Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
1. Вектор-функция одного скалярного аргумента и ее предел. Критерий существования предела (те 1). Пусть V3 – трехмерное Евклидово пространство. Основные объекты: точка и вектор. Основные операции:
В дальнейшем будем пользоваться только декартовой системой координат. Координаты точки – координаты ее r-вектора в базисе . Почти всегда будем отождествлять точку и ее r-вектор. Пусть . Пусть I – некоторый числовой промежуток. Отображение , которое каждому значению ставит в соответствие вектор называется векторной функцией или вектор-функция одного скалярного аргумента. При изменении t конец опишет некоторую линию (кривую), которая называется гадоерафом. Координаты вектора изменяются вместе с t, поэтому их можно рассматривать как функции от t: x(t), y(t), z(t) – координатные функции вектор-функции . Вектор-функцию можно представить в следующих видах: Заметим, что функция – то обычная числовая функция: . Вектор называется пределом функции, при , если . Обозначается: . Теорема 1. Вектор-функция имеет предел при тогда и только тогда, когда . Док-во.
Следовательно, чтобы найти предел вектор-функции надо найти предел ее функции |
2.Вектор-функция одного скалярного аргумента и ее предел. Правила вычисления пределов (теорема 2). Пусть V3 – трехмерное Евклидово пространство. Основные объекты: точка и вектор. Основные операции:
В дальнейшем будем пользоваться только декартовой системой координат. Координаты точки – координаты ее r-вектора в базисе . Почти всегда будем отождествлять точку и ее r-вектор. Пусть . Пусть I – некоторый числовой промежуток. Отображение , которое каждому значению ставит в соответствие вектор называется векторной функцией или вектор-функция одного скалярного аргумента. При изменении t конец опишет некоторую линию (кривую), которая называется гадоерафом. Координаты вектора изменяются вместе с t, поэтому их можно рассматривать как функции от t: x(t), y(t), z(t) – координатные функции вектор-функции . Вектор-функцию можно представить в следующих видах: Заметим, что функция – то обычная числовая функция: . Вектор называется пределом функции, при , если . Обозначается: . Теорема 2. Пусть и скалярное произведение определены на промежутке и существуют пределы . Тогда имеет место правила вычислений пределов: Док-во. . |
3. Производная вектор-функции одного скалярного аргумента. Критерий существования и правила вычисления производных. Вектор-функция называется непрерывной в точке t0, если существует предел функции в точке t0 равный значению функции в этой точке: . Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Вектор называется приращением вектор-функции в t0. Производной вектор-функции в t0 называется вектор , если предел существует. Производной вектор-функции в точке – это вектор, зависящий от выбора точки, т.е. производная вектор-функции является в функции. Вектор-функция, имеющая производную в точке, называется дифференциальной в этой точке. Если вектор-функция является дифференциальной в каждой точке промежутка, то она называется дифференциальной на этом промежутке. Производная вектор-функции имеет просто геометрич смысл: направлен по касательной к кривой, определяемой вектор-функцией в точке M(t). Теорема 3.Пусть . Существование производной равносильно существованию производных ее координатных функций . Док-во. Существование предела левой части равносильно существованию пределов . Аналогично для y и z. Откуда и получаем нужное равенство . Т. о., вычисление производной вектор-функции сводиться к вычислению производных ее координатной функции. Теорема 4. Имеют места правила вычисл производных: Док-во. 3. |
4. Кривая как вектор-функция одного скалярного аргумента. Гладкие, регулярные кривые. Пример окружности. Пусть V3 – трехмерное Евклидово пространство. Основные объекты: точка и вектор. Основные операции:
В дальнейшем будем пользоваться только декартовой системой координат. Координаты точки – координаты ее r-вектора в базисе . Почти всегда будем отождествлять точку и ее r-вектор. Пусть . Пусть I – некотор числ промежуток. Отображение , которое каждому значению ставит в соответствие вектор называется векторной функцией или вектор-функция одного скалярного аргумента. При изменении t конец опишет некоторую линию (кривую), которая называется гадоерафом. Координаты вектора изменяются вместе с t, поэтому их можно рассматривать как функции от t: x(t), y(t), z(t) – координатные функции вектор-функции . Вектор-функцию можно представить в следующих видах: Заметим, что функция – то обычная числовая функция: . Пусть .При движении в пространстве точка M(t) опишет некоторую кривую, Пусть – это радиус-вектор точки M(t). Тогда – это вектор-функция, определяемая этой кривой и наоборот, как мы отмечали ранее, каждая вектор-функция определяет некоторую кривую в пространстве. Поэтому можно отождествлять кривую и ее вектор-функцию. Под параметризованной кривой в пространстве будем понимать соответствующий ей вектор-функцию. Кривая называется гладкой класса Ск, если она имеет непрерывные производные до порядка k включительно. Кривая называется регулярной на , если . В дальнейшем будем рассматривать только регулярные кривые. Пр. Составить параметризацию окружности радиусом r. t – угол между положительным направлением Ох и радиусом-вектором т M(t), т.е. вект , t – параметр. Тогда M(Rcost, Rsint), . Значит –одна из бескон числа параметр.
Проверим регулярность: Значит окружность регулярная кривая. |
|
5.Вычисление длины регулярной кривой. Пример. Пусть .При движении в пространстве точка M(t) опишет некоторую кривую, Пусть – это радиус-вектор точки M(t). Тогда – это вектор-функция, определяемая этой кривой и наоборот, как мы отмечали ранее, каждая вектор-функция определяет некот кривую в пространстве. Поэтому можно отождествлять кривую и ее вектор-функцию. Под параметризованной кривой в пространстве будем понимать соответствующий ей вектор-функцию. Кривая называется гладкой класса Ск, если она имеет непрерывные производные до порядка k включительно. Кривая называется регулярной на , если . В дальнейшем будем рассматривать только регулярные кривые. При параметризации кривой параметр t можно выбирать бесконечным количеством способов, поэтому любая кривая имеет бесконечное количество параметризации. Наиболее важной является натуральная параметризация, при которой параметр выражает кривую прямой, т.е. при изменении натурального параметра S на длина кривой также изменится на . Теорема 1. Пусть произвольная регулярная кривая, , тогда ее длина вычисляется по формуле: . Док-во. Сделаем разбиение отрезка АВ точками . По правилу a=t1<t2<…<tn-1<tn=b. Тогда Sn – длина ломаной . Тогда . |
6. Натуральная параметризация регулярной кривой. Теорема о существовании натуральной параметризации. Пример. Пусть .При движении в пространстве точка M(t) опишет некоторую кривую, Пусть – это радиус-вектор точки M(t). Тогда – это вектор-функция, определяемая этой кривой и наоборот, как мы отмечали ранее, каждая вектор-функция определяет некот кривую в пространстве. Поэтому можно отождествлять кривую и ее вектор-функцию. Под параметризованной кривой в пространстве будем понимать соответствующий ей вектор-функцию. Кривая называется гладкой класса Ск, если она имеет непре производные до порядка k включительно. Кривая на регуляр на , если . В дальнейшем будем рассм только регулярн кривые. При параметризации кривой параметр t можно выбирать бесконечным количеством способов, поэтому любая кривая имеет бесконечное количество параметризации. Наиболее важной является натуральная параметризация, при которой параметр выражает кривую прямой, т.е. при изменении натурального параметра S на длина кривой также изменится на . Теорема 2. Каждая регулярная кривая допускает натуральную параметризацию. Док-во: Пусть S(t) – длина кривой. Тогда – интеграл с переменным пределом. Тогда по теореме Парроу: , т.к. , согласно условию регулярности функции. Следовательно S(t) – строго возрастающая функция, поэтому существует обратная функция t(S). Поэтому . Или если s=S, то , где s – натуральный параметр. Покажем, что кривая также является регулярной: Хотя чаще всего переход натуральной параметризации на практике осуществить невозможно. Вся теория опирается на натуральную параметризацию, т.к. она обладает многими замечательными свойствами. Производную вектор-функции от натурального параметра будем обозн |
7. Натуральная параметризация регулярной кривой. Теоремы о натуральной параметризации (теор 3 и 4). Пусть .При движении в пространстве точка M(t) опишет некоторую кривую, Пусть – это радиус-вектор точки M(t). Тогда – это вектор-функция, определяемая этой кривой и наоборот, как мы отмечали ранее, каждая вектор-функция определяет некот кривую в пространстве. Поэтому можно отождествлять кривую и ее вектор-функцию. Под параметризованной кривой в пространстве будем понимать соответствующий ей вектор-функцию. Кривая называется гладкой класса Ск, если она имеет непре производные до порядка k включительно. Кривая на регуляр на , если . В дальнейшем будем рассм только регулярн кривые. При параметризации кривой параметр t можно выбирать бесконечным количеством способов, поэтому любая кривая имеет бесконечное количество параметризации. Наиболее важной является натуральная параметризация, при которой параметр выражает кривую прямой, т.е. при изменении натурального параметра S на длина кривой также изменится на . Теорема 3. При любом значении натурального параметра длина производной вектор-функции равна единице: . Док-во: Продифференцировать обе части этого неравенства по S получим:. Теорема 4. При каждом значении натурального параметра . Док-во: Согласно прошлой теореме: Продифференцируем обе части: . |
8. Сопровождающий базис Френе. Формулы Френе (без доказательства). Дифференциальная геометрия изучает кривую локально, в окрестности данной точки. Мы знаем, что каждая натуральная кривая допускает натуральную параметризацию, направлен по касательной к кривой в соответствующей точке и и . Будем рассматривать случай, когда . Введем в обозначение: – нормированный и , где: – касательный вектор, , – вектор главной нормали получен нормированием . Поэтому , – вектор бинормали. По определению векторного произведения: , где – правая тройка. Получили, что все векторы единичны, попарно ортогональны. Тройка является правой, следовательно они образуют правый ортонормированный правый базис, который называется сопровождающий базис Френе. (M(s),– соприкасающаяся плоскость содержит касательную и главную нормаль; (M(s),) – нормальная плоскость содержит главную нормаль и бининормаль; (M(s), – спрямляющаяся плоскость содержит касательную и бинормаль. Базис Френе зависит лишь от выбора точки кривой, т.е. при движении точки кривой он некоторым образом вращается в пространстве. Как мы уже знаем производная вектор-функция указывает направление вектор-функции в данной точке, т.е. описывает ее поведение, динамику. Поэтому для изучения поведения базиса Френе при изменении точки М представляет интерес нахождения вектора в базисе . |
|
9. Вспомогательные леммы для вывода формул Френе и их доказательство. Дифференциальная геометрия изучает кривую локально, в окрестности данной точки. Мы знаем, что каждая натуральная кривая допускает натуральную параметризацию, направлен по касательной к кривой в соответствующей точке и и . Будем рассматривать случай, когда . Введем в обозначение: – нормированный и , где: – касательный вектор, , – вектор главной нормали получен нормированием . Поэтому , – вектор бинормали. По определению векторного произведения: , где – правая тройка. Получили, что все векторы единичны, попарно ортогональны. Тройка является правой, следовательно они образуют правый ортонормированный правый базис, который называется сопровождающий базис Френе. Лемма 1. Пусть в ортонормированном базисе , тогда , , . Док-во: Домножим обе части на : . Аналогично с . Лемма 2. Пусть вектор-функция , тогда . Док-во: . Лемма 3. Если , то . Док-во: По теореме 4. |
10. Вывод формул Френе. Дифференциальная геометрия изучает кривую локально, в окрестности данной точки. Мы знаем, что каждая натуральная кривая допускает натуральную параметризацию, направлен по касательной к кривой в соответствующей точке и и . Будем рассматривать случай, когда . Введем в обозначение: – нормированный и , где: – касательный вектор, , – вектор главной нормали получен нормированием . Поэтому , – вектор бинормали. По определению векторного произведения: ,где – правая тройка. Получили, что все векторы единичны, попарно ортогональны. Тройка является правой, следовательно они образуют правый ортонормированный правый базис, который называется сопровождающий базис Френе. Из определения вектора . Обозначим модуль: => По определению . Т.к., – по признаку коллинеарных векторов. Из полученного равенства получим , но согласно Лемме 3: . Поэтому можно утверждать что (видно из рисунка). . Для нахождения домножим скаляр на обе части равенства на : . Найдем . По Лемме 3: , поэтому можно утверждать, что – компланарны и следовательно можно выразить так: . По Лемме 1: . . Получили что: . – формулы Френе(1847 г.), где – кривизна, – кручение, , – обычные числовые функции. |
11. Нахождение базиса Френе, кривизны и кручения в произвольной параметризации. Доказательство предложения о первой и второй производных вектор-функции и соприкасающейся плоскости. Дифференциальная геометрия изучает кривую локально, в окрестности данной точки. Мы знаем, что каждая натуральная кривая допускает натуральную параметризацию, направлен по касательной к кривой в соответствующей точке и и . Будем рассматривать случай, когда . Введем в обозначение: – нормированный и , где: – касательный вектор, , – вектор главной нормали получен нормированием . Поэтому , – вектор бинормали. По определению векторного произведения: ,где – правая тройка. Получили, что все векторы единичны, попарно ортогональны. Тройка является правой, следовательно они образуют правый ортонормированный правый базис, который называется сопровождающий базис Френе. Кратко остановимся на вычислении базиса Френе в случае произвольной ненатуральной параметризации. Здесь можно воспользоваться тем фактом, что вектор лежит в той же плоскости, что , т.е. в соприкосающейся плоскости: . Пронармировав эти векторы получим нужные векторы: . Кривизна и кручение могут быть вычислены по формуле: . |
12. Локальное поведение кривой в пространстве. Будем исследовать локальное поведение кривой в данной точке с помощью формул Френе. Пусть – натуральная параметризация С4, М=М(0) – данная точка, – натуральный параметр, отсчитываемый от точки М. Обозначим . Для изучения кривой выберем декартову систему координат, определяемую точкой М и базисом Френе. – репер Френе. Будем считать в дальнейшем, что кривизна и кручение не нулевые. Для вектора-функции имеет место формула Тейлора: , где . В нашем случае t=0, a . Значит формула примет вид: (*). С учетом равенств , . Подставляя полученное выражение в (*) получим: . Отсюда видно, что при малых , кривая ведет себя как кривая:. |
|
13. Геометрический смысл кривизны и кручения. Теорема Серре. Отсюда видно, что при малых , кривая ведет себя как кривая:. Функция позволяет выяснить геометрический смысл кривизны и кручения кривой. Легко заметить, тчо чем ближе к нулю, тем ближе к прямой , касательной к в точке. Следовательно кривизна К характеризует степень отклонения кривой от ее касательной в точке М. Это геометрический смысл кривизны. Теперь устремим к нулю, при этом устремится к кривой , где p(S) – это плоская кривая, лежащая в плоскости – это соприкосающаяся плоскость, т.е. – кручение, которое характеризует отклонение кривой от соприкосающейся плоскости в окрестности точки . Это геометрический смысл кручения. Более всего кривая изменяется в направлении вектора , менее всего в направлении вектора . Касаемо кривизны и кручения возникает два важных вопроса: 1) какими функциями могут быть ? 2) чем отличаются функции r1(S) и r2(S), которые имеют одинаковую кривизну и кручение? Ответы на эти вопросы дает следующая теорема. Теорема Серре. Пусть на отрезке [a;b] определены две непрерывные функции , причем , тогда существует регулярная кривая , для которых – это кривизна, – кручение, и она определена с точностью до расположения в пространстве (без док-ва). |
14. Поверхность как вектор-функция двух скалярных аргументов. Гладкие и регулярные поверхности. Координаты точки на поверхности. В курсе аналитической геометрии мы уже сталкивались с некоторыми поверхностями: первого порядка(плоскость) и второго порядка (эллипсоид, параболоид и д.р) При их изучении мы ограничивались лишь алгеброй, но при исследовании более сложных поверхностей нам будут нужны производные, интегралы, дифференциальные уравнения. Классическая дифференциальная геометрия изучает поверхности, как и кривые локально в окружности данной точки. Основные результаты здесь были получены Гаусом. Он ввел и основал обозначения. Пусть Φ – полусфера радиусом – 1,ω – круг. Отображение: взаимно-однозначно (биекция) - это вектор-функция двух скалярных аргументов. Т.е. мы показали, что данная поверхность определяет некоторую вектор-функцию двух переменных и наоборот поверхность может быть задана вектор-функцией двух переменных. Определение: Под поверхностью в пространстве будем понимать производную вектор-функцию двух скалярных аргументов (*) Пусть . Тогда Частные производные вектор-функции. Определение: Поверхность называется гладкой класса если она имеет непрерывные частные производные до порядка k включительно. опр: Поверхность называется регулярной, если её частные производные , линейно независимы(не коллинеарные) при всех В дальнейшем будем рассматр только регулярные. Легко доказать, что, если поверхность регулярная, то за счет уменьшения области можно добиться, чтобы разным точкам соответствовали разные точки поверхности. В таком случае между точками и точками поверхности имеется взаимно-однозначное соответствие . В таком случае координаты точки M можно условиться называть не только тройку (x, y, z), но и пару . |
15. Кривая на поверхности, координатные кривые. Координатная сетка. Геометрический смысл частных производных вектор-функции. Пусть некоторая поверхность некоторая кривая в области . Тогда – кривая лежащая на поверхност R(t) состоит из точек поверхности, которые соответствуют точкам кривой из . Прямые и называются координатными прямыми в . Их совокупность называется координатной сеткой. Тогда , – координатные кривые на поверхности образуют координатную сетку на поверхности. Очевидно, через каждую точку проходит две координатные прямые, поэтому через каждую точку на поверхности проходят две координатные прямые теорема (геометрический смысл частных производных вектор- функций) , является касательными векторами к координатным кривым поверхности , проходящими через точку Док-во. Пусть Эта поверхность состоит из точек Пусть – координатная кривая, соответствует координатной прямой . проходит через точку (при ). Тогда и при является касательной вектором к в точке . В точке получим = + Для так же доказывается. |
16. Поверхности вращения. Регулярность поверхности вращения. Координатные кривые на поверхности вращения. Поверхности вращения образуют простой и важный класс регулярных поверхностей. С некоторыми из них мы сталкивал: конус, цилиндр, эллипсоид, гиперболоид, параболоид вращения. Пусть в плоскости xOz задана кривая будем рассматривать случай когда γ регулярная кривая ( и некол.) и . При вращении около оси Ox кривая γ опишет некоторую поверхность, которая называется поверхностью вращения. При этом γ называется профилем вращения. Ось Ox – ось вращения. Пусть точка M это M(ϑ). Пусть M(ϑ) – произвольная точка на γ, (ϑ) – её проекция на xOy, – точка поверхности полученная из M поворотом на угол u. - проекция на плоскость xOy. лежит на окр рад r = 0 =x() Следовательно, имеет координаты . Поэтому Получили, что поверхность вращения задается вектор- функцией Проверим поверхность на регулярность. Надо показать, что они не колли. От противного. Пусть По условию γ – это регулярная кривая значит её производная ≠ Т.е. и одновременно. Пусть , тогда т.к. , а по условию. Получили противоречие, значит поверхность вращения регулярная во всех своих точках. Что представляют собой координатные прямые на поверхность вращения? – они называются параллелями. Это окружность, образованная вращением точки профиля называются меридианами. Кривая, кот получ из профиля поворотом на Докажем, что параллели и меридианы перпендикулярны друг другу. Надо показать, что их направленные векторы () по теореме §5 ортогональны. |
|
17. Линейч поверхности. Поверхность касательных, цилиндрические и конические поверхности. Регулярность поверхности касательных. Опр:Поверхность называется линейчатой, если через каждую её точку проходит прямая целиком лежащая на поверхности. Например: плоскость, цилиндр, конус, однополосный гиперболоид, гиперболический параболоид. Заданный вектор - функции задает в пространстве некоторую прямую, будем рассматривать как направляющий вектор прямой скользящей вдоль . Тогда эта прямая опишет линейчатую поверхность задаваемую вектор-функцией ; Координатной кривой при , т.е. является прямая – одно из положений прямой скользящей вдоль . Такие прямые называются прямолинейными образующими. Пример 1: Поверхность касательной Пусть – регулярн кривая, u – её натур параметр. Полагаем, что её кривизна . Значит, а кривизна . Поверхность, образованная движением касательной вдоль называется поверхностью касательной. Задается она вектор-функцией
; Если (т.е. точка лежит на ), то производная по = производной по . Следовательно = . Частные производные коллинеарные, значит поверхность не регулярна. Пусть т.к натуральный параметр, то , причем , т.к. по условию кривизна . Из рисунка видно, что и неколлинеарные, т.о. поверхность касательных регулярна во всех точках не лежащих на кривой на этой кривой регулярность нарушается. Пример 2: Цилиндрическая поверхность Выведем её уравнение: -направление вектор прямой Т.к. , то уравнение получается
Цилиндрическая поверхность обращается при движении кривой с постоянным направляющим вектором вдоль кривой . Пример 3: Коническая поверхность
Коническая поверхность образуется при движении прямой, если одна её точка не подвижна, а другая движется вдоль некоторой кривой. |
18. Внутренняя геометрия поверхности. Опр: Изгибанием поверхности называется такая её деформация, при которой сохраняются длины всех лежащих на ее кривых. Например: свёртывание в трубочку листа бумаги - это изгибание плоскости, т.к. длины нарисованных на ней кривых не изменяются. При сгибании сохраняются и некоторые другие величины, например углы между прямыми на поверхности площади на ней. Все свойства поверхности не изменяются, при любых изгибаниях составляют предмет внутренней геометрии поверхности. Если соединить на листе бумаги две точки отрезка и потом изогнуть лист, то отрезок перейдёт в некоторую кривую линию, но его свойство, быть кратчайшей из линий, соединяющих на поверхности обе точки, сохраняются, следовательно, это свойство внутренней геометрии. Кривизна линии будет зависеть от того, в какой мере изогнута поверхность и, следовательно, не относится к внутренней геометрии. Поскольку планиметрия не использует пространство, в котором находится плоскость, все её теоремы относятся к внутренней геометрии любой поверхности, полученной изгибанием плоскости. Можно сказать, что планиметрия, это внутренняя геометрия плоскости. Ещё один пример внутренней геометрии, это геометрия на сфере с которой мы имеем дело при измерении на земной поверхности. Вместо земли-сферы можно рассматривать любую другую поверхность, населённую настолько маленькими существами, что в пределах их кругозора поверхность кажется плоской (достаточно малый кусок любой поверхности почти не отличается кос-ной плоскости). Эти существа не будут замечать, что плоскость искривлена в пространстве, но при измерении больших расстояний они убедятся, что в их геометрии действуют другие законы (не плоскостные), соответствующие внутренней геометрии поверхности на которой они живут. В том, что законы действительно различны, легко убедится на следующем примере. Возьмём на поверхности некоторую точку О и рассмотрим кривую l такую, что расстояние от любой её точки до О равно постоянному числу r. С точки зрения внутренней геометрии, кривая l, это окружность радиуса r , формула выражает её длину d(r), относится к внутренней геометрии поверхности. Но эта зависимость самая разнообразная. На плоскости , а на сфере радиуса R . Это говорит о том, что плоскость и сфера обладают различной внутренней геометрией, т.е. участок сферы нельзя изогнуть на участок сферы. |
19. Длина кривой на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Пусть (u, v), где u, v ∈ W – регулирующая поверхность: u=u(t), v=v(t). Кривая в области W, тогда (t)= (u(t), v(t)) – соответствующая кривая на поверхности. Вопрос об измерении длины кривой на поверхности лежит в основе геометрической поверхности. Как мы знаем, для вычисления ее длины необходимо знать производные соотв. В ф. Вспомним некоторые сведения из математического анализа: пусть f(u, v), u(t), v(t) – гладкие функции, g(t)=f(u(t), v(t)) g’(t)= Можно доказать, что для в. Ф. она аналогичная: ’(t)= u’(u(t), v(t))u’(t)+v’(u(t), v(t))v’(t) |(t)|= Введем обозначения(следуя Гаусу): E, F, G – скалярные функции переменных u и v, определенные на W. Т.о. для длины дуги кривой получаем: С учетом формулу можно записать в виде: (1) Дифференциальное выражение (2) называется первой квадратичной формой поверхности(ПКФ). Функции E(u, v), F(u, v), G(u, v) называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности. Значение (2) формула (1) может быть записана очень кратко: (3) Пример. Найти ПКФ поверхности вращения (u, v)
Пусть и – регулярные поверхно, имеют одну и туже ПКФ: , . Кривая область W – cсоответственные кривые на поверхности r1 и r2. Из формулы (3) кривые r1(t) и r2(t) имеют одинаковую длину. Т.к. Внешняя геометрическая полнота определяется измерением кривых на поверхности, то можно сделать вывод, что поверхности r1 и r2 имеют одну и туже внутреннюю геометрию, т.е. одну поверхность можно получить путем изгибания другой поверхности. Такое изгибание можно описать отображением Теорема: если 2 поверхности имеют одну и туже ПКФ, то их внутренние геометрии совпадают. Замечание: при этом поверхности внешне будут совершенно различны. |
20. Первая квадратичная форма и внутренняя геометрия регулярной поверхности. Критерий изгибаемости поверхности на поверхность. Пусть – регулярная кривая в пространстве, и – ее натуральный параметр. – поверхность касательной к этой кривой. Найдем ее ПКФ: пускай
В силу теорем 3 и 4 §2 получаем: , т.к.
Видим, что I зависит от кривизны, но не зависит от кручения. Рассмотрим вспомогательную кривую , которая имеет такую же кривизну k и нулевое кручение X(u)=0(существование этой кривой следует из теоремы Серре). Поверхности касательных кривых и имеют одну и туже самую ПКФ их внутренние геометрии совпадают, но – плоская кривая. Все это обозначает, что поверхность касательной любой кривой локально имеет одну и туже внутреннюю геометрию, что и плоскость. Это так называемая теорема Эйлера. Теорема: Внутренняя геометрия малого куска произвольной поверхности касательной совпадает с внутренней геометрией куска плоскости. Поверхности, малые куски которых изгибаются на плоскости(т.е. имеют одну и туже внутреннюю геометрию, что и плоскость) называются развертывающимися. Если поверхности имеют одинаковые ПКФ, то у них одна и также внутренняя геометрия. Имеет ли место обратная теорема? Теорема(критерий изгибаемости): регулярная поверхность F1 изгибается на регулярной поверхности F2 только тогда, когда существуют такие параметризации, что их ПКФ совпадают Пусть F1 и F2 – 2 одинаковых куска плоскости с разными параметризациями. Пусть u=x, v=y Пусть u=OM, v=xOM
,
Видно, что , хотя F1 и F2 одна и также поверхность. |
|
21. Касательная плоскость, вектор нормали и нормаль поверхности. Кривизна нормального сечения. Полная кривизна поверхности. Пусть – регулярная поверхность, и – касательные вектора к координатным кривым поверхности в т. М(u, v). Поверхность W: M(u, v), , , определяется точкой М и направленные вектора , называются касательной плоскостью поверхности в точке М(u, v). Касательная плоскость является наиболее близкой плоскостью к поверхности в окрестности точки М. Очевидно, что вектор является нормальным вектором плоскости W. – называется вектором нормали поверхности в данной точке М. Прямая L:M(u, v), называется нормалью поверхности в точке М. Через нормаль поверхности проходит бесконечно много плоскостей, каждая из которых объединяет поверхность по некоторой кривой, проходящей через точку М(u, v). Каждая такая кривая называется нормальным сечением поверхности. Все нормальные сечения в совместимости дают полное представление о поверхности в окружности точки М. Важной характеристикой кривой в окружности данной точки является ее кривизна. Она характеризует поведение кривой около этой точки, поэтому представляет интерес. Изучение кривизна нормального сечения при повороте плоскости П около нормали L. Полученные результаты могут дать важную информацию о строении поверхностей в окружности точки М. Уточнить понятие кривизны нормального сечения. При повороте плоскости П около нормали L будет изменятся и нормальное сечение, его кривизна. |
22.∑=π+k*S(T) Из полученной формулы следует: 1.если К=0,то ∑=π Поверхности постоянной нулевой кривизны-плоскость,цилиндрическая и каноническая поверхности и поверхность касательных. Сумма углов неодезического треугольника=π. Действительно,все эи поверхности можно изогнуть на плоскости. При этом геодезический треугольник перейдет в геодезический на поверхности,т.е в обычный треугольник,для которого ∑=π.Но при изгибаниях углы не меняются,поэтому сумма углов в исходном треугольнике так же равна π. 2.К>0,то ∑>π. Поверхности постоянной положительной кривизны-это сфера Экватор 1/R*R. 3.К<0,то ∑<π. Поверхность постоянной отрицательной кривизны-псевдосфера. К=-1/а*а. Причем,чем больше S(T),тем меньше ∑ |
||
|
27. Геодезические на поверхности вращения. Т.Клеро:на поверхности вращения вдоль каждой геодезической ρcosα=c,где ρ-радиус параллели,проходящий через точку геодезической,α-угол между параллелью и геодезической в этой точке,с-постоянная для данной геодезической число. Опишем геодезические на эллипсоиде вращения. Некоторые геодезические легко указать сразу-это экватор и все меридианы.Действительно,экватор и меридианы-это плоские кривые,значит их соприкасающиеся плоскости-это плоскости,в которых они лежат,а нормаль к эллипсоиду в каждой точке экватора(меридиана)лежит в плоскости экватора(меридиана).Значит,экватор и меридианы явл по 2ому определению геодезической. Т.к нормаль поверхности не лежит в плоскости параллели для любой точки этой параллели,то следует,что параллели не явл геодезическими. Любая геодезическая,отличная от экватора и меридиана совершает колебания,поочередно касаясь 2х симеетричных по отношению к экватору параллели. Т.е напоминает своим поведением синусоиду. Радиус этих параллелей зависит от угла пересечения геодезической с экватором и может быть вычислен по ф-ле терро. |
28.Понятие о римановой геометрии. При изучении поверхности важную поль играет введенная гауссом ПКФ поверхности.Она позволяет проводить измерения на поверхности:вычислять длины,углы,площади. Можно также находить кривизну пов-ти. В основе римановой геометрии лежат 3 идеи: 1.признание существования неевклидовой геометрии 2.идущие от гаусса понятия внутренней геометрии поверхности и ее аналитический аппарат в виде ПКФ 3.понятие о многомерном пространстве. Под геодезической в R3 будем понимать,как и раньше, кривые наименьшей длины,т.е такие кривые,что их отрезки между любыми достаточно близкими точками есть кратчайшие. Кривизну в каждой точке будем определять как 3ку чисел. Полные кривизны К1(х1,х2,х3),К2(х1,х2,х3),К3(х1,х2,х3)этих поверхностей явл компонентами римановой кривизны в точке (х1,х2,х3). Если функции К1,К2,К3 тождественно равны 0,то мы имеем дело с обычным евклидовым пространством. |