Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

классы Приложение 3

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

5-8 классы

Приложение 3. Делимость чисел

Таблица простых чисел до 1500.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61
67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251
257	263	269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953
967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213
1217	1223	1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321
1327	1361	1367	1373	1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481
1483	1487	1489	1493	1499

Задание 1. Если простые числа отличаются на 2, то их называют числами-близнецами. Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73.

Назовите числа-близнецы из пятой сотни.

Задание 2. Найдите первых шесть чисел Мерсенна и определите, есть ли среди них составные числа.

Задание 3. Найдите три совершенных числа.

Задание 4. Припишите к числу 1000000 три цифры справа так, чтобы число делилось на 7, 8 и 9

Свойства делимости:

Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.
Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Задание 5. Используя свойства делимости и данные о делимости на число k каждого слагаемого, определите, делится ли на k сумма или произведение.

1-е число	2-е число	3-ье число	Сумма	Произведение
д	д	д
н	д	д
д	н	д
д	д	н
н	н	д
н	д	н
д	н	н
н	н	н

Задание 6. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.

Задание 7. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Задание 8. Приведите примеры взаимно простых чисел и чисел, имеющих несколько общих делителей, найдите для них НОД.

Задание 9. Найдите НОД и НОК для чисел:

А) 18, 63;

Б) 18, 84;

В) 63, 84;

Г) 18, 63, 84.

Задание 10. Вася рвёт газету на 8 частей, одну из получившихся частей - ещё на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2013 частей?

Задание 11. Докажите, что k3 - k делится на 6 при любом целом k.

Задание 12. Докажите, что если р – простое нечетное число, то р2 – 1 делится на 4.

Задание 13. На какую цифру оканчивается число 32013?

Задание 14. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения .

Задание 15 (Кенгуру-2004). Каков наибольший делитель числа 32004 + 6, отличный от этого числа?

Задание 16. Запишите:

а) формулу чётного числа;

б) формулу нечётного числа;

в) формулу числа, кратного числу b;

г) формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

Задание 17. При делении натуральных чисел на 4 образуются подмножества натуральных чисел, делящихся на 4 с разными остатками. Изобразите схематично, как множество натуральных чисел и эти подмножества связаны между собой. Приведите примеры чисел из каждого подмножества.

Существуют ли натуральные числа, не входящие ни в одно из этих подмножеств?

Задание 18. Не производя вычислений, докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88+ 89 +90 делится на 7 и на 87.

Задание 19. Не используя калькулятор и вычисления в столбик, найдите остаток от деления на 25 значения выражения 5355 + 2724 - 10129.

Задание 20 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 1

Домашнее задание 2 для 7-8 классов

Делимость и остатки

Задание 1. Пользуясь признаками делимости, определите, какие из чисел: 24, 45, 99, 101, 132, 256, 900, 12568 делятся на 3, 4, 6, 7, 8, 9 и 15.

Задание 2. Найдите последнюю цифру числа 250.

Задание 3. Не используя калькулятор и не вычисляя в столбик, найдите остаток от деления на 15 значения выражения: 2120 + 1918 - 1716.

Задание 4. Найдите НОД и НОК чисел: 5000, 2646, 420.

Задание 5. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны яблок, 7 пусты, а 7 наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и яблок (пересыпать яблоки нельзя)?

Задание 6. Винни-Пух ходит в гости к Кролику каждый третий день, Пятачок ходит в гости к Кролику каждый четвёртый день, а ослик Иа – каждый пятый день. 1 декабря 2012 года у Кролика оказались вместе все друзья. Какого числа они впервые после 1 декабря снова встретились все вместе у Кролика?

Задание 7. Хулиган Петя рвёт школьную стенгазету: сначала на несколько частей, потом одну из получившихся частей - еще на столько же, как и в первый раз, и т.д. Проделав эту операцию 11 раз, он устал и попросил друга Васю посчитать число кусков. Вася насчитал 34 куска. На сколько кусков каждый раз разрывал Петя?

Задание 8. Найдите наименьшее число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5.

ТЕОРИЯ

7-8 классы

Модуль 2. Делимость чисел

Делимость - способность одного числа делиться на другое. Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные (натуральные) числа, то говорят, что одно число делится на другое (является кратным другого), если частное от деления первого числа на второе будет также целым числом.

Число называется простым, если у него нет делителей, отличных от него самого и от единицы (например, числа 2, 3, 5, 7, 97, 199 и т.д.), и составным в противном случае. Число 1 не является ни простым числом, ни составным. Обратим внимание, что среди простых чисел только одно чётное – 2.

Доказано, что простых чисел - бесконечно много. Таблицы простых чисел печатаются в математических справочниках и учебниках, их можно найти в Интернете.

Таблица простых чисел до 1500.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61
67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251
257	263	269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953
967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213
1217	1223	1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321
1327	1361	1367	1373	1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481
1483	1487	1489	1493	1499

Задание 1. Если простые числа отличаются на 2, то их называют числами-близнецами. Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Назовите числа-близнецы из пятой сотни.

Ответ: 419 и 421, 431 и 433, 461 и 463.

Марен Мерсенн (1588 - 1648) - французский математик и философ. Со времён студенчества дружил с Декартом. Переписывался с Галилеем, Паскалем, Торричелли и Ферма. Когда он жил в Париже, в его доме еженедельно происходили собрания математиков и физиков, сообщавших результаты своих исследований. При содействии Кольбера в 1666 году из этого кружка образовалась Парижская Академия наук. Сочинения самого Мерсенна были посвящены богословию, физике и теории чисел.

Мерсенн исследовал числа вида Мр = 2р - 1, где р – простое число.

М2 = 22- 1 = 3; простое число;

М3= 23- 1 = 7; простое число;

Задание 2. Найдите первых шесть чисел Мерсена и определите, есть ли среди них составные числа.

Решение. М5 = 25- 1 = 31; простое число.

М7 = 127 - простое число.

М11 = 2047 – составное (23∙89).

М13 =8191 –простое.

Ответ: М11 – составное число.

Математикам всегда было интересно найти самое большое простое число. Леонард Эйлер в своё время нашел большое простое число 231 − 1 = 2147483647.

p	Число цифр в числе p	Год открытия	Кто открыл
2127 – 1	39	1876	Люка
(2148 + 1)/17	44	1951	Феррье
114(2127 – 1) + 1 180(2127 – 1)2 + 1	41 79	1951	Миллер + Уиллер + EDSAC 1
2521 – 1 2607 – 1 21279 – 1 22203 – 1 22281 – 1	157 183 386 664 687	1952	Лемер + Робинсон + SWAC
23217 – 1	969	1957	Ризель + BESK
24253 – 1 24423 – 1	1281 1332	1961	Хурвитц + Селфридж + IBM 7090
29689 – 1 29941 – 1 211213 – 1	2917 2993 3376	1963	Гиллис + ILIAC 2
219937 – 1	6002	1971	Таккермэн + IBM 360
…

На сегодняшний день известно более 40 простых чисел Мерсенна. Современная техника позволяет ускорить процессы вычислений, однако все равно это трудоёмкий процесс, и тому, кто найдет простое число из более чем 100 000 000 цифр обещана большая премия.

Число называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от него самого. Например, 6 – совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3.

Евклид обнаружил, что если число 2p – 1 – простое, то число 2p–1(2p – 1) будет совершенным. Например, для р =2, 2р- 1 = 22- 1 = 3; 2p–1(2p – 1) = 22–1(22 – 1) =2∙3 =6.

Через века Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Существуют ли вообще нечётные совершенные числа науке до сих пор неизвестно.

Задание 3. Найдите три совершенных числа.

Решение.

Если р = 3, 2р- 1 = 23- 1 = 7, 2p–1(2p – 1) = 23–1(23 – 1) = 4∙7 = 28. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если р = 5, 2р- 1 = 25- 1 = 31, 2p–1(2p – 1) = 25–1(25 – 1) =16∙31 =496.

496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Если р = 7, 2р- 1 = 27- 1 = 127, 2p–1(2p – 1) = 27–1(27– 1) =64∙127 =8128.

8128 = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + 32+ 64 + 127 + 254 + 508 +1016 + 2032 + 4064.

Ответ: 28, 496, 8128.

Любое целое число можно представить в виде произведения простых чисел или разложить на простые множители. Например, 504 = 2*2*2*3*3*7, причём это разложение единственно с точностью до порядка множителей (как говорят, однозначно). Так, разложение числа 504 на множители может быть записано также следующим образом: 504 = 3*2*7*3*2*2 = 7*3*2*2*3*2 и т.д., однако все эти разложения отличаются только порядком множителей.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел единственным образом.

Запись числа в виде произведения степеней в порядке возрастания их оснований называется каноническим разложением числа: 504 = 23*32*71

В общем случае, число n делится на простое число р тогда и только тогда, когда р встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Существует ряд признаков делимости, по которым можно легко определить, делится ли натуральное число n на данное простое число р.

Число делится на 2, если оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то есть если оно чётное.
Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Число делится на 3 или на 9, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно. Например, число 414 делится и на 3 и на 9 (сумма цифр равна 9), а число 417 делится на 3, но не делится на 9 (сумма цифр равна 12, делится на 3 и не делится на 9).
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11. Например, число 1969 делится на 11, т.к. сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна 18, а на нечётных - 7.

5. Число делится на 7 или на 13, если на эти числа делится разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу. Например, 825678 делится на 7, т.к. 825678 = 147 делится на 7.

Задание 4. Припишите к числу 1 000 000 три цифры справа так, чтобы число делилось на 7, 8 и 9.

Решение. Чтобы искомое число делилось на 8, число, составленное из приписанных цифр должно делиться на 8; чтобы делилось на 9 – сумма цифр искомого числа должна делиться на 9. Получить такое число (делится на 8 и 9) самым простым способом можно приписав 008. Получится число 1000 000 008. Проверим делимость его на 7.

По признаку делимости на 7: 1000000 – 8 = 999992;

999 - 992 = 7; 7 делится на 7.

Или просто делим, 1 000 000 008: 7= 142 857 144. Мы получили искомое число.

Ответ: (числа могут быть разными, например 1000 000 008).

Кроме признаков делимости на простые числа существуют также признаки делимости на составные числа. Например:

Число делится на 4, если число, записываемое двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.
Число делится на 8, если число, записываемое тремя последними цифрами этого числа, делится на 8.

Установлено, что если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. На этом факте основаны простые признаки делимости на 6 = 2*3, на 12 = 3*4,

на 15 = 3*5, на 18 = 2*9 и т.д.

На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3. Например, 12432 делится на 6, так как делится и на 2 и на 3.
На 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель). Например, 75348 делится на 12, так как делится и на 3 и на 4.
На 15 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 5. Например, 23520 делится на 15, так как делится и на 3 и на 5.
На 18 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 9. Например, 13518 делится на 18, так как делится и на 2 и на 9, и т.д.

Полезно помнить и следующие свойства делимости чисел.

Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.
Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Задание 5. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

1-е число	2-е число	3-ье число	Сумма	Произведение
д	д	д
н	д	д
д	н	д
д	д	н
н	н	д
н	д	н
д	н	н
н	н	н

Решение.

1 число	2 число	3 число	Сумма	Произведение
д	д	д	д	д
н	д	д	н	д
д	н	д	н	д
д	д	н	н	д
н	н	д	Может делиться, может не делиться	д
н	д	н	Может делиться, может не делиться	д
д	н	н	Может делиться, может не делиться	д
н	н	н	Может делиться, может не делиться	н

Задание 6. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.

Задание 7. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Решение.

А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Ложное. Пример: 6 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

В) Ложное. Пример: 6 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

Общие делители и кратные.

Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Например, числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 являются общими делителями для чисел 36 и 24, а числа 14 и 15 имеют только один общий делитель – 1.

Для двух и более чисел среди всех их общих делителей существует наибольший, называемый наибольшим общим делителем (НОД). Например, НОД (48, 36, 24)=12.

Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то числа называются взаимно простыми. Например, НОД (16, 27) =1, значит, 16 и 27 – взаимно простые числа.

Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка). Например, числа 18, 12, 6, 120, 60 являются общими кратными для чисел 2 и 3.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Например, 6 – наименьшее общее кратное для 2 и 3.

Обратим внимание, что

Обычно НОД и НОК нескольких чисел находят, используя разложения чисел на простые множители. НОД равен произведению множителей, входящих в каждое разложение; НОК – произведению всех множителей, входящих хотя бы в одно разложение.

Рассмотрим множество делителей числа 20 и множество делителей числа 30:

Д(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, Д(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Найдем пересечение этих множеств.

Д(20) Д(30) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}, а Д(20) Д(30) = {1, 2, 5, 10}.

НОД (20,30) = 10, то есть НОД нескольких чисел – это наибольший элемент из пересечения множеств делителей этих чисел.

Задание 9. Найдите НОД и НОК для чисел:

А) 18, 63;

Б) 18, 84;

В) 63, 84;

Г) 18, 63, 84.

Ответ:

А) НОД(18,63) = 9; НОК(18,63) = 126.

Б) НОД(18,84) = 6; НОК(18,84) =252.

В) НОД(63,84) = 21; НОК(63,84) =252.

Г) НОД(18,63,84) = 3; НОК(18,63,84) = 252.

Существует способ для вычисления НОД двух чисел – алгоритм Евклида, который особенно удобен, если числа большие.

Он основан на следующих свойствах делимости:

Любой общий делитель чисел а и b (а > b) является делителем числа (а - b).
Любой общий делитель чисел b и (а - b) является делителем числа а.

Тогда НОД (а, b)= НОД (b, а - b).

Например, НОД(451, 287) = НОД(451-287, 287) = НОД(164, 287) = НОД(164, 123) = НОД(41, 123) = НОД (41, 82) = НОД (41, 41) = 41.

Несмотря на свою простоту, алгоритм Евклида является важным элементом математического образования.

Рассмотрим несколько задач.

Решение. Так как Вася все время рвёт на 8 частей, то в первый раз у него получится 8 частей, во второй раз - 15 разных частей (1∙7+8), в третий раз 22 части (27+8) и т.д., то есть каждый раз количество кусочков увеличивается на 7 частей, общее количество частей всегда имеет вид К7+8. Посмотрим на число 2013, его нельзя представить в виде К7+8. (2013 – 8 =2005, а 2005 не делится на 7). Значит, Вася не сможет разорвать газету на 2013 частей.

Ответ: нет.

Задание 11. Докажите, что k3 - k делится на 6 при любом целом k.

Решение. k3 – k = k(k2- 1) = k(k - 1)(k + 1). Получили произведение трёх последовательных чисел, из них одно всегда будет делиться на 3, и хотя бы одно будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 6.

Задание 12. Докажите, что если р – простое нечётное число, то р2 – 1 делится на 4.

Решение. р2 – 1 = (р - 1)(р +1). Получили произведение двух чисел, одно из них больше на 1 нечётного числа, другое - меньше на 1, значит, оба чётные. Произведение двух чётных чисел делится на 4.

Произведение двух последовательных чётных чисел всегда будет делиться на 8. Первое чётное 2n, второе (2n + 2) , их произведение 2n(2n + 2) =2n∙2(n + 1) =4n∙(n + 1)делится на 4 и хотя бы одно из чисел n или (n + 1) будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 8.

Задание 13. На какую цифру оканчивается число 32013?

Решение. Попробуем найти закономерность: 31=3, 32=9; 33=27; 34=81; 35=243; 36=729, 37=2187 и т.д. Очевидно, что последние цифры степени числа 3 начинают повторяться в определенном порядке: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… и т. д. Обратим внимание, что повторяются всего 4 цифры (3, 9, 7, 1), то есть число равное 3n, где n кратно четырём, всегда оканчивается на 1. Разделим степень числа 3 на 4: 2013=4∙500 +13 = 4∙500 +12 + 1, отсюда 32012 оканчивается на 1, а 32013 оканчивается на 3.

Ответ: 3.

Задание 14. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения .

Решение. 10100 = 2100∙5100. Следовательно, в числителе нас интересуют только множители, кратные 2 и 5.

100! = 1 ∙ 2∙ 3 ∙ 4 ∙ …..∙ 98 ∙ 99 ∙ 100 – произведение 100 первых натуральных чисел. Среди них половина - чётные, это дает 50 множителей, равных 2. Ровно 25 чисел делятся на 4, это дает еще дополнительно 25 множителей, равных 2. На 8 делятся 12 чисел, еще 12 множителей, равных 2. На 16 делятся 6 чисел, на 32 - 3 числа, на 64 - 1. Итого 97 множителей, равных 2. Значит, в каноническом разложении числителя присутствует 297. Аналогично∙рассуждая, находим 24 множителя, равных 5. Значит, в каноническом разложении присутствует 524. После сокращения в знаменателе останется 23 ∙576.

Ответ: 23 ∙576.

Задание 15 (Кенгуру-2004). Каков наибольший делитель числа 32004 + 6, отличный от этого числа?

Решение. Число 32004 + 6 не делится на 2, так как 6 делится на 2, а 32004 – не делится. Но 32004 + 6 делится на 3. Поэтому наименьший делитель этого числа равен 3. Чтобы получить наибольший делитель, отличный от самого числа, надо это число разделить на наименьший делитель. Поэтому наибольший делитель равен (32004 + 6) : 3 = 32003 + 2.

Ответ: 32003 + 2.

Свойства остатков.

Мы уже знаем, что для любого натурального числа n существует представление его в виде n=km + r, где 0 r <m, k, r целые числа.

k называется неполным частным от деления n на m, а r – остатком.

Задание 16. Запишите:

а) формулу чётного числа;

б) формулу нечётного числа;

в) формулу числа, кратного числу b;

г) формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

Решение. а) n = 2m;

б) n = 2m+1;

в) n = bm;

г) n = 17m+11.

Существуют ли натуральные числа, не входящие ни в одно из этих подмножеств?

Ответ:

n = 4m+1

n = 4m

n = 4m+3

n = 4m+2

Множество натуральных чисел разбивается на четыре непересекающихся подмножества.

Натуральных чисел, не входящих ни в одно из этих подмножеств, нет.

Основные свойства остатков:

Пусть остаток от деления целого числа n1 на m равен r1, а остаток от деления n2 на m равен r2. Тогда:

Остаток от деления n1+n2 на m равен остатку от деления r1+r2 на m;
Остаток от деления n1–n2 на m равен остатку от деления r1–r2 на m;
Остаток от деления n1n2 на m равен остатку от деления r1r2 на m.

Задание 18. Не производя вычислений, докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

Решение. Если рассмотрим попарно первое и седьмое (последнее), второе и шестое (второе с конца), третье и пятое слагаемые, то очевидно, что их сумма (пара чисел) будет делиться на 87 (и равна 287). Тогда вся сумма равна 787.

Решение. Остаток от деления на 25 числа 53 равен 3, числа 55 равен 5, числа 27 - 2, числа 24 – 24, числа 101 - 1, числа 29 – 4.

Используя основные свойства остатков, получаем:

Остаток от деления на 25 произведения 5355 равен 15 (35 =15, 15: 25 =0 (ост.15)).
Остаток от деления на 25 произведения 2724 равен 23 (224 =48, 48:25= 1(ост.23)).
Остаток от деления на 25 произведения10129 равен 4 (14=4, 4 : 25 = 0(ост.4)).

Тогда остаток от деления на 25 значения выражения 5359 + 10129 - 2724 равен

остатку от деления на 25 числа 34 (15+23 – 4), то есть 9.

Ответ: 9.

Задание 20 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 100…00 на 15?

1000000…00

666…

100

Решение. Попробуем начать делить число 100…00 на 15.

Очевидно, что в результате деления остаток будет равен 10.

Ответ. 10.

1. Роль, место и задачи по координации действий территориальных и функциональных органов ГО и ЧС при ликвидации чрезвычайных ситуаций
2. Old nd new wedding customs nd trditions in Gret Britin nd the US
3. поршневого насоса Гидростатическое давление и его свойства Гидростатическое сопротивление Эксцент
4. Банковская система, ее структура и сущность
5. Індоєвропейські мови
6. Спокойный сердцем невозвышающийся лучезарный развитый внимательный освобожденный от зла гибкий готовы
7. Острый пиелонефрит Хронический пиелоне
8. Центр молодежных инициатив от 09.
9. Относительным
10. На тему- Развитие и размещение ведущих отраслей промышленности Сибирского федерального округа
11. На тему- Оздоровчі системи
12. Аз ~йы~тау деген ма~ыналы~ ре~к бай~алатын т~ра~ты с~з тіркесі
13. производственного персонала по категориям работающих планирование фонда заработной платы расчет средней
14. а. Лаки це прозорі розчини природних або синтетичних плівкоутворювачів смол або ефірів целюлози в спирт.html
15. Эмоциональное развитие детей младшего дошкольного возраста
16. Русский репортер ’19 49-22 мая 2008 Причинить добро [3] Анна Рудницкая спец
17. ПРИНЦИПЫ РАЗГРАНИЧЕНИЯ ПРЕДМЕТОВ ВЕДЕНИЯ И ПОЛНОМОЧИЙ ОРГАНОВ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ РФ И ЕЕ СУБЪЕКТОВ К
18. Выключайте руки в локтях когда они выпрямляются над головой но не удерживайте это положение
19. Правда у нас уже было 15 человек и мы в основном занимались разработкой нормативной базы
20. Эффективность разведения овец мясошерстного направления

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе