Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения»
Кафедра «Электроподвижной состав»
С.В. Доронин
теория автоматического управления
и регулирования
Рекомендовано
Методическим советом ДВГУПС
в качестве учебного пособия
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2005
УДК 62-53 (075.8)
ББК З 965-01 я73
Д 693
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор кафедры
«Двигатели внутреннего сгорания» Хабаровского
государственного технического университета,
Г.Б. Горелик
Служба пригородных перевозок
Дальневосточной железной дороги – филиала ОАО «РЖД»
(начальник П.В. Демин)
|
Доронин, С.В. |
|
|
Д 693 |
Теория автоматического управления и регулирования : учеб. пособие / С.В. Доронин. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2005. – 127 с. : ил. |
Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направления подготовки дипломированных специалистов 190300 «Подвижной состав железных дорог» специальности 190303 «Электрический транспорт железных дорог» по дисциплине «Теория автоматического управления».
Главное внимание уделено применению математического аппарата для описания систем автоматического регулирования, оценке устойчивости и качества процесса регулирования в проектируемой системе, а также нахождению путей улучшения показателей качества процесса регулирования.
Предназначено для студентов 4-го курса дневного и 6-го курса заочного обучения названной специальности и студентов других специальностей, изучающих дисциплину «Теория автоматического управления».
УДК 62-53 (075.8)
ББК 3.965-01 я73
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2005
В число научных дисциплин, образующих науку об управлении, входит теория автоматического управления (ТАУ) и регулирования. Вначале она создавалась для изучения статики и динамики процессов автоматического управления техническими объектами – производственными, энергетическими, транспортными и т. п. Основное ее значение сохранилось и в настоящее время, хотя в последние годы ее выводами и результатами начинают пользоваться и для изучения динамических свойств системы управления не только технического характера, но и экономического, организационного, биологического и т. д.
Для осуществления автоматического управления техническим процессом создается система, состоящая из управляемого объекта и связанного с ним управляющего устройства. Как и всякое техническое сооружение, система должна обладать конструктивной жесткостью и динамической прочностью. Эти чисто механические термины в данном случае несколько условны. Они означают, что система должна выполнять заданные ей функции с требуемой точностью, несмотря на инерционные свойства и неизбежные помехи. Пока объект обладает достаточной жесткостью и динамической прочностью, потребности в автоматическом регулировании не возникает.
С необходимостью построения регуляторов первыми, по-видимому, столкнулись создатели высокоточных механизмов, в первую очередь часов. Даже очень небольшие, но действующие непрерывно помехи, накапливаясь, приводили в конечном итоге к отклонениям от нормального хода, недопустимым по условиям точности. Противодействовать им чисто конструктивными средствами, например, улучшая точность и чистоту обработки деталей, повышая их массу или увеличивая полезные усилия, не всегда удавалось, и для повышения точности в состав часов стали вводить регуляторы. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым регулятором уровня водяные часы. В 1675 г. Х. Гюйгенс встроил в часы маятниковый регулятор хода.
Другой причиной, побуждавшей строить регуляторы, была необходимость управлять процессами, подверженными столь сильным помехам, что при этом утрачивалась не только точность, но зачастую и работоспособность системы вообще. Предшественниками регуляторов для подобных условий можно считать применявшиеся еще в средние века центробежные уравнители скорости в водяных мукомольных мельницах. Но хотя отдельные автоматические регуляторы появлялись в давние времена, они оставались любопытными в истории эпизодами и серьезного влияния на формирование техники и теории автоматического управления не оказали. Бурное развитее этих направлений началось лишь в XVIII и XIX столетиях, в эпоху промышленного переворота в Европе.
Первыми промышленными регуляторами этого периода можно назвать автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И. И. Ползуновым в Барнауле; центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г. получил патент английский механик Дж. Уатт; первое программное устройство управления ткацким станком от перфокарты (для воспроизведения узоров на коврах), построенное в 1808 г. Ж. Жаккаром. Эти регуляторы как бы открыли путь потоку изобретений принципов регулирования и регуляторов, продолжавшемуся вплоть до середины 20 века.
Паровая машина не случайно стала первым объектом для применения техники и теории регулирования, так как она не обладала способностью устойчиво работать сама по себе, не имела самовыравнивания. Ее неблагоприятные динамические свойства часто приводили к тому, что подключенный к ней регулятор действовал не так, как ожидал конструктор, раскачивал машину или вообще оказывался неспособным управлять ею. Всё это, естественно, побуждало к проведению теоретических исследований. Однако до конца 60-х годов прошлого века теоретические исследования регулирования отличались отсутствием системного подхода. Исследователи ещё не сознавали, что в технике рождается новое направление. Они считали, что регуляторы были лишь вспомогательным придатком к машине, дублировавшим функции маховиков. Во многих работах рассматривались идеальные безинерционные регуляторы. Шагом вперед были работы, учитывавшие динамику регулятора, но и в них регулятор рассматривался отдельно от машины. Авторы обычно добивались хорошего успокоения колебаний самого регулятора, считая, что этого достаточно и для его устойчивой работы в машине. При таких подходах теоретические исследования не могли стать основой для новой науки и были лишь дополнительными частными проработками в рамках прикладной механики, придатком к её разделу о паровых машинах.
Коренное изменение в подходе к проблеме и в методологии исследований внесли три фундаментальные работы, содержащие, по существу, изложение начал новой науки: работы Дж. Максвелла «О регуляторах» (1866) и И.А. Вышнеградского «Об общей теории регуляторов» (1876) и «О регуляторах прямого действия» (1877).
Дж. Максвелл и И.А. Вышнеградский осуществили системный подход к проблеме, рассмотрев регулятор и машину как единую динамическую систему, перейдя к исследованию малых колебаний и линеаризовав сложные дифференциальные уравнения системы, что позволило дать общий методологический подход к исследованию самых разнородных по принципам действия и конструкции систем, заложить основы теории устойчивости и установить ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи. Особо важную роль в то время сыграла работа И.А. Вышнеградского, отличавшаяся глубоким инженерным подходом, рассмотрением самых важных для техники тех лет объектов и содержавшая кроме ценных практических рекомендаций истоки ряда современных методов исследования качества регулирования. Поэтому И.А. Вышнеградского считают основоположником теории автоматического регулирования.
Работа Дж. Максвелла осталась в то время почти незамеченной, так как она рассматривала малоинтересный для широкого круга инженеров объект (механизм ведения телескопа), явно полезных практических выводов не делала и даже по умозрительным выводам рекомендовала астатические регуляторы, практически непригодные для промышленных машин того времени. Её роль была оценена значительно позднее, когда теория автоматического регулирования сформировалась в самостоятельную общую научную дисциплину.
Уже в ранние годы теория регулирования стала стимулировать разработки математического плана. По рекомендации Дж. Максвелла Раусом был разработан алгоритм для оценки расположения корней характеристического уравнения и устойчивости. По просьбе А. Стодолы А. Гурвицем был выведен детерминантный критерий устойчивости. Работы словацкого инженера и учёного А. Стодолы занимают видное место в теории устойчивости регулирования паровых и гидравлических турбин, в учёте влияния на процесс регулирования длинного трубопровода.
Крупный вклад в теорию внесён Н.Е. Жуковским, автором труда «О прочности движения» и первого русского учебника « Теория регулирования хода машин» (1909). Н.Е. Жуковский дал математическое описание процессов в длинных трубопроводах, рассмотрел влияние сухого трения в регуляторах, исследовал некоторые процессы импульсного регулирования посредством уравнений в конечных разностях.
К началу ХХ века (в первые десятилетия) теория автоматического регулирования формируется как общая дисциплина с рядом прикладных разделов, таких как регулирование:
электрических машин и систем
Х. Тома (1914), В.С. Кулебакин (1926), С.А. Лебедев и П.С. Жданов, Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов (1932), Р. Жюильяр (1933);
двигателей
М. Толпе (1905), У. Тринкс (1919);
тепловых и паросиловых установок
Т. Штейн (1926), Г. Вюнш, Ю.Г. Корнилов и В.Д. Пивень (30-е годы ХХ века);
паровых турбин
А.В. Щегляев (1933);
различных производственных процессов
В. Оппельт (1939) и др.
Особенно чётко мысль о теории регулирования как дисциплине общетехнического характера проводится в работах И.Н. Вознесенского
(1922–1949) – руководителя одной из крупных школ в этой области.
Усложнение системы, связанное с повышением интенсивности процессов, скоростей, требований к точности и качеству, приводит к необходимости создания более эффективных методов исследования.
Мысль исследователей обращается к частотным методам, позволяющим сочетать аналитические и наглядные графические приёмы, теоретические и экспериментальные методы исследования. Появляются работы: Х. Найквиста (1932), в которой рассматривается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью, основанный на свойствах частотной характеристики разомкнутой системы, и А.В. Михайлова «Гармонический метод в теории регулирования» (1938), в которой обосновывалась целесообразность применения частотных методов в теории регулирования и предлагался новый критерий (критерий Михайлова), не требующий предварительного размыкания цепи регулирования.
В 1946 г. Г. Воде и Л. Мак-Кол ввели логарифмические частотные характеристики.
Флойд для исследования качества предложил аппроксимировать вещественную частотную характеристику суммой трапеций.
Г. Браун, А. Холл, Д. Кемпбелл, Г. Честнат, В.В. Солодников завершили разработку частотных методов синтеза и расчёта систем, придав им форму, удобную для инженерных расчётов.
Развитие теории автоматического регулирования в послевоенные годы было исключительно плодотворным и многогранным, поэтому невозможно, хотя бы бегло, даже упомянуть о всех основных направлениях и авторах. Ограничимся коротким упоминанием об основных новых разделах теории, посвященных разработкам новых фундаментальных принципов управления, выполненных российскими авторами.
Трудами Г.В. Щипанова, В.С. Кулебакина, Б.Н. Петрова и других разработаны теория автоматического регулирования по возмущению, теория компенсации возмущений и инвариантности.
В.В. Казакевичем, А.А. Фельдбаумом, А.А. Красовским и другими разработаны принципы экстремального управления и теория поиска экстремума (дуального управления).
Л.С. Потрягин, А.М. Летов, Н.Н. Красовский и другие создали основы теории оптимального управления, обеспечивающего максимальное значение показателя технико-экономической эффективности процесса в динамике.
Разработка теории экстремальных (самонастраивающихся) систем дала основание расширить название – «Теория автоматического управления и регулирования», поскольку рассматриваемые виды управления не ограничиваются только регулированием.
Значение теории автоматического управления в настоящее время переросло рамки только технических систем. Динамические управляемые процессы имеют место в живых организмах, экономических и организационных человеко-машинных системах. В таких системах функции управления не могут быть полностью переложены на автоматические устройства. Принятие наиболее ответственных решений остаётся за человеком. Системы, в которых автоматизируется часть операций, а другая часть выполняется человеком, получили название «Автоматизированные системы управления» (АСУ).
АСУ создаются на нескольких уровнях: технологических процессов (АСУТП), предприятия (АСУП), отрасли и т.д. В АСУ широко используется вычислительная техника. Изучение принципов построения АСУ составляет предмет специального учебного курса.
Перед теорией автоматического регулирования ставятся следующие основные задачи.
1. Разработка методов синтеза систем автоматического регулирования, позволяющих выбрать схему взаимодействия элементов, а также параметры и характеристики этих элементов таким образом, чтобы система в целом удовлетворяла заданным требованиям к её поведению в статике и динамике.
2. Разработка методов анализа систем автоматического регулирования, позволяющих определить, удовлетворяют ли они предъявленным к ним требованиям, и показывающих пути улучшения их статических и динамических свойств.
3. Разработка методов коррекции систем автоматического регулирования, позволяющих нужным образом изменять их статические и динамические свойства.
4. Разработка методов экспериментального исследования и наладки систем автоматического регулирования.
Главной задачей теории автоматического регулирования следует считать создание методов синтеза. В настоящее время разработка и проектирование систем автоматического регулирования является сложной задачей. Здесь можно наметить следующие основные этапы.
10. Наладка системы регулирования в реальных условиях работы и опытная эксплуатация.
Автоматическим регулированием называется поддержание постоянного значения какой-либо физической величины или изменение этой величины по некоторому закону при помощи автоматически действующих устройств при любых возмущающих воздействиях.
Поддержание постоянства некоторой физической величины (скорости движения, тока двигателей, температуры, давления, скорости вращения и т. д.) является основной задачей автоматического регулирования. В этом случае система автоматического регулирования называется системой автоматической стабилизации. Однако в ряде случаев к системе автоматического регулирования предъявляется требование изменять физическую величину по какому-либо заранее известному закону. Это называется программным регулированием.
Например, по определённой программе может осуществляться изменение режима работы двигателя при его пуске, изменение напряжения на двигателе при движении по переменному профилю, изменение температуры изделия при его термической обработке и т. д.
Наконец, в ряде случаев заранее не является известным тот закон, по которому должна изменяться регулируемая величина. Так, например, возникновение боксования колесных пар или аварийные режимы работы преобразователя не могут быть заранее вычислены или определены, так как они обусловливаются внешними факторами, не поддающимися контролю. Такие системы автоматического регулирования называются следящими системами.
В последнее время большое значение приобретает так называемое экстремальное регулирование, обеспечивающее автоматическое поддержание в каком-либо объекте выгоднейшего эксплуатационного режима. Так, например, система экстремального регулирования может обеспечить поддержание для электровоза режима минимального расхода электроэнергии при различных внешних факторах, действующих на объект.
Получили развитие также самонастраивающиеся системы, у которых параметры не остаются неизменными, а преобразуются при изменении внешних условий, и самоорганизующиеся системы, у которых совокупность правил и логических действий, определяющих работу этих систем, не остаётся неизменной, а преобразуется при изменении внешних условий.
В дальнейшем изложении будем пользоваться следующими терминами.
Регулируемый объект – агрегат, в котором осуществляется автоматическое регулирование (например двигатель, генератор, электровоз).
Автоматический регулятор или просто регулятор – устройство, выполняющее задачу автоматического регулирования в данном объекте (например регулятор скорости, регулятор напряжения или тока).
Система автоматического регулирования (САР) – совокупность регулируемого объекта и регулятора.
Регулируемая величина – физическая величина, которая подлежит автоматическому регулированию.
Возмущающее воздействие – всякое внешнее воздействие на регулируемый объект, которое стремится вызвать отклонение регулируемой величины от заданного значения.
Регулирующее воздействие – воздействие, оказываемое регулятором на регулируемый объект с целью обеспечения протекания в нем желаемого процесса так, чтобы регулируемая величина равнялась заданному значению.
Управляющее воздействие – некоторая функция времени, определяющая заданное значение регулируемой величины. В более сложных случаях регулируемая величина связана с управляющим воздействием некоторой функциональной зависимостью. Однако при дальнейшем изложении будем под управляющим воздействием понимать именно заданное значение регулируемой величины. Очевидно, что в случае автоматической стабилизации управляющее воздействие представляет собой постоянную величину, в системах программного управления – известную функцию времени и в следящих системах – неизвестную функцию времени.
В результате изменения управляющего или возмущающего воздействия в системе автоматического регулирования наблюдается переходный процесс, заключающийся в переходе от одного установившегося состояния к другому. Установившееся значение разности между начальным и конечным значениями регулируемой величины при постоянном значении управляющего или возмущающего воздействия называется статическим отклонением. Установившееся значение разности между заданным и конечным значениями регулируемой величины при тех же условиях называется статической ошибкой.
Системы, у которых статическая ошибка отлична от нуля, называются статическими. Системы с нулевой статической ошибкой называются астатическими. Понятие статической и астатической систем регулирования должно быть связано с видом воздействия. Можно судить о статизме или астатизме относительно управляющего или возмущающего воздействий. Эти свойства могут совпадать и не совпадать в одной и той же системе.
Разность между начальным и текущим значениями регулируемой величины в переходном процессе называется динамическим отклонением. Разность между заданным и текущим значениями регулируемой величины называется динамической ошибкой.
Параметры системы автоматического регулирования являются величинами, определяющими свойства отдельных ее элементов (например масса, момент инерции, индуктивность, электрическое сопротивление, коэффициент трения, коэффициент усиления, передаточное отношение и т. п.).
Параметры могут быть постоянными и переменными. В том случае, когда параметры постоянные, система называется линейной системой с постоянными параметрами или просто линейной системой. Ни в какой реальной системе параметры никогда не являются строго постоянными, но часто их можно считать таковыми с большей или меньшей степенью точности.
Если некоторые из параметров представляют собой функции времени, то система называется линейной системой с переменными параметрами. Так, например, при движении по сложному профилю пути в электровозе активно расходуется песок (или топливо в тепловозе) изменяется общая масса локомотива, а следовательно и условия реализации максимальной силы тяги.
Часто параметры системы являются функциями не времени, а самих переменных, описывающих поведение системы (обобщённых координат или их производных). Так, например, сопротивление обмоток тягового двигателя (ТЭД) является сложной функцией намагничивающего тока, температуры и т. д.
Если хотя бы один параметр системы не сохраняет постоянного значения, а изменяется при изменении переменных, описывающих поведение системы, то такая система относится к нелинейным системам, хотя понятие нелинейных систем является более широким.
Важным свойством линейной системы является то, что при действии на неё одновременно нескольких внешних воздействий их совместный эффект равен сумме эффектов, вызываемых каждым из внешних воздействий в отдельности. Этот принцип сложения отдельных эффектов, называемых различными внешними воздействиями, называется принципом суперпозиции.
Автоматическое регулирование может осуществляться по принципу разомкнутого и замкнутого циклов. В первом случае (рис. 1.1) управляющее воздействие Y поступает непосредственно или через некоторый промежуточный элемент ПЭ на исполнительный элемент ИЭ, воздействующий в свою очередь на регулируемый объект РО (или объект регулирования ОР в других источниках) с целью обеспечения заданного значения регулируемой величины X. Это воздействие выражается в приложении к регулируемому объекту регулирующего воздействия .
Рис. 1.1. Регулирование по разомкнутому циклу
Для устранения влияния возмущающего воздействия F1 в системе может быть предусмотрено введение дополнительного регулирующего воздействия, это показано на рис. 1.1 пунктиром. Тогда регулирующее воздействие будет определяться зависимостью
. (1.1)
Функции f и f1 могут включать в себя операции дифференцирования и интегрирования по времени.
Крупным недостатком систем, работающих по разомкнутому циклу, является необходимость осуществления подобных функциональных связей для всех возмущающих воздействий, число которых может быть велико, что делает систему громоздкой.
Кроме того, для нормального функционирования этих систем необходимо тщательное масштабирование или градуировка всех элементов, осуществляющих функциональные связи. В системах разомкнутого цикла никак не измеряется и не контролируется истинное значение регулируемой величины. Вследствие этого при нарушении градуировки отдельных элементов из-за износа или воздействия внешних факторов, например температуры, регулируемая величина может сильно отличаться от ее заданного значения.
При регулировании по замкнутому циклу (рис. 1.2) производится измерение разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины, то есть разности между управляющим воздействием (входным сигналом) и регулируемой величиной
. (1.2)
Эту разность будем называть ошибкой системы регулирования или отклонением от заданного значения.
Для выполнения ошибки служит так называемый чувствительный элемент ЧЭ (или элемент сравнения ЭС в другой литературе) (рис. 1.2). Далее эта ошибка поступает через промежуточный элемент ПЭ к исполнительному элементу ИЭ, который прикладывает к объекту регулирующее воздействие, определяемое некоторой функциональной зависимостью
, (1.3)
которая также может включать в себя операции дифференцирования и интегрирования по времени.
Рис. 1.2. Регулирование по замкнутому циклу
На схеме, изображённой на рис. 1.2, нетрудно проследить наличие зам кнутого контура регулирования, образуемого цепью ЧЭ–ПЭ–ИЭ–РО–ЧЭ. Можно также заметить, что сигналы проходят в этом контуре только в одном направлении, отмеченном стрелками. Замыкание контура осуществляется цепью воздействия регулируемого объекта на чувствительный элемент. Эта цепь называется главной обратной связью системы. Таким образом, система регулирования по замкнутому циклу представляет собой систему с обратной связью. Система регулирования по разомкнутому циклу такой обратной связи не содержит.
Принцип регулирования, основанный на измерении ошибки или отклонения регулируемой величины, называется также принципом Ползунова – Уатта. В данном пособии будут рассматриваться в основном системы регулирования по замкнутому циклу.
Существенной особенностью системы регулирования по ошибке является её универсальность. Независимо от причины всякое появление ошибки, то есть отклонение регулируемой величины от заданного значения, вызывает появление регулирующего воздействия, определяемого выражением (1.3). Это значит, что система будет осуществлять автоматическое воздействие на объект как при изменении управляющего воздействия, так и при любом возмущающем воздействии.
Важным обстоятельством является также то, что при регулировании по замкнутому циклу жесткие требования по стабильности характеристик предъявляются только к чувствительному элементу. Промежуточный и исполнительный элементы могут иметь характеристики, изменяющиеся в сравнительно широких пределах. Это объясняется тем, что рассматриваемой системе важно точно выявить наличие ошибки. Если ошибка имеется, то исполнительный элемент будет прикладывать к объекту такое регулирующее воздействие, которое будет стремиться свести ошибку к нулю.
В простейших случаях назначение промежуточного элемента заключается в передаче выявленной ошибки от чувствительного элемента к исполнительному. Такие системы называются системами прямого регулирования.
Стремление повысить точность регулирования, а также малая выходная мощность чувствительного элемента заставляют применять в промежуточном элементе усилители. В этом случае достаточно большие значения регулирующего воздействия будут создаваться уже при малых ошибках. Такие системы называются системами не прямого регулирования.
Промежуточный элемент может содержать также корректирующие элементы, назначением которых является улучшение динамических свойств системы регулирования.
Недостатком системы автоматического регулирования по замкнутому циклу является принципиальная необходимость существования ошибки в установившемся или переходных режимах, так как причиной создания регулирующего воздействия является именно ошибка (1.3). Поэтому для повышения точности иногда применяют системы комбинированного регулирования, в которых сочетается регулирование по замкнутому и разомкнутому циклам. Регулирование по разомкнутому циклу осуществляется для управляющего воздействия или главного возмущающего воздействия. Таким образом, в системах комбинированного регулирования осуществляется одновременное регулирование по отклонению и управляющему воздействию или по отклонению и возмущающему воздействию.
В качестве примера рассмотрим систему стабилизации напряжения генератора постоянного тока с параллельным возбуждением. Объект без регулирования изображен на рис. 1.3. Генератор работает на нагрузочное сопротивление Rн.
При внезапном уменьшении этого сопротивления, то есть при увеличении нагрузки генератора, его ток будет возрастать, а напряжение на зажимах – падать. Зависимость между напряжением генератора и его током нагрузки U = f(Iн) определяется внешней характеристикой, которая изображена на рис. 1.4. На этом же рисунке показаны кривые измерения во времени нагрузочного сопротивления и напряжения генератора.
Рис. 1.4. Изменение нагрузки генератора
Регулируемой величиной здесь является напряжение генератора. При изменении нагрузки, то есть при приложении к генератору возмущающего воздействия, в нём наблюдается переходный процесс. Напряжение от одного установившегося значения U1 стремится к другому U2. Разность напряжений представляет собой статическое отклонение. Если заданное значение напряжений равно U1, то статическое отклонение в этом случае будет совпадать со статической или установившейся ошибкой.
Разность напряжений в переходном режиме является переходным или динамическим отклонением. Как видно, генератор без регулятора будет давать сильно изменяющееся напряжение, зависящее от тока нагрузки.
Осуществим в рассматриваемом генераторе регулирование по разомкнутому циклу (рис. 1.5). Для этой цели поместим на полюсах дополнительную обмотку последовательного возбуждения, через которую пропустим ток нагрузки. Тогда увеличение тока нагрузки вызовет одновременно приложение к генератору дополнительной магнитодвижущей силы (намагничивающих ампер-витков).
В результате его внешняя характеристика (рис. 1.5) приобретает более благоприятный вид, так как при изменении тока нагрузки статические отклонения напряжения будут меньшими.
Рис. 1.5. Регулирование по разомкнутому циклу
Однако сразу можно заметить несовершенство этой системы регулирования, так как она осуществляет приложение регулирующего воздействия к объекту в функции только главного возмущающего воздействия – тока нагрузки. Любое другое возмущающее воздействие, например изменение скорости вращения генератора вследствие изменения режима работы его привода, остается не скомпенсированным.
На рис. 1.6 изображена схема регулирования по замкнутому циклу. В схеме используется прямое регулирование. В качестве чувствительного элемента (ЧЭ) применен электромагнит, тяговое усилие которого определяется напряжением генератора и уравновешивается пружиной. Якорь электромагнита связан с движком реостата, введенного в цепь обмотки возбуждения.
Если ток нагрузки увеличится и напряжение генератора упадет, то тяговое усилие уменьшится и якорь переместит движок реостата в новое равновесное положение, в результате чего будет увеличен ток возбуждения. Это будет способствовать поддержанию напряжения генератора примерно на прежнем уровне. При снижении тока нагрузки аналогичным образом будет снижен ток возбуждения.
Рис. 1.6. Регулирование по замкнутому циклу (первый вариант)
Система является статической по отношению к возмущающему воздействию. Действительно, для того чтобы статическая ошибка равнялась нулю, необходимо постоянство напряжения генератора, постоянство тягового усилия и постоянство установившегося положения якоря электромагнита и движка реостата. Но в этом случае в установившемся состоянии не может быть приращения тока возбуждения, то есть система не будет прикладывать к генератору регулирующего воздействия. Существование регулирующего воздействия в установившемся состоянии при наличии возмущающего воздействия, то есть при увеличении тока нагрузки, возможно только при наличии перемещения якоря электромагнита, а значит при наличии установившегося отклонения напряжения от заданного значения – статической ошибки.
В результате, каким бы образом мы ни подбирали параметры рассматриваемой системы регулирования, внешняя характеристика генератора совместно с регулятором должна представлять наклонную прямую (рис. 1.6), то есть всякое изменение тока нагрузки должно вызывать появление статической ошибки. Данная схема регулирования будет осуществлять стабилизацию напряжения генератора и при наличии других возмущающих воздействий.
Изменение заданного значения напряжения в рассматриваемой схеме может осуществляться при помощи изменения натяжения пружины, для чего предусматривается подстроечный винт. Натяжение пружины, соответствующее заданному значению напряжения, может рассматриваться как управляющее воздействие. Положение подстроечного винта, осуществляющего задание определенного значения управляющего воздействия, называют настройкой.
На рис. 1.7 изображена другая схема регулирования напряжения генератора. В ней использовано комбинированное регулирование.
Система является статической по отношению к возмущающему воздействию. Дополнительная обмотка возбуждения, включенная как и в первом случае в цепь нагрузки, реализует разомкнутый принцип регулирования по главному возмущающему воздействию. В данной схеме точность регулирования будет выше, чем во втором случае.
Рис. 1.7. Регулирование по комбинированному принципу
Внешняя характеристика генератора при комбинированном регулировании представляет собой прямую линию, близкую к прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 1.7), то есть напряжение мало зависит от тока
нагрузки.
Следящие системы относятся к системам регулирования, работающим по замкнутому циклу. Следящей системой называется такая автоматическая система, которая предназначается для воспроизведения на управляемом объекте (на выходе системы) произвольного закона изменения некоторой величины во времени, задаваемого на входе этой системы.
В настоящее время существует значительное количество разновидностей следящих систем. Назовем наиболее важные из них.
1. Следящие системы воспроизведения угла поворота осуществляют поворот некоторой оси, называемой исполнительной осью, на некоторый угол так, чтобы в каждый момент времени этот угол был равен углу поворота другой оси, называемой командной осью (например при индикации позиции группового контроллера ЭКГ-8Ж).
Разновидностью этих следящих систем являются системы, осуществляющие не вращательное движение, а линейное перемещение управляемого объекта.
2. Следящие системы воспроизведения скорости вращения осуществляют вращение исполнительной оси так, чтобы в каждый момент времени скорость её вращения была пропорциональна некоторой входной величине, например углу поворота командной оси, входному напряжению и т. п. В этом случае угол поворота исполнительной оси будет пропорционален интегралу по времени от входной величины, то есть система будет обладать интегрирующими свойствами. Поэтому часто используется название интегрирующий привод.
3. Сглаживающие следящие системы работают по принципу систем воспроизведения угла. Отличие заключается в том, что на входе этих систем действуют одновременно полезный сигнал и помеха. Назначением сглаживающей системы является наиболее точное воспроизведение на выходе полезного сигнала при наиболее сильном подавлении помехи. Сглаживающие следящие системы строятся обычно на базе каких-либо интегрирующих элементов, например интегрирующих приводов.
4. Гироскопические следящие системы строятся на базе гироскопических элементов. Разновидностью их являются силовые гироскопические стабилизаторы, в которых для стабилизации пространственного положения используется слежение момента двигателя за моментом внешних возмущающих сил. Другой разновидностью являются гироскопические устройства, в которых осуществляется изменение пространственного положения управляемого объекта в соответствии с законом изменения входной величины.
5. Электрические следящие системы представляют собой усилители с сильной отрицательной обратной связью. Они предназначаются для точного воспроизведения на некотором приемнике входного напряжения. В качестве примера можно привести операционные усилители постоянного тока.
Большое значение начинают приобретать в настоящее время самонастраивающиеся следящие системы или системы с саморегулированием параметров, в которые вводятся специальные дополнительные устройства, автоматически изменяющие некоторые параметры системы в зависимости от характера полезного входного сигнала и помех с таким расчётом, чтобы всегда обеспечивать наилучшее качество слежения.
На рис.1.8 приведен пример электрической следящей системы, представляющей собой усилитель с глубокой обратной связью. Усилитель с большим коэффициентом усиления управляется разностью входного и выходного напряжений U = U1 – U2.
При большом коэффициенте усиления выходное напряжение будет с большой точностью равняться входному, так как даже небольшие ошибки, поступая на вход усилителя, будут в состоянии обеспечить заданный режим на его выходе при наличии сильных возмущающих воздействий (изменение нагрузочного сопротивления, изменение питающего напряжения и т. д.).
Впервые следящие системы были изобретены Петрушевским в 1860 г. и Давыдовым в 1867 г. Следящая система Российского офицера Давыдова осуществила централизованное дистанционное управление несколькими орудиями на морской артиллерийской батарее, получившей название «Не тронь меня».
Непрерывной системой автоматического регулирования называется такая система, в которой при непрерывном изменении регулируемой величины происходит непрерывное изменение всех величин, характеризующих состояние системы.
Прерывистой системой автоматического регулирования называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается непрерывное изменение какой-либо величины при непрерывном изменении регулируемой величины.
Прерывистые системы делятся на релейные и импульсные (дискретные) системы.
Релейной системой называется такая система, в которой имеется звено со статической характеристикой релейного типа. Характеристика релейного типа представляет собой такую зависимость между выходной и входной величинами данного звена, когда при непрерывном изменении входной величины выходная меняется скачком при некоторых определенных значениях входной величины, а между ними остается постоянной.
Рассмотрим в качестве примера регулятор скорости электродвигателя небольшой мощности (рис. 1.9).При непрерывном изменении регулируемой величины Q происходит непрерывное перемещение S муфты центробежного механизма M. В определённом положении муфты замыкается контакт K, который шунтирует сопротивление R, в результате чего сопротивление цепи возбуждения скачком уменьшится на величину R. При дальнейшем движении муфты М влево (при дальнейшем росте скорости) контакт будет оставаться замкнутым и сопротивление цепи возбуждения будет оставаться постоянным.
Снижение скорости вращения вызовет движение муфты М вправо. В некотором её положении также скачком при размыкании контакта происходит возрастание сопротивления цепи на величину R. В результате статическая характеристика муфты совместно с контактом может быть представлена так, как это изображено на рис.1.9.
Рис. 1.9. Релейная система регулирования
Статические характеристики остальных звеньев этой системы являются непрерывными. Однако вся система должна рассматриваться как релейная.
Импульсной системой автоматического регулирования называется такая система, в которой прерывистым звеном является импульсный элемент. Импульсный элемент это устройство, которое преобразует непрерывное изменение входной величины в отдельные, равностоящие друг от друга импульсы выходной величины.
Наиболее часто используются два типа импульсных элементов. Импульсные элементы первого типа формируют на выходе равностоящие импульсы одинаковой продолжительности, амплитуда которых пропорциональна входной величине. Импульсные элементы второго типа формируют на выходе импульсы одинаковой амплитуды, а продолжительность импульса пропорциональна входной величине. При этом знак импульса меняется при изменении знака входной величины.
Импульсный характер работы автоматической системы может быть обусловлен также применением в ней вычислительных машин.
1. Дайте понятие об автоматическом регулировании.
2. Сформулируйте задачи теории автоматического управления.
3. Охарактеризуйте разомкнутые и замкнутые САР.
4. Охарактеризуйте системы автоматической стабилизации (САР напряжения генератора постоянного тока).
5. Охарактеризуйте следящие системы.
6. Сформулируйте понятие о непрерывных и прерывистых САР.
Динамические процессы в системах регулирования описываются дифференциальными уравнениями.
В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений. В нелинейных системах процессы описываются уравнениями, содержащими какие-либо нелинейности. Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.
Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий. В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому, чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Это называется линеаризацией. Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.
Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и на особые линейные системы. К первым относятся такие системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
К особым линейным системам относятся:
а) системы с переменными по времени параметрами, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;
б) системы с распределёнными параметрами, где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;
в) импульсные системы, где приходится иметь дело с разностными уравнениями.
В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене или какие-то нелинейные дифференциальные зависимости в уравнениях динамики системы. Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.
К нелинейным системам относятся прежде всего релейные системы, так как релейная характеристика (рис. 2.1, а и б) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рис. 2.1, в).
Рис. 2.1. Характеристики нелинейных элементов
Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рис. 2.1, г). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.
К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рис. 2.1, д), характеристика зазора в механической передаче (рис. 2.1, е), сухое трение (рис. 2.1, ж), квадратичное трение (рис. 2.1, и) и др. В последних двух характеристиках x1 обозначает скорость перемещения, а x2 – силу или момент трения.
Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходной и входной величинами звена (рис. 2.1, к). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.
Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рис. 2.1, а или на рис. 2.1, е. Подобные сложные случаи будут рассмотрены в разд. 9.
В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).
Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида
. (2.1)
Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.
Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь зна чения где обозначает отклонение переменной X1 от установившегося значения Х10.
Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также .
Далее можно записать:; и , так как и
Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.
Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде
. (2.2)
Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора
(2.3)
где – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .
В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.
Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:
(2.4)
В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.
Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид
(2.5)
где введены следующие обозначения
. (2.6)
Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями
и т.д. (2.7)
Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде
, (2.8)
Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.
Коэффициенты Т1 и Т2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или px2) отличается от размерности х2 на секунду в минус первой степени (). Поэтому коэффициенты Т1 и Т2 называют постоянными времени.
Коэффициент k1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.
Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии . Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена , то линеаризация дает или . Коэффициент передачи k1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х1 и х2.
Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.
Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k1 = tg c учетом масштабов чертежа и размерности x2. Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.
Размерность коэффициента k2 равна размерности коэффициента передачи k1, умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде
, (2.9)
где – постоянная времени.
Постоянные времени Т1, Т2 и Т3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.
Коэффициент k3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.
В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).
Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:
;
; (2.10)
.
Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.
В этих формулах RВ и RЯ – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; ІВ и ІЯ – токи в этих цепях; UВ и UЯ – напряжения, приложенные к этим цепям; wВ – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил; J – приведенный момент инерции двигателя; СЕ и
СМ – коэффициенты пропорциональности.
Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:
(2.11)
Если теперь напряжение возбуждения получит приращение UВ = UВ0 + ΔUВ, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: ІВ = ІВ0 + ΔІВ; Ф = Ф0 + ΔФ; IЯ = IЯ0 + ΔІЯ; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:
(2.12)
Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:
(2.13)
В этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).
Совместное решение системы (2.13) даёт
, (2.14)
где коэффициент передачи, ,
; (2.15)
электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,
(2.16)
где LB = a wB – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,
. (2.17)
Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.
Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме UB0 = 0; ІB0 = 0; Ф0 = 0 и Ω0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид
. (2.18)
В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя и приращение напряжения в цепи возбуждения.
1. Опишите линейные и нелинейные САР.
2. Дайте понятие линеаризации и объясните ее необходимость.
3. Изложите общий метод линеаризации.
4. Какова стандартная форма записи дифференциальных уравнений?
Для создания общей методики расчета различных систем автоматического регулирования удобно ввести понятие динамического звена. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного содержания, описываемое определённым дифференциальным уравнением.
В соответствии с этим классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, электрические, гидравлические и т. д.). Для ТАУ это будет один и тот же тип звена.
Обозначим входную величину звена через х1, выходную – через х2, а возмущающее воздействие – через (рис. 3.1).
Статическая характеристика любого звена может быть изображена в виде прямой линии (рис. 3.2), так как пока рассмотрим только линейные, или точнее линеаризованные системы.
В звеньях позиционного или статического типа линейной зависимостью х2 = k х1 связаны выходная и входная величины в установившемся режиме (рис. 3.2, а). Коэффициент пропорциональности между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи.
Рис. 3.2. Характеристики позиционных звеньев
В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рис. 3.2, б). В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство , откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом передачи звена. В случае, если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, коэффициенту передачи соответствует размерность – секунда в минус первой степени (с-1).
В звеньях дифференцирующего типа, в установившемся режиме, линейной зависимостью связаны выходная величина и производная входной (рис. 3.2, в), откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, коэффициенту передачи соответствует размерность – секунда (с).
Как уже отмечалось, классификация звеньев производится по виду дифференциального уравнения или, что все равно, по виду передаточной функции звена. Предположим, что звено, изображенное на рис. 3.1, описывается дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме записи
. (3.1)
При нулевых начальных условиях (то есть при t < 0 входная и выходная величины и их производные тождественно равны нулю) и при отсутствии внешнего возмущения () может быть найдена передаточная функция звена как отношение изображений по Лапласу – Карсону выходной и входной величин
, (3.2)
где k1 – коэффициент передачи звена; – постоянная времени.
При известной передаточной функции выходная величина может находиться из выражения
. (3.3)
Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное воздействие равным нулю (х1 = 0). Тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений по Лапласу–Карсону выходной величины и внешнего возмущения
. (3.4)
В дальнейшем будем рассматривать только передаточную функцию звена, так как именно она даёт связь между входной и выходной величинами, что бывает необходимо знать при использовании звена в автоматической системе.
Динамические свойства звена могут определяться по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция А(t) звена представляет собой кривую переходного процесса на выходе звена, возникающего при подаче на его входе скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 3.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается .
Рис. 3.3. Единичная ступенчатая (а) и переходная (б) функции
В общем случае, когда входное воздействие представляет собой неединичную функцию , выходная величина будет равна . Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся, например, мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, повышение напряжения на ТЭД при ступенчатом регулировании и т.д.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 3.4). Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой первую производную от единичной ступенчатой функции.
Рис. 3.4. Единичная импульсная (а) и дельта-функции (б)
Дельта-функция характерна тем, что она тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции , то есть ее площадь равна единице.
Установим связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса, прикладываемое при t = 0 (рис. 3.5). Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми равнозначными функциями F1(t) и –F1(t – ), прикладываемыми к входу звена со сдвигом во времени . Тогда выходная величина звена
. (3.5)
Будем теперь увеличивать высоту импульса, одновременно уменьшая его ширину, но так, чтобы всё время площадь импульса равнялась единице. Умножив и поделив правую часть последнего равенства на длину импульса и перейдя к пределу, получим функцию веса
. (3.6)
Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.
Если на вход звена поступает неединичная импульсная функция , на выходе звена получим .
Рис. 3.5. Связь между переходной функцией и функцией веса
Импульсная входная функция представляет собой также распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению со временем переходного процесса звена, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.
Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно, передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным уравнением
. (3.7)
В свою очередь переходная функция связана с передаточной функцией преобразованием Карсона, то есть имеет место интегральное уравнение
. (3.8)
Для входного воздействия произвольного вида, прикладываемого в момент t = 0, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть подсчитан на основании интеграла Дюамеля – Карсона по переходной функции
, (3.9)
или по функции веса
, (3.10)
где х1(0) – значение входного воздействия при t = 0; A(0) – значение переходной функции при t = 0; t – вспомогательное время суммирования, изменяющееся в пределах от 0 до рассматриваемого текущего момента времени t.
Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Для получения её рассмотрим случай, когда при ΔF = 0 (см. рис. 3.1) на входе звена имеется гармоническое воздействие x1 = X1 sin wt, где X1 – амплитуда, а w – угловая частота этого воздействия. Тогда на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины. Таким образом, для выходной величины можно записать x2 = X2 sin(wt + ).
Воспользуемся символической записью гармонических функций:
(3.11)
Символичность записи заключается в том, что на самом деле левые части (3.11) равны мнимой составляющей правых частей, то есть
(3.12)
Однако для сокращения записи используют сокращенную «символическую» форму (3.11).
Для нахождения соотношения между выходной и входной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением
. (3.13)
Из (3.11) определим производные:
. (3.14)
Подставив значения входной и выходной величин и их производных в исходное дифференциальное уравнение, получаем
(3.15)
Откуда после сокращения на общий множитель имеем
. (3.16)
Это выражение называется частотной передаточной функцией звена. Таким образом, частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Из выражения для частотной передаточной функции видно, что она может быть легко получена из передаточной функции звена (3.2) подстановкой p = ω, то есть .
Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, то есть имеет место интегральное уравнение
. (3.17)
Частотная передаточная может быть представлена как
, (3.18)
где A(ω) – модуль частотной передаточной функции; (ω) – аргумент или фаза частотной передаточной функции; u(ω) и v(ω) – вещественная и мнимая части частотной передаточной функции.
Модуль находится как модуль числителя частотной передаточной функции, деленный на модуль знаменателя. Для рассмотренного выше примера (3.2) имеем:
. (3.19)
Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится по разности аргументов числителя и знаменателя. Для (3.2) имеем:
. (3.20)
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе последней. Для этой цели числитель и знаменатель частотной передаточной функции необходимо умножить на комплекс, сопряженный знаменателю. Так, для рассматриваемого примера имеем
. (3.21)
Откуда после разделения на вещественную и мнимую части получаем
; (3.22)
. (3.23)
Для наглядного представления частотных свойств звеньев используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих комплексу частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 3.6). По оси вещественных откладывается u(ω), а по оси мнимых v(ω). Задаваясь различными значениями частоты в пределах 0 < ω < ∞, можно составить табл. 3.1.
Таблица 3.1
АФЧХ для декартовых координат
|
ω |
U(ω) |
V(ω) |
|
0 … ∞ |
– – – |
– – – |
Затем наносим точки на комплексной плоскости и соединяем их плавной кривой. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты.
АФЧХ может быть построена и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +ω на –ω получим сопряженный комплекс. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена, как зеркальное изображение АФЧХ для положительных частот относительно горизонтальной оси – вещественных значений. На рис. 3.6 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.
Модуль вектора, проведенного из начала координат в точку годографа, соответствующую какой-то выбранной частоте, равен модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, АФЧХ дает возможность увидеть для каждой частоты входного воздействия звена как отношение амплитуд выходной и входной величин, так и сдвиг фаз между ними.
Построение АФЧХ по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплекс, сопряженный её знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Это можно увидеть из выражений (3.22) и (3.23). Обычно гораздо проще строить АФЧХ, используя полярные координаты, то есть, вычисляя непосредственно модуль и фазу. Для этой цели составляется таблица, аналогичная табл. 3.2.
Зная модуль и фазу вектора, можно легко построить соответствующую точку на комплексной плоскости. В случае необходимости при известных модуле и фазе можно вычислить вещественную и мнимую части умножением модуля на направляющий косинус между вектором и соответствующей осью.
Таблица 3.2
АФЧХ для полярных координат
|
ω |
A(ω) |
(ω) |
|
0 … ∞ |
– – – |
– – – |
Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Это построение делается по табл. 3.2 (рис. 3.7).
Рис. 3.7. Пример АЧХ (а) и ФЧХ (б)
Амплитудная частотная характеристика показывает, как звено пропускает сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.
Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном в сигнал на различных частотах.
По результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можно сразу построить АЧХ и ФЧХ для всего диапазона частот от -∞ до +∞ аналогично АФЧХ.
Иногда строятся также вещественная и мнимая частотные характеристики. Это построение делается по данным табл. 3.1. Вещественная характеристика представляет собой четную функцию частоты, а мнимая характеристика – нечетную функцию частоты.
Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции
. (3.24)
Как видно из этого выражения, логарифм частотной и передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой – фаза.
Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ).
Для построения ЛАХ находится величина
. (3.25)
Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в десять раз, два бела – в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д.
Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А(ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (3.25) должна была бы стоять цифра 10. Так как А(ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (например напряжений, токов, скоростей и т. д.), то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.25) стоит цифра 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз, то есть представляет сравнительно малую величину.
Для построения ЛАХ и ЛФХ используется стандартная сетка, изображенная на рис. 3.8. По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие , а около отметок пишется само значение частоты в радианах в секунду. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу, но масштаб по оси абсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы из любого математического пакета или MS Excel. Такой метод позволяет при необходимости легко наносить любые промежуточные точки.
По оси ординат откладывается модуль в децибелах. Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб в децибелах. Ось абсцисс должна проходить через точку нуля децибел, что соответствует значению модуля А(ω) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.
Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg (0) -. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАХ. Как будет показано далее, для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты ЛАХ.
Рис. 3.8. Стандартная сетка для построения ЛАХ и ЛФХ
Для построения ЛФХ используется аналогичная ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в равномерном масштабе. Для практических расчетов, как это будет показано далее, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна «минус» 1800. Таким образом, отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный – вниз.
Иногда по оси частот указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис. 3.9). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, то есть увеличению частоты в 10 раз. Применяется также масштаб в октавах. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как lg 2 = 0,303, то одна октава соответствует 0,303 декады. Использование на оси частот декад и октав менее удобно, чем нанесение самой частоты в радианах в секунду и поэтому используется редко.
Рис. 3.9. Логарифмический масштаб
Главнейшим достоинством ЛАХ является возможность построения ее во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАХ, может быть найдена суммированием ординат ЛАХ, соответствующих отдельным сомножителям. Подробно это будет показано далее при рассмотрении конкретных звеньев.
Для иллюстрации простоты построения ЛАХ рассмотрим несколько важных примеров.
1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А(ω) = k1, тогда
ЛАХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис.3.8).
2. Рассмотрим случай, когда А(ω) = k2 / .
Тогда . Нетрудно видеть, что это есть прямая линия, проходящая через точку с координатами ; и имеющая отрицательный наклон 20 дБ/дек, так как каждое удесятирение частоты вызовет увеличение на одну единицу, то есть на – 20 дБ (прямая 2 на рис. 3.8). Наклон 20 дБ/дек приблизительно равен наклону 6 дБ/окт (точнее 6,06 дБ/окт, так как ).
Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (с осью частот) можно найти, положив А(ω) = 1. Отсюда получаем так называемую частоту среза ЛАХ, равную в этом случае .
3. Аналогичным образом можно показать, что в случае А(ω) = k3 / 2. ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая 3 на рис.3.8). Вообще для ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 n дБ/дек. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке ; или по частоте среза . Очевидно, что размерность коэффициента – секунда в степени – n ().
4. Рассмотрим случай, когда А(ω) = k4ω.
Тогда . Нетрудно видеть, что это есть прямая линия, проходящая через точку ; и имеющая положительный наклон в 20 дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по частоте среза , полученной приравниванием А(ω) = 1 (прямая 4 на рис. 3.8).
Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда , ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 m дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке ; , или по частоте среза .
Иногда при расчете автоматических систем используются логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (ЛАФХ). Они строятся в координатах «модуль в децибелах – фаза» или «модуль в децибелах – запас по фазе». Под запасом по фазе понимается величина . На ЛАФХ для ориентировки могут наноситься точки, соответствующие определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в радианах в секунду.
Безынерционным или идеальным звеном называется звено, которое не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением
. (3.26)
Передаточная функция звена равна постоянной величине
. (3.27)
Безынерционное звено относится к группе позиционных звеньев. Примером такого звена являются делитель напряжения, безынерционный усилитель, редуктор (без учета явления скручивания и люфтов) и т. п.
Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию (рис. 3.10, а), то есть при x1 = 1(t), x2 = A(t) = k 1(t).
Рис. 3.10. Переходная функция (а), дельта-функция (б) и АФЧХ (в)
Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k (рис. 3.10, б), то есть при , .
Амплитудно-фазовая характеристика вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии k от начала координат (рис. 3.10, в).
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот, проходящую на высоте 20 lg k.
Фазовые сдвиги в рассматриваемом звене отсутствуют при любой частоте входного воздействия, то есть = 0. Поэтому фазовая характеристика совпадает с осью частот и здесь не приводится.
Следует подчеркнуть, что безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, например апериодическое или колебательное, если динамическими (переходными) процессами в этом звене можно пренебречь.
Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением
. (3.28)
Передаточная функция этого звена
. (3.29)
Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь (рис. 3.11, а), где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.
Рис. 3.11. Апериодические звенья первого порядка
Другим примером является RC-цепь (рис. 3.11, б) с коэффициентом передачи k = 1 и постоянной времени T = RC.
К этому же типу звена можно свести генератор постоянного тока, используемый в качестве электромашинного усилителя. Входной величиной является напряжение, подаваемое на обмотку возбуждения, а выходной – напряжение на якоре генератора. Предполагается, что генератор вращается с постоянной скоростью n = const посторонним источником. Апериодическим звеном первого порядка является также управляемый двигатель постоянного или переменного тока, если можно пренебречь переходными процессами в обмотке управления. Входной величиной здесь является напряжение, подводимое к управляющей обмотке, а выходной – скорость вращения двигателя.
Переходная функция звена найдется как решение уравнения (3.28) при x1 = 1 и начальном условии x2 = 0 при t = 0. Это решение представляет собой экспоненту (рис. 3.12, а)
. (3.30)
Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента t = 0, то есть для положительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но то, что экспонента рассматривается для t ≥ 0 необходимо иметь в виду.
Рис. 3.12. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) апериодического звена первого порядка
Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, то есть медленнее устанавливается статическое значение x2 = k на выходе звена.
Строго говоря, экспонента приближается к этому значению в бесконечности. Принято, что переходный процесс считается уже закончившимся через промежуток времени 3T, а в более точных расчетах до (4 – 5)Т.
Постоянная времени характеризует «инерционность» или «инерционное запаздывание» апериодического звена. Выходное значение x2 = k x1 в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время после подачи входного воздействия tп.
Функция веса (рис. 3.12, б) может быть найдена дифференцированием (3.30)
. (3.31)
Частотная передаточная функция согласно (3.28), её модуль и фаза соответственно равны
; (3.32)
. (3.33)
Все три характеристики изображены на рис. 3.13. АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k .Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок ω вдоль кривой. Три характерные отметки показаны на рис. 3.13, а (ω = 0; ω = 1 / T и ω → ).
Рис. 3.13. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена первого порядка
Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате амплитудно-фазовая характеристика будет представлять замкнутую кривую – окружность.
Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот ω < 1 / T «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот ω > 1 / T проходят с сильным ослаблением амплитуды (малое значение А), то есть «плохо пропускаются» или практически «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, то есть чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А(ω) вдоль оси частот, или тем шире полоса пропускания частот у данного звена
. (3.34)
Кроме того, чем меньше постоянная времени звена, тем меньше получаются фазовые сдвиги между выходным и входным колебаниями.
Найдем выражения для вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель (3.32) на комплекс, сопряженный знаменателю
(3.35)
Отсюда
3.36)
Построим теперь логарифмические частотные характеристики апериодического звена первого порядка. Для построения ЛАХ здесь и далее будем считать, что коэффициент k безразмерный. Для (3.32) имеем
. (3.37)
Построим приближенную так называемую асимптотическую ЛАХ. Для этой цели на стандартной сетке (рис. 3.14) проведем вертикальную пунктирную прямую при частоте, называемой сопрягающей частотой = 1 / T.
Рис. 3.14. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена первого порядка
Для частот, меньших, чем сопрягающая, то есть при < 1 / T можно пренебречь вторым слагаемым под корнем (3.37), так как 2T2 < 1. Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 3.14) можно заменить (3.37) приближенным выражением L() 20 lgk при < 1 / T, которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая а-b).
Для частот, больших, чем сопрягающая в выражении (3.37), можно пренебречь единицей по сравнению с ω2 Т2 . Тогда вместо (3.37) будем иметь приближенное выражение L() 20 lg(k / T) при > 1 / T, которому, согласно подразд. 3.4 (пункт 2), соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с).
Ломаная линия а-b-с и называется асимптотической (приближенной) ЛАХ. Как было видно, построение ее производится весьма просто – практически без вычислительной работы. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет несколько отличаться от асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке в. Оно равно – 3 дБ, так как
, (3.38)
что в линейном масштабе соответствует отклонению в раз.
На всем остальном протяжении влево от сопрягающей частоты действительная ЛАХ будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дБ. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической ЛАХ.
На том же рис. 3.14 показана логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ). Характерной ее особенностью является сдвиг по фазе, равный
–450 при сопрягающей частоте (так как –arctg ωT = –arctg 1 = –450), и симметрия ЛФХ относительно сопрягающей частоты. Для частоты ω = 0 фазовый сдвиг = 0 и при ω → ∞ фазовый сдвиг → –900.
Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается урав нением
. (3.39)
При этом корни характеристического уравнения
(3.40)
должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т1 ≥ 2 Т2 .
Левая часть уравнения (3.39) разлагается на множители
, (3.41)
где
. (3.42)
Передаточная функция звена
. (3.43)
Из последнего выражения видно, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т3 и Т4.
Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 3.15. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 3.15, в). При отсутствии момента нагрузки на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря динамика двигателя описывается двумя уравнениями, соответствующими закону равновесия эдс в цепи якоря
(3.44)
и закону равновесия моментов на валу двигателя
, (3.45)
где СЕ и СМ – коэффициенты пропорциональности между противо эдс и скоростью вращения и между вращающим моментом и током якоря; J – приведенный момент инерции; L и R – индуктивность и сопротивление цепи якоря.
Рис. 3.15. Апериодические звенья второго порядка
Решая уравнения (3.44) и (3.45) совместно, получим передаточную функцию двигателя постоянного тока при управлении напряжением якоря
, (3.46)
где электромеханическая постоянная времени
(3.47)
и электромагнитная постоянная времени якорной цепи
. (3.48)
Для того чтобы корни знаменателя в (3.46) были вещественными и передаточную функцию можно было представить в виде (3.43) , необходимо выполнение условия .
Переходная функция получается путем решения дифференциального уравнения (3.39) при x1 = 1(t) и нулевых начальных условиях, то есть при t = 0; x2 = 0 и
. (3.49)
Функция веса
. (3.50)
Временные характеристики звена изображены на рис. 3.16 (для определенности принято ).
Рис. 3.16. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) апериодического звена второго порядка
На переходной характеристике показано построение, позволяющее по экспериментальным данным определять постоянные времени Т3 и Т4.
Частотная передаточная функция согласно (3.43), её модуль и фаза соответственно равны
; (3.51)
. (3.52)
Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики показаны на рис. 3.17. На амплитудно-фазовой характеристике отмечены три характерные точки: ω = 0; .
Рис. 3.17. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена второго порядка
Построим теперь логарифмические характеристики (рис. 3.18). Для этой цели проведем вертикальные пунктирные прямые при сопрягающих частотах 3 = 1 / T3 и 4 = 1 / T4. Будем считать, что T3 > T4 и 3 < 4.
ЛАХ определяется выражением
. .(3.53)
Для частот, меньших, чем сопрягающая частота ω3 (а значит и меньших, чем частота ω4), будет справедливым и . Поэтому в этой области можно допустить L() 20 lgk. Этому выражению соответствует прямая а–b на рис. 3.18.
Для частот ω3< ω< ω4 будет справедливым и . Поэтому в этой области можно принять L() 20 lg(k / T3), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с на рис. 3.18) (подразд. 3.4, п. 2).
Для частот имеем соответственно и , а также L() 20 lg(k / T3T4), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая с–d на рис. 3.18) (см. подразд. 3.4, п. 3).
Ломаная линия а–b–с–d представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ показана пунктиром. Она будет расходиться с асимптотической ЛАХ в местах изломов на 3 дБ.
Рис. 3.18. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена второго порядка
ЛФХ получается суммированием двух слагаемых (см. второе уравнение (3.52)). Каждое слагаемое дает фазовую характеристику, совпадающую с ЛФХ апериодического звена первого порядка (рис. 3.18). В результате суммирования получаем ЛФХ, ордината которой соответствует при и .
Звено описывается уравнением
. (3.54)
В операторной форме
. (3.55)
Или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.
Передаточная функция звена
. (3.56)
Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Идеальным будет считаться такое звено, у которого можно пренебречь влиянием собственных переходных процессов.
Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 3.19. Наиболее часто в качестве интегрирующего звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования (рис. 3.19, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер (рис. 3.19, б). Входной величиной является здесь сила F, действующая на поршень, а выходной – перемещение поршня x.
Рис. 3.19. Идеальные интегрирующие звенья
Так как скорость движения поршня демпфера пропорциональна приложенной силе
, (3.57)
где S – коэффициент скоростного сопротивления, то его перемещение будет пропорциональным интегралу от приложенной силы по времени
. (3.58)
Передаточная функция демпфера
. (3.59)
Переходная функция идеального интегрирующего звена при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях
(3.60)
и функция веса
. (3.61)
Временные характеристики изображены на рис. 3.20.
Рис. 3.20. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) идеального интегрирующего звена
Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны
w(jw) = k / jw; (3.62)
A(w) = k / w; = -900 при w > 0; = +900 при w < 0. (3.63)
Частотные характеристики изображены на рис. 3.21.
Рис. 3.21. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального интегрирующего звена
Амплитудная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем меньше его частота. При ω = 0 модуль . Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.
Построение ЛАХ выполняется по выражению
. (3.64)
Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза ωср = k. ЛФХ представляет собой прямую = –900, параллельную оси частот.
Звено описывается дифференциальным уравнением:
(3.65)
или
. (3.66)
Передаточная функция звена
. (3.67)
Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.
Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.
Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы
, (3.68)
что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях
(3.69)
и функцию веса
. (3.70)
Временные характеристики изображены на рис. 3.22. На характеристиках изображены построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.
Частотная передаточная функция, её модуль и фаза равны соответственно
; (3.71)
(3.72)
Рис. 3.22. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) инерционного интегрирующего звена
Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 3.23. Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен –900 только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг .
Рис. 3.23. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена
Построение ЛАХ выполняется по выражению
. (3.73)
Сначала проводится вертикальная линия (рис. 3.24), соответствующая сопрягающей частоте w = 1/T. При частотах, меньших, чем сопрягающая, можно приближенно положить .
Рис. 3.24. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена
Это будет аналогичная предыдущему звену прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза ωср = k. Прямую можно провести в области малых частот до сопрягающей частоты (прямая а–b).
Правее сопрягающей частоты, то есть при частотах w > 1/T, выражение (2.73), можно пренебречь единицей по сравнению с . Поэтому вместо (2.73) можно принять приближенное выражение . Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Поэтому правее точки b нужно провести прямую с наклоном 40 дБ/дек (прямая b–c). Ломанная прямая а–b–c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение от асимптотической в точке b, то есть при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, то есть в линейном масштабе ошибка амплитуды будет в раз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, то есть прямыми а–b и b–с.
ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига 1 = –900 и переменного фазового сдвига 2 = –аrctg ωТ. При сопрягающей частоте имеем 2 = –450 и = 1 + 2 = –1350.
Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей, и тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.
Звено описывается уравнением
(3.74)
или в операторной форме
. (3.75)
Передаточная функция
. (3.76)
Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 3.25. Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (3.74), является тахогенератор постоянного тока (рис. 3.25, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора , а в качестве выходной – напряжение якоря U. Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.25, б).
Рис. 3.25. Идеальные дифференцирующие звенья
Переходная функция звена при х1 = 1(t); A(t) = k 1’(t) = k d(t) представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k (рис. 3.26). Функция веса представляет собой импульсную функцию второго порядка.
Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны
w(jw) = k jw; (3.77)
A(w) = k w; = +900 при w > 0;
= -900 при w < 0. (3.78)
Частотные характеристики изображены на рис. 3.27.
Из амплитудной характеристики видно, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем выше его частота. Это свойство является в автоматических системах часто нежелательным, так как звено может в значительной степени повышать уровень действующих в системе помех, которые, как правило, являются высокочастотными.
Рис. 3.27. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального дифференцирующего звена
Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с положительным направлением оси мнимых.
ЛАХ строится по выражению
. (3.79)
Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с положительным наклоном 20 дБ/дек (рис. 3.28). Эта прямая пересекает ось нуля децибел при частоте среза .
Рис. 3.28. ЛАХ и ЛФХ идеального дифференцирующего звена
ЛФХ представляет собой прямую линию = +900, параллельную оси частот.
Звено описывается уравнением
. (3.80)
Передаточная функция звена
. (3.81)
Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.
На рис. 3.29 изображены примеры реальных дифференцирующих звеньев: дифференцирующая RC-цепь (рис. 3.29, а), RL-цепь (рис. 3.29, б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 3.29, в).
Рис. 3.29. Реальные дифференцирующие звенья
Переходная функция определяется решением (3.80) при х1 = 1(t) и нулевых начальных условиях
. (3.82)
Функция веса
. (3.83)
Временные характеристики изображены на рис. 3.30. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.
Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны:
; (3.84)
(3.85)
Рис. 3.30. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) реального дифференцирующего звена
Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 3.31.
Рис. 3.31. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена
Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (см. рис. 3.29), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.
Это означает, что в дифференцирующей RC-цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в дифференцирующей RL-цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.
Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при . Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.
Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k/T. На полуокружности нанесены характерные точки: . Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах .
ЛАХ строится по выражению
. (3.86)
Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 3.32) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте .
Рис. 3.32. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена
Левее этой линии, то есть при , можно воспользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек (прямая а–b). Она может быть построена, например, по частоте среза .
Для частот можно пользоваться приближенным выражением . Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (b – с). Действительная ЛАХ отличается от асимптотической в точке излома «b» на величину 3 дБ.
На рис. 3.32 показана асимптотическая ЛАХ для случая k = 1 (ломаная прямая d–e–f).
ЛФХ строится по второму уравнению системы (3.85). Для этого сначала строится первое слагаемое 1 = +900, а затем второе 2 = –аrctg ωТ. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. При фазовый сдвиг равен +450.
Рассмотренные выше звенья позиционного типа относятся к устойчивым звеньям или звеньям с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способность звена самопроизвольно приходить к новому установившемуся режиму при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Термин «самовыравнивание» обычно применяется для звеньев, представляющих собой объекты регулирования.
Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например звенья интегрирующего типа. Они были рассмотрены выше.
Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных корней или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (в знаменателе передаточной функции, приравненном нулю), в результате чего звено относится к категории неустойчивых звеньев. Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнением вида
(3.87)
или
. (3.88)
Этому дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция
. (3.89)
Переходная функция звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем
. (3.90)
Эта характеристика изображена на рис. 3.33.
Таким звеном может быть, например, асинхронный двухфазный управляемый двигатель, если он имеет механическую характеристику с отрицательным наклоном. На рис. 3.34 изображены возможные варианты механических характеристик двигателя для области малых скоростей.
Рис. 3.34. Варианты механических характеристик двигателя для малых скоростей
График на рис. 3.34, а соответствует положительному наклону механических характеристик. В этом случае скорость двигателя связана с управляющим напряжением передаточной функцией, соответствующей устойчивому апериодическому звену первого порядка
, (3.91)
где – электромеханическая постоянная времени двигателя; k – коэффициент пропорциональности между установившейся скоростью и напряжением.
Это звено обладает положительным самовыравниванием или просто самовыравниванием.
График на рис. 3.34, б соответствует независимости вращающего момента двигателя от скорости его вращения. В этом случае скорость двигателя связана с управляющим напряжением передаточной функцией, соответствующей интегрирующему звену
, (3.92)
где kМ – коэффициент пропорциональности между вращающим моментом и напряжением; J – момент инерции.
Это звено не имеет самовыравнивания.
График на рис. 3.34, в соответствует механическим характеристикам с отрицательным наклоном, то есть характеристикам неустойчивого типа. В этом случае скорость вращения и напряжение связаны между собой передаточной функцией вида (3.89)
, (3.93)
что соответствует отрицательному самовыравниванию.
Существенной особенностью неустойчивых звеньев является наличие больших по сравнению с устойчивыми звеньями фазовых сдвигов. Так, для рассмотренного выше апериодического звена с отрицательным самовыравниванием имеем частотную передаточную функцию
. (3.94)
Модуль её не отличается от модуля частотной передаточной функции апериодического звена с положительным самовыравниванием (3.33)
, (3.95)
а фаза
(3.96)
имеет большое значение по сравнению со вторым уравнением в (3.33).
В связи с этим неустойчивые звенья относят к группе так называемых неминимально-фазовых звеньев. К неминимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (в правой части дифференциального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью. Например, звено с передаточной функцией
(3.97)
относится к группе неминимально-фазовых звеньев.
К неустойчивым звеньям относится также ряд других звеньев, имеющих передаточные функции вида
; (3.98)
; (3.99)
; (3.100)
. (3.101)
Наличие в автоматической системе неустойчивых звеньев вызывает некоторые особенности расчета.
1. Дайте понятие типового динамического звена и передаточных функций.
2. Назовите временные характеристики звеньев.
3. Назовите частотные характеристики звеньев.
4. Назовите логарифмические частотные характеристики звеньев.
5. Опишите безинерционное звено и его характеристики.
6. Опишите апериодическое звено первого порядка и его характеристики.
7. Опишите апериодическое звено второго порядка и его характеристики.
8. Опишите идеальное интегрирующее звено и его характеристики.
9. Опишите инерционное интегрирующее звено и его характеристики.
10. Опишите идеальное дифференцирующее звено и его характеристики.
11. Опишите реальное дифференцирующее звено и его характеристики.
12. Опишите неустойчивое звено и его характеристики.
Системы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы.
При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления); закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры); закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота); закон равновесия электродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики.
Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы.
Для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может быть записан в следующем виде:
, (4.1)
где J и Ω – приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя; МВ – вращающий момент двигателя; МТ – тормозной момент внешних сил (момент нагрузки).
После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение.
Необходимо установить, от каких величин, какими выражениями определяются вращающий момент двигателя МВ и тормозной момент МТ на его валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или он изменяется в функции какой-то переменной (например в функции угла поворота двигателя).
Так, например, если исследуется двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением, то вращающий момент будет пропорциональным произведению постоянного потока Ф = соnst и тока якоря ІЯ
. (4.2)
Момент нагрузки может быть постоянным или зависеть от какой-то величины, например, от скорости вращения двигателя, его угла поворота, времени и т.д. Так, если момент пропорционален квадрату скорости (вентиляционная нагрузка) МТ = k Ω2, то при постоянстве приведенного момента инерции J = const уравнение (4.1) будет иметь следующий вид:
. (4.3)
Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений в соответствии рассмотренным далее методом, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно достаточные признаки возможности производить линеаризацию заключаются в отсутствии разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и в справедливости уравнений в течение всего интервала времени регулирования.
После нахождения совокупности дифференциальных уравнений системы целесообразно для упрощения представить их в операторном виде и затем решать совместно относительно интересующей величины. Обычно система уравнений решается относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения (ошибки – x(t)) или относительно самой регулируемой величины Х(t).
Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение, которое иногда называется дифференциальным уравнением движения регулятора,
. (4.4)
Полином D(p) степени n оператора характеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде
, (4.5)
где а0 – аn в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.
Полином С(р) той же степени
, (4.6)
где С0 – Сn – постоянные коэффициенты, определяют влияние управляющего воздействия Y(t) на характер изменения ошибки х(t). Выражение только в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматической стабилизации . Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы , что упрощает выражение (4.4).
Полиномы МК(р) определяют влияние возмущающих воздействий FK(t) на характер изменения ошибки х(t). Если для какого-то возмущающего воздействия полином , то система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.
Из (4.4) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием управляющего воздействия Y(t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающих воздействий.
В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляющей, то есть она определяется только наличием возмущающих воздействий.
При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемой величины Х(t) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.
Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки х(t) = Y(t) – X(t) в уравнение (4.4). В результате имеем:
, (4.7)
где полином В(p) определяется выражением
. (4.8)
Степень полинома B(p) – m, причем (m ≤ n)
. (4.9)
Как и ранее в системах автоматической стабилизации при Y(t) = const можно при соответствующем выборе начала отсчета получить Y(t) = 0, что упрощает выражение (4.7).
При заданных функциях времени в правой части дифференциальных уравнений (4.4) и (4.7) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, то есть может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х(t) из (4.4) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором Х(t) – из (4.7).
Записанные выше дифференциальные уравнения САР (4.4) и (4.7) могут быть легко получены на основании понятия передаточной функции, которое было введено ранее (см. подразд. 3.1). Рассмотрим систему автоматического регулирования по замкнутому циклу (рис. 4.1).
Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от объекта регулирования (ОР) и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.
Регулирующее воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением
, (4.8)
где х – рассогласование на выходе чувствительного элемента; wрег(p) – передаточная функция цепи регулирования.
Регулируемая величина может быть найдена из выражения
, (4.9)
где wF(p) – передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию; wK(p) – передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию FK.
Подставляя (4.8) в (4.9), имеем:
. (4.10)
В 4.10 введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы
, (4.11)
которая равна отношению регулируемой величины к ошибке при внешних возмущениях, равных нулю. При этих условиях передаточная функция разомкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и ошибкой
. (4.12)
Рассмотрим теперь замкнутую систему, то есть предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. В этом случае можно использовать уравнение замыкания
x = Y – X. (4.13)
Решая (4.10) и (4.13) совместно, имеем для регулируемой величины
, (4.14)
а для ошибки получим такое выражение
. (4.15)
Выражение
(4.16)
называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и управляющим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий
. (4.17)
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора p.
В результате сравнения формул (4.4) и (4.7) с формулами (4.14) и (4.15) можно получить следующее выражение для передаточной функции разомкнутой системы:
, (4.18)
где В(p) и D(p) – полиномы от оператора, совпадающие с соответствующими полиномами в (4.4) и (4.7).
Характеристический полином системы
. (4.19)
Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы
. (4.20)
Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (4.4) и (4.7), так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного выражения, приравненный нулю:
. (4.21)
Для полиномов МК(p), входящих в формулы (4.4) и (4.7), можно положить следующее соотношение:
. (4.22)
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет легко найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции управляющего и возмущающих воздействий.
Нахождение основных уравнений системы автоматического регулирования (4.14) и (4.15) во многих случаях может быть значительно облегчено использованием понятия динамических звеньев. Динамические звенья были подробно рассмотрены в разд. 3.
Часто систему автоматического регулирования можно разбить на комбинацию динамических звеньев с определенными «типовыми» передаточными функциями. Эти звенья могут соединяться друг с другом различным образом. Наиболее часто встречаются следующие соединения звеньев.
1. Последовательное соединение звеньев (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Последовательное соединение звеньев
В этом случае результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев
. (4.23)
Следует подчеркнуть, что это правило будет справедливым только в том случае, когда соединение выхода предыдущего звена с входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции.
Если при соединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена на другое, в результате которого меняются исходные уравнения какого-то звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться как новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией.
2. Параллельное соединение звеньев (рис. 4.3).
Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция в этом случае равна сумме передаточных функций
. (4.24)
Для этого правила остаются справедливыми замечания, сделанные ранее относительно взаимного влияния звеньев.
3. Обратные связи (рис. 4.4).
Обратная связь может быть положительной, если сигнал х3 с выхода второго звена суммируется с сигналом х1 на выходе первого звена, и отрицательной, если он вычитается.
Для нахождения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие соотношения:
, (4.25)
где знак плюс относится к положительной, а знак минус – к отрицательной обратной связи. Решая эти уравнения совместно, имеем
. (4.26)
Здесь знак минус относится к положительной, а знак плюс – к отрицательной обратной связи.
При использовании понятия динамических звеньев обычно наиболее просто находится передаточная функция разомкнутой системы (см. рис. 4.1). Затем по ранее рассмотренным правилам легко находится уравнение системы автоматического регулирования.
При анализе для системы автоматического регулирования необходимо составить так называемую структурную схему (рис. 4.5), представляющую собой совокупность динамических звеньев и связи между ними.
Рис. 4.5. Пример структурной схемы САР
Такая структурная схема часто является весьма простой и её составление не представляет особого труда. Однако в некоторых случаях составление структурной схемы сопряжено с большими трудностями и может быть сделано только на основе детального анализа исходных дифференциальных уравнений системы регулирования. В этом случае структурная схема не облегчает нахождения основных уравнений системы, но и здесь она остается весьма ценной, так как на ней в наглядной форме представлены все узлы исследуемой системы и все существующие между ними связи. Это может оказаться полезным во всех дальнейших исследованиях.
На рис. 4.5 изображен пример системы автоматического регулирования (структурная схема). Передаточная функция разомкнутой системы в случае размыкания обратной связи будет иметь вид:
. (4.27)
Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы можно разомкнуть систему в другом месте, например в точках а, b, с или d.
После получения передаточной функции разомкнутой системы по выражению (4.16) получают передаточную функцию замкнутой системы, а по формулам (4.14) или (4.15) – дифференциальные уравнения САР.
1. Изложите классический метод составления дифференциальных уравнений.
2. Назовите виды дифференциальных уравнений САР.
3. Дайте определение характеристическому полиному.
4. Назовите передаточные функции САР.
5. Опишите методику составления дифференциальных уравнений системы на основе типовых динамических звеньев.
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования (4.7), записанное для регулируемой величины Х(t) при наличии управляющего воздействия Y(t) и равенстве нулю возмущающих воздействий
, (5.1)
где коэффициенты а0 – аn и b0 – bm представляют собой постоянные величины.
Степень оператора в правой части уравнения не может быть выше, чем в левой m ≤ n.
Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать для возмущающего воздействия FK(t). В этом случае левая часть (5.1) остаётся без изменения, а правая часть будет иметь другой вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени f(t). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (5.1). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов практически безразлично записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействий.
Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как суммы двух решений – частного решения неоднородного уравнения (5.1) с правой частью и общего решения уравнения (5.1) без правой части, то есть с правой частью, равной нулю:
. (5.2)
Первое слагаемое (5.2) называют вынужденным решением (когда Хчастн(t) = const, это будет установившееся значение), а второе слагаемое переходной составляющей
. (5.3)
Система будет называться устойчивой, если с течением времени при стремлении времени к бесконечности переходная составляющая будет стремиться к нулю (при t , ХП(t) 0). Найдем из (5.1) общее решение (переходную составляющую). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение (5.1) без правой части
. (5.4)
Общее решение выполняется в виде
. (5.5)
Дифференцируя выражение (5.5) n раз, подставляем его в (5.4) и после сокращения на общий множитель Cet имеем
. (5.6)
Это уравнение называется характеристическим. Корни его 1 – n будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно увидеть, что левая часть (5.6) полностью совпадает с левой частью (5.1) . Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (5.1) нулю:
. (5.7)
Однако здесь буква «p» означает не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением характеристического уравнения.
Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая (или общее решение), как известно, представляется в виде:
, (5.8)
где 1 – n – корни характеристического уравнения; С1 – Сn – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (управляющего воздействия и его производных).
Если корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (5.1), то постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частью исходного дифференциального уравнения.
Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы совершенно не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (5.1) и определяется только характеристическим уравнением.
Чтобы определить, устойчива система или неустойчива, нет необходимости полностью знать корни характеристического уравнения. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.
В общем виде корни любого уравнения могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи для характеристического уравнения.
1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например 1, является вещественным. Если он отрицательный 1 = –α1, то слагаемое, определяемое этим корнем в (5.8) , будет представлять собой экспоненту . Очевидно, что при t это слагаемое будет «затухать».
При 1 = +α1 получим не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 5.1).
2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например 1 и 2, будут иметь вид . В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (5.8), могут быть представлены в виде:
, (5.9)
где A и – новые постоянные интегрирования.
Нетрудно увидеть, что мнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а – показатель затухания огибающей к кривой переходного процесса (рис. 5.2, а). При положительной вещественной части два корня будут иметь вид и колебательный процесс будет не затухающим, а расходящимся (рис. 5.2, б).
3. Мнимые корни. В этом случае 1 = +j и 2 = –j. Слагаемые, определяемые этими корнями в (5.8), будут представлять собой незатухающие колебания, то есть колебания с постоянной амплитудой
. (5.10)
Такой процесс изображён на рис. 5.2, в.
Из анализа переходных процессов от корней различного вида можно сделать вывод, что для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в САР в целом будет расходиться, то есть система окажется неустойчивой.
Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости (рис. 5.3).
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой границу устойчивости в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.
Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. На границе перехода будем иметь так называемую границу устойчивости системы. Различают три типа границы устойчивости:
1) наличие нулевого корня;
2) наличие пары чисто мнимых корней;
3) наличие бесконечного корня.
Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.
В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, то есть выполняется условие = 0. Это означает, что в характеристическом уравнении будет отсутствовать свободный член аn = 0. Дифференциальное уравнение (5.1) в этом случае может быть записано в виде:
(5.11)
и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины Х, а относительно скорости ее изменения рХ. Величина же отклонения регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду её безразличие к значению самой регулируемой величины.
На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на мнимую ось. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 5.2, в).
Наконец вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую, проходя через бесконечность. В этом случае слагаемое в выражении (5.8) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а0 = 0. Граница устойчивости третьего типа встречается очень редко.
Как было показано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения можно получить путем линеаризации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора ограничиваемся линейными членами, отбрасывая члены высших порядков, которые для малых отклонений считали также малыми.
Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова, которые даны без доказательства.
1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, то есть малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.
2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, то есть малые нелинейные члены не могут сделать её устойчивой.
3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется её линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.
Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, всегда следует иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости «в малом», то есть в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая мало отличается от прямой и соответственно отбрасываемые в формуле (2.3) слагаемые малы. Во-вторых, всё это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений – разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не какому-либо другому способу линеаризации.
К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностям релейного типа, эти теоремы вообще неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие методы, например, так называемый прямой метод Ляпунова.
Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие методики, с помощью которых можно было судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней. Эти методики называются критериями устойчивости.
Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 г. Эта же задача была впервые решена Раусом в 1877 г. для уравнений четвертой и пятой степени.
Поскольку критерий Рауса был разработан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его на практике было не удобным. Поэтому большее распространение получил критерий устойчивости, сформулированный в 1895 г. А. Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося регулированием процессов в турбинах.
Рассмотрим без доказательства критерий устойчивости Гурвица.
Для характеристического уравнения (5.7) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов.
При построении матрицы руководствуются следующими правилами.
1. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn.
2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.
3. В случае отсутствия данного коэффициента, если индекс меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.
(5.12)
Критерий устойчивости сводится к тому, что при а0 > 0 должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, полученных из квадратной матрицы коэффициентов.
Определители Гурвица составляются по следующему правилу (5.12).
; (5.13)
; (5.14)
. (5.15)
Последний определитель Δn включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом:
Δn = аn Δn-1 . (5.16)
Но в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть больше нуля, поэтому условие положительности последнего определителя сводится к аn > 0.
Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель Δn = 0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (5.16), это условие распадается на два: аn = 0 и Δn-1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе – границе второго типа (колебательная граница устойчивости).
Развертывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.
Частные случаи критерия Гурвица.
1. Уравнение первого порядка
. (5.17)
Для этого уравнения имеем:
, (5.18)
то есть коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.
2. Уравнение второго порядка
. (5.19)
Для этого уравнения имеем:
. (5.20)
Последний определитель, как отмечалось ранее, сводится к условию положительности последнего коэффициента а2 > 0.
Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
3. Уравнение третьего порядка
. (5.21)
Для этого уравнения имеем:
; (5.22)
. (5.23)
Последний определитель даёт условие а3 > 0. Условие Δ2 > 0, при а0 > 0, а1 > 0 и а3 > 0 может выполняться только при а2 > 0.
Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется ещё выполнение определенного соотношения между коэффициентами а1а2 > а0а3.
4. Уравнение четвертого порядка
. (5.24)
Подобно проделанному выше можно получить, что для уравнения четвёртого порядка кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
. (5.25)
Существенным недостатком алгебраических критериев и, в том числе критериев Гурвица, является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или не устойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать её устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.
Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (5.7), которая представляет собой характеристический полином
. (5.26)
Подставим в этот полином чисто мнимое значение p = j, где представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического решения. В этом случае получим характеристический комплекс
, (5.27)
где вещественная часть будет содержать четные степени частоты
, (5.28)
а мнимая – нечетные степени частоты
. (5.29)
Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты , то величина D(j) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами U и V или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис. 5.4).
Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты и по формулам (5.28), (5.29) вычисляются U() и V(). Результаты расчетов сводятся в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Построение кривой Михайлова
|
|
0 |
… |
∞ |
|
U |
an |
… |
∞ |
|
V |
0 |
… |
∞ |
По этой таблице строится сама кривая (рис. 5.4).
Определим, чему должен равняться угол поворота вектора D(j) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей
, (5.30)
где 1 – n – корни характеристического уравнения.
Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде:
. (5.31)
Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, D(j) представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора D(j) будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (5.31) при изменении частоты от нуля до бесконечности
. (5.32)
Определим каждое слагаемое в (5.31) по отдельности. Для обобщения задачи рассмотрим различные виды корней.
1. Пусть какой-либо корень, например 1, является вещественным и отрицательным, то есть 1 = –1. Сомножитель в выражении (5.31), определяемый этим корнем, будет иметь вид (1 + j). Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 5.5, а). При = 0 вещественная часть U = 1, а мнимая V = 0. Этому соответствует точка А, лежащая на вещественной оси. При 0 вектор будет так изменяться, что его вещественная часть будет по-прежнему равна , а мнимая V = (точка В на графике). При увеличении частоты до бесконечности вектор уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки.
Рис. 5.5. Вещественные корни
Результирующий угол поворота вектора 1 = +( / 2).
2. Пусть теперь корень 1 является вещественным и положительным, то есть 1 = +1.Тогда сомножитель в (5.31), определяемый этим корнем будет иметь вид (–1 + j). Аналогичные построения (рис. 5.5, б) показывают, что результирующий угол поворота будет 1 = –( / 2). Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.
3. Пусть два сопряженных корня, например 2 и 3, являются комплексными с отрицательной вещественной частью, то есть
2;3 = – ± j. Аналогично сомножители в выражении (5.31), определяемые этими корнями, будут иметь вид ( – j + j)( + j + j).
При = 0 начальные положения двух векторов определяются точками А1 и А2 (рис. 5.6, а). Первый вектор повернут относительно вещественной оси по часовой стрелке на угол, равный arctg( / ), а второй вектор – на тот же угол против часовой стрелки. При постепенном увеличении от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят вверх в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с мнимой осью.
Результирующий угол поворота первого вектора 2 = ( / 2) + . Результирующий угол поворота второго вектора 3 = ( / 2) – . Вектор, соответствующий произведению ( – j + j)( + j + j) повернется на угол 2 + 3 = 2 / 2 = .
Рис. 5.6. Комплексные корни
4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, то есть 2;3 = + ± j.
Проводя построение аналогично рассмотренному ранее случаю (рис 5.6, б), получим результирующий угол поворота 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь f корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная –f( / 2). Всем же остальным (n – f) корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная +(n – f)( / 2). В результате общий угол поворота вектора D(j) при изменении частоты от нуля до бесконечности по формуле (5.32) будет иметь вид
= (n – f)( / 2) – f( / 2) = n ( / 2) – f . (5.33)
Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. В 1936 г. А.В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка.
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(j), описывающий кривую Михайлова, при изменении от нуля до бесконечности имел угол поворота =n ( / 2).
Эта формулировка непосредственно вытекает из (5.33). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.
Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не пересекая начала координат, последовательно пересек столько квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином характеристического уравнения системы.
Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиральную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис. 5.7). Больше чем n число квадрантов кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D(j) оказывается меньше, чем n ( / 2) (рис. 5.8).
Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости.
Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по кривой Михайлова следующим образом.
При наличии границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома an = 0, и кривая Михайлова выходит из начала координат (рис. 5.9, кривая 1)
|
Рис. 5.8. Неустойчивая САР |
Рис. 5.9. Границы устойчивости |
При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, то есть характеристический полином, обращается в нуль при подстановке p = j0
D(j0) = X(0) + Y(0) = 0. (5.34)
Откуда вытекают два равенства: X(0) = 0; Y(0) = 0. Это значит, что точка = 0 на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис. 5.9, кривая 2). При этом величина 0 есть частота незатухающих колебаний системы.
Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается (рис. 5.9, кривая 3) из одного квадранта в другой через бесконечность. При этом коэффициент а0 характеристического полинома (5.7) будет проходить через нулевое значение, меняя знак с плюса на минус.
Для определения устойчивости по логарифмическим характеристикам используется критерий устойчивости Найквиста, но строится не амплитудно-фазовая характеристика САР, а логарифмическая амплитудная частотная характеристика и логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
Построение ЛАХ выполняется по выражению
L() = 20 lg A() = 20 lg W(j). (5.35)
В абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения = –1800 только при модулях, меньших чем единица. В условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать –1800 чётное число раз (два, четыре и т. д.) (рис. 5.10, в).
Рис. 5.10. Примеры ЛАХ и ЛФХ разомкнутых САР
Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.
На рис. 5.10, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения ЛАХ с осью нуля децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения = –1800 (точка 2).
На рис. 5.10, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения = 1800 дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4).
На рис. 5.10, в изображен случай колебательной границы устойчивости и на рис. 5.10, г – случай неустойчивой системы.
1. Сформулируйте понятие устойчивости и неустойчивости линейных систем.
2. Опишите алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
3. Опишите критерий устойчивости Михайлова.
4. Назовите границы устойчивости по критерию устойчивости Михайлова.
5. Как определяют устойчивость по ЛАХ и ЛФХ?
Переходный процесс в системе автоматического регулирования может вызываться приложением управляющего или возмущающего воздействия, а также вследствие наличия ненулевых начальных условий. Переходный процесс может быть построен либо для регулируемой величины Х(t), либо для ошибки х(t) = Y(t) – X(t). При управляющем воздействии Y(t) = 0 функции переходного процесса отличаются только знаками, так как в этом случае х(t) = – X(t). В дальнейшем изложении будем рассматривать построение кривой переходного процесса только для регулируемой величины. При известном управляющем воздействии легко может быть найдена также и кривая переходного процесса для ошибки.
При нахождении кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования имеются две сложности.
Первая сложность принципиального характера заключается в том, что в реальных системах регулирования управляющие и возмущающие воздействия не являются известными функциями времени, а носят случайный характер. В связи с этим приходится рассматривать некоторые типовые входные воздействия. Типовые входные воздействия стремятся выбирать так, чтобы они были по возможности близкими к реальным воздействиям в системе автоматического регулирования. Три типовых воздействия изображены на рис. 6.1.
Воздействие первого типа часто встречается в системах автоматического регулирования в виде внезапного скачка управляющего или возмущающего воздействия на некоторую постоянную величину, например, увеличение напряжения на тяговом двигателе при ступенчатом регулировании, увеличение момента на валу двигателя и т. п. Реакция системы на воздействие этого типа представляет собой ее переходную функцию (рис. 6.1, а).
Воздействие второго типа также встречается в системах регулирования в виде кратковременного удара нагрузки, например при коротком замыкании генератора, который отключается через небольшой промежуток времени системой защиты, при кратковременном изменении момента нагрузки двигателя и т. д. Реакция системы на воздействие этого типа представляет ее функцию веса (рис. 6.1, б).
Рис. 6.1. Типовые входные воздействия
Воздействие третьего типа является характерным для следящих систем, когда командная ось внезапно начинает двигаться с некоторой постоянной скоростью. В этом случае исполнительная ось после завершения переходного процесса также будет двигаться с этой скоростью (рис. 6.1, в).
Вторая сложность непринципиального характера заключается в том, что обычно системы регулирования описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это усложняет практические расчеты, поэтому для облегчения задачи построения кривой переходного процесса во многих случаях приходится пользоваться приближенными методами.
Для построения кривой переходного процесса часто используют численные и графические методы решения дифференциальных уравнений. Таких методов существует много. Применительно к задачам теории автоматического регулирования удобным оказывается численно-графический метод, разработанный Д.А. Башкировым [6].
Для получения переходных процессов с большим успехом и весьма широко применяются компьютеры. Для сложных автоматических систем в настоящее время этому методу отдается предпочтение.
В инженерной практике наиболее распространены способы построения кривой переходного процесса методом непосредственного решения линейных дифференциальных уравнений или так называемый классический метод, использующий преобразования Фурье, Лапласа и Карсона–Хевисайда, а также метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик. Рассмотрим в настоящем разделе оба эти метода.
Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью
, (6.1)
где р – оператор дифференцирования.
Решение этого уравнения можно представить в виде суммы частного и общего решений
. (6.2)
Первое слагаемое (6.2) называют вынужденным решением. В случае Хчастн(t) = const это будет установившееся значение, а второе слагаемое – переходная составляющая
. (6.3)
Общее решение (переходная составляющая) находится из дифференциального уравнения (6.1) с правой частью, равной нулю
. (6.4)
Как уже указывалось выше, это решение определяется выражением (5.8). Полное решение в результате будет иметь вид
, (6.5)
где 1 – n – корни характеристического уравнения
, (6.6)
соответствующего дифференциальному уравнению (6.1).
Таким образом, для отыскания полного решения дифференциального уравнения (6.1) необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью ХВ(t) и определить корни характеристического уравнения. Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С1 – Сn. Для этой цели используются начальные условия: t = 0; . Начальные условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (6.1). Дифференцируя уравнение (6.5) по времени (n – 1) раз и подставляя начальные условия, получают n алгебраических уравнений (исходное уравнение (6.5) и (n – 1) результатов дифференцирования), куда входит n неизвестных – постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений даёт возможность определить искомые постоянные интегрирования С1 – Сn.
Операции вычисления корней и совместного решения n алгебраических уравнений являются трудоёмкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами. В связи с этим использование классического метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно не высокого порядка дифференциального уравнения.
Этот метод был разработан российским ученым В.В. Солодовниковым [6]. Он позволяет получить зависимость Х(t) по известной вещественной характеристике Р().
. (6.7)
Однако интегрирование выражения (6.7) является сложной задачей. Поэтому на практике используется приближенное решение. Для этой цели вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики (рис. 6.2).
Единичная трапеция имеет высоту, равную единице, и частоту среза с, также равную единице. Единичная трапеция характеризуется частотой излома d, которая может быть задана в виде коэффициента наклона боковой грани трапеции
. (6.8)
Для единичных трапеций с различным коэффициентом наклона по выражению (6.7) может быть вычислен оригинал, то есть функция времени. Эта функция получила название h-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h-функции для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах . В справочной литературе они обычно имеют вид, аналогичный табл. 6.1. По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции можно построить функцию времени h(t0) (грубо – кривые переходного процесса, соответствующие единичным трапецеидальным вещественным характеристикам).
Таблица 6.1
Общий вид таблицы h-функций
|
t0 |
h |
||||
|
0 |
0,1 |
0,2 |
… |
1 |
|
|
0 0,1 0,2 … |
Метод построения кривой переходного процесса заключается в том, что имеющуюся вещественную характеристику исследуемой системы заменяют на ряд прямоугольных трапеций (рис. 6.3). Приближенная замена криволинейных участков характеристики прямолинейными отрезками осуществляется с соблюдением следующих условий.
1. Сумма высот всех вписанных трапеций должна равняться суммарному изменению ординаты вещественной частотной характеристики Р().
2. Боковые наклонные грани прямоугольных трапеций должны как можно точнее соответствовать криволинейным участкам характеристики Р().
Рис. 6.3. Вписывание трапеций
Далее необходимо определить параметры всех полученных трапеций. Для этого выполняется вспомогательное построение всех трапеций на отдельной координатной сетке (аналогичной координатной сетке вещественной частотной характеристики системы), с учетом масштаба и знака. Увеличение ординаты P(w) соответствует отрицательным трапециям, а уменьшение – положительным. Для каждой трапеции определяют высоту p, частоты среза wс и излома wd, по которым определяют коэффициент наклона трапеции .
Для коэффициента наклона по справочным таблицам h-функций, могут быть построены переходные характеристики для каждой трапеции. Построение осуществляется следующим образом.
1. По коэффициенту наклона не единичной трапеции в таблице h-функций выбирается ближайшая единичная трапеция h(t0).
2. Для получения точек, по которым можно построить составляющую кривой переходного процесса Xi(t) от не единичной i-й трапеции, значение выбранной h-функции умножают на высоту трапеции p, а время из справочной таблицы t0 делят на ее частоту среза wс. Данное правило можно представить так:
. (6.9)
На основании таблиц h-функций, по правилу (6.9), для всех трапеций формируются расчетные таблицы Xi(t).
3. После создания всех таблиц выполняют построение графиков Xi(t) в одной координатной плоскости. Промежуток времени t во всех таблицах должен быть приблизительно равным. За этот промежуток все составляющие Xi(t) должны закончить существенные колебания по ординате.
4. На последнем этапе производят графическое суммирование всех составляющих для получения результирующей кривой переходного процесса X(t).
1. Изложите методы построения кривой переходного процесса в САР.
2. Изложите общий метод построения кривой переходного процесса.
3. Сформулируйте понятие единичной трапецеидальной вещественной характеристики
4. Дайте определение и назовите назначение h-функций.
5. Как производится построение кривой переходного процесса по вещественной частотной характеристике?
Качество работы любой системы регулирования в основном определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины
. (7.1)
Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайности управляющего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются так называемые критерии качества.
В настоящее время разработано большое число различных критериев качества систем регулирования. Все их можно разбить на три группы.
К первой группе относятся критерии, в той или иной степени использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. Эту группу называют критериями точности систем регулирования.
Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, то есть критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится система регулирования.
Почти всегда опасной для системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить общий коэффициент усиления в системе, как правило, приводит к приближению системы именно к колебательной границе устойчивости и затем к возникновению незатухающих автоколебаний.
Третья группа критериев качества определяет так называемое быстродействие системы регулирования на появление управляющих и возмущающих воздействий.
Разделение критериев на эти три группы является в известной мере условным. Так как в некоторых случаях нельзя провести четкой границы и отнести критерий качества полностью к той или иной группе.
Для оценки точности системы регулирования используется величина ошибки в различных типовых режимах. Рассмотрим четыре наиболее распространенных режима.
1. Неподвижное состояние. В качестве типового режима рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях управляющего и возмущающего воздействий. Ошибка системы в этом случае называется статической. Величина ошибки может быть найдена из общего выражения (4.15). Для этого необходимо, чтобы и т. д. Затем можно использовать изображения функции по Лапласу или Хевисайду – Карсону. В данном случае более просто применить изображения Хевисайда – Карсона, так как изображение постоянной величины равно ей самой, то есть и т. д. Потом необходимо воспользоваться теоремой о предельном переходе и получить установившееся значение ошибки (статическую ошибку)
. (7.2)
Первое слагаемое представляет собой составляющую статической ошибки, определяемую управляющим воздействием. Эта составляющая может быть отличной от нуля только при статическом регулировании. При астатическом регулировании она обращается в нуль. Однако в подавляющем большинстве случаев первое слагаемое (7.2) может быть обращено в нуль и в статических системах посредством соответствующего масштабирования или использования неединичных обратных связей. Поэтому практически первая составляющая статической ошибки всегда может быть принята равной нулю.
Второе слагаемое (7.2) никогда не обращается в нуль, так как даже использование регулирования с астатизмом высокого порядка может обратить в нуль лишь часть слагаемых, находящихся под знаком суммы.
При выводе выражения (7.2) было оставлено без внимания следующее обстоятельство. Предполагалось, что чувствительный элемент, определяющий разность между требуемым и действительным значениями регулируемой величины, является идеальным и определяет имеющуюся ошибку в соответствии с выражением (7.1). В действительности чувствительному элементу как измерительному органу присущи свои ошибки. Принципиально ошибку чувствительного элемента можно рассматривать так же, как некоторое возмущающее воздействие и считать, что она входит во второе слагаемое (7.2). Однако на практике удобнее эту ошибку рассматривать отдельно и считать, что статическая ошибка
, (7.3)
где – представляет собой второе слагаемое в выражении (7.2); – ошибка чувствительного элемента.
2. Движение с постоянной скоростью. В качестве второго типового режима используется движение системы с постоянной скоростью V = const, которое будет наблюдаться в установившемся состоянии при уп равляющем воздействии, изменяющемся по закону и при постоянных значениях возмущающих воздействий и т. д. Используя изображения Хевисайда – Карсона, имеем и т. д. Из общего выражения для ошибки (4.15) посредством теоремы о предельном переходе может быть найдена установившаяся ошибка в этом режиме
. (7.4)
Второе слагаемое этого выражения дает статическую ошибку (при условии, что возмущающие воздействия такие же, как в неподвижном положении системы), в которой может быть также учтена ошибка чувствительного элемента (7.3)
Первое слагаемое (7.4) имеет смысл только при астатизме первого порядка, то есть в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде
. (7.5)
Тогда выражение (7.4) приводится к виду
. (7.6)
Таким образом, в этом типовом режиме установившаяся ошибка будет слагаться из статической ошибки и добавочной скоростной ошибки, равной отношению скорости к добротности системы по скорости
. (7.7)
Так как система может двигаться с различными скоростями, то качество ее удобнее характеризовать не самой скоростной ошибкой, которая является переменной величиной, а значением добротности по скорости
. (7.8)
В статических системах первое слагаемое (7.6) стремится к бесконечности, а при астатизме выше первого порядка – к нулю. Поэтому режим движения с постоянной скоростью используется для оценки точности только систем регулирования с астатизмом первого порядка, главным образом, следящих систем, для которых такой режим является характерным.
3. Движение с постоянным ускорением. В качестве третьего типового режима используется установившееся движение системы регулирования с постоянным ускорением а = const. В этом случае управляющее воздействие меняется по закону . Возмущающие воздействия принимаются постоянными, как и во втором типовом режиме.
Аналогично изложенному ранее, установившееся значение ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения
. (7.9)
Второе слагаемое (7.9), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (7.9) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде
. (7.10)
Тогда выражение (7.9) приводится к виду
. (7.11)
Первое слагаемое (7.11) представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения. Как и в предыдущем случае, качество системы может быть оценено по величине добротности по ускорению
. (7.12)
Этот типовой режим используется только для систем регулирования с астатизмом второго порядка, главным образом, следящих систем.
4. Движение по гармоническому (синусоидальному) режиму. Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системы регулирования. Управляющее воздействие принимается изменяющимся по закону
. (7.13)
В зависимости от конкретного вида системы регулирования, возмущающие воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или меняться.
Случай постоянства возмущающих воздействий приводит, как и в рассмотренных ранее втором и третьем типовых режимах, к появлению некоторой постоянной ошибки хcm.
Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системы в этом режиме меняются во времени. Это объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы, и, следовательно, одновременно будет меняться направление действующих в системе сил. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам регулирования. Поэтому рассмотрим ошибку, определяемую только первым слагаемым выражения (4.15)
. (7.14)
В линеаризованной системе при гармоническом управляющем воздействии (7.13) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой
. (7.15)
Точность системы в синусном режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (7.14) на основании подстановки p = jK
. (7.16)
Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия , то, следовательно, модуль знаменателя (7.16) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (7.16) заменить приближенным
, (7.17)
где А(K) – модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при = K.
Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся синусном режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.
Формула (7.17) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (ЛАХ) В этом случае модуль А(K) в децибелах, то есть , равен ординате ЛАХ при частоте K (рис. 7.1, а).
Рис. 7.1. ЛАХ разомкнутой САР
Простота выражения (7.17) позволяет легко решить обратную задачу, то есть сформулировать требования к ЛАХ, которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в синусном режиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитуды управляющего воздействия Ymax и допустимой амплитуде ошибки хmax вычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах
. (7.18)
Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при частоте управляющего воздействия K. Полученная точка АK (рис. 7.1, б) обычно называется контрольной точкой для ЛАХ. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения хmax, ЛАХ должна проходить не ниже контрольной точки АK. Если ЛАХ пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет равна допустимому значению. Если ЛАХ пройдет ниже точки АK, то ошибка будет больше допустимого значения.
Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования при некотором типовом входном воздействии, которым может быть как управляющее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Переходная характеристика
Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины Хmax или так называемым перерегулированием – максимальным положительным отклонением регулируемой величины в переходном процессе от заданного значения
, (7.19)
где представляет собой установившееся значение регулируемой величины после завершения переходного процесса.
Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы автоматического регулирования может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10 – 30 %.
Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса tn. Длительность переходного процесса (время) определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка задающего воздействия до момента, после которого регулируемая величина достигла заданного значения в пределах допустимой ошибки, или по-другому – имеет место неравенство
, (7.20)
где Δ – заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимую ошибку. Величина Х() в частном случае может равняться нулю. Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. Иногда дополнительно к величине перерегулирования σ, %, или к величине Хmax задается допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса. Это число составляет обычно
1–2 колебания.
Рис. 7.3. Область допустимых отклонений регулируемой величины
Графически требования к запасу устойчивости и быстродействию сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии из некоторой области, изображенной на рис. 7.3. Эта область называется областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе.
Построение кривой переходного процесса является в большинстве случаев весьма трудоемкой задачей. Поэтому целесообразно использование методов, позволяющих определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частной характеристике замкнутой системы, которая часто используется для построения кривой переходного процесса.
Укажем без доказательств ряд свойств вещественной характеристики.
1. Установившееся значение регулируемой величины в относительных единицах при единичном скачке на входе равно начальной ординате вещественной частотной характеристики (рис. 7.4)
. (7.21)
Рис. 7.4. Параметры вещественной частотной характеристики САР
2. Начальная часть вещественной частотной характеристики влияет в основном на окончание переходной характеристики, а окончание вещественной частотной характеристики влияет, главным образом, на начальную часть переходного процесса. Желая приблизительно оценить переходный процесс, рассматривают конечный интервал частот , где с определяется как значение частоты, выше которого величина Р() имеет пренебрежимо малое значение (рис. 7.4). Промежуток называется интервалом существенных частот.
3. Длительность переходного процесса будет тем меньше, чем больше интервал существенных частот. Относительно длительности переходного процесса можно утверждать, что имеет место следующее неравенство:
, (7.22)
где п – интервал положительности вещественной характеристики (рис. 7.4).
4. Перерегулирования в переходном процессе может не быть, а если перерегулирование и будет, то оно не превысит 18%, когда вещественная частотная характеристика в интервале существенных частот является положительной и невозрастающей, (когда вещественная характеристика не имеет горба) как на рис. 7.5, а
. (7.23)
5. Переходный процесс будет наверняка монотонным, если вещественная частотная характеристика в интервале существенных частот имеет отрицательную, убывающую по абсолютному значению производную (рис. 7.5, б).
Рис. 7.5. Вещественные характеристики САР
6. При наличии у вещественной частотной характеристики пика (см. рис. 7.4) величина перерегулирования может быть оценена по неравенству
. (7.24)
Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной частотной характеристики. Если этот пик уходит в бесконечность, то система находится на границе колебательной устойчивости, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней (рис. 7.5, в, кривая 1). При нахождении системы на границе устойчивости, соответствующей наличию одного нулевого корня, в бесконечность уходит Р(0) – начальное значение ординаты вещественной частотной характеристики (рис. 7.5, в, кривая 2).
Как было рассмотрено в разд. 5, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая сами переходные процессы, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения.
Для оценки быстродействия системы используется понятие «степени устойчивости». Термин «степень устойчивости» не является удачным, и его следовало бы заменить термином «степень быстродействия». Это объясняется тем, что «степень устойчивости» никак не связана с удалением системы от границы устойчивости, определяемым по склонности системы к колебаниям, но этот термин используется в специальной литературе по ТАУ.
Под степенью устойчивости h понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 7.6).
Рис. 7.6. Степень устойчивости
Могут быть два случая: когда ближайший корень является вещественным (рис. 7.6, а) и когда к оси мнимых ближе всего расположена пара комплексных корней (рис. 7.6, б).
Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к оси мнимых, то есть имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают в переходном процессе слагаемые (5.8)
, (7.25)
которые затухают наиболее медленно. В большинстве случаев переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет слагаемое, определяемое ближайшим к мнимой оси корнем. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, от этого корня, будет иметь вид
. (7.26)
Допустив в конце переходного процесса (где Δ = 0,010,05 – ошибка регулирования), можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса
. (7.27)
Так, например, если принять Δ = 0,05, то время переходного процесса составит
. (7.28)
Если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных корней , то вместо (7.26) будем иметь
.(7.29)
В этом случае, допустив , нельзя в общем виде определить время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решить трансцендентное уравнение. Однако можно найти верхнюю границу переходного процесса, положив в этом уравнении . Тогда имеем:
. (7.30)
Таким образом, и в этом случае величина степени устойчивости будет определять быстроту затухания переходного процесса.
Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления значений корней характеристического уравнения. Для этой цели в характеристическом уравнении (5.6) переходят к новой переменной z = + h. Подставляя в него = z – h, получаем так называемое смещенное уравнение
. (7.31)
Раскрывая скобки в (7.31) и группируя подобные члены, имеем:
. (7.32)
Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (см. рис. 7.6) влево на величину h. В результате один (см. рис. 7.6, а) или два (см. рис. 7.6, б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости.
Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному характеристическому уравнению (7.32) любой критерий устойчивости и определить при каком значении h получается граница устойчивости. Напомним, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического уравнения
, (7.33)
а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова через начало координат.
Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования. Склонность системы к колебаниям наблюдается, если в решении характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида . Эта склонность может характеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к вещественной (коэффициенту затухания), которое называется колебательностью
. (7.34)
Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости, так называемым затуханием. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса (5.8) слагаемые вида
. (7.35)
Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором значении времени t = t1 эта амплитуда составит
. (7.36)
Через один период имеем:
. (7.37)
Затуханием за период называют величину
. (7.38)
Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды А2 в (7.38), имеем:
(7.39)
или
. (7.40)
Обычно в системах автоматического регулирования допускается затухание за один период не менее чем 90 – 98 %. Так например, если = 98 %, то допустимая колебательность при этом составит
. (7.41)
Соответственно при = 90 % получаем .
Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (рис. 7.7, а), которые составляют с вещественной осью угол
. (7.42)
Колебательность системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было рассмотрено выше по отношению к степени устойчивости.
Рис. 7.7. Область расположения корней
При задании допустимых значений колебательности и степени устойчивости область расположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящей параллельно оси мнимых на расстоянии h (рис. 7.7, б). Расположению корней в этой области соответствует соблюдению требуемого запаса устойчивости, определяемого величиной колебательности (или затуханием ) и требуемой степенью устойчивости h, характеризующей быстродействие системы.
Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения (4.14) или (4.15).
Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим зависимость между регулируемой величиной и управляющим воздействием, записанное посредством передаточной функции замкнутой системы (4.17)
. (7.43)
Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробно-рациональную функцию
. (7.44)
Раскладывая числитель и знаменатель (7.44) на множители, имеем
. (7.45)
Корни числителя 1 – m называются нулями передаточной функции, так как в точке р = i передаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя 1 – n являются корнями характеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции, то есть при р = i передаточная функция обращается в бесконечность.
Полюса передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения, а нули – правую. Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оценить вид переходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, укажем без доказательства общие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов и нулей передаточных функций.
1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе.
2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга.
3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.
Кроме этих рекомендаций, сохраняют свою силу ограничения на область расположения полюсов, накладываемые в связи с требованиями обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия (см. рис. 7.7, б).
Необходимо отметить, что случай соответствует отсутствию нулей передаточной функции (7.44). В этом случае вид переходного процесса характеризуется только расположением полюсов.
Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.
Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 7.8) от точки
(–1, j0). Для этой цели вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.
Рис. 7.8. АФЧХ разомкнутой САР
Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис. 7.8, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками «а» и «с» и соответственно двумя величинами, выраженными в децибелах:
(7.46)
Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше L1 и L2. В хорошо демпфированных (не имеющих колебаний) системах эти величины составляют примерно 620 дБ. В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина L1 , так как . Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе , где – аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному единице (точка «b» на рис. 7.8):
. (7.47)
В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30600.
В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки «а», «b» и «с» на рис. 7.8), задают некоторую запретную область для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта запретная область окружает точку (–1, j0) и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе 1 и запаса устойчивости по модулю 1 (рис. 7.9).
Недостатком рассмотренного критерия является то, что для определения запаса устойчивости необходимо задать два числа 1 и 1.
1. Дайте понятие о качестве процесса регулирования, назовите группы критериев качества.
2. Опишите типовые режимы оценки точности.
3. Дайте определение показателей качества регулирования по переходной характеристике.
4. Опишите метод оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике.
5. Опишите корневые методы оценки качества регулирования.
6. Изложите частотный критерий запаса устойчивости.
Под синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание ее рациональной структуры и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. По отношению к основе синтеза в настоящее время имеется две точки зрения.
Во-первых, синтез можно трактовать как пример вариационной задачи и рассматривать такое построение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по времени работы и т. п.) обеспечивается теоретический минимум ошибок.
Во-вторых, синтез можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы автоматического регулирования, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней. Подразумевается, что из многих возможных решений инженер, проектирующий систему, будет выбирать те, которые являются оптимальными с точки зрения существующих конкретных условий и требований в части габаритов, веса, простоты, надежности и т. п.
Иногда в понятие инженерного синтеза вкладывается еще более узкое значение и рассматривается синтез корректирующих средств, имеющий целью определение их вида и параметров, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы регулирования (объект с регулятором), чтобы обеспечить требуемые динамические качества.
При инженерном синтезе системы автоматического регулирования проектировщик должен обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов. Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента усиления системы и, в случае необходимости, вида корректирующих средств, повышающих точность системы. Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах на основе тех критериев точности, которые были изложены в разд. 7. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального или вычислительного характера, так как все критерии точности достаточно просты для их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случае необходимо найти только общий коэффициент усиления системы.
Решение второй задачи – обеспечение приемлемых переходных процессов оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров и многозначности решения задачи демпфирования системы. Поэтому существующие инженерные методы часто ограничиваются решением только второй задачи, так как их авторы считают, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования существующих критериев точности и совершенствования их практически не требуется.
В настоящем разделе будет кратко рассмотрен наиболее удобный метод инженерного синтеза систем автоматического регулирования, получивший распространение на практике.
Логарифмические амплитудные характеристики особенно удобны для целей синтеза, так как построение ЛАХ, как правило, может выполняться без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические ЛАХ.
Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции.
1. Построение желаемой ЛАХ производится на основе тех требований, которые предъявляются к проектируемой системе регулирования. При построении желаемой ЛАХ необходимо быть уверенным, что вид амплитудной характеристики полностью определяет характер переходных процессов. Это будет выполняться в случае так называемых минимально-фазовых систем. В этом случае амплитудная характеристика однозначно определяет вид фазовой характеристики. Передаточная функция разомкнутой минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных в правой полуплоскости.
2. Построение располагаемой ЛАХ. Располагаемой ЛАХ является характеристика исходной системы регулирования, построенной на основании обеспечения требуемых режимов стабилизации или слежения, выходной мощности, требуемой скорости, ускорения и т. п. Обычно под исходной системой понимается система, состоящая из регулируемого объекта и регулятора и не снабженная необходимыми корректирующими средствами, обеспечивающими требуемое качество переходного процесса. Исходная система должна быть также минимально-фазовой.
3. Определение вида и параметров корректирующего устройства. Наиболее просто определяется корректирующее устройство последовательного типа. Если обозначить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы как WЖ(p), располагаемую – WР(p) и передаточную функцию корректирующего звена последовательного типа – WКЗ(р), то можно записать равенство
. (8.1)
Откуда имеем
. (8.2)
Для ЛАХ по (8.2) можно записать
LКЗ() = LЖ() – LР(v). (8.3)
Таким образом, при использовании ЛАХ весьма легко осуществляется синтез корректирующих средств, так как ЛАХ корректирующих средств получается простым вычитанием ординат располагаемой ЛАХ из ординат желаемой.
4. Техническая реализация корректирующих средств. По виду ЛАХ в справочной литературе необходимо подобрать схему и параметры корректирующего звена последовательного типа. В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или эквивалентную обратную связь.
5. Поверочный расчет и построение переходного процесса. В случае необходимости полученная система регулирования вместе с корректирующими средствами может быть исследована обычными методами анализа.
Рассмотрим краткое изложение метода синтеза, разработанного В.В. Солодовниковым [6].
В основу синтеза положено выполнение заданной величины следующих показателей качества:
1) перерегулирования σ, %, при единичном ступенчатом воздействии на входе;
2) времени переходного процесса tп;
3) максимального ускорения аmax, с которым изменяется регулируемая величина при заданном ступенчатом управляющем воздействии q0;
4) запаса устойчивости по фазе .
Построение желаемой ЛАХ. Желаемой LЖ называют асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы, имеющей требуемые статические и динамические свойства. Желаемая ЛАХ (рис. 8.1) состоит из трех основных асимптот (частей): низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.
Желаемая ЛАХ строится на основании требований к системе. Ранее было выяснено, что низкочастотная часть ЛАХ разомкнутой системы определяет статические свойства. Среднечастотная часть ЛАХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества процесса регулирования.
Рис. 8.1. Построение желаемой ЛАХ
Построение среднечастотной части желаемой ЛАХ начинают с выбора частоты среза с (рис. 8.1), для этого используется номограмма 1 (рис. 8.2), составленная В.В. Солодовниковым.
Она определяет зависимость перерегулирования σ и времени переходного процесса tп от максимума (пика) Рmaх вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причем время переходного процесса tп дано в виде функции частоты среза с.
Номограмма используется следующим образом. По заданному значению перерегулирования σ определяют значение Рmax, затем по Рmax определяют соотношение между tп и с, то есть
, (8.4)
где с – числовое значение по оси ординат номограммы 1.
На рис. 8.2 показано, как по значению σ = 30 % определено Рmax = 1,27 и .
Из (8.4) вычисляем частоту среза с1, при которой время регулирования не превысит заданного значения (это обеспечивает номограмма 1).
Если при начальном воздействии q0 ускорение регулируемой величины ограничивается значением аmax, то частота среза не должна быть больше с2, то есть
. (8.5)
Частота среза с2 соответствует оптимальному переходному процессу при допустимом ускорении аmax.
Таким образом, частота среза должна быть выбрана по одному из следующих условий:
. (8.6)
Чем больше с, тем меньше время регулирования. Однако если, с2 < с1, то с не должна быть больше значения с2. В этом случае требование в отношении времени переходного процесса, возможно, не будет выполнено.
Среднечастотная часть желаемой ЛАХ проводится через точку с с отрицательным наклоном –20 дБ/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.
Протяженность среднечастотной части устанавливается исходя из необходимого запаса устойчивости. Из этих же соображений выбирают способ ее сопряжения с низкочастотной частью распологаемой ЛАХ. Кроме того, сопрягающую асимптоту следует выбирать так, чтобы характеристика LЖ как можно меньше отличалась от LР, и ЛАХ корректирующего устройства была более простой.
По найденному из номограммы 1 значению Pmax c помощью номограммы 2 (рис. 8.3) определяют избыток фазы и предельные значения LМ логарифмических амплитуд. По номограмме 2 по значению Рmax = 1,27 определены LМ = 14 дБ и = 40 0.
Избыток фазы должен быть обеспечен на том участке характеристики LЖ, для которого справедливо неравенство
. (8.7)
Этот участок охватывает среднечастотную асимптоту и, возможно, часть сопрягающей асимптоты.
Сопряжение желаемой и распологаемой ЛАХ в низкочастотной области производится следующим образом: сначала откладывается ордината LМ (пунктир на рис. 8.1), затем наносится спрягающая прямая. Если наклон низкочастотной части ЛАХ составляет 0 дБ/дек или –20 дБ/дек, то наклон сопрягающей прямой выбирают равным –40 дБ/дек или –60 дБ/дек. Начинать ее можно из точки среднечастотной части ЛАХ с ординатой LМ.
После этого нужно проверить избыток фазы при частоте а, где ордината LЖ равна LМ (см. рис 8.1). Значение подсчитывается по приближенной формуле
, (8.8)
где – порядок астатизма проектируемой системы; i – сопрягающие частоты, меньшие а, при которых наклон LЖ увеличивается на 20 дБ/дек; k – число сопрягающих частот i; j – сопрягающие частоты, меньшие а, при которых наклон Lж() уменьшается на 20 дБ/дек; – число сопрягающих частот j.
Если избыток фазы оказывается меньше необходимого, то сопрягающую асимптоту следует переместить влево. В противном случае (при слишком большом избытке фазы) сопрягающая асимптота перемещается вправо. Чем больший диапазон частот занимает низкочастотная часть ЛАХ, тем лучше система воспроизводит низкочастотные изменения управляющего воздействия.
Высокочастотная часть желаемой ЛАХ мало влияет на свойства системы. Поэтому ее следует выбирать так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных частей характеристик LЖ и LР. Если совмещение не удается, то высокочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь тот же наклон, что и высокочастотная часть распологаемой ЛАХ.
После выбора высокочастотной части желаемой ЛАХ и сопряжения ее со среднечастотной частью следует проверить избыток фазы при частоте б, где ордината характеристики LЖ равна минус LМ. Это можно сделать по следующей формуле
, (8.9)
где qcp – относительный наклон среднечастотной асимптоты (при наклоне –20 дБ/дек qcp = 1); r – сопрягающие частоты, большие частоты среза ωс; m – число частот r.
Если меньше требуемого значения, то высокочастотную сопрягающую асимптоту желаемой ЛАХ нужно переместить вправо.
Существуют методы, позволяющие более точно проверить избыток фазы на частотах а и б. [3]. Чтобы окончательно убедиться в приемлемости желаемой ЛАХ, можно по полученной желаемой передаточной функции построить любым методом кривую переходного процесса и проверить величины σ и tп.
При построении желаемой ЛАХ нужно следить, чтобы она как можно меньше отличалась от располагаемой ЛАХ, что нужно для упрощения корректирующих средств. Это замечание особенно относится к низкочастотной и высокочастотной частям ЛАХ. Желательно делать так, чтобы, по крайней мере, первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих ЛАХ сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот ЛАХ достигается за счет выбора требуемого коэффициента передачи в системе. Совпадение высокочастотных асимптот достигается соответствующим выбором желаемой ЛАХ в высокочастотной области. Заметим, что при формировании желаемой ЛАХ можно увеличивать, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю LМ и –LМ, так как такое увеличение только повысит качество системы.
В заключение из ординат желаемой ЛАХ вычитаются ординаты располагаемой ЛАХ. Результирующая ЛАХ разницы соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. По виду этой ЛАХ в справочной литературе подбирается схема и параметры корректирующего звена последовательного типа. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено.
1. Сформулируйте понятие синтеза САР.
2. Как выполняется коррекция САР по логарифмическим амплитудным характеристикам?
3. Изложите методику определения частоты среза желаемой ЛАХ по В.В. Солодовникову.
4. Изложите методику сопряжения желаемой и распологаемой ЛАХ в низкочастотной и высокочастотной областях по методу В.В. Солодовникова.
5. Как осуществляется подбор последовательного корректирующего устройства по методу В.В. Солодовникова?
В предыдущих разделах были рассмотрены методы расчета линейных систем автоматического регулирования. Линейные системы получались как результат линеаризации реальных систем, в которых всегда в той или иной форме имеются определенные нелинейные зависимости. Бывают случаи, когда в одном или более звеньях не удается провести линеаризацию, или же специально вводятся какие-либо существенные нелинейности, необходимые для создания определенных свойств системы регулирования, например, зоны нечувствительности, повышенного быстродействия при отработке больших отклонений и т. д. В этом случае необходимо исследовать нелинейные системы. К таким системам, в частности относятся системы, содержащие звено релейного типа, сухим трением, звено с насыщением, с гистерезисной петлей и т. п. (см. рис. 2.1).
Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является так называемый прямой метод Ляпунова [1]. Здесь не будет описан этот метод ввиду того, что его применение к автоматическим системам часто вызывает трудности.
Протекание процесса регулирования в нелинейной системе может быть в ряде случаев найдено методом припасовывания (сшивания). Этот метод заключается в том, что все движение разбивается на участки по времени так, чтобы внутри каждого участка процесс описывался линейным дифференциальным уравнением (или легко интегрируемым нелинейным). Таким образом, получают различные решения для разных участков процесса во времени, причем начальными условиями для решения уравнения на каждом участке являются значения переменных, полученные в конце предыдущего участка. Уравнивание начальных и конечных значений последующего и предыдущего участков и представляет собой процесс припасовывания. При этом необходимо помнить, что если переход от одного участка к другому сопровождается приложением к системе каких-либо воздействий (например, включение силовых контактов группового контроллера вызывает приложение к двигателю напряжения), то возможно появление скачков некоторых производных (в этом случае бросок производной тока якоря).
Для построения процессов регулирования в нелинейных системах часто используются графические и графоаналитические расчетные методы. Одним из наиболее удобных и распространенных методов является метод Д.А. Башкирова. Он позволяет строить процессы при любом характере нелинейностей даже и тогда, когда они заданы не аналитически, а графически или в виде таблиц.
Полнее и быстрее всего можно произвести исследование процессов в нелинейных автоматических системах на ЭВМ. Для нелинейных систем ввиду больших трудностей аналитических и графических расчетов использование компьютеров имеет особое значение. Часто расчет автоматической системы при ее проектировании, то есть при выборе структуры и параметров системы, может предварительно производиться в линейном приближении. Затем для нескольких отобранных вариантов можно провести подробное исследование на ЭВМ с учетом имеющихся нелинейностей.
Однако в некоторых случаях ввиду существенных нелинейностей невозможно рассматривать систему в линеаризованном виде даже в качестве первого приближения. Поэтому необходимы расчетные методы, позволяющие вести расчет автоматических систем с учетом главнейших нелинейностей и вместе с тем сохраняющие простоту и наглядность, которые необходимы при инженерных расчетах. Для этой цели используются методы фазовой плоскости и гармонического баланса.
Метод изображения процессов с помощью фазовых траекторий в принципе может использоваться для систем, описываемых дифференциальным уравнением любого порядка. Однако эти траектории должны рассматриваться в n-мерном фазовом пространстве, где n – порядок дифференциального уравнения. Ввиду серьезных трудностей, возникающих при рассмотрении n-мерного пространства при n > 3, метод фазовых траекторий находит применение только для систем второго порядка, где пространство превращается в плоскость, и в некоторых случаях для систем третьего порядка.
Рассмотрим применение этого метода для систем второго порядка, когда фазовые траектории располагаются на фазовой плоскости.
Фазовая плоскость это координатная плоскость, где по оси абсцисс откладывается сама переменная, для которой исследуется переходный процесс, а по оси ординат – скорость изменения (первая производная) этой переменной (иногда другая переменная, характеризующая процесс в системе во втором порядке).
На рис. 9.1 изображена фазовая плоскость. По оси абсцисс откладывается исследуемая величина х, а по оси ординат – ее производная . Состояние системы второго порядка полностью определяется заданием этих двух координат. Каждому состоянию системы соответствует определенная точка на фазовой плоскости, например точка М на рис. 9.1. Эта точка называется изображающей точкой.
Если в исследуемой системе протекает некоторый процесс, то изображающая точка будет двигаться по плоскости, прочерчивая кривую, которая называется фазовой траекторией. Направление движения изображающей точки принято обозначать на траектории стрелками.
Основные свойства фазовой траектории.
1. В верхней полуплоскости направление движения изображающей точки может быть только слева направо. Это вытекает из того, что в верхней полуплоскости > 0 и величина х должна возрастать. В нижней полуплоскости изображающая точка может двигаться только справа налево.
2. Фазовая траектория может пересекать ось абсцисс только под прямым углом. Это вытекает из того, что в точке пересечения производная у = = 0, и, следовательно, координата х должна иметь экстремальное значение.
3. Замкнутым фазовым траекториям соответствуют периодические процессы.
Рассмотрим изображение типичных процессов на фазовой плоскости.
1. Затухающий колебательный процесс. Начальная точка процесса (рис. 9.2, а) имеет некоторые определенные значения: x = x0 и = = у0. На фазовой плоскости (рис. 9.2, б) она изобразится определенной точкой М0(х0, у0). В начальной части процесса до точки 1 величина х увеличивается, а производная = у уменьшается. Изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по кривой М0 – 1. В точке 1 имеет место максимум величины х, и = 0. Затем процесс идет с уменьшением координаты х, то есть с отрицательной производной < 0. Начало координат изображает равновесное состояние системы – установившийся режим (х = 0, у = = 0).
Рис. 9.2. Затухающий колебательный процесс
Затухающие колебания свидетельствуют об устойчивости этого равновесного состояния. Начало координат фазовой плоскости в этом случае является особой точкой плоскости, называемой устойчивым фокусом (рис. 9.2, б).
2. Расходящийся колебательный процесс. Аналогичным рассуждением можно показать, что фазовым портретом расходящихся колебаний (рис. 9.3, а) будет спираль, удаляющаяся от начала координат (рис. 9.3, б).
Рис. 9.3. Расходящийся колебательный процесс
Если этот процесс имеет место при сколь угодно малом начальном отклонении, то это свидетельствует о неустойчивости равновесного состояния (х = 0, у = 0). Начало координат фазовой плоскости в этом случае называется неустойчивым фокусом.
3. Апериодический затухающий процесс (рис. 9.4, а) на фазовой плоскости изобразится в виде кривой, которая вливается в начало координат (рис. 9.4, б), причем изображающая точка движется по этой кривой так, что к началу координат она приближается при . Начало координат называется тогда устойчивым узлом.
Рис. 9.4. Затухающий апериодический процесс
4. Апериодический расходящийся процесс (рис. 9.5, а) изобразится в виде кривой, удаляющейся на фазовой плоскости от начала координат (рис. 9.5, б). Если процесс расходится при сколь угодно малом начальном отклонении, то начало координат называется неустойчивым узлом.
Рис. 9.5. Расходящийся апериодический процесс
5. Периодический колебательный процесс (рис. 9.6, а) изобразится на фазовой плоскости в виде замкнутой кривой, циклом (рис. 9.6, б). Для синусоидальных колебаний цикл имеет вид эллипса, который подбором масштабов по осям может быть превращен в окружность.
Рис. 9.6. Периодический процесс
Для несинусоидальных колебаний цикл имеет вид произвольной замкнутой кривой. В том случае, когда циклы окружают начало координат (рис. 9.6, в), приближаясь к нему бесконечно близко, оно называется особой точкой «центр».
6. Устойчивые автоколебания. Могут существовать такие условия, когда на фазовой плоскости присутствует замкнутая фазовая траектория (рис. 9.7), к которой в пределе стремятся все фазовые траектории плоскости. Тогда замкнутая кривая называется устойчивым предельным циклом. В этом случае все фазовые траектории, находящиеся внутри предельного цикла, соответствуют расходящемуся процессу. Эти фазовые траектории в пределе сливаются с замкнутой кривой (предельным циклом).
С другой стороны, все фазовые траектории, находящиеся снаружи предельного цикла, соответствуют сходящемуся процессу. При этом фазовые траектории навиваются на замкнутую кривую, в пределе сливаясь с ней.
Такая картина соответствует устойчивым автоколебаниям в системе, так как любая фазовая траектория в конце концов сольется с предельным циклом, что соответствует периодическому режиму в системе.
По кривой предельного цикла можно установить амплитуду автоколебаний, то есть максимальное значение исследуемой величины.
7. Неустойчивые автоколебания. Могут существовать такие условия, когда на фазовой плоскости присутствует замкнутая фазовая траектория (рис. 9.8), от которой внутрь и наружу расходятся фазовые траектории. Эта замкнутая фазовая траектория называется неустойчивым предельным циклом.
Внутри такого предельного цикла фазовые траектории соответствуют сходящемуся процессу. Поэтому, если начальная точка исследуемого переходного процесса М0(х0, ) находится внутри замкнутой фазовой траектории, то система является устойчивой. Такая устойчивость называется устойчивостью в малом.
Снаружи неустойчивого предельного цикла фазовые траектории соответствуют расходящемуся процессу. Поэтому, если начальная точка процесса М0(х0, ) находится вне замкнутой фазовой траектории, то система является неустойчивой в большом.
Из изложенного следует, что понятия устойчивости в нелинейных и линейных системах сильно отличаются друг от друга. Устойчивость линейной системы зависит от структуры и соотношения параметров и не зависит от начальных условий. Устойчивость нелинейной системы может зависеть также и от начальных условий.
Периодический режим, соответствующий неустойчивому предельному циклу, не может долго существовать, и фазовая траектория в зависимости от случайных воздействий пойдет внутрь или наружу предельного цикла.
Так как процесс в реальной системе не может расходиться бесконечно далеко, и где-то должно произойти ограничение, то при наличии неустойчивого предельного цикла на фазовой плоскости должен обязательно существовать больший по размерам устойчивый предельный цикл, к которому и будут стремиться фазовые траектории, находящиеся снаружи неустойчивого предельного цикла.
А.А. Андроновым был разработан метод точечных преобразований [1], который является соединением методов припасовывания и фазовых траекторий. Он уменьшает объем построений и вводит в рассмотрение также и время протекания процесса, которое в явном виде отсутствует на фазовой плоскости.
Для тех случаев, когда затруднительно найти в явном виде уравнения фазовых траекторий, используется приближенный метод их построения, который носит название метода изоклин [1].
1. Дайте понятие о нелинейных САР.
2. Перечислите методы исследования процессов в нелинейных САР.
3. Изложите метод фазовой плоскости.
4. Перечислите свойства фазовых траекторий.
5. Дайте понятие об устойчивости нелинейных систем.
Системы автоматизированного управления являются важнейшими элементами электроподвижного состава, предназначенными для регулирования скорости и управления процессом движения в режимах тяги и электрического торможения. При их помощи машинист или автоматическое устройство реализует необходимые тяговые и тормозные характеристики ЭПС и, в конечном итоге, выполняет график движения. Современные системы управления используют последние достижения автоматики и информационной электроники.
Изучив дисциплину, студент должен знать: принципы автоматического регулирования; временные, частотные и логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев; методы аналитической и графической линеаризации; методы математического описания систем автоматического регулирования (САР) с помощью передаточных функций; алгебраические и частотные критерии оценки устойчивости линейных систем; методы и критерии исследования качества процесса регулирования; методы инженерного синтеза САР; методы исследования процессов, протекающих в нелинейных САР; способы исследования процессов, протекающих в импульсных САР.
Кроме того, студент должен уметь: использовать математический аппарат для описания САР; пользоваться методикой построения частотных характеристик; оценивать устойчивость проектируемой системы; исследовать переходные процессы; оценивать качество процесса регулирования; находить пути повышения устойчивости и улучшения показателей качества регулирования.
Освоение настоящей дисциплины позволит будущему специалисту разобраться в процессах, протекающих в системах автоматического регулирования, применяемых на современном ЭПС, а также в вопросах разработки, проектирования и исследования различных систем автоматического управления.
|
[1] ВВЕДЕНИЕ [2] 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ [2.1] 1.1. Основные задачи [2.2] 1.2. Понятие об автоматическом регулировании
[2.3] 1.3. Разомкнутые и замкнутые системы автоматического [2.4] 1.4. Системы автоматической стабилизации [2.5] 1.5. Следящие системы [2.6] 1.6. Понятие о непрерывных и прерывистых системах [2.7] Контрольные вопросы
[3] 2. Линейные и нелинейные системы автоматического [3.1] 2.1. Общие положения [3.2] 2.2. Общий метод линеаризации [3.3] Контрольные вопросы [4] 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ [4.1] 3.1. Общие положения [4.2] 3.2. Временные характеристики звеньев [4.3] 3.3. Частотные характеристики звеньев [4.4] 3.4. Логарифмические частотные характеристики звеньев [4.5] 3.5. Безынерционное звено [4.6] 3.6. Апериодическое звено первого порядка [4.7] 3.7. Апериодическое звено второго порядка [4.8] 3.8. Идеальное интегрирующее звено [4.9] 3.9. Инерционное интегрирующее звено [4.10] 3.10. Идеальное дифференцирующее звено [4.11] 3.11. Реальное дифференцирующее звено [4.12] 3.12. Неустойчивые звенья [4.13] Контрольные вопросы [5] 4. СОСТАВЛЕНИЕ И АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Систем Автоматического регулирования [5.1] 4.1. Общий метод составления исходных уравнений
[5.2] 4.2. Передаточные функции систем автоматического [5.3] 4.3. Составление уравнений на основе типовых звеньев [5.4] Контрольные вопросы
[6] 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ систем автоматического [6.1] 5.1. Понятие об устойчивости линейных систем [6.2] 5.2. Алгебраический критерий устойчивости [6.3] 5.3. Критерий устойчивости Михайлова
[6.4] 5.4. Определение устойчивости [6.5] Контрольные вопросы
[7] 6. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА [7.1] 6.1. Общие положения [7.2] 6.2. Классический метод [7.3] 6.3. Метод трапецеидальных вещественных характеристик [7.4] Контрольные вопросы [8] 7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ [8.1] 7.1. Общие положения [8.2] 7.2. Точность в типовых режимах [8.3] 7.3. Определение показателей качества регулирования по переходной характеристике
[8.4] 7.4. Приближенная оценка вида переходного процесса [8.5] 7.5. Корневые методы [8.6] 7.6. Частотные критерии качества [8.7] Контрольные вопросы
[9] 8. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА систем автоматического [9.1] 8.1. Общие положения [9.2] 8.2. Метод логарифмических амплитудных характеристик [9.3] 8.3. Синтез последовательного корректирующего устройства [9.4] Контрольные вопросы
[10] 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ Системы автоматического [10.1] 9.1. Методы исследования процессов в нелинейных системах [10.2] 9.2. Метод фазовой плоскости [10.3] Контрольные вопросы [11] заключение [12] Рекомендуемый Библиографический список [13] Оглавление |
Учебное издание
Доронин Сергей Владимирович
теория автоматического управления
и регулирования
Учебное пособие
Редактор Н.В. Смышляева
Технический редактор И.А. Нильмаер
Корректор Г.Ф. Иванова
—————————————————————————————
План 2004 г. Поз. 1.17.
ИД № 05247 от 2.07.2001 г.
Сдано в набор 5.04.2004. Подписано в печать 20.09.2005.
Формат 60х841/16. Бумага тип. № 2. Гарнитура Arial. Печать плоская.
Усл. печ. л. 7,4. Зак. 255. Тираж 175 экз. Цена 61 р.
—————————————————————————————
Издательство ДВГУПС
680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 1.3. Объект без регулирования
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 1.8. Электрическая следящая система
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 2.2. Звено САР
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 2.3. Процесс регулирования в звене
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 2.4. Двигатель независимого возбуждения
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 2.5. Кривая намагничивания
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 3.1. Динамическое звено
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 3.6. Построение АФЧХ
Рис. 3.26. Переходная функция идеального дифференцирующего звена
EMBED Visio.Drawing.6 Рис. 3.33. Переходная функция неустойчивого звена
Рис. 4.1. САР по замкнутому циклу
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 4.3. Параллельное соединение звеньев
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 4.4. Локальная обратная связь
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 5.1. Вещественные корни
Рис. 5.2. Комплексные и мнимые корни
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 5.3. Граница устойчивости
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 5.4. Годограф Михайлова
Рис. 5.7. Устойчивые САР
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 6.2. Единичная трапецеидальная вещественная характеристика
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 7.9. Запретная область для АФЧХ
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 8.2. Номограмма 1
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 8.3. Номограмма 2
EMBED Visio.Drawing.11
Рис. 9.1. Фазовая плоскость
Рис. 9.7. Устойчивый предельный цикл
EMBED Visio.Drawing.6
Рис. 9.8. Неустойчивый предельный цикл