. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Глава ІІІ
3. 1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Ймовірність повної групи подій. Протилежні події
Нагадаємо, що сумою двох подій і називається така подія (позначається або ), яка полягає у появі або події , або події , або у появі цих подій одночасно.
Наприклад. Куплено два лотерейних білети. Нехай подія означає, що І-ий білет виявився виграшним, - виграшним виявився ІІ-ий білет. Тоді подія - означає, що виграшним виявився або І-ий, або ІІ-ий білет, або обидва виграшні. Ще говорять, що принаймні один з білетів виграшний, або хоча б один виграшний.
Якщо обидві події несумісні, то означає появу однієї з цих подій, байдуже якої.
Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобто
(1)
Доведення виконаємо за допомогою класичного означення ймовірності. Нехай - число випадків, які сприяють появі події , - число випадків, які сприяють появі події , - загальне число всіх можливих випадків. Тоді події (а вони несумісні) сприяють випадки, тому ймовірність
.
Зауваження. Коли безпосередній підрахунок ймовірностей неможливий, то виходять із того, що при великому числі випробувань відносні частоти стають близькими до ймовірності, а для відносних частот доведення виконується аналогічно викладеному вище.
При теоретико-множинному підході формула (1) приймається, як одна з аксіом.
Приклад 1. В ящику 15 однотипних деталей, 5 із них пофарбовані в синій колір, 7 – в зелений, і 3 деталі непофарбовані. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь пофарбована.
Розв’язання. Розглянемо можливі події. Подія , якщо вибрана деталь синього кольору, - зеленого, і - деталь непофарбована. Поява пофарбованої деталі означає або появу події , або події . Ймовірність цих подій дорівнює відповідно
,
тоді
.
Рівність (1) узагальнюється і для - попарно несумісних подій:
(2)
Наслідок. Якщо випадкові події утворюють повну групу попарно несумісних подій, то
. (3)
Дійсно, оскільки події утворюють повну групу, то поява однієї із них є достовірною подією, тоді
,
а далі за формулою (2).
Означення. Дві події називається протилежними, якщо вони несумісні і утворюють повну групу, позначаються і .
Із формули (3) випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто
. (4)
Із (4) маємо: ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність початкової події
. (5)
Прийнято позначати , а для протилежної події , тоді
.
Зауважимо, що при розв’язуванні задач часто буває легше обчислити ймовірність протилежної події , ніж ймовірність прямої події .
Приклад 2. робиться один вистріл по круговій мішені, яка складається з “яблука” і двох концентричних кілець. Ймовірності влучення при одному вистрілі в “яблуко” і кільця відповідно дорівнюють: 0,11; 0,24; 0,35. Знайти ймовірність промаху.
Розв’язання. Нехай подія - промах, протилежна їй подія = влучення, яка наступає внаслідок появи однієї з трьох несумісних подій: - влучення в “яблуко”, і - влучення відповідно в друге і третє кільця, тобто
.
.
Тоді ймовірність промаху
.
Задачі на теорему додавання ймовірностей несумісних подій
- У грошово-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігрується 150 речових і 50 грошових виграшів. Знайти ймовірність виграшу (байдуже речового чи грошового) для власника одного лотерейного білета.
- Ймовірність того, що стрілець при одному вистрілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1 ; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,3 ; ймовірність вибити 8 або менше очок дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному вистрілі стрілець виб’є не менше 9 очок.
- Учасники жеребкування виймають із скриньки жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри 5.
- За статистичними даними ремонтної майстерні у середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця, 3 – із-за несправностей приводу, 2 – із-за несвоєчасної подачі заготовок. Решта зупинок припадають на інші причини. Знайти ймовірність зупинки станка за іншими причинами.
Відповіді. 1. 0,02. 2. 0,4. 3. 0,81. 4. 0,25.
3.2 Теорема множення ймовірностей незалежних подій
Означення 1. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, з’явилась чи не з’явилась подія В.
Наприклад, монета підкинута два рази. Ймовірність появи герба при другому киданні (подія А) не залежить від того з’являвся чи не з’являвся герб при першому киданні.
Означення 2. Кілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.
Наприклад, монета підкидається три рази, А,В,С – поява герба в кожному із випробувань. Події А і В, А і С, В і С – попарно незалежні.
Нагадаємо, що добутком двох подій А і В називається подія С=АВ, яка означає одночасну появу і події А, і події В.
Останнє означення узагальнюється на більшу кількість подій.
Означення 3. Добутком декількох подій називається подія, яка означає одночасну появу всіх цих подій.
Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей появи кожної з них
(1)
Пояснення формули (1) подамо, виходячи з класичного означення, на такому прикладі.
Нехай в кожній з двох урн є відповідно чорних куль із можливих (І урна), і чорних куль із можливих (ІІ урна). Навмання дістаємо по одній кулі з кожної з урн. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть чорними.
І
ІІ
Ймовірність випадкового вибору чорної кулі з І-ої урни (подія А) за умовою задачі дорівнює
,
аналогічно для події , вибір чорної кулі з ІІ-ї урни,
.
Події , обидві кулі чорні, сприяють випадків із загального числа всіх можливих випадків, тобто
.
Приклад 1. Є три ящики по 10 деталей в кожному. Причому у І-му ящику – 8, в ІІ-му – 7, в ІІІ-му – 9 стандартних, всі решта - нестандартні. Знайти ймовірність, що всі три деталі вийняті по одній з кожного ящика навмання будуть стандартними.
Розв’язання. Ймовірності випадкового вибору по одній стандартній деталі з кожного ящика відповідно дорівнюватимуть:
а ймовірність одночасної появи всіх трьох подій буде:
.
Приклад 2. Три студенти одночасно здають екзамен. Ймовірність здачі екзамена на “5” першим студентом – 0,8, другим – 0,5, третім – 0,3. Знайти ймовірність того що всі три студенти здадуть екзамен на “5”.
Розв’язання. Нехай подія ”здача екзамена на “5” усіма студентами”, через - “здача екзамена на “5” першим студентом”, - ІІ-м студентом, - ІІІ студентом. Події і - незалежні і . Отже,
.
Приклад 3. Із колоди, що містить 32 карти виймають по черзі 3 карти. Знайти ймовірність того, що всі три карти однієї масті.
Розв’язання. Нехай подія , поява трьох карт однієї масті, відбувається у результаті появи однієї з чотирьох подій , що означають появу трьох карт відповідних мастей: черва, бубна, піка, хрест. Події попарно несумісні, тому
. Кожна масть має карт. Випадків, що сприяють появі 3-х карт однієї масті є , а всіх можливих випадків , тому ймовірність 3-х карт для окремої масті
.
Тоді ймовірність події дорівнює
.
Якщо ж задано незалежних подій , то
(2)
Приклад 4. В електричне коло послідовно увімкнено 3 електроприлади. Ймовірність безвідмовної роботи кожного з них відповідно дорівнює: , і . Електричне коло замкнене, якщо безвідмовно працюють всі три прилади. Знайти ймовірність замкненості електричного кола.
Розв’язання. Щоб електричне коло було замкненим необхідно, щоб безвідмовно спрацювали всі три прилади, а це добуток трьох незалежних подій, іх ймовірність дорівнює
.
Задачі на теорему множення незалежних подій
1. У бібліотечку входять 10 різних книг, причому 5 книг вартістю по 20 грн кожна, три книги – по 10 грн і дві книги по 12 грн. Знайти ймовірність того, що взяті наугад дві книги коштують 30 грн.
2. Ймовірність того, що стрілець за одним вистрілом влучить у мішень, дорівнює . Знайти ймовірність того, що всі 3 вистріли дали влучення.
3. У двох ящиках знаходяться деталі: у першому – 10 (з них 3 стандартні), у другому – 15 (із них 6 стандартних). З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі будуть стандартними.
4. Підкинута монета і гральний кубик. Знайти ймовірність суміщення подій “випав герб” і “випало 6 очок”
Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. .
3. 3. Ймовірність появи хоча б однієї події
Розглянемо незалежних подій . Нехай в результаті випробування може появитись або одна з цих подій, або дві, або три, …, або всі подій. Позначимо таку подію через . Під появою події розуміють, що відбулося не менше однієї з перелічених подій . Прийнято ще говорити, що “відбулася хоча б одна з подій ”, або “принаймні одна з подій ”. Цим виразам в даному випадку надається один і той же зміст.
Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних до , тобто
. (1)
Доведення. Подія , яка означає появу хоча б однієї з подій і подія , яка означає, що не появилась жодна з цих подій , є протилежними, тобто сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
.
Звідси за формулою множення незалежних подій маємо формулу (1), або
, (2)
де , , …,
Зауваження. Якщо всі протилежні ймовірності однакові, то ймовірність появи хоча б однієї з них дорівнює
. (3)
Приклад 1. В електричне коло паралельно увімкнено 3 електроприлади. Ймовірність безвідмовної роботи кожного з елетроприладів дорівнює: , , . Електричне коло замкнене, якщо безвідмовно працює хоча б один з приладів. Знайти ймовірність замкненості електричного кола.
Розв’язання. Нехай події означають безвідмовну роботу відповідно кожного з приладів. За умовою
задачі . Для протилежних подій маємо . Подія означає одночасну відмову всіх трьох електроприладів, . Отже, ймовірність протилежної події, тобто хоча б один з трьох приладів спрацює безвідмовно, або електричне коло буде замкненим, дорівнюватиме
.
Зауваження. Порівнюючи результати даного прикладу 1 з подібними прикладом 4 , який розв’язано у 3.2, ми бачимо, що при паралельному включенні елементів в дану систему надійність її зростає, а при послідовному включенні надійність системи знижується. Цей факт ураховується в техніці, зокрема у ракетобудуванні, літакобудуванні, де часто застосовуються дублюючі системи. Відомо, що одним з найважливіших елементів польоту є приземлення літака. Останнє залежить від викиду і фіксації шасі. Тому для підвищення надійності в деяких системах літаків викид шасі виконується в автоматичному режимі, але в непередбачених ситуаціях може виконуватись гідравлічним способом, або електромеханічним, або, накінець, ручним способом.
Приклад 2. Ймовірність відмови даного елемента, включеного у систему, дорівнює . Скільки необхідно включити паралельно елементів цього типу в систему, щоб підвищити її надійніість до , тобто, щоб такою була ймовірність безвідмовного спрацювання хоча б одного елемента.
Розв’язання. Позначимо шукане число елементів через , тоді ймовірність безвідмовного спрацювання хоча б одного з елементів, паралельно включених у систему, дорівнює
,
а за умовою задачі ця ймовірність дорівнює . Отримаємо показникове рівняння
.
Оскільки число елементів повинно бути цілим, то візмемо . Це означає, що при паралельному включенні трьох елементів у систему на 1000 випробувань в середньому можливі три відмови, в той же час як при одному елементі в системі на 1000 випробувань в середньому можна було б очікувати 100 відмов.
Приклад 3. Три стрільці роблять по вистрілу по цілі. Ймовірність влучення в ціль першого стрільця (подія ) дорівнює , другого стрільця (подія ) – , третього (подія ) - . Знайти ймовірності таких подій:
1) у ціль влучили всі три стрільці (подія );
2) у ціль влучили тільки 2 стрільці (подія );
3) у ціль влучив тільки 1 стрілець (подія );
4) у ціль не влучив жоден із стрільців (подія );
5) у ціль влучив хоча б один стрілець (подія ).
Розв’язання. Побудуємо повну групу подій. Позначимо через відповідні протилежні події, тобто промахи кожного із стрільців. Тоді повна група складається із таких подій:
- всі три влучення;
- тільки два влучення;
- тільки одне влучення;
- жодного влучення, або всі промахи.
За умовою задачі і відповідні ймовірності протилежних подій .
Перейдемо до обчислення ймовірностей.
1) .
2)
.
3)
.
4) .
5) Ймовірність хоча б одного влучення (подія ) знайдемо двома способами:
а) .
б)
.
Задачі на ймовірність хоча б однієї події
1. Учасники жеребкування тягнуть із ящика жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона не містить цифру 5.
2. У партії із 10 деталей 8 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 2 наудачу вийнятих деталей хоча б одна стандартна.
3. У студії 3 телевізійні камери. Для кожної камери ймовірність того, що вона включена в даний момент, дорівнює 0,6. Знайти ймовірність, що у даний момент включена хоча б одна камера (подія ).
4. Чому дорівнює ймовірність того, що при підкиданні трьох гральних кубиків 6 очок з’явиться хоча б на одному з кубиків. (подія ).
5. Два стрільці зробили по одному вистрілу. Ймовірність попадання у мішень І-го стрільцем - , а другим - . Знайти ймовірність того, що хоча б один із стрільців попав у мішень.
6. У наладчика 16 деталей, які виготовлені заводом №1, і 4 деталей, які виготовлені заводом №2. Навмання вибираються 2 деталі. Знайти ймовірність, що хоча б одна з них виготовлена заводом №1.
Відповіді. 1. ; 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .
3. 4. Умовна ймовірність
Нехай і - залежні події, тобто ймовірність події залежить від того, відбулася чи не відбулася подія .
Означення. Умовною ймовірністю називається ймовірність події , обчислена за умови, що подія вже наступила.
Приклад 1. В урні три білих і чотири чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. 1) Знайти ймовірність білої кульки (подія ) при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні була вийнята чорна кулька (подія );
2) Знайти ймовірність чорної кульки (подія ) при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні була вийнята біла кулька (подія ).
Розв’язання. 1) За умовою задачі із урни спочатку виймається чорна кулька (відбулася подія ), це означає, що із 7 кульок (3 білих і 4 чорних) на 1 чорну кульку стало менше. Отже, ймовірність вибору білої кульки при другому випробуванні (подія ) дорівнює
.
2) Із 7 кульок (3 білих і 4 чорних) із урни спочатку вибирається біла кулька (відбулася подія ). В урні залишилось 6 кульок (2 білих і 4 чорних). Тепер ймовірніть вибору чорної кульки (подія ) за умови, що подія відбулася, дорівнює
.
3. 5. Теорема множення ймовіріностей залежних подій
Нехай події і - залежні, причому відомі ймовірності появи події , а також появи події за умови, що подія вже відбулася, . Необхідно знайти ймовірність одночасної появи подій і , тобто ймовірність добутку цих подій .
Теорема. Ймовірність одночасної появи двох залежних подій і дорівнює добутку ймовірності появи однієї із них на умовну ймовірність другої, знайдену за умови, що перша подія вже відбулася, тобто
. (1)
Доведення дамо, виходячи з класичного означення ймовірності. Нехай - число всіх випадків, при яких може появитись випадкова подія , - число сприятливих для події випадків, - число випадків, які сприяють одночасній появі обох подій і , тоді
,
тобто
.
Аналогічно
.
Із останніх двох співвідношень маємо:
. (2)
Приклад 1. В урні 3 білих і 4 чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. Знайти ймовірність, що одна з кульок біла (подія ), а друга чорна (подія ), незалежно від порядку їх появи
Розв’язання розділимо на дві частини, як це зроблено у прикладі 1 параграфа 3.4.
1) Знайдемо ймовірність вибору спочатку чорної кульки (подія )
,
а тоді умовну ймовірність білої кульки, за умови, що чорна кулька появилась,
.
За теоремою
,
2) Знайдемо ймовірність появи білої кульки
,
а тоді умовну ймовірінсть чорної, за умови, що біла кулька появилась,
.
За теоремою
.
Оскільки за умовою задачі шукається ймовірінсть незалежно від порядку появи білої чи чорної кульок, далі застосовується теорема додавання несумісних подій, тобто
.
Зауважимо, що у процесі розв’язання ми отримали підтвердження формули (2), тобто
.
ІІ-й спосіб розв’язання прикладу 1. Розглянутий приклад можна розв’язати за допомогою комбінаторики. Із 7 кульок вибирається по дві, кількість виборів це число комбінацій із 7 по 2, тобто .
Сприятливих випадків буде . За класичним означенням ймовірності
.
Зауваження. Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість сумісної появи залежних подій
. (3)
Приклад 2. Є набір із 5-ти карточок, серед них дві з буквами а і по одній з буквами к, р і т. Знайти ймовірінсть того, що при випадковому виборі по одній букві можна буде викласти слово “карат”
Розв’язання. Спочатку вибираємо букву к, вона одна із п’яти карточок , потім з решти чотирьох карточок вибираємо букву а (їх дві), за умови, що буква к вже вибрана, тобто
.
Аналогічно
;
;
Відповідь. Ймовірність слова “карат”.
3. 6. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
Нагадаємо, що дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої при одному і тому ж випробуванні.
Наприклад, нехай подія - поява 5-ти очок при підкиданні грального кубика, подія - поява непарного числа очок, тоді події і - сумісні.
Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи цих подій без ймовірності їх сумісної появи, тобто
. (1)
Доведення. Оскільки події і сумісні, то подія наступить, якщо наступить хоча б одна із трьох несумісних подій , тобто , тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:
. (2)
Подія відбувається, якщо наступить одна із двох несумісних подій: або , тоді
.
Аналогічно подія наступить, якщо наступить одна з двох несумісних подій або , тоді
.
Підставляючи вирази для і у (2), отримаємо формулу (1).
Якщо ж події і незалежні, то із (1) маємо:
. (3)
Якщо ж події і - залежні, то із (1) отримаємо:
. (4)
Приклад. Ймовірність попадання в мішень для першого стрільця , для другого - . Стрільці роблять по одному вистрілу незалежно один від одного. Яка ймовірність, що будуть влучення в мішень?
Розв’язання. Нехай подія - влучення в мішень І-го стрільця, подія - ІІ-го стрільця, - подія, що означає влучення в міщень хоча б одним стрільцем, тоді за формулою (3) маємо:
.
3. 7. Формула повної ймовірності
Нехай подія може наступити за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, причому відомі ймовірності появи кожної з них . Нехай також відомі ймовірності події за умови появи кожної із подій . Необхідно знайти ймовірність появи події .
Теорема. Ймовірність події , яка може відбутися лише за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, обчислюється за фомулою:
(1)
Формула (1) називається формулою повної ймовірності.
Доведення. Ймовірність події , яка може наступити, якщо з’явиться одна із несумісних подій , тобто настання означає здійснення однієї, байдуже якої із несумісних подій , або ж
.
Тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:
, (2)
а за теоремою множення ймовірностей залежних подій
.
Враховуючи (2) і останні співвідношення отримаємо формулу (1).
Події по відношенню до події називаються гіпотезами.
Приклад 1. На склад надходять однотипні деталі з трьох автоматів, причому перший автомат дає 20%, другий – 30%, третій – 50% всієї продукції за зміну. Серед продукції першого автомата може бути 0,2% браку, другого – 0,3%, третього – 0,1%. Знайти ймовірність, що навмання взята деталь буде бракованою.
Розв’язання. Позначимо через події “деталь відповідно виготовлена на першому, другому і третьому автоматах”. Їх ймовірності
Подію “бракована деталь” позначимо через . Згідно із змістом задачі відомі умовні ймовірності
За формулою (1) повної ймовірності маємо:
.
Приклад 2. Один цар, якому надоїв його провісник із своїми не завжди правдивими віщуваннями, вирішив його казнити, але будучи справедливим, вирішив дати провіснику останній шанс. Йому велено було розкласти по двох урнах чотири кульки, із яких дві чорні і дві білі. Кат вибирає наугад одну із урн і з неї навмання виймає кульку, якщо кулька чорна – стратять, біла – помилують. Яким чином провісник росподілив кульки в урнах, щоб забезбечити собі максимальну ймовірність на спасіння.
Розв’язання зрозуміло зі схеми
Вважається, що вибір кожної з урн – рівноможливий: . Умовна ймовірність появи білої кульки із першої урни , для другої - .
Нехай подія - “вийняти навмання з будь якої урни білу кульку”, тоді .
Отже, максимальний шанс на спасіння для просвісника - .
Задачі на повну ймовірність
1. У групі 20 плавців, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для плавця 0,9, для велосипедиста – 0,8 і для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність, що спортсмен, вибраний наугад, виконає кваліфікаційну норму.
2. Складальник отримує 3 коробки деталей виготовлених заводом №1, і 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена заводом №1, стандартна дорівнює 0,8, а заводом №2 – 0,9. Складальник наугад дістає деталь із наугад взятої коробки. Знайти ймовірність того, що деталь – стандартна.
3. У телевізійному ателье є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий наугад кінескоп витримає гарантійний термін служби.
4. В ящик, який містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а тоді наугад вийнята одна деталь. Знайти ймовірність того, що вийнята деталь стандартна, якщо рівноможливі всі можливі припущення про число стандартних деталей, які знаходяться в ящику напочатку.
Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. .
3. 8. Формула Бейєса
Нехай подія може наступити за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, тоді має місце формула (1) (див. 3. 7.). Припустимо, що подія вже відбулася, необхідно знайти умовні ймовірності здійснення подій . За теоремою множення залежних подій (див. 3.5, формула (2)), наприклад, для гіпотези маємо:
,
звідки
,
де обчислюється за формулою повної ймовірності (див. 3.7. формула (1)). У загальному вигляді для -тої гіпотези запишемо:
. (1)
Рівність (1) називається формулою перерахунку ймовірностей гіпотез або просто формулою Бейєса. Формула Бейєса показує, яку відносну частину складає ймовірність окремо взятого доданка у загальній сумі всіх доданків, які складають значення повної ймовірності всіх подій, тобто, якщо подія вже відбулася, то ми знаходимо ймовірність того, що це могло статися завдяки появі конкретної події .
Приклад 1. На склад поступають однотипні деталі із трьох автоматів, причому, за зміну 50% виробляє перший автомат, 30% - другий, і 20% - третій. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому автоматі 0,1%, на другому – 0,2%, на третьому – 0,05%. Взята навмання деталь виявилась бракованою. Знайти ймовірність, що бракована деталь виготоовлена 1) на першому автоматі; 2) на другому автоматі; 3) на третьому автоматі.
Розв’язання. Нехай подія - виявлення бракованої деталі, - події “деталь виготовлена відповідно на першому, другому, або на третьому автоматі”. Ймовірності цих подій за умовою задачі ; ;, умовні ймовірності події ; ; . Знайдемо повну ймовірність браку
.
Тепер за формулою Бейєса знаходимо ймовірність того, що бракована деталь виготовлена першим автоматом ,
другим автоматом ,
третім автоматом .
Порівнюючи ймовірності отриманих гіпотез, ми бачимо, що більшої уваги щодо покращення загальної якості продукції вимагає другий автомат.
Приклад 2. На полюванні двоє мисливців, зробивши по одному пострілу, одним влученням застрелили ведмедя. Ймовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,8, для другого – 0,7. За шкуру ведмедя була виручена сума 570 умовних одиниць. У яких розмірах мисливці повинні розділити виручену суму?
Розв’язання. Нехай подія - “ведмідь застрелений одним влученням”, події і влучення у ціль відповідно першим і другим мисливцями, і - їхні промахи. За умовою задачі ймовірності цих подій дорівнюють , , .
Подію можна виразити так:
,
Тоді ймовірність події
.
Знайдемо ще ймовірності гіпотез
і .
Тепер виручену суму 570 умовних одиниць потрібно розділити пропорціонально числам . Сума, яка належить першому мисливцю дорівнює (ум. од.), другому - (ум. од.)
Задачі на формулу Бейєса
1. При відхиленні від нормального режиму роботи автомата спрацьовує сигналізатор із ймовірністю 0,8, а сигналізатор спрацьовує із ймовірністю 1. Ймовірності того, що автомат обладнаний сигналізатором або відповідно дорівнюють 0,6 і 0,4. Поступив сигнал про розлад автомата. Знайти ймовірності: а) автомат обладнаний сингалізатором ; б) автомат обладнаний сигналізатором .
2. Для участі у спортивних студентських відбіркових змаганнях виділено з І групи курсу – 4, з ІІ-ої – 6, із ІІІ-ої – 5студентів. Ймовірність того, що студент І-ої, ІІ-ої, ІІІ-ої групи попаде у збірну університету, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Наугад вибраний студент попав у збірну. Знайти ймовірності що це студент: а) з І-ї групи; б) з ІІ-ї групи; в) з ІІІ-ї групи.
Відповіді. 1. а) ; б) . 2. а) ; б) ; в).
Задачі до глави ІІІ
1. За допомогою 6 карточок складено слово “карета”. Карточки перемішали. Знайти ймовірність того, що за допомогою цих карточок випадково можна скласти слово “ракета”.
2. В урні міститься 6 чорних і 5 білих куль. Навмання виймаються 5 куль. Знайти ймовірність того. Що серед них будуть:
а) 3 білих кулі;
б) менше ніж 3 білих куль;
в) хоча б одна біла куля.
3. Два стрільці, для яких ймовірності влучення у мішень відповідно 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Знайти ймовірність одного влучення в мішень.
4. Із повного набору карт доміно навмання вибирають 2 карти. Знайти ймовірність того, що другу карту можна приєднати до першої.
5. У ящику знаходяться 15 тенісних м’ячів, з яких 9 нових. Для першої гри навмання беруть 3 м’ячі, які після гри знову повертаються у ящик. Для другої гри теж буруть 3 м’ячі. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, взяті для другої гри, нові.
6. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній один виріб – бракований. Виріб взятий із І партії і перекладений у другу, після чого вибирається виріб із другої партії. Визначити ймовірність вибору бракованого виробу із другої партії.
7. В групі, де навчається 20 дівчат і 10 юнаків, була проведена контрольна робота. За заявами студентів до контрольної не підготувались 4 дівчини і 3 юнаки. Випадково взята зашифрована робота виявилась невиконаною. Знайти ймовірність того, що це була робота юнака.
8. На склад може поступити протягом години замовлення від кожного з 4-х цехів із ймовірностями: 0,4; 0,6; 0,7 і 0,8 відповідно. Знайти ймовірность того, що із трьох можливих замовлень, які можуть поступити протягом години, буде відсутнє замовлення із 4-го цеху ( з причини складності його виконання).
9. Для здачі екзамена студентам необхідно підготувати 30 питань. Із 25 студентів 10 підготовили всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань, 2 – по 15. Визваний відповідає на поставлене питання. Знайти ймовірність того, що цей студент а) підготовив всі питання б) підготовив тільки половину питань.
10. Допускається, що серед 100 мікросхем може бути з однаковою ймовірністю 0, 1, 2, 3 бракованих мікросхем. Серед 10 взятих наугад мікросхем всі виявилися доброякісними. Яка ймовірність, що всі 100 мікросхем виявилися доброякісними.
11. В області 30 комерційних банків із них 12 знаходяться в обласному центрі. Міністерством фінансів для перевірки ліквідності (здатності своєчасно виконувати свої боргові забов’язання) випадково відібрані 6 ощадбанків області. Знайти ймовірність того, що серед відібранних банків виявляться: а) 4 банки із обласного центру; б) хоча б один банк із центру?
12. На митницю поступило 10 упаковок , і можливо дві із них з контрабандним товаром. Яку мінімальну кількість упаковок потрібно розкрити, щоб із ймовірністю не менше 90% виявити контрабанду?
13. В автомагазині 20 автомобілів , причому 15 із них імпортні. Знайти ймовірність того, що серед 8 проданих протягом тижня автомобілів не менше 3 виявляться вітчизняними, припускаючи, що ймовірність реалізації різних марок однакова.
14. На підприємстві працюють 6 економістів, із яких 3 — вищої кваліфікації, і 4 бухгалтери, один із яких головний. На курси підвищення кваліфікації потрібно відрядити двох економістів і двох бухгалтерів. Яка ймовірність того, що в цій групі не буде головного бухгалтера і економістів вищої кваліфікації, якшо кожний із спеціалістів має рівні можливості поїхати у відрядження?
15. Дослідження показали, що курс валюти А зростає в 75% випадків, якщо курс валюти В зростає; в 30% випадків, якщо курс В снижується, і 45% випадків, якщо курс В не змінюється. Припускаючи, що всі три гіпотези про зміну курсу валюти В рівноможливі, оцінити ймовірності цих гіпотез, якщо курс А підвищився.
16. Ймовірність отримання прибутку на ринку цінних паперів в середньому на одну акцію складає 0,4. Скільки потрібно придбати акцій різних фірм, щоб із ймовірністю, не менше 95% очікувати прибутку хоча б по одній із них?
17. В торгову фірму поступили комп’ютери від трьох постачальників у відношенні 2:3:5. Дослідження показали, що комп’ютери, які не потребують ремонту протягом гарантійного терміну відповідно в 98, 95 і 92% випадків. Знайти ймовірність того, що комп’ютер, який поступив в торгову фірму, може потребувати ремонту протягом гарантійного терміну.
Відповіді. 1. . 2. а) ; б) ; в) . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. а) ; б) . 10. . 11. а) 0,127; б) 0,968. 12.7 . 13. 0,2076. 14. 0,3. 15. . 16. 6. 17. 0,059.
PAGE 94
EMBED PBrush
2. ВВЕДЕНИЕ4 1 СОЗДАНИЕ СССР И КОНСТИТУЦИЯ СОЮЗНОГО ГОСУДАРСТВА 1924 ГОДА
3. 2009 г. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ НАЧАЛЬНОГ
4. В своих произведениях Андрей Платонов всегда стремился к правдивому изображению жизни
5. і Точніше десь неподалік цієї дати якою поява дитини була зафіксована при хрестинах у церковній книзі
6. Метафизическая сущность философии
7. Проспект 2004 г. Бухгалтерский учет и налогообложение в сельском хозяйстве Введение
8. Введение. Раздел 2
9. Тема- Microsoft Word Внедрение рисунков и рисование схем
10. ПТС на Вашей ладоне LU 40i это идеальное решение для медиапорталов и вебвещания
11. реферату- Екологія і суспільствоРозділ- Екологія Екологія і суспільство
12. Академия детскоюношеского туризма и краеведения протокол 1 от 05 октября 1997 г
13. Статья 1 Судебная власть 1
14. Также сказал он и то что
15. Сердце- определение функции размеры
16. Реферат- Шпоры по римскому праву
17. Взаимодействие видов транспорта
18. Заповедные зоны Украинского Полесья
19. Структура реальности
20. тематика 1 часть Матрицы виды матриц операции над матрицами их свойства