукованої метрики . На ми можемо вибрати локальне поле ортонормальних реперів в так, що та дотичні до а нормальні до . Їх дуальні формы є . Метрика на є . У роботі розглядається гауссове відображення (в розумінні Обата) із у просторі всіх цілком геодезичних 2-вимірних підпросторі в . Ріманова метрика гауссового відображення (1.1) , яка вироджується в точках, де . Нехай є гауссова кривина у відношенні , яка є гауссовою кривиною гауссового образу поверхні . Головний результат роботи є слідуюча
Теорема. Нехай є мінімальна поверхня в і на . Тогда (1.2) , і рівність в (1.2) на буде виконуватись тоді і тільки тоді, коли і (1.3) , де є норма-льна скалярна кривина в.
В.О. Горькавий в статтях , , займається проблемою вiдбудови пiдмноговиду евклiдового простору за його грассмановим образом. В 18 вказанi необхiднi та достатнi умови, при яких регулярний тривимiр-ний пiдмноговид в многовидi Грассмана є грассмановим обра-зом регулярного тривимірного пiдмноговиду (m+3)-вимiрного евклі-дового простору.
Основним об'єктом дисертацiйної работи є кривина самого мно-говиду Грассмана вздовж двовимiрних площадок, дотичних до грасс-манового образу (яка як вже вiдзначалось вище ).
Значне мiсце в геометричних дослiдженнях займають питання пов'язані з зовнiшньою геометрiєю пiдмноговидiв. З iншої боку, дотичнi вектори до грассманового образу пiдмноговиду в евклiдовому просторi виражаються через другу квадратичну форму . Отже, кривина дає iнформацiю про зовнiшню геометрiю пiдмноговиду . Формула, що беспосередньо виражає кривину через коефiцiєнти , наведена Ю. А. Амiновым в 4. Вiдмiтимо також, що подiбну формулу ранiше зустрiчаємо у Й.Муто 3 .
О.А. Борисенко висунув гіпотезу про те, що: 1) при в дотичному просторі до грассманового образу пiдмноговиду завжди знайдеться двовимірна площадка, вздовж якої кривина грассманового многовиду не перевищує ; 2) якщо в точцi для всіх площадок із дотичного простору до грассманового образу буде , то (в цій точці), і точкова ковимірність підмноговиду в точці (розмірність першого нормального простору) дорівнює 1. Ю.А.Ніколаєвським була доведена
Теорема (Ю.А.Ніколаєвський). Нехай є регулярний (класу ) підмноговид з невиродженним грассмановим образом, причому розмірність n та ковимірність m задовольняють одній з трьох умов:
1. або ;
2. , за винятком випадку ;
3. .
Тоді
a) В кожній точці існує дотична площадка до грассманового образу, вздовж якої кривина многовиду Грассмана не більше 1. Якщо в якійсь точці найменше значення кривини по всім площадкам є 1, то кривина по всім площадкам дорівнює 1.
b) В останьому випадку підмноговид має точкову ковимірність 1 і, якщо це виконано у всіх точках: є гіперповерхнею.
Оскільки задача є "точковую", то в випадку ковимірності ми не одержуєм нічого нового у порівняні з випадком . Отже, поза розгляду залишилось лише скінченне число випадків. В той же час до припущення 2) Ю.А.Нiколаєвським був побудований контр приклад при n=4, m=3. Надалі говорячи про гiпотезу О.А.Борисенка ми будемо мати на увазi припущення пункта 1).
Таким чином ми бачим, що в останні роки грассмановий образ вивчається у двох напрямках: 1) внутрішня геометрія грассманового образу; 2) зовнішня геометрія грассманового образу. Необхідно від-мітити, що всі роботи пов'язані з першим напрямком присвячені вив-ченню грассманового образу цілком визначених класів підмноговидів.
Із наведеного огляду стану питання видно, що ряд невирішених питань ще потребують свого дослідження. Зокрема цiкавим є питання про кривину 2-вимірних площин дотичних до грассманового образу пiдмноговидiв, якi мають певнi геометричнi властивостi або пiдмноговидiв, що мають певнi групи руху.
Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Робота вико-нувалась впродовж 1993-1999 р.р. років за плановою темою кафедри геометрії Харьківського державного університету "Грассманів образ" державний регістр № 0187004404 .
Мета роботи. ЦМетою нашого дослідження є
1) доведення гіпотези О.А.Борисенко;
2) доведення теорем зв'язаних з кривиною грассманового образу (як внутрішньої так і зовнішньої) для часткових випадків підмноговидів просторів та .
Наукова новизна одержаних результатів полягає в системати-чному застосуванні теорії кривини грассманового образу до вивчення властивостей підмноговидів в та .
Одержані слідуючі результати дисертації є новими.
1) доведена гіпотеза О.А.Борисенко для підмноговидів у яких корозмірність m не перевищує розмірність n (за винятком випадку ) ;
2) для підмноговидів з корозмірністю яка перевищує розмірність встановлена справедливість гіпотези О.А.Борисенко для випадку , де . Крім того встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь.
3) вперше дана характеристика деяких спецiальних класiв пiдмного-видiв в термiнах кривини грассманового образу;
4) встановлена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі. З'ясовано, що ця кривина може ро\зглядатись як аналог скрута кривої.
5) знайдена формула для внутрішньої кривини грассманового образу підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю та встанолено, що ізопараметричний підмноговид має сталу внутрішню кривину.
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Дослідження можуть бути доцільними при теоретичному розгляді геометрії підмноговидів. Матерiали роботи можуть бути також викори-станi для читання спецiальних курсiв студентам, якi спецiалiзуються по геометрiї.
Особистий внесок здобувача. Всi результати якi викладенi у дисертацiї, одержанi автором самостiйно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертацiї допові-дались та обговорювались на Харкiвскому мiсцевому семiнарi (керiв-ник - акад. О.В.Погорелов), на семiнарi кафедрі геометрiї ХГУ (керiвник член-кор НАН України Борисенко О.А), на семінарі "геометрія і топологія " ( керівник – проф. Ю. А. Амінов), на Міжнародній конференції по геометрії в цілому (м. Черкаси –1995 р.).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 3 статті в фахових виданнях та 1 теза доповіді наукової конференції.
Структура і обсяг роботи. Дисертацiя викладена на 137 сторiн-ках і складається з вступу, 3 глав, висновків та списку літератури, що охоплює 59 найменувань.
Глави мають слідуючі назви:
Гл. 1. Основні формули, факти та визначення.
Гл. 2. Про грассмановий образ підмноговидів в евклідовому просторі у яких корозмірність не перевищує розмірності.
Гл. 3. Грассмановий образ підмноговидів у яких корозмірність .
ЗМІСТ РОБОТИ
В першiй главi вводяться основнi геометричнi об'єкти, що вивчаються в дисертацiйнiй роботi. В параграфi § 1.1 розглядається многовид Грасссмана, дається формула для секцiйної кривини. Ця формула записана в зручнiй для обчислень формi. Для подальшого використання, в параграфах § 1.2,1.3, наведенi деякi вiдомостi iз лiнiйної алгебри, що стосуються сингулярного розкладу довiльної матрицi, основнi рiвняння теорiї пiдмноговидiв та основнi факти, що стосуються грассманового вiдображення пiдмноговидiв в та .
В параграфi § 1.4 одержано формули для других квадратичних форм многовиду Грассмана, що розглядається як пiдмноговид в для напрямкiв, дотичних до грассманового образу пiдмноговиду. На ми можемо вибрати локальне поле ортонормальних реперiв в так, що дотичнi до а нормальнi до . Їх дуальнi формы є . Через будемо позначати коефiцiєнти другої квадратичної форми пiдмноговиду . Тодi для других квадратичних форм многовиду Грассмана, для напрямкiв доти-чних до грассманового образу данного пiдмноговиду
.
Крiм того, в цьому ж параграфi формула для секцiйної кривини грассманового образу записана через кривину нормальної та дотичної зв'язностi заданного пiдмноговиду:
,
де — коефiцiєнти першої квадратичної форми , а — бiвектор площадки з базисними векторами та , дотичної до грасс-манового образу пiдмноговиду. Ця формула є iнша форма вiдповi-дньої формули iз 3 .
Друга глава присвячена вирiшенню гiпотези Борисенко О. А. для пiдмноговидiв в евклiдовому просторi у яких точкова коразмiрнiсть не перевищує розмiрнiсть самого пiдмноговиду. Доведена
Теорема 2.1.1. Нехй , (n 3) - регулярний (класу ) підмноговид з невиродженим грассмановим образом . Якщо nm, (за винятком випадку n=m=4), то в дотичному просторi до грассманового образу в довiльнiй точцi iснує двовимiрна площина, для якої кривина многовиду Грассмана не перевищує 1.
Доведення цiєї першої основної теореми дано в § 2.2 глави 2. Сут-тевим моментом в доведеннi теореми є використання теореми iз cтаттi . Нехай через позначається максимальна розмiрнiсть над полем дiйсних чисел пiдпростору -матриць з елементами iз , в якому всi матрицi крiм нульової невиродженi. Аналогiчна розмiрнiсть для простору симетричних -матриць позначається через. Адамсом показано, що , де — функція Радона-Гурвiца, яка визначається слiдуючим чином. Нехай i , де — цiлi числа, причому , тодi . В рoботi 20 показано, що .
В роботi 9 було сформульоване слiдуюче питання: чи вiрно, що в довiльному тривимiрному пiдпросторi, який є дотичним до многовиду Грассмана, є двовимiрна площадка вздовж якої секцiйна кривина не перевищує 1? Слiдуюча теорема, доведення якої наведено в параграфi 1 глави 2 дає позитивну вiдпопiдь на це запитання.
Теорема 2.1.2. В довiльному тривимiрному пiдпросторi дотичного простору до iснують площадки s з кривиною .
Класична теорема Каталана стверджує, що мiнiмальними лiнiйча-тими поверхнями евклiдового простору є площина та гелiкоїд. В їх узагальнюють мiнiмальнi лiнiйчатi (n+1)-підмноговиди евклiдового простору , які називаються узагальненими гелiкоїдами i які описуються n-площиною при однопараметричнiй групi руху яка ортогонально перетинається з вiссю та центром що лежить в цiй площинi. Аналiтично довiльний мiнiмальний лiнiйчатий пiдмноговид може бути описаним радiус-вектором
де та є довiльнi дiйснi числа. В § 2.3 глави 2 дослiджуються мiнiмальнi пiдмноговиди . Встановлена
Теорема 2.3.1. Мінімальний лінійчатий підмноговид має невироджений грассмановий образ і кривина вздовж грассманового образу належить промiжку
В § 2.4 глави 2 дається доведення гiпотези Борисенко О. А. для по-верхонь рiвного нахилу. При цьому поверхня евклiдового простору над алгеброю подвiйних чисел називається поверхнею рiвного нахилу, якщо у всiх її точках дотична площина площина i головна n-площина iзоклiннi, тобто всi їх стацiонарнi кути рiвнi мiж собою. В п'ятому параграфi глави 2 дослiджується зв'язок грассманового образу з геометричними властивостями пiдмноговиду.
Вiдомо 9, що многовид Грассмана аналiтично вкладується в (в орiєнтовному випадку в ) за допомогою плюккерових координат m-вимiрної площини . В випадку m=2 одержуем вкладення . В параграфi § 2.6 наведено зостосування формул для другої квадратичной форми многовиду Грассмана для напрямкiв, дотичних до грассманового образу пiдмноговиду .
Теорема 2.6.1. Для того щоб пiдмноговид (n непарне) в грассмановому многовидi був грассмановим образом пiдмноговиду , необхiдно, щоб в дотичному пiдпросторi до icнував напрямок, асимптотичний для , що розглядається як пiдмноговид сфери , i секцiйна кривина вздовж довiльнiх площадок якi проходять через цей напрямок, не перевищувала 1.
Третя глава мiстить результати, що стосуються дослiдженню гра-ссманового образу пiдмноговиду в евклiдовому просторi у яких короз-мiрнiсть бiльша за розмiрнiсть заданого пiдмноговиду. Доведення гi-потези коли корозмiрнiсть бiльша розмiрностi заданого пiдмно-говида дано в 17 для випадку m>n52. Нами доведена гiпотеза Борисенко О. А. для випадку пiдмноговидiв , де n<m 2n-2. Таким чином має мiсце
Теорема 3.3.1. Нехай - регулярний (класу ) пiдмноговид в евклiдовому просторi з нeвиродженим грассмановим образом. Якщо , то в дотичному просторi до грассманового образу, в довiльнiй точцi, iснує двовимiрна площина, для якої кривина многовиду Грассмана не перевищує 1.
Доведення цiєї основної теореми дано в параграфi § 3.3. Оскiльки при доведеннi цiєй теоремы суттєво використовують геометричнi властивостi пiдмноговидiв, то в першому параграфi наведенi деякi твердження iз , що стосуються поняття спряжених напрямкiв.
В §3.2 цiєї глави наведена афiнна класифiкацiя точок пiдмно-говидiв та . Iз цiєї класифiкацiї випливає, що пiдмноговид завжди має спряженi напрямки, а нi. Цей факт використовується при доведеннi основної теореми в параграфi § 3.3.
Як вже вiдзначалось, кривина многовиду Грассмана належить промiжку [0,2]. Природньо в зв'язку с цим постає питання про пiдмноговиди, грассмановий образ яких дотикається тiльки площадок, вздовж яких , або тiльки площадок, вздовж яких . Воно було розв'язане Муто та О. А. Борисенко, Ю. А. Ніколаєвським вiдповiдньо.
І нарештi в останньому параграфi § 3.10 знаходиться формула кри-вини метрики грассманового образу пiдмноговиду з плоскою нормальною зв'язнiстю. Дано застосування одержаної формули для iзопараметричних пiдмноговидiв. При цьому пiдмноговид в з плоскою нормальною зв'язнiсттю називається iзопараметричним, якщо всi його головнi кривини паралельнi в нормальнiй зв'язноcтi. Виявляється, що внутрiшня кривина грассманового образу iзопараметричного пiдмноговиду є сталою.
ВИСНОВКИ
1. Доведена гіпотеза О.А.Борисенко (за винятком випадку ) для підмноговидів ковимірності яка не перевищує розмірність. Цей результат є покращенням відповіднього результату Ю.А.Ніколаєвського.
2. Для підмноговидів з корозмірністю яка перевищує розмірність втановлена справедливість гіпотези О.А.Борисенко для випадку , де . Крім того встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь. Цей результат є також покращенням відповіднього результата Ю.А.Ніколаєвського.
3. Встановлена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі. З'ясовано, що ця кривина може розглядатись як аналог скрута кривої.
4. Виведена формула для внутрішньої кривини грассманового образу підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю та встановлено, що ізопараметричний підмноговид має сталу внутрішню кривину.
Робота носить теоретичний характер. Одержані результати та розви-
нені в ній методи можуть бути використані при вивчені геометрії під-
многовидів в евклідовому просторі в тих наукових та учбових заліках
де ведеться дослідження підмноговидів в евклідових та неевклідових
просторах. Матеріали, що місцяться в дисертації: можуть використов-
уватись також при читанні спеціальних курсів з диференціальної гео-метрії в педінститутах та університетах.
На завершення автор щиро дякує свого наукового керівника проф.
Амінова Ю.А. за постановку задач та допомогу в роботі над дисертацією.
СПИСОК ПРАЦЬ ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Савельев В.M. О грассмановом образе четырехмерного подмного-образия в //Укр. геометр. cб. – 1992. – Вып. 35- p. 125–132.
2. Савельев В.М. К теории кривизны грассманова образу подмного-образий в евклидовом пространстве //Мат. физика, анализ, геометрия. – 1994. – T.1,N3/4. – C. 520–528.
3. Савельев В.М. О грассмановом образе подмногообразий , коразмерность которых не превосходит размерности //Мат. физика, анализ, геометрия. – 1998. – T.5,N 1/2. – C. 125–133.
4. Савельев В.М. О кривизне грассманова образа //Международная конференция по геометрии в целом . Черкасы, 1995. – С. 78 –79.
АНОТАЦІЇ
Савєльєв В. М. Теорія кривини грассманового образу підмноговидів евклідового та ріманового простору. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 – геометрія і топологія. – Харківський державний університет, Харків, 1999.
Головними обьектами досліджень в роботі є секційна кривина мно-говиду Грассмана вздовж дотичної площини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі та кривина метрики грассманового образу. Доведена гіпотеза О.А.Борисенко для підмноговидів в евклідовому просторі у яких корозмірність не перевищує розмірність (за винятком випадку ). Гіпотеза О.А.Борисенко доведена також для підмноговидів , де . Встановлено виконання гіпотези в класі комплексно-аналітичних поверхонь. Доведена формула для нормальної кривини грассманового образу підмноговиду в евклідовому просторі. Показано, що ця кривина може розглядатись для як -вимірний аналог скрута кривої. Виведена формула для кривини метрики грассманового образу підмноговиду з плоскою нормальною зв'язністю. Дано застосування цієї формули для ізопараметричного підмноговиду.
Ключові слова: підмноговид, многовид Грассмана, грассмановий образ підмноговиду в евклідовому просторі, секційна кривина много-виду Грассмана вздож площини дотичної до грассманового образу.
Савельев В.М. Теория кривизны грассманова образа подмного-образия евклидова и риманова пространства. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.01.04 – геометрия и топология. – Харьковский государственный университет, Харьков, 1999.
Основными обьектами исследований в работе есть кривизна мно-гообразия Грассмана вдоль грассманова образу подмногообразия в евклидовом пространстве и кривизна метрики грассманова образа. Доказана гипотеза А.А.Борисенко для подмногообразий в евклидовом пространстве у которых коразмерность не превышает размерность (кроме случая ). Имеет место
Теорема 2.1.1. Пусть , (n3) — регулярное (класса ) подмногообразие с невырожденным грассмановым образом . Если nm, кроме n=m=4, то в касательном пространстве грассманова образа в произвольной точке существует двумерная площадка, для которой кривизна многообразия Грассмана не превышает 1.
Гипотеза А.А.Борисенко доказана также для подмногообразий , где . Установлено выполнение гипотезы в кла-ссе комплексно-аналитических минимальных поверхностей которые определяются действительной и мнимой частью комплексно-аналитических функций. Для плюккерова вложения многообразия Грассмана как подмногообразия сферы (N=) доказана формула для нормальной кривизны многообразия Грассмана вдоль направлений касающихся грасссманова образа регулярного подмного-образия . Показано, что эта кривизна может рассматриватся для подмногообразия как -мерный аналог кручения кри-вой, а именно верна
Теорема 3.8.3. Пусть — регулярное (класса подмногообра-зие в (n+m)-мерном евклидовом пространстве , причем грассма-новий образ подмногообразия невырожден. Для того чтобы подмно-гообразие принадлежало (n+1)-мерному евклидовому простран-ству необходимо и достаточно, чтобы нормальная кривизна многоо-бразия Грассмана (N= ) вдоль направлений, касаю-щихся грассманова образа подмногообразия тождественно равнялась нулю.
Выведена формула для кривизны метрики грасссманова образу подмногообразия с плоской нормальной связностью. Дано примене-ние этой формулы для изопараметрического подмногообразия.
Ключевые слова: подмногообразие, многообразие Грассмана, грас-сманов образ подмногообразия, секционная кривизна многообразия Грассмана вдоль площадки касательной к грассманову образу.
Savel'ev V.M. Theory curvature of the Grassmannian image of submanifolds in Euclidean and Riemannian spaces. - Manuscript.
Thesis for candidate's degree on speciality 01.01.04 – geometry and topology. - The Kharkov State Universyty, Kharkov, 1999.
The main objects studied in the given work is a sectional curvature of the Grassmann manifold in the tangent planes of the Grassmannian image submanifolds in Euclidean space and curvature of metrics of Grassmannian image. The proof of A.A. Borysenko's hypothesis for submanifolds in Euclidean space whose codimension does not exceed dimensionality (except cace ) is given. Borysenko's hypothesis is also proved for submanifolds , where . The performing a hypothesis in the complex-analy4tical class of surfaces is stated. The formula for the normal curvature of Grassmannian image of submanifold in Euclidean space is also given. The fact that this curvature can be considered as an analogue of torsion crooked is showing. The formula for the curvature of metrics of Grassmannian image of the submanifolds with flat normal conection. Aplication for this formula for isoparametric submanifolds is given.
Key words: submanifolds, manifold Grassmann, Grassmannian image of the submanifolds in Euclidean space, sectional curvature of the Grassmann manifold in the tangent planes of the Grassmannian image.