Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 17. ТИПЫ ЗАДАЧ
И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
В начальной школе вы решали задачи по действиям
и с помощью простых уравнений. В 5 классе круг таких задач расширяется. Поэтому важно знать, какие бывают типы задач, какими способами их можно решать и каким из них лучше воспользоваться для решения той или иной задачи.
В задачах, которые будем рассматривать, пойдёт речь об одной, двух или трёх величинах. Каждую задачу можно решить по действиям, оперируя заданными числовыми значениями величин. Это — арифметический
способ решения. По условию задачи также можно составить
уравнение и с его помощью получить ответ к ней.
Такой способ решения задач называют алгебраическим.
Задачи с одной величиной
На полке стояли книги. После того, как с полки
взяли 12 книг, а поставили — 9, на полке стало 39 книг. Сколько
книг стояло на полке сначала?
Составим краткую запись данных задачи в
• виде таблицы 17.
Таблица 17
Было Взяли Поставили Стало
? 12 кн. 9 кн. 39 кн.
1. Арифметический способ.
Количество книг на полке меняли дважды.
1. Сколько книг стояло на полке перед вторым изменением?
3 9 - 9 = 30 (кн.).
2. Сколько книг стояло на полке перед первым изменением?
30+ 12 = 42 (кн.).
Итак, сначала на полке стояло 42 книги.
2. Алгебраический способ.
Пусть х – количество книг которые стояли на полках.Тогда
(х-12)+9=39,\
Х-12=39-9
Х-12=30
Х=42
Задачи с двумя одноимёнными величинами
З а д а ч а 2 На двух полках стоит 72 книги. Сколько книг на
каждой полке, если на второй полке книг в 2 раза больше,
чем на первой?
Составим краткую запись данных задачи в
виде таблицы 18.
Таблица 18
1-я полка ?,
2-я полка в 2 раза больше, чем
Всего 72 книги
1. Арифметический способ. Если книги, стоящие на первой
полке, составляют 1 часть, то на второй полке — 2 такие части.
1. Сколько частей составляют 72 книги?
1 +2 = 3(ч.).
2. Сколько книг приходится на одну часть (стоят на первой
полке)?
72 : 3 = 24 (кн.).
3. Сколько книг стоят на второй полке?
24- 2 = 48 (кн.).
Итак, на 1 -й полке стоят 24 книги, а на 2-й полке — 48 книг.
2. Алгебраический способ. Пусть х — количество книг, стоящих на 1 -й полке, тогда 2х — количество книг, стоящих на 2-й полке. Получаем уравнение: х + 2х = 72. Решим уравнение: Зх = 72, х = 72 : 3, х = 24 (кн.) — на 1 -й полке.
2х = 2 ■ 24 = 48 (кн.) — на 2-й полке.
Итак, на 1 -й полке стоят 24 книги, а на 2-й полке — 48 книг.
Задачи с тремя зависимыми величинами
К этому типу относят задачи: 1) на стоимость; 2) на
работу; 3) на движение. В них одна величина равна произведению двух других, и эту зависимость можно задать формулой. Одну из таких формул вы знаете — это формула, выражающая закон движения: s = vt. Вам также
известно, что стоимость покупки и объём выполненной работы можно найти аналогично. Рассмотрим задачи
За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 грн. Сколько стоит килограмм яблок и сколько — килограмм груш, если груши дороже яблок на 2 грн? Составим краткую запись данных задачи в
виде таблицы 19.
Таблица 19
Фрукты Цена Количество Стоимость
Яблоки ? 2 кг
Груши ?, на 2 грн больше, чем 3 кг
Всего 31 грв
1. Арифметический способ. Стоимость покупки находят
как произведение цены на количество купленого: С - a * п,
где С — стоимость, a — цена, п — количество.
1. На сколько меньше стоила бы покупка, если бы цена груш была такая же, как и цена яблок?
2 *3 = 6 (грн).
2. Сколько стоила бы покупка, если бы цена груш была такая же, как и цена яблок?
31 - 6 = 25 (грн).
3. Сколько стоит килограмм яблок? 2 5 : 5 = 5 (грн).
4. Сколько стоит килограмм груш? 5+ 2 = 7 (грн).
Итак, 1 кг яблок стоит 5 грн, а 1 кг груш — 7 грн.
2. Алгебраический способ. Пусть х — цена 1 кг яблок,
тогда х + 2 — цена 1 кг груш. Можем составить уравнение:
х * 2 + (х + 2) • 3 = 31. Решим его: 2 х + 3(х + 2) = 31,
2х + З х + 6 = 31, 5х = 31 - 6, 5 х = 25, х = 25 : 5, х = 5 (грн) —
цена 1 кг яблок. Найдём цену груш: х + 2 = 5 + 2 = 7 (грн) — цена
1 кг груш. Итак, 1 кг яблок стоит 5 грн, а 1 кг груш — 7 грн.
Один мастер может изготовить 24 детали за
3 ч. Второй мастер в час изготавливает на 2 детали меньше,
чем первый. За какое время он изготовит 24 детали?
Составим краткую запись данных задачи
в виде таблицы 20.
Таблица 20
Мастер Производительность труда Время Работа
1-й Зч 24дет
2-й ?, на 2 дет. меньше, чем х 24д
1. Арифметический способ. Объём выполненной работы
находят как произведение производительности труда на
время: А = р * t, где А — объём работы, р — производительность
труда, t — время работы.
1. Какова производительность труда 1 -го мастера?
24 : 3 = 8 (дет./ч).
2. Какова производительность труда 2-го мастера?
8 - 2 = 6 (дет./ч).
3. Сколько времени понадобится 2-му мастеру на выполнение
работы?
2 4 : 6 = 4(4).
Итак, 2-й мастер изготовит 24 детали за 4 ч.
2. Алгебраический способ. Пусть х — время, необходимое
2-му мастеру на выполнение работы. Тогда: (24:3 - 2) • х = 24.
Решим уравнение: 6х = 24, х = 24 : 6, х = 4 (ч). Итак, 2-й мастер изготовит 24 детали за 4 ч.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми составляет 50 км. Встретились они через 2 ч. Первый ехал со скоростью12 км/ч. Найдите скорость второго велосипедиста.
Составим краткую запись данных задачи
в виде таблицы 21.
Таблица 21
Велосипедист Скорость Время Путь
1-й 12 км/ч 2ч
50км
2-й х 2ч
1. Арифметический способ. В задачах на движение краткая
запись может иметь вид графической модели (рис. 145).
Путь находят как произведение скорости на время: s = ѵ * t,
: где v — скорость, t — время, s — путь,
1. Какое расстояние проехал 1 -й велосипедист?
12 * 2 = 24 (км).
2. Какое расстояние проехал 2-й велосипедист?
5 0 - 2 4 = 26 (км).
3. С какой скоростью ехал 2-й велосипедист?
26 : 2 = 13 (км/ч).
: Итак, скорость второго велосипедиста 13 км/ч. Данную задачу можно решить арифметически и по-другому.
2. С какой скоростью ехал 2-й велосипедист?
2 5 - 12= 13 (км/ч).
Итак, скорость второго велосипедиста 13 км/ч.
2. Алгебраический способ. Пусть х — скорость второго велосипедиста. Тогда: 12 • 2 + х ■ 2 = 50. Решим уравнение:
24 + 2 х = 50, 2х = 5 0 - 2 4 , 2 х = 26, х = 26 : 2, х= 13 (км/ч). Итак,
:скорость второго велосипедиста 13 км/ч.
Обратите внимание:
1 ) п р и в с т р е ч н о м д в и ж е н и и с к о р о с т ь с б л и ж е н и я
р а в н а с у м м е с к о р о с т е й у ч а с т н и к о в д в и ж е н и я ;
2 ) п р и д в и ж е н и и в п р о т и в о п о л о ж н ы х н а п р а в л е н и я х
с к о р о с т ь у д а л е н и я р а в н а с у м м е с к о р о с т е й у ч а с т н и к
о в д в и ж е н и я ;
3 ) п р и д в и ж е н и и в о д н о м н а п р а в л е н и и с к о р о с т ь с б л и ж
е н и я ( и л и у д а л е н и я ) р а в н а р а з н о с т и с к о р о с т е й
у ч а с т н и к о в д в и ж е н и я .
Катер прошёл 51 км по течению реки и потратил на это 3 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 15 км/ч.
Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 22.
Движение Скорость Время Путь
По течению 15 + ? Зч 51 км
1. Арифметический способ.
1. Чему равна скорость катера по течению?
51 : 3 = 17 (км/ч).
2. Чему равна скорость течения реки?
1 7 - 1 5 = 2 (км/ч). Итак, скорость течения реки 2 км/ч.
Тогда: (15 +х ) * 3 = 51. Решим уравнение: 15 + х = 51 : 3,
15 + х = 17, х = 17 - 15, х = 2 (км/ч). Итак, скорость течения реки 2 км/ч.
Обратите внимание:
1 ) скорость судна по течению реки равна сумме собственной
скорости судна и скорости течения реки;
2 ) скорость судна против течения реки равна разности собственной скорости судна и скорости течения реки.