Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Написать условие и разработать соответствие экономическо-математической модели к задачам. Реализовать модели в электронной таблице Excel, выписать соответствующие ответы.
Задача №1: Исходя из специализации и своих технологических возможностей предприятие может выступать четыре вида продукции. Сбыт любого количества обеспечен. Для изготовления этой продукции используются трудовые ресурсы, полуфабрикаты и станочное оборудование. Общий объём ресурсов, расход каждого ресурса за единицу продукции, приведены в таблице. Требуется определить план выпуска, доставляющий предприятию максимум прибыли.
|
Ресурсы |
Выпускаемая продукция Н1 Н2 Н3 Н4 |
Объём ресурсов |
|
Р1 Трудовые ресурсы, чел-ч |
4 2 2 8 |
4800 |
|
Р2 Полуфабрикаты, кг |
2 10 6 0 |
2400 |
|
Р3 Станочное оборудование, станко-ч |
1 0 2 1 |
1500 |
|
Цена единицы продукции, р. |
65 70 60 120 |
Пусть - объёмы продукции планируемый к выпуску; - сумма ожидаемой выручки. Математическая модель прямой задачи:
Z= max
Excel 84000
Х3=400
Х4=500
Х7=200
Задача №2: Необходимо оптимальным образом распределить общую площадь засождений кустарников под различные виды, если известен
Общий объем производительных ресурсов, Необходимо оптимальным образом распределить общую площадь.
|
Виды ресурсов |
Нормы затрат на га 1 вид 2 вид 3 вид |
Объемы ресурсов, ч |
|
Механизированный труд, ч/га |
2 3 7 |
3000 |
|
Ручной труд, ч/га |
5 3 10 |
7000 |
|
Цена продукции, грн/ц |
10 8 7 |
|
|
Урожайность ц/га |
30 45 100 |
Х1= площадь засождений 1 вида, га
Х2= площадь засождений 2 вида, га
Х3= площадь засождений 3 вида, га
Z=10 Х1+ 8Х2+ 7Х3 max
Excel 440000
Х1=1333,33
Х2=111,11
Задача №3: Необходимо оптимальным образом распределить общую площадь посева под различные культуры,
Если известны общий объем производственных ресурсов, нормы их затрат на один гектар, а также урожайность каждой культуры и ее цена представлены в таблице.
|
Виды ресурсов |
Нормы затрат на га 1 вид 2 вид 3 вид |
Объемы ресурсов, ч |
|
Механизированный труд, ч/га |
1 1 5 |
8000 |
|
Ручной труд, ч/га |
2 2 18 |
9000 |
|
Цена продукции, грн/ц |
10 8 6 |
|
|
Урожайность ц/га |
30 45 75 |
Х1= площадь посева 1 вида, га
Х2= площадь посева 2 вида, га
Х3= площадь посева 3 вида, га
Z=10 Х1+ 8Х2+ 6Х3 max
Excel 3195450
Х2=4500
Х4=3500
Задача №1: Для откорма животных используется три вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800 г. жиров, 700 г. белков и 900 г. углеводов. Содержание в 1 кг. каждого вида комбикорма жиров белков и углеводов (граммы) приведено в таблице:
|
Содержание в 1 кг. |
Комбикорм |
|
А В С |
|
|
Жиры |
320 240 300 |
|
Белки |
170 130 110 |
|
Углеводы |
380 440 450 |
|
Стоимость 1 кг |
31 23 20 |
Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость?
Математическая модель задачи есть:
Х1,Х2,Х3 - количество комбикорма А,В и С. Стоимость смеси есть:
Z=31 Х1 +23 Х2 +20Х3 min
Ограничения на количество ингредиентов:
Excel 0
Х4=800
Х5=700
Х6=900
Задача №2: Плановый фонд продуктов и нормативы их затрат на приготовление ста блюд трех видов, а также получаемая от их продажи прибыль представлены в таблице.
Определить какую структуру приготовления блюда которые обеспечивают максимальную прибыль?
|
Продукты |
Нормы затрат продуктов на изготовление 100 блюд 1 вид 2 вид 3 вид |
Плановый фонд продуктов |
|
Рыба |
5 - 1 |
3100 |
|
Курица |
2 - 1 |
2400 |
|
Овощи |
1 7 - |
1900 |
|
Прибыль от продажи 100 блюд ед.ден. |
300 100 200 |
Х1= количество блюд 1 вида, в 100 шт
Х2= количество блюд 2 вида, в 100 шт
Х3= количество блюд 3 вида, в 100 шт
Z=300 Х1+ 100Х2+ 200Х3 max
Excel 507142,86
Х2=271,43
Х3=2400
Х4=700
Задача №1: Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ на производство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:
|
Рабочие |
Станки |
|
С1 С2 С3 С4 |
|
|
Р1 |
2,3 1,9 2,2 2,7 |
|
Р2 |
1,8 2,2 2,0 1,8 |
|
Р3 |
2,5 2,0 2,2 3,0 |
|
Р4 |
2,0 2,4 2,4 2,8 |
Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был минимален. Чему равен этот процент?
Обозначим за - переменные, которые принимают значения 1, если i-й рабочий работает на j-м станке. Если данное условие не выполняется, то . Целевая функция есть:
Вводим ограничения. Каждый рабочий может работать только на одном станке, то есть
Excel 4554621,23
Х21=1235,23
Х22=2694,2
Х23=2624,25
Задача №2: В городе возможно сооружение трех видов, каждый из которых характеризуется определенным количеством двухкомнатных, трехкомнатных и четырехкомнатных квартир, а также разной себестоимостью. Себестоимость количества квартир в каждом доме, а также требуемое количество квартир представлены в таблице. Составить план строительства жилых домов, обеспечивающей минимальную себестоимость всей застройки.
|
Вид квартир |
Количество квартир в одном доме 1 вид 2 вид 3 вид |
Требуемое количество квартир |
|
двухкомнатные |
10 6 1 |
1000 |
|
трехкомнатные |
8 5 1 |
800 |
|
четырехкомнатные |
9 4 4 |
700 |
|
Прибыль от продажи 100 блюд ед.ден. |
350 750 470 |
Х1= количество домов 1 типа
Х2= количество домов 2 типа
Х3= количество домов 3 типа
Z=350 Х1+750 Х2+ 470Х3 min
Excel 0
Х4=1000
Х5=800
Х6=700
Задача №1: Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеет на территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс. тонн. Четыре строительные организации , проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно 300, 600, 650 и 750 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:
|
Карьер |
Строительный объект |
|
1 2 3 4 |
|
|
1 |
8 4 1 7 |
|
2 |
3 6 7 3 |
|
3 |
6 5 11 8 |
Необходимо составить такой план перевозки (количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект), чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.
Данная транспортная задача является закрытой, так как запасы поставщиков 800+900+600=2300 равны спросу потребителей 300+600+650+750=2300. Математическая модель ЗЛП в данном случае имеет вид:
- количество щебенки, перевозимой с i–го карьера на j–й объект. Тогда целевая функция равна
Ограничения имеют вид
Excel 2655485,23
X31=2657
X32=2658
X34=152
Задача №2: Необходимо оптимальным образом распределить три экскаватора для выполнения работ на каждом из двух строительных объектов. Себестоимость земляных работ указана в таблице.
|
Экскаватор |
Себестоимость выполненных работ на строительном участке 1 2 |
|
1 |
3 5 |
|
2 |
2 3 |
|
3 |
5 1 |
Хij количество экскаватора на і ом объекте по j ой себестоимости выполненных работ на строительном участке.
Z=3X11…1 X32 max
Excel 59822582
X11= 2652
X12= 2658
X32= 72
Составить и решить задачи линейного программирования с двумя переменными графоаналитическим и симплексным методом. Сверить полученный результат и сверить ответ математическим программированием или исследования операций.
Z=12
0 6 (0;6) 0 3 (0;3)
3 0 (3;0) 5 0 (5;0)
ZA=12
A (0;3)
-7X1 12X 2
B
ZC=12 C (3;0)
ZD=12 D (0;0)
max
Ответ: Х1=3
max
Х2=0
max
Z=202
Excel
ЦФ=202
Х1=3
Х2=0
Решение задачи симплексным методом.
Бn Х1 Х2 Х3 Х4 Решение Отношение
Х3 3 6 1 0 32 12
Х4 5 3 0 1 30 6
Z -12 -4 0 0 0
Решение не является оптимальным.
Бn Х1 Х2 Х3 Х4 Решение Отношение
Х3 0
Х4 1 0 3
Z 0 4,3 0 2,4 202
Z=202
Х1=3
Х2=0
Решить транспортную задачу методом потенциалов. Потребителям Б1,Б2,Б3 и Б4 требуется песок в количествах соответственно б1, б2, б3 и б4 тонн. На
складах имеется следующее количество песка: А1 = а1 т, А2 = а2 т и А3 = а3 т. Требуемое и имеющееся количество песка приведено в табл.4. Расстояния между поставщиками и получателями песка приведены в табл.5. Необходимо
составить план перевозок песка (план закрепления потребителей за поставщиками) так, чтобы при минимальной транспортной работе были удовлетворены запросы всех потребителей.
Таблица 4
Предпоследняя а1 а2 а3 б1 б2 б3 б4
цифра шифра
0 90 60 50 40 70 50 40
1 110 70 60 50 80 60 50
2 120 90 70 60 90 70 60
3 130 100 90 70 100 80 70
4 150 110 100 80 110 90 80
5 160 120 120 90 120 100 90
6 170 140 130 100 130 110 100
7 190 150 140 110 140 120 110
8 200 160 160 120 150 130 120
9 210 180 170 130 160 140 130
Последняя X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34
цифра шифра
0 10 25 6 9 5 21 13 6 18 22 11 28
1 11 24 7 10 6 20 14 8 19 23 13 27
2 12 23 8 11 7 19 15 10 20 24 14 26
3 13 22 9 12 8 18 16 12 21 25 16 25
4 14 21 10 13 9 17 17 14 22 26 17 24
5 15 20 11 14 10 16 18 16 23 27 19 23
6 16 19 12 15 11 15 19 18 24 28 20 22
7 17 18 13 16 12 14 20 17 25 29 21 21
8 18 17 14 17 13 13 21 15 26 30 22 20
9 19 16 15 18 14 12 22 13 27 31 24 19
Пусть потребителям Б1, Б2, Б3 и Б4 требуется песок в количествах соответственно 30,70, 40 и 30 тонн. На складах имеется следующее количество песка: А1 = 80 т, А2= 50 т и А3 = 40 т. Расстояния между поставщиками и получателями песка приведены в табл.6. Необходимо составить план перевозок песка (план закрепления потребителей за поставщиками) так, чтобы при минимальной транспортной работе были удовлетворены запросы всех потребителей.
Таблица 6
Пункт назначения
Пункт отправления
Б1 Б2 Б3 Б4
А1 9 15 5 8
А2 4 9 6 5
А3 16 22 10 18
Очевидно, что транспортная работа будет минимальной, если доставлять песок каждому потребителю с ближайшего к нему склада. В таком случае решение было бы очевидным. Однако в рассматриваемой задаче это невозможно, так как для потребителей Б1, Б2 и Б4 с суммарной потребностью в 130 т ближайшим является склад А2, где имеется лишь 50 т песка. Поэтому для полного удовлетворения потребности этих потребителей неизбежны перевозки с других складов. При этом возможны различные варианты. 1. Составление матрицы условий. Запишем условия задачи в форме матрицы(табл.7). Таблица 7
Пункт Вспомогатель Пункт назначения Наличие груза,т
отправле ные Б1 Б2 Б3 Б4
ния
9 15 5 8
А1 10 40 30 80
4 9 6 5
А2 20 30 50
16 22 10 18
А3 40 40
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
В правых верхних углах клеток, представляющих собой реальные маршруты перевозок, указаны расстояния между соответствующими пунктами. В процессе решения задачи в средней части этих клеток записывают значения хij, которые делятся на основные и не основные. Не основные хij в таблице-матрице не пишутся и считаются равными нулю. К основным относятся все хij >0, а также те из хij =0, которые записываются в матрице. Основные хij записанные в матрице, обычно называют загрузками, а клетки, в которых они находятся, - занятыми. Клетки матрицы без загрузок называют незанятыми. 2. Составление допустимого исходного плана. Решение задачи начинается с составления допустимого плана. Производится это способом минимального элемента по строке следующим образом. Сначала планируем перевозки с первого склада, записывая их в соответствующие клетки первой строки. Производим это следующим образом. Сначала полностью удовлетворяем потребность ближайшего потребителя Б3, записав в клетку с наименьшим расстоянием 40 т. Поскольку в пункте А1 остается еще 40 т, удовлетворяем потребность следующего ближайшего потребителя Б4, записав в соответствующую клетку нужные ему 30 т. Оставшиеся 10 т заносим в клетку А1 Б1 и переходим к следующей строке матрицы. Теперь груз второго отправителя А2 планируем к перевозке ближайшим из еще неудовлетворенных потребителей, записывая соответствующие объемы в клетки второй строки последовательно, начиная с клетки с наименьшим расстоянием:, в клетку А2Б1 - 20 т и в клетку А2Б2 - 30 т. Перейдя к третьей строке матрицы, видим, что остался неудовлетворенным только один потребитель Б2. Планируем ему перевозку из А3, записав в клетку А3Б2 40 т. Вычисления закончены. Полученный допустимый план представлен в табл. 8. По этому плану перевозок потребность всех потребителей удовлетворяется полностью, а транспортная работа составит
Р = 10*9+40*5+30*8+20*4+30*9+40*22 = 1760 тонно-километров.
Пункт Вспомогатель Пункт назначения Налич отправле ные Б1 Б2 Б3 Б4 груза
ния
V1 V2 V3 V4
А1 U1 10 9 15 40 5 30 8 80
4 9 6 5
А2 U2 20 30 50
16 22 10 18
А3 U3 40 40
Потребность, т 30 70 40 30 170
При этом индексы Ui, записывают в клетки вспомогательного столбца, а индексы Vj - в клетки вспомогательной строки (табл. 8). Для определения индексов используют следующие правила:
1) индекс первой клетки вспомогательного столбца всегда равен нулю (U1 = 0);
2) для каждой занятой клетки матрицы сумма соответствующих ей индексов U и V (записанных против нее сверху и сбоку во вспомогательных клетках) равна расстоянию, указанному в данной клетке. Из последнего правила следует, что если у занятой клетки один из индексов известен, то другой равен разности ее расстояния и известного индекса, т.е.
Ui = Lij – Vj и Vj = Lij – Ui (1)
Запишем в матрицу индекс U1 = 0. Тогда у занятых клеток A1Б1, А1Б3 и А1Б4 один индекс известен и можно, используя равенство (1), определить индексы V1, V2 и V4 (табл.9):
V1 = L11 – U1 = 9-0=9
V3 = L13 – U1 = 5-0=5
V4 = L14 – U1 = 8-0=8
Теперь у занятой клетки А2Б1 известен индекс V1 и можно найти индекс
U2= L22 – U2 = 4-9 = -5. После этого определяем индекс V2, а затем индекс U3:
V2=L22 – U2 = 9 – (-5) = -5 и U3 = L32 – V2 = 22 – 14 = 8
Пункт Вспомога Пункт назначения Наличие
отправле тельные груза
ния Б1 Б2 Б3 Б4
9 14 5 8
А1 0 10 9 15 40 5 30 8 80
4 9 6 5
А2 -5 20 30 50
16 22 10 18
А3 8 40 40
Потребность, т 30 70 40 30 170
(U1 + V2 = 0 + 14) < (L12 = 15)
(U2 + V3 = -5 + 5 = 0) < (L23 = 6)
(U2 + V4 = -5 + 8 = 3) < (L24 = 5)
(U3 + V1 = 8 + 9 =17) > (L31 = 16)
(U3 + V3 = 8 + 5 = 13) > (L33 = 10)
(U3 + V4 = 8 + 8) < (L34 = 18)
Составив цепочку, помечают знаком «+» ее нечетные вершины (считая первой вершину в потенциальной клетке), а четные знаком «—». Наименьшая из четных загрузок определяет величину перемещаемой загрузки. Уменьшив на эту величину объемы перевозок, записанные в клетках со знаком минус, и увеличив на ту же величину объемы клеток со знаком плюс, получают новый вариант плана с меньшей транспортной работой.
В рассматриваемом примере построена цепочка для потенциальной клетки
А3Б3 и расставлены знаки (табл. 10).
Таблица 10
Пункт Вспомогательные Пункт назначения Наличие
отправлен строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза,
ия столбец 9 14 5 8 т
15
+9 5 8
А1 0 80
10 ⎯40. 30.
4 + 9 6 5
А2 ⎯5 50
20 ⎯ 30
16 22 + 10 18
А3 8 40
1 ⎯40. 3
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
Наименьшая среди четных загрузок (отмеченных знаком минус) равна 20 (в клетке А2Б1). Уменьшив на 20 загрузки клеток А1Б3, А2Б1 и А3Б2 и увеличив также на 20 загрузки клеток А3Б3, А1Б1 и А2Б2, получим новый план, представленный в табл. 11. По этому варианту плана транспортная работа составит 1700 тонно-километров, или на 60 тонно-километров меньше.
Вспомогательные Пункт назначения Наличие
Пункт строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза, т
отправления столбец
9 15 5 8
А1 80
30 20 30
4 9 6 5
А2 50
50
16 22 10 18
А3 40
20 20
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
Полученный план лучше предыдущего, однако, неизвестно, является ли он оптимальным. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо исследовать его на оптимальность, повторив весь процесс вычислений.
Из табл. 11 видно, что и этот план, как и предыдущий, не является оптимальным. Об этом говорит наличие в матрице потенциальной клетки А1Б2. Изменив уже известным способом загрузки в клетках, отмеченных вершинами вновь построенной цепочки, получаем новый план, представленный в табл.12 . Для его проверки на оптимальность приступаем к расчету индексов и убеждаемся, что все их определить не удается. Причиной этого является так называемое вырождение плана, т.е. уменьшение числа занятых клеток против необходимого. Дело в том, что все индексы могут быть найдены, и притом однозначно, только при строго определенном количестве занятых клеток, равном в общем случае m+n—1, где m—число пунктов отправления, n—число пунктов назначения. В нашей задаче m=3, а n=4. Следовательно, для определения всех индексов нужно иметь в матрице 3+4—1=6 занятых клеток. В табл. их только пять, поэтому индексы U3 V3 не удается определить.
Таблица 12
Вспомогательные Пункт назначения Наличие
Пункт строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза, т
отправления столбец 9 17 5 8
9 15 5 8
А1 0 80
30 2 + ⎯ 20 30
4 9 6 5
А2 -8 50
50
16 22 10 18
А3 5 40
20⎯ +20
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
Таблица 13
Вспомогательные Пункт назначения
Наличие
Пункт строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза, т
отправления столбец 9 15
9 15 5 8
А1 0 80
30 20 0 30
4 9 6 5
А2 -6 50
50
16 22 10 18
А3 40
40
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
Вырождение матрицы так же, как и излишнее количество занятых клеток, нарушают нормальную процедуру вычислений и их нужно устранять. Избавиться от вырождения можно путем записи в одной из незанятых клеток матрицы перевозки объемом 0 тонн. В табл. 13 нулевую загрузку можно поставить в одну из клеток А1Б3, А2Б3, А3Б1, А3Б2 и А3Б4. Легко проверить, что только эти клетки, став занятыми нулевой загрузкой, позволят найти недостающие индексы U3 и V3.
Лучше всего поставить нулевую перевозку в клетку с меньшим расстоянием, т.е. в клетку А1Б3. Теперь определив недостающие индексы, убеждаемся, что последний план является оптимальным, поскольку у всех незанятых клеток матрицы расстояния больше суммы соответствующих им индексов (табл. 14). Транспортная работа по этому плану составит 1600 тонно-километров. Таблица 14
Вспомогательные Пункт назначения
Пункт Наличие
Отправления строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза, т
столбец 9 15 5 8
9 15 5 8
А1 0 80
30. 20 0 30
4 9 6 5
А2 -6 50
50
16 22 10 18
А3 5 40
40
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
В случае если число занятых клеток в матрице больше, чем m+n—1, поступают следующим образом. В табл. 15 - семь занятых клеток вместо необходимых шести (m+n-1=3+4—1=6). Наличие лишней занятой клетки приводит к тому, что индексы определяются неоднозначно. В первом случае U2=9—15= - 6, во втором U2=6—5= 1.
Таблица 15
Вспомогательные Пункт назначения
Наличие
Пункт строка Б1 Б2 Б3 Б4 груза, т
отправления столбец 15 5 8
9 15 5 8
А1 0 ⎯ + 80
20 30 30
4 9 6 5
А2 -6,1 50
40 + ⎯10
16 22 10 18
А3 40
30 10
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170
Уменьшение числа занятых клеток производится следующим образом. В матрице строят замкнутую цепочку из горизонтальных и вертикальных отрезков так, чтобы все ее вершины находились в занятых клетках (см. табл. 16). Такая цепочка в матрице с числом занятых клеток более m+n -1 всегда имеется. На вершинах цепочки, начиная с клетки, имеющей наименьшую загрузку, расставляют попеременно знаки минус и плюс, после чего загрузки со знаком минус уменьшают, а со знаком плюс увеличивают на величину наименьшей из них. В результате число занятых клеток уменьшится не менее чем на одну (табл.17). При необходимости данную процедуру повторяют столько раз, сколько это необходимо для получения m+n -1 занятых клеток.
Таблица 16
Вспомогательные Пункт назначения Наличи
Пункт строка Б1 Б2 Б3 Б4 е груза,
отправления столбец т
9 15 5 8
А1 80
10 40 30
4 9 6 5
А2 50
50
16 22 10 18
А3 40
30 10
Потребность в грузе, т 30 70 40 30 170