Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Кинематика в вопросах и ответах
Вопрос 1. Определения кинематики и механики.
Ответ. Кинематика (от греч. kinema, kinematos – движение) – это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения без учета их масс и действующих сил. Кинематику называют также геометрией движения. Движущиеся объекты рассматриваются как материальные точки или материальные тела.
Механика – это наука о движении материальных объектов и их взаимодействии между собой и окружающим миром при таком движении. Основой для создания и развития математической теории механических движений являются:
Аксиомы, постулаты, определения. Аксиомами служат законы механических движений и законы изменения сил, установленных в физической механике.
Математические модели физических (материальных) объектов. В теоретической механике строятся теории механических движений некоторых идеализированных материальных объектов.
Т.е. теоретическая механика – это математическая наука о механических движениях математических моделей материальных объектов.
Вопрос 2. Основные задачи кинематики.
Ответ. Основными задачами кинематики являются:
Разработка способов задания и описания механических движений материальных объектов.
Разработка способов вычисления кинематических характеристик движения (положения, скорости, ускорения материальных объектов)
Вопрос 3. Математические модели и основные (первичные) понятия теоретической механики.
Ответ.
Модели теоретической механики
модели материальных тел модель пространства модель времени
Основными понятиями теоретической механики являются: абсолютное пространство, абсолютное время, точка отсчета, система отсчета.
Вопрос 4. Абсолютное пространство.
Ответ. Абсолютное пространство – это трехмерное, однородное, изотропное евклидово пространство. Оно обладает следующими свойствами:
Оно имеет три независимых линейных измерения, это независимые измерения в трех линейно независимых направлениях.
Пространство не зависит от движения и изменения материи в нем («однородность»); оно имеет одинаковые свойства для всех материальных объектов (независимо от их природы).
Изменение свойств движений материальных объектов во всех направлениях одинаковое («изотропность»).
В пространстве действует геометрия Евклида.
Единица длины в пространстве – это 1 метр (м).
Вопрос 5. Абсолютное время.
Ответ. Абсолютное время – это:
– непрерывно изменяющаяся величина;
– изменение ее происходит от «прошлого» к «будущему»;
– однородная величина (в том смысле, что она не зависит от движения и изменения материи и одинакова во всех точках пространства).
Единица времени – это 1 секунда (с).
Вопрос 6. Понятия «точки отсчета» и «системы отсчета». Математические модели материальных объектов.
Ответ. Точкой отсчета называется геометрическая точка, фиксированная в пространстве, относительно которой рассматриваются положения всех других точек пространства или какого-либо множества точек из этого пространства.
Системой отсчета называется фиксированная декартова прямоугольная система координат (ДПСК) с началом в точке отсчета О.
Систему отсчета будем обозначать Oijk или Oxyz, где О – точка отсчета, или иначе, полюс декартовой прямоугольной системы координат;
i, j, k – базис ДПСК (единичные взаимно-ортогональные векторы);
x, y, z – координатные оси системы отсчета.
В основе теории механических движений в классической механике лежат следующие математические модели реальных материальных объектов:
1) материальная точка;
2) система материальных точек, или иначе, "механическая система";
3) неизменяемые механические системы и абсолютно твердые тела (атт);
4) деформируемые тела, жидкие и газообразные среды.
Вопрос 7. Понятия материальной точки, механической системы, неизменяемой (жесткой) системы и абсолютно твердого тела.
Ответ. Материальная точка - это часть материи, достаточно малая для того, чтобы в любой момент времени t можно было определить ее положение в абсолютном пространстве как положение объекта, не имеющего геометрических размеров, т.е. объекта, являющегося геометрической точкой.
Любая совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных между собой по каким-либо правилам, называется механической системой, или иначе, системой материальных точек.
Неизменяемой (жесткой) механической системой называется такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками ее остаются постоянными на любых движениях этой системы.
Неизменяемая механическая система, состоящая из континуума материальных точек, называется абсолютно твердым телом (или просто - твердым телом).
Континуум материальных точек - совокупность материальных точек, состоящая из несчетного их множества, причем геометрическим образом этой совокупности в евклидовом пространстве в любой момент времени t является ограниченное, замкнутое, связное множество, всюду плотное в себе.
Вопрос 8. Понятие положения, движения и кинематических характеристик материальной точки и механической системы.
Ответ. Положением материальной точки в момент времени t относительно точки отсчета О называется радиус-вектор той геометрической точки пространства, с которой в данный момент времени t совпадает материальная точка.
Положением механической системы в момент времени t относительно точки отсчета О называется совокупность положений относительно точки О в этот момент времени всех материальных точек, входящих в состав данной системы.
Движением материальной точки называется дважды непрерывно дифференцируемая на промежутке времени J ᴄ R вектор-функция , которая в каждый момент времени tJ задает положение материальной точки относительно выбранной точки отсчета О.
Движением механической системы, состоящей из N материальных точек, называется совокупность дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций , ν = 1, …, N, задающих движения на промежутке времени J ᴄ R¹ всех материальных точек, входящих в состав этой системы.
Мгновенной скоростью (скоростью) материальной точки в момент времени t называется производная по времени от ее движения, вычисленная для этого момента времени.
Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t называется производная от вектора скорости.
Мгновенной скоростью (мгновенным ускорением) механической системы в момент времени t называется совокупность векторов, являющихся скоростями (ускорениями) в этот момент всех материальных точек, входящих в систему.
Вопрос 9. Векторный способ задания движения точки.
Ответ. Для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:
Такой способ называется векторным заданием движения точки.
. Эта формула –векторная форма определения движения точки при задании ее скорости как функции времени.
. Эта формула - векторная форма определения движения точки при задании ее ускорения как функции времени.
Вопрос 10. Координатный способ задания движения точки.
Ответ. Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета.
Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то она будет обозначаться или , где — базис, а — координаты точек в ней.
Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее или , где — базис, а — координаты точек.
Координатами вектора в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам:
, .
Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.
Если задать в каждый момент времени координаты точки в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , то будем иметь
, , . Тогда получим
.
Последнее соотношение позволяет определить положение точки в любой момент из промежутка времени, где заданы функции .Причем, поскольку они дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция будет также дважды непрерывно дифференцируема.
А это значит, что соотношения , , определяют движение материальной точки.
Аналогично, в аффинных координатах положение точки в любой момент времени может быть вычислено по формуле
.
Способ задания движения материальной точки по формуле:
, , ,
или
, ,
называется координатным.
При задании положения точки в декартовых координатах выражение для скорости имеет вид:
; при задании положения точки в аффинных координат, соответственно, будем иметь .
При задании движения в декартовых координатах для ускорения выполняются равенства:
; при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид.
Вопрос 11. Естественный способ задания движения точки.
Ответ. Пусть движение материальной точки описывается векторным способом, ,
где — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором рассматривается движение, , — множество вещественных чисел. Это соотношение в каждый момент времени задает в евклидовом пространстве положение геометрической точки, в котором находится в этот момент движущаяся материальная точка. Дополним пространство четвертым независимым измерением — временной осью .В таком четырехмерном пространстве уравнение при изменении координаты задает кривую, которая называется графиком движения.
Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех положений материальной точки, каждое из которых она занимает хотя бы в один момент времени, совершая движение , называется траекторией материальной точки.
Аналитически траектория описывается равенством :, .
В отличие от графика движения траектория строится в трехмерном пространстве и является его проекцией на абсолютное пространство .
Годографом вектор-функции называется геометрическое место точек в абсолютном пространстве, образованное концами векторов , имеющих своим началом точку отсчета .
Если известна скорость материальной точки при всех , то для построения ее годографа:
Аналогично строится годограф ускорения этой точки.
Суть естественного способа задания движения материальной точки такова: задается траектория и закон движения точки по этой траектории.
Математически этот способ задания движения описывается следующими действиями:
Вопрос 12. Вычисление скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения. Теорема Гюйгенса.
Ответ. По определению скорости материальной точки можем записать .
Здесь – движение точки , заданное векторным способом; – ее скорость в момент времени .
Согласно связи векторного способа с естественным имеем,
где – естественная параметризация траектории движения, – закон движения по этой траектории.
Дифференцируя по , получаем, где — орт касательной к траектории в той ее точке, с которой совпадает положение материальной точки в момент времени .
Обратимся теперь к выводу формулы для вычисления ускорения материальной точки.
По определению ускорения имеем:. Заменяя в правой части на , и дифференцируя по , получим:
.
Воспользуемся формулой Френе, получим:
.
Теорема Гюйгенса.
Вектор мгновенного ускорения точки (ускорения в момент времени ) находится в соприкасающейся плоскости к траектории ее движения и равен векторной сумме касательного (тангенциального) ускорения
и нормального ускорения .
Вопрос 13. Кинематический способ определения радиуса кривизны кривой.
Ответ. Из формулы Гюйгенса:находим
.
Покажем, что.Действительно,, тогда.
Дифференцируя это равенство по , получим.
Возводим в квадрат и приходим к соотношению.
Таким образом, ,
.
Вопрос 14. Плоское движение точки.
Ответ. Движение материальной точки называется плоским, если траектория этой точки является плоской кривой.
Плоскость, в которой совершает свое движение точка, является соприкасающейся плоскостью ее траектории.
Для описания плоского движения, как правило, используется следующая система отсчета (см. рис.).
За начало отсчета (точка ) выбирается какая-либо точка в плоскости движения.
В системе отсчета плоского движения:
Орт оси определяет в абсолютном пространстве ориентацию плоскости движения точки.
Плоское движение точки называется круговым, если траекторией ее движения является окружность.
Вопрос 15. Задание движения точки в полярных координатах.
Ответ. Полярная система координат задается следующим образом:
Пусть в некоторый момент времени материальная точка занимает на плоскости положение , где . Будем определять это положение расстоянием от точки до точки и углом , который образует вектор с полярной осью.
Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.
Введем декартовую прямоугольную систему координат , в которой:
— точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;
— совпадает с полярной осью;
— ортогональна плоскости движения, и орт является ее базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости ; — дополняет систему до правой.
Тогда связь декартовых и полярных координат точки задается соотношением:
, , .
Здесь и .
Зависимость полярных координат и точки от ее декартовых координат и :
, .
Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :
, ,
Она имеет следующую аналитическую структуру:
Задать движение в полярных координатах — это значит задать закон изменения координат и по времени, в вектор-функции .
Вектор-функция устанавливает связь положения точки с ее полярными координатами и .
Эта связь в векторной форме имеет вид
. Введем орты и , вычисляемые через полярные координаты точки . Положим, по определению,,
,где .
Векторы и называются базисом полярной системы координат.
—векторный способ задания движения через полярные координаты.
В ней.
Вопрос 16. Понятие криволинейных координат точки. Задание движения в криволинейных координатах.
Ответ. Криволинейными (обобщенными) координатами материальной точки будем называть три независимые величины , которые обладают следующими свойствами:
задает положение материальной точки в абсолютном пространстве при.
.
Движением материальной точки в криволинейных координатах времени называем дважды непрерывно дифференцируемые функции , задающие криволинейные координаты точки в каждый момент времени .
Задать движение в криволинейных координатах — это значит:
,
Вопрос 17. Геометрические характеристики криволинейных координат.
Ответ. Пусть соотношение задает связь криволинейных координат вектора с декартовыми координатами .
Зафиксируем одну из криволинейных координат. Например, положим .
В полученном соотношениикоординаты , будем рассматривать как переменные параметры. Данное уравнение задает в пространстве поверхность, которая называется координатной поверхностью, отвечающей координате , или первой координатной поверхностью.
Зафиксируем в значения двух криволинейных координат:
и .
Тогда будем иметь.
Это соотношение задает в пространстве кривую, которая является пересечением второй и третьей координатных поверхностей:
,.
Такая кривая называется первой координатной линией.
Все координатные линии пересекаются в точке , обобщенные координаты которой имеют значения .
Вопрос 18. Основная система координат. Коэффициенты Ламе.
Ответ. Зафиксируем точку с криволинейными координатами .
Введем следующую аффинную систему координат :
Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по . Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно и для функции относительно . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют. Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам
Выполняется условие:
, поэтому векторы , , в точке будут некомпланарными. Обозначим орты этих векторов , . Тогда можем записать:, , где
.
Величина называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате .
Тройка единичных векторов является линейно независимой, поэтому можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке . Будем обозначать такую систему .
Аффинную систему координат с базисом будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам , а координаты произвольной точки в этой системе — контравариантными координатами точки .
Из определения 1 (криволинейных координат), формулы (1.5.5) и определения 4 (основной системы) следует, что:
основная система координат существует в любой в точке .
Положение ее полюса относительно точки отсчета в абсолютном пространстве и базис однозначно определяются по формулам (1.5.1) и (1.5.5):
, (1.5.1)
, , (1.5.5)
при любых фиксированных значениях криволинейных координат из области .
Вопрос 19. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
Ответ.
Если взаимно ортогональные векторы, то основная система координат называется ортогональной.
Если основная система координат ортогональна при любых значениях из области , то криволинейные координаты называются ортогональными.
Утверждение. Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых из области выполняются условия
, , .
В скалярной форме эти условия имеют вид:,
, , при .
К ним следует присоединить условие некомпланарности векторов :
,
причем:
.
Вопрос 20. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
Ответ. Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке , называется линейным перемещением точки из положения .
Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате .
Дифференциал контравариантной координаты называется линейным перемещением точки по контравариантной координате .
Утверждение. Линейное перемещение , линейные перемещения , и линейными перемещения по контравариантным координатам связаны между собой следующими соотношениями
, , , .
Здесь коэффициенты Ламе и базисные векторы , , вычисляются в точке .
Вопрос 21. Скорость точки в криволинейной системе координат. Связь скорости с обобщенными координатами.
Ответ. Пусть задано движение точки в криволинейных координатах, .
Величина называется обобщенной скоростью точки по координате в момент времени .
Поскольку в векторной форме движение задается формулой
, то по определению скорости можем записать
. Вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом , является суперпозицией вектор-функции от трех переменных и заданных функций , зависящих от времени , будем иметь. Это и есть формула связи скорости с обобщенными скоростями .
Вопрос 22. Ускорение точки в криволинейных координата. Теорема Лагранжа.
Ответ. Величина называется обобщенным ускорением точки по координате в момент времени .
Теорема Лагранжа.
Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле
, .
Эта формула называется формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.
Оператор называется оператором Эйлера-Лагранжа. Через него формула Лагранжа записывается в следующей форме:
, где .
Вопрос 23. Задание движения точки в цилиндрических координатах.
Ответ. Положение точки задается переменными :
— расстояние от полюса до проекции точки на плоскость . Его значения удовлетворяют неравенству:.
— угол в плоскости , отсчитываемый от положительного направления оси до луча . Здесь — это проекция точки на плоскость .
Угол принимает значения из промежутка .Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки.
— проекция радиус-вектора точки на ось ; , где — проекция точки на ось . Переменная может принимать любые значения .
Связь декартовых прямоугольных координат точки с цилиндрическими задается следующими формулами:
Обратная зависимость от , т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид: , , .
Вопрос 24. Задание движения точки в сферических координатах.
Ответ. Положение точки задается криволинейными координатами , , , которые называются сферическими.
Координата — это расстояние от полюса декартовой прямоугольной системы координат до точки . Принимает значения .
Координата — это угол в плоскости между положительным направлением оси и проекцией вектора на плоскость. Принимает значения в диапазоне.
Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки относительно орта .
Координата — это угол между плоскостью и радиус-вектором точки .
Угол отсчитывается от плоскости до радиус-вектора . Изменяется в диапазоне . Угол положителен, если точка принадлежит положительному полупространству относительно плоскости ; угол отрицателен, если находится в отрицательном полупространстве относительно плоскости .
Связь декартовых прямоугольных координат точки со сферическими задается формулами:
, , .
Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет вид:
, , .
Угол не определен в том случае, когда точка находится на оси . Угол не определен в том случае, когда точка совпадает с точкой .
Вопрос 25. Понятие связи. Кинематический и динамический способы задания связей. Классификация связей.
Ответ. Ограничения, накладываемые на кинематические характеристики и (или) на движения точек механической системы, называются связями.
В механике приняты два способа описания связей.
Один способ — это описание связей с помощью задания сил взаимодействия или силовых полей. Такой способ называется динамическим.
Другой способ — это описание (или иначе, — задание) связей с помощью математических соотношений в виде равенств или неравенств. Такой способ называется кинематическим.
1) Причина, по которой возникает ускорение материальной точки, называется силой, действующей на эту материальной точку (или иначе, силой, приложенной к данной точке).
Пусть заданы две материальные точки и . Если причиной возникновения ускорения материальной точки является присутствие в пространстве точки , то эта причина (сила) называется силой действия (воздействия) точки на точку .Если при этом точка является причиной возникновения ускорения точки , то это значит, что присутствуют две силы: сила действия точки на точку и сила действия точки на точку . В таком случае любая из этих двух сил называется силой взаимодействия точек и .
Динамический способ состоит в описании сил взаимодействия, возникающих между точками, входящими и (или) не входящими в состав механической системы.
2) При таком способе описания связей ограничения на движения и кинематические характеристики материальных объектов задаются математическими соотношениями, записанными в виде равенств и (или) неравенств. Математическое соотношение, описывающее связь кинематическим способом, называется математической моделью связи. Таким образом, математическая модель связи при кинематическом способе задания в общем случае может иметь вид:
или
.
При кинематическом способе описания связей принята следующая их классификация в зависимости от вида математических моделей:
1) связи удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) — таковыми являются связи, математические модели которых представимы в виде равенств:
, .
2) связи неудерживающие (односторонние, освобождающие) — это связи, математические модели которых представимы неравенствами:
, .
3) геометрическая (голономная, конечная) связь — связь, имеющая математическую модель следующего вида:. В ней отсутствуют скорости и ускорения всех точек.
4) дифференциальные связи;
5) стационарные (склерономные) голономные связи:;
6) нестационарные (реаномные) голономные связи: ;
7) внутренняя связь. Внутренней называется связь, в математической модели которой участвуют кинематические характеристики только тех материальных точек, которые входят в состав механической системы. Такая связь накладывает ограничения на взаимные расположения, и, быть может, на относительные скорости и ускорения этих точек при их движении друг относительно друга.
8) внешняя связь. Внешней называется связь, которая накладывает ограничения на кинематические характеристики точек механической системы относительно точек, которые не входят в ее состав. Иначе говоря, внешняя связь накладывает ограничения на абсолютные положения, абсолютные скорости и абсолютные ускорения точек системы.